3
Equacions, inequacions i sistemes
LITERATURA I MATEMÀTIQUES
L’últim Cató La calor era infernal, gairebé no quedava aire i quasi no hi veia, i no només per les gotes de suor que em queien als ulls, sinó perquè havia perdut les forces. Notava un ensopiment dolç, una son ardent que s’apoderava de mi i em deixava sense força. El terra, aquella freda planxa de ferro que ens havia rebut en arribar, era un llac de foc que enlluernava. Tot tenia una resplendor ataronjada i vermellosa, fins i tot nosaltres. […] Però, aleshores, vaig entendre-ho. Era tan fàcil! En vaig tenir prou a fer una última mirada a les mans que en Farag i jo teniem entrellaçades: en aquell garbuix, humit per la suor i brillant per la llum, els dits s’havien multiplicat… Al meu cap va tornar, com en un somni, un joc infantil, un truc que el meu germà Cesare m’havia ensenyat quan era petita per no haver d’aprendre’m de memòria les taules de multiplicar. Per a la taula del nou, m’havia explicat en Cesare, només havia d’estendre les dues mans, comptar des del dit petit de la mà esquerra fins a arribar al nombre multiplicador i doblegar aquell dit. La quantitat de dits que quedava a l’esquerra, era la primera xifra del resultat, i la que quedava a la dreta, la segona. Em vaig desprendre de l’encaixada d’en Farag, que no va obrir els ulls, i vaig tornar davant de l’àngel. Per un moment vaig creure que perdria l’equilibri, però va sostenir-me l’esperança. No eren sis i tres les baules que havien de quedar penjades! Eren seixanta-tres. Però seixanta-tres no era una combinació que pogués marcar-se en aquella caixa forta. Seixanta-tres era el producte, el resultat de multiplicar uns altres dos nombres, com en el truc d’en Cesare, i eren tan fàcils d’endevinar!: els nombres de Dante, el nou i el set! Nou per set, seixanta-tres; set per nou, seixanta-tres, sis i tres. No hi havia més possibilitats. Vaig deixar anar un crit d’alegria i vaig estirar les cadenes. És cert que desvariejava, que la meva ment patia una eufòria que no era sinó el resultat de la manca d’oxigen. Però aquella eufòria m’havia proporcionat la solució: Set i nou! O nou i set, que va ser la clau que va funcionar. […] La llosa amb la figura de l’àngel va enfonsar-se lentament a la terra, i va deixar a la vista un passadís nou i fresc. MATILDE ASENSI
Justifica algebraicament per què funciona el truc per a la taula de multiplicar per 9, i demostra que no hi ha cap truc semblant per multiplicar per un nombre diferent de 9. A la taula del nou, a mesura que anem multiplicant per un nombre més gran, sumem una unitat a les desenes i en restem una a les unitats: 9 · n = n(10 − 1) = 10n − n És per això que el truc funciona. A les taules de multiplicar, des de la taula de l’u fins a la taula del vuit, a mesura que anem multiplicant per un nombre més gran, no sempre sumem una unitat a les desenes.
2
SOLUCIONARI
3
ABANS DE COMENÇAR… RECORDA 001
Posa un exemple de polinomi de grau 4 i amb terme independent -5. Determina’n els termes i el valor numèric per a x = 2 i x = −1. Resposta oberta. P(x) = x4 − x3 + 5x − 5 P(2) = 24 − 23 + 5 ⋅ 2 − 5 = 13 P(−1) = (−1)4 − (−1)3 + 5 ⋅ (−1) − 5 = −8
002
Extreu factor comú a les expressions següents: a) 4x 2yz 3 −12xz 2 −20xy 4z b) 2x(3x2 −1) −8(3x2 −1) −(3x2 −1) a) 4x2yz3 − 12xz2 − 20xy4z = 4xz(xy2z2 − 3z − 5y4) b) 2x(3x2 − 1) − 8(3x2 − 1) − (3x2 − 1) = (3x2 − 1)(2x − 8 − 1) = = (3x2 − 1)(2x − 9)
003
Fes aquesta divisió amb la regla de Ruffini: (4x5 −12x3 −20x + 2) : (x + 2) 4 −2
004
0 −12 0 −20 −8 16 −8 16 4 −8 4 −8 −4
2 8 10
Indica els elements d’aquesta equació: (x + 2) ⋅ (x −5) + 2 = 7 −x2 Termes: x2; −3x; −8; 7; −x2 Primer membre: (x + 2) ⋅ (x − 5) + 2 Multipliquem el primer membre: x2 − 3x − 8 Segon membre: 7 − x2 Incògnita: x Grau: 2 Solucions: x1 = −2,09; x2 = 3,59
005
Quins dels valors següents són solucions de l’equació
x+4 1 5−x ? − = 3 2 2
a) x = 1 b) x = 5 c) x = −2 d) x = 2 La solució de l’equació és la de l’apartat d), x = 2.
3
Equacions, inequacions i sistemes 006
Resol les equacions següents: 2x −1 x −1 x − = 3 7 2 3(x − 2) − (2x −1) = 0 b) 2
4(x − 3) 5(x + 8) − = 6(x + 3) − 2 2 6 2 x+4 − 2(x + 4) d) 3 x − + 4(2x −1) = 3 7
a)
c)
2x − 1 x − 1 x − = → 28x − 14 − 6x + 6 = 21x → x = 8 3 7 2 3(x − 2) − (2x − 1) = 0 → 3x − 6 − 4 x + 2 = 0 → x = −4 b) 2 a)
4( x − 3) 5( x + 8) − = 6( x + 3) − 2 → 12x − 36 − 5x − 40 = 2 6 172 = 36x + 108 − 12 → x = − 29 d) 2 x+4 − 2( x + 4) → 21x − 14 + 56x − 28 = 3 x − + 4(2x − 1) = 3 7 1 = x + 4 − 14 x − 56 → x = − 9 c)
ACTIVITATS 001
Calcula aquests nombres combinatoris. 7 7 12 a) b) c) 2 5 3 7·6 7! a) 7 = = = 21 2 2 ! · 5! 2 ·1 7 7! b) = = 21 5 5! · 2 !
002
8 d) 7 12 · 11 · 10 12 ! c) 12 = = = 220 3 3! · 9 ! 3· 2 ·1 8 8! d) = =8 7 7 ! · 1!
Desenvolupa aquestes potències utilitzant el binomi de Newton. a) (2x −5)3
b) (x3 + 2x)5
a) (2x − 5)3 = 8x3 − 60x2 + 150x − 125 b) (x3 + 2x)5 = x15 + 10x13 + 40x11 + 80x9 + 80x7 + 32x5 003
Comprova si els nombres següents són arrels del polinomi P(x) = x4 + 3x3 −2x2 + 6x −8. a) x = 1
b) x = 2
c) x = −1
d) x = −4
a) P(1) = 14 + 3 ⋅ 13 − 2 ⋅ 12 + 6 ⋅ 1 − 8 = 0 Per tant, x = 1 és una arrel del polinomi. b) P(2) = 24 + 3 ⋅ 23 − 2 ⋅ 22 + 6 ⋅ 2 − 8 = 36 c) P(−1) = (−1)4 + 3 ⋅ (−1)3 − 2 ⋅ (−1)2 + 6 ⋅ (−1) − 8 = −18 d) P(−4) = (−4)4 + 3 ⋅ (−4)3 − 2 ⋅ (−4)2 + 6 ⋅ (−4) − 8 = 0 Per tant, x = −4 és una arrel del polinomi.
4
SOLUCIONARI
004
Calcula les arrels d’aquests polinomis. a) P(x) = x3 −1 a)
b) Q(x) = x3 −9x2 −x + 105 b)
1 0 0 −1 1 1 1 0 1 1 1
1
1 −9 − 1 105 7 −14 −105 0 1 −2 −15 5 5 15 0 1 3
7
L’arrel entera del polinomi és: 1 005
3
Les arrels enteres del polinomi són: {−3, 5, 7}
Factoritza aquests polinomis. a) 2x3 −8x2 + 2x + 12
b) 3x3 −8x2 −20x + 16
c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x
a) 2x3 − 8x2 + 2x + 12 = 2(x + 1)(x − 2)(x − 3) b) 3x3 − 8x2 − 20x + 16 = (x + 2)(x − 4)(3x − 2) c) 2x4 + 15x3 + 31x2 + 12x = x(x + 3)(x + 4)(2x + 1) 006
Troba les arrels enteres dels polinomis: a) 12x + 2x3 + 4 + 9x2 a)
b) x4 −8x2 −9
9 12 4 −4 −10 −4 0 2 5 2 −2 −4 −1 0 2 1
c) 2x5 + 10x4 + 28x3 + 32x2
2
−2
2x + 1 = 0 → x = − b)
1 2
0 −8 0 −9 −3 9 −3 9 0 1 −3 1 −3 3 3 0 3 0 1 0 1
L’única arrel entera és: −2
Aquesta arrel no és entera.
1
−3
Les arrels enteres són: {−3, 3}
c) Extraiem factor comú: 2x2(x3 + 5x2 + 14x + 16) 1 −2
007
5 14 −2 −6 1 3 8
16 −16 0
Les arrels enteres són: {−2, 0}
Simplifica aquestes fraccions algebraiques. a)
3x 2 − 5x 20 − 8x + 4x 2 b) 3x 12 + 8x 3x 2 − 5x 3x − 5 20 − 8x + 4 x 2 x 2 − 2x + 5 = = a) b) 3x 3 12 + 8x 2x + 3
5
Equacions, inequacions i sistemes 008
Efectua aquesta operació i simplifica’n el resultat. 3 1 2−x + − 3x 2 + 6x x 6x + 12 x 2 + 4 x + 18 3 1 2− x + − = x 3x + 6x 6x + 12 6x ( x + 2) 2
009
Classifica i resol aquestes equacions de segon grau. a) b) c) d) e)
x2 −10x + 21 = 0 3x2 + 20x + 12 = 0 3x2 + 9x − 4 = 0 4x2 −12x + 9 = 0 −2x2 + 5x −8 = 0
f) g) h) i) j)
3x2 −18x = 0 4x2 −36 = 0 −8x2 + 40 = 0 −5x2 + 30x = 0 3x2 = 2x2
a) Equació completa: x 2 − 10x + 21 = 0 → x =
−(−10) ± (−10)2 − 4 · 1 · 21
2 ·1 10 ± 4 x1 = 7 → →x= x 2 = 3 2
b) Equació completa: 3x 2 + 20x + 12 = 0 → x =
−20 ± 202 − 4 · 3 · 12
2·3 2 −20 ± 16 x =− →x= → 1 3 6 x 2 = −6
c) Equació completa: −9 ± 92 − 4 · 3 · (−4)
3x 2 + 9x − 4 = 0 → x =
2·3
−9 + 129 = 0,39 x1 = −9 ± 129 6 →x= → 6 −9 − 129 x 2 = = −3, 39 6 d) Equació completa: 4x 2 − 12x + 9 = 0 → x =
−(−12) ± (−12)2 − 4 · 4 · 9 2·4
12 3 →x= = 8 2 e) Equació completa: −2x 2 + 5x − 8 = 0 → x = No té solucions reals.
6
−5 ± 52 − 4 · ( −2 ) · ( −8 ) 2 · ( −2 )
→x=
−5 ± −39 −4
SOLUCIONARI
3
f ) Equació incompleta: 3x2 − 18x = 0 → 3x(x − 6)=0 → x1 = 0
x2 = 6
g) Equació incompleta: 4x2 − 36 = 0 → x =
9 → x1 = −3
x2 = 3
h) Equació incompleta: −8x2 + 40 = 0 → x =
5
i) Equació incompleta: −5x2 + 30x = 0 → 5x(−x + 6) = 0 → x1 = 0
x2 = 6
j) Equació incompleta: 3x2 = 2x2 → x2 = 0 → x = 0 010
Resol aquestes equacions. a) 3(x2 −1) + 2(x −5) −20 = 0 b) (2 −x)(5x + 1) −(3 + x)(x − 1) + 8x2−15x + 3 = 0 c) (x + 2)(x −3) −x(2x + 1) + 6x = 0 d) 3x(x −2) + 2(1 + 9x) −2 = 3x(x + 4) e) (2 −x)(2x + 2) −4(x −3) −5x = 0 a) 3(x2 − 1) + 2(x − 5) − 20 = 0 → 3x2 + 2x − 33 = 0 x = − 11 −2 ± 22 − 4 · 3 · ( −33 ) −2 ± 20 x= = → 1 3 2·3 6 x 2 = 3 b) (2 − x)(5x + 1) − (3 + x)(x − 1) + 8x2− 15x + 3 = 0 2x 2 − 8x + 8 = 0 →
8 ± 64 − 64 =2 4
c) (x + 2)(x − 3) − x(2x + 1) + 6x = 0 → −x2 + 4x − 6 = 0 x=
−( −4 ) ± ( −4 )2 − 4 · 1 · 6 2 ·1
=
4 ± −8 2
No té solució real. d) 3x(x − 2) + 2(1 + 9x) − 2 = 3x(x + 4) 0 = 0 → No és una equació, és una identitat. e) (2 − x)(2x + 2) − 4(x − 3) − 5x = 0 → −2x2 − 7x + 16 = 0 x=
−( −7 ) ± ( −7 )2 − 4 · ( −2 ) · 16 2 · ( −2 )
=
7 ± 177 −4 x = −7 + 177 = 1, 58 1 4 → −7 − 177 = −5 , 08 x 2 = 4
7
Equacions, inequacions i sistemes 011
Determina, sense resoldre l’equació, el nombre de solucions que té. a) −2x2 + 5x −8 = 0 b) 9x2 + 30x + 25 = 0 c) −5x2 + 9x −6 = 0
d) 2x2 −x −3 = 0 e) −x2 + 9x −2 = 0 f ) 0,34x2 + 0,5x −1 = 0
Calculamos el discriminante: a) ∆ = b2 − 4ac = 52 − 4 ⋅ (−2) ⋅ (−8) = −39 < 0. No té solució real. b) ∆ = b2 − 4ac = 302 − 4 ⋅ 9 ⋅ 25 = 0. Té una solució. c) ∆ = b2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−5) ⋅ (−6) = −39 < 0. No té solució real. d) ∆ = b2 − 4ac = (−1)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−3) = 25 > 0. Té dues solucions. e) ∆ = b2 − 4ac = 92 − 4 ⋅ (−1) ⋅ (−2) = 73 > 0. Té dues solucions. f ) ∆ = b2 − 4ac = 0,52 − 4 ⋅ 0,34 ⋅ (−1) = 1,61 > 0. Té dues solucions. 012
Quantes solucions poden tenir aquestes equacions biquadrades? Troba’n les solucions. a) 4x4 −37x2 + 9 = 0 b) x2(x2 −1) = 16(x2 −1) c) 25x2(x2 −1) + 11(x4 + 1) −7 = 0 Com que les equacions són de quart grau, poden tenir un màxim de quatre solucions. z = x2
a) 4x4 − 37x2 + 9 = 0 → 4z2 − 37z + 9 = 0 z=
−( −37 ) ± ( −37 )2 − 4 · 4 · 9 2·4
z1 = 9 → x1 = −3 1 1 z2 = → x3 = − 2 4
=
x2 = 3 1 x4 = 2
z1 = 9 37 ± 35 → 1 z2 = 8 4
z = x2
b) x2(x2 − 1) = 16(x2 − 1) → x4 − 17x2 + 16 = 0 → z2 − 17z + 16 = 0 z=
−( −17 ) ± ( −17 )2 − 4 · 1 · 16
z1 = 1 → x1 = −1 z2 = 16 → x3 = −4
2 ·1
=
17 ± 15 z = 1 → 1 z2 = 16 2
x2 = 1 x4 = 4
c) 25x2(x2 − 1) + 11(x4 + 1) − 7 = 0 z = x2 → 36x4 − 25x2 + 4 = 0 → 36z2 − 25z + 4 = 0 z1 = 1 −( −25 ) ± ( −25 )2 − 4 · 36 · 4 25 ± 7 4 z= = → 4 2 · 36 72 z2 = 9 1 1 1 z1 = → x1 = − x2 = 4 2 2 2 4 2 z2 = → x3 = − x4 = 3 9 3
8
SOLUCIONARI
013
Troba la solució d’aquestes equacions amb fraccions algebraiques. 1 2x + 7 4 3 − x2 =0 = a) x + b) 4 + x x2 x +1 x +1 a) x +
x=
b)
2x + 7 1 = → x2 − x − 6 = 0 x +1 x +1 −( −1) ± ( −1)2 − 4 · 1 · ( −6 )
=
2 ·1
1± 5 x = 3 → 1 x 2 = −2 2
z = x2 4 3 − x2 4 2 → −z2 + 3z + 4 = 0 + x x 0 3 4 0 = → − + + = x4 x2
z=
−3 ± 32 − 4 · ( −1) · 4
2 · ( −1) z1 = −1 → No té solució real. z2 = 4 → x1 = 2 x2 = −2 014
3
=
z = −1 −3 ± 5 → 1 −2 z2 = 4
Resol aquestes equacions amb radicals. a)
c)
x + 4 + 2x −1 = 6
b) x 2 − 3x 2 − 2 = 4 a)
x +
x + 12 =
8x + 4
d) 2 x + 1 − 3 4x − 3 + 5 = 0
x + 4 + 2x − 1 = 6 → 2x − 1 = x + 4 − 12 x + 4 + 36 → ( x − 41)2 = (−12 x + 4 )2 → x 2 − 226x + 1.105 = 0 x=
−(−226) ± (−226)2 − 4 · 1 · 1.105 2 ·1
=
226 ± 216 x = 5 → 1 x 2 = 221 2
La solució és x = 5. b) x 2 − 3x 2 − 2 = 4 → x 4 − 8x 2 + 16 = 3x 2 − 2 → x 4 − 11x 2 + 18 = 0 z = x2
→ z2 − 11z + 18 = 0 z=
−( −11) ± ( −11)2 − 4 · 1 · 18 2 ·1
z1 = 9 → x1 = −3
x2 = 3
z2 = 2 → x3 =
x4 = − 2
2
=
11 ± 7 z = 9 → 1 z2 = 2 2
Les solucions són x1 = −3 i x2 = 3. c)
x +
x=
x + 12 =
8x + 4 → x + 2 x 2 + 12x + x + 12 = 8x + 4 → 4 x 2 + 48x = 36x 2 − 96x + 64 → 2x 2 − 9x + 4 = 0
−( −9 ) ± ( −9 )2 − 4 · 2 · 4 2·2
=
1 9±7 x = → 1 2 4 x 2 = 4
La solució és x = 4.
9
Equacions, inequacions i sistemes d) 2 x + 1 − 3 4 x − 3 + 5 = 0 → (2 x + 1)2 = (3 4 x − 3 − 5)2 → (6 − 32x )2 = (−30 4 x − 3 )2 → 64 x 2 − 249x + 171 = 0 x=
−( −249 ) ± ( −249 )2 − 4 · 64 · 171 2 · 64
=
57 249 ± 135 x = → 1 64 256 x 2 = 3
La solució és x = 3. 015
Resol les equacions exponencials següents: a) 3x
2
−5x + 6
b) 43x = 8x + 6 2
a) 3 x −5 x + 6 = 1 → 3 x x=
2
−5 x + 6
= 30 → x 2 − 5 x + 6 = 0
x = 2 5 ± 52 − 4 ⋅ 6 ⋅ 1 5±1 = → 1 x 2 = 3 2 ⋅1 2
b) 4 3x = 8 x + 6 → ( 22 )3x = ( 23 ) x + 6 → ( 23 x )2 − ( 23 x ) − 6 = 0 Si anomenem 23x = z, obtenim l’equació següent: z 2 − z − 6 = 0, que té com a solucions z = 2 (solució real) i dues solucions no reals: z 2 − z −6 = (z − 2)(z 2 + 2z + 3). Per tant: 23x = 21 → 3 x = 1 → x =
016
1 3
Resol aquestes equacions logarítmiques: a) log (x + 1) −1 = log x b) 3 log x −log (2x2 + x −2) = 0 a) log( x + 1) − 1 = log x → log( x + 1) − log x = 1 Apliquem les propietas dels logaritmes: x + 1 = 1 = log 10 log x Per tant:
x +1 1 = 10 → x + 1 = 10x → x = x 9
b) 3log x − log( 2 x 2 + x − 2) = 0 Apliquem les propietats dels logaritmes: log x 3 − log( 2 x 2 + x − 2) = 0 → log x 3 = log( 2 x 2 + x − 2) x 3 = 2x 2 + x − 2 Transposem termes i factoritzem: x1 = +1 ( x − 2)( x − 1)( x + 1) = 0 → x 2 = −1 ( no vàlida ) x 3 = 2 La solució x = −1 no és vàlida perquè no és vàlid el log (−1) de l’equació.
10
SOLUCIONARI
017
Aquestes equacions estan factoritzades. Troba’n la solució. d) 2x2(x −3)2(3x + 4) = 0 e) 5x(x −1)2(2x + 7)3 = 0
a) 3(x −1)(x + 2)(x −4) = 0 b) x(x −2)(x + 3)(x −12) = 0 c) (2x −1)(4x + 3)(x −2) = 0 a) x1 = 1
x3 = 4
x2 = −2
b) x1 = 0 x2 = 2 x3 = −3 x4 = 12 c) x1 =
018
3
1 2
x2 = −
3 4
d) x1 = 0
x2 = 3
e) x1 = 0
x2 = 1
4 3 7 x3 = − 2
x3 = −
x3 = 2
Factoritza les equacions i troba’n la solució. a) x4 −2x3 −13x2 + 38x −24 = 0 b) x5 −6x4 + 10x3 −6x2 + 9x = 0 c) x4 + 8x3 + 17x2 + 8x + 16 = 0 a) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 4) = 0 x1 = 1 x2 = 2 x3 = 3 x4 = −4 b) x(x − 3)2(x2 + 1) = 0 x1 = 0 x2 = 3 c) (x + 4)2(x2 + 1) = 0 x = −4
019
Escriu una equació amb aquestes solucions: x = 3, x = 2 i x = −7. Quin és el grau més petit que pot tenir? Resposta oberta. (x − 3)(x − 2)(x + 7) = 0 El grau més petit que pot tenir és 3.
020
Resol i classifica els sistemes següents: a) 4x + 6y = 0 6x − 9y = −6 b)
2y −1 x −5 + = 2 3 5 3(2 − x) + 4( y + 1) = 36 a) Resolem el sistema per substitució: 3y 4 x + 6 y = 0 → x =− 6x − 9 y = −6 2 6·
−3y
1 − 9 y = −6 → y = → x = 3 2
1 3 =−1 2 2
−3 ·
11
Equacions, inequacions i sistemes b)
2y − 1 x −5 5x + 6 y = 58 + = 2 → 3 5 −3x + 4 y = 26 3(2 − x) + 4( y + 1) = 36 Ho resolem per reducció: ⋅3 15x + 18 y = 174 5x + 6 y = 58 → → −3x + 4 y = 26 ⋅ 5 −15x + 20 y = 130 38 y = 304 → y = 8
Substituïm en una de les equacions: 5x + 6 ⋅ 8 = 58 → x = 2 021
De quin tipus són? Representa’n gràficament la solució. a) 3x + 6y = 3 5x + 10y = 5 b)
2 x + y = 1 5 x + 2 y = 4
c)
21a − 14 b = 35 −12 a + 8 b = −20
d)
p + 2 q = 1 3 p − q = 11 a) Sistema compatible indeterminat
c) Sistema compatible indeterminat
Y
Y
0
X
b) Sistema compatible determinat
12
10
X
d) Sistema compatible determinat
Y
0
0
Y
10
X
0
X
SOLUCIONARI
022
3
Resol els sistemes a) x 2 + y 2 = 202 x + y = 20
b) x 2 + xy = 24 x + 2y = 13
a) Resolem el sistema per substitució: x 2 + y 2 = 202 → x = 20 − y x + y = 20 y = 11 (20 − y )2 + y 2 = 202 → y 2 − 20 y + 99 = 0 → 1 y 2 = 9 Substituïm en l’equació: x1 = 20 − 11 = 9 x2 = 20 − 9 = 11 b) Resolem el sistema per substitució: x 2 + xy = 24 → x = 13 − 2y x + 2y = 13
y1 = 5 (13 − 2y)2 + (13 − 2y)y = 24 → 2y2 − 39y + 145 = 0 → 29 y 2 = 2 Substituïm en l’equació: 29 x1 = 13 − 2 ⋅ 5 = 3 x2 = 13 − 2 ⋅ = −16 2
023
Calcula dos nombres sabent que sumen 42 i que la suma dels seus inversos és
7 . 72
Plantegem el sistema d’equacions: x + y = 42 x = 42 − y 1 1 7 → + = 72y + 72x = 7x y x y 72 Resolem el sistema per substitució: y1 = 18 72y + 72(42 − y) = 7(42 − y)y → y2 − 42y + 432 = 0 → y 2 = 24 x1 = 42 − 18 = 24 x2 = 42 − 24 = 18 Els nombres que es demanen són el 18 i el 24.
024
1 x − 4 ≤ 3x + 1 2 Raona els passos que has seguit per resoldre-la. Resol la inequació:
1 x − 4 = 3x + 1 → x = −2 2 • Agafem un punt qualsevol de cada interval: x = −4 de (−`, −2) x = 0 de (−2, +`) • Resolem l’equació:
13
Equacions, inequacions i sistemes • Comprovem si aquests punts són solucions: −4 − 4 ≤ 3 · ( −4 ) + 1 = −11 → (−`, −2) és solució. Si x = −4 → −6 = 2 Si x = 0 → −4 ≥ 1 → (−2, +`) no és solució. • Comprovem si l’extrem és solució: −2 − 4 ≤ 3 · ( −2 ) + 1 = −5 → x = −2 és solució. Si x = −2 → −5 = 2 Per tant, la solució de la inequació és l’interval (−`, −2]. 025
Troba l’error comès en la resolució d’aquesta inequació. 2x ≤8x −12 −6x ≤−12 → 6x ≤12 → x ≤2 → (−`, 2) Quan s’ha passat del segon al tercer pas, s’ha multiplicat l’equació per −1, i s’hauria d’haver canviat el sentit de la desigualtat, per les relacions d’ordre que compleixen els nombres reals.
026
Resol les següents inequacions de segon grau amb una incògnita. a) b) c) d) e)
x 2 −3x + 2 ≤0 x 2 −3x + 2 ≥0 x 2 −9x >0 x 2 −9 <0 x 2 + 2 ≤0
f) g) h) i) j)
(x −3)(x + 4) ≥0 (x + 3)x <4 x 2 −30 >x x 2 + x + 3 <0 4x 2 −4x + 1 <0
x = 1 a) Resolem l’equació: x2 − 3x + 2 = 0 → 1 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x=0 x = 1,5 x=3 Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 + 2 > 0 → (−`, 1) no és solució de la inequació. Si x = 1,5 → 1,52 − 3 ⋅ 1,5 + 2 < 0 → (1, 2) és solució de la inequació. Si x = 3 → 32 − 3 ⋅ 3 + 2 > 0 → (2, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació també ho són de la inequació. Per tant, la solució és [1, 2]. b) Es dedueix de l’apartat anterior que les solucions de la inequació són: (−`, 1] ∪ [2, +`) x = 0 c) Resolem l’equació: x2 − 9x = 0 → 1 x 2 = 9 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −1 x=1 x = 10 2 Si x = −1 → (−1) − 9 ⋅ (−1) > 0 → (−`, 0) és solució de la inequació. Si x = 1 → 12 − 9 ⋅ 1 < 0 → (0, 9) no és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 − 9 ⋅ 10 > 0 → (9, +`) és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, 0) ∪ (9, +`).
14
SOLUCIONARI
3
x = −3 d) Resolem l’equació: x2 − 9 = 0 → 1 x 2 = 3 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → (−10)2 − 9 > 0 → (−`, −3) no és solució de la inequació. Si x = 0 → 02 − 9 < 0 → (−3, 3) és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 − 9 > 0 → (3, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−3, 3). e) El primer membre de la inequació sempre serà positiu. Per tant, la inequació no té solució. x = −4 f) Resolem l’equació: (x − 3)(x + 4) = 0 → 1 x 2 = 3 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → (−10 − 3)(−10 + 4) > 0 → (−`, −4) és solució de la inequació. Si x = 0 → (0 − 3)(0 + 4) < 0 → (−4, 3) no és solució de la inequació. Si x = 10 → (10 − 3)(10 + 4) > 0 → (3, +`) és solució de la inequació. Les solucions de l’equació també ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, −4] ∪ [3, +`). x = −4 g) Resolem l’equació: (x + 3)x = 4 → 1 x 2 = 1 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → (−10 + 3) ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−`, −4) no és solució de la inequació. Si x = 0 → (0 − 3) ⋅ 0 − 4 < 0 → (−4, 1) és solució de la inequació. Si x = 10 → (10 − 3) ⋅ 10 + 4 > 0 → (1, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−4, 1). x = −5 h) Resolem l’equació: x2 − x − 30 = 0 → 1 x 2 = 6 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 2 Si x = −10 → (−10) − 10 − 30 > 0 → (−`, −5) no és solució de la inequació. Si x = 0 → 02 − 0 − 30 < 0 → (−5, 6) és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 − 10 − 30 > 0 → (6, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−5, 6). i) El primer membre de la inequació sempre és més gran o igual que zero. Per tant, la inequació no té solució. j) El primer membre de la inequació sempre és més gran o igual que zero. Per tant, la inequació no té solució.
15
Equacions, inequacions i sistemes 027
Resol aquestes inequacions de grau superior seguint el mètode que s’empra per a les inequacions de segon grau. a) (x −2)(x −3)(x 2 −2) ≥0 b) x(x −4)(x + 1)(x 3 −1) ≤0
c) x 3 + 2x 2 + 3x −6 <0 d) x 4 −5x 3 + 4x 2 + 9x −9 >0
x1 = − 2 a) Resolem l’equació: (x − 2)(x − 3)(x2 − 2) = 0 → x 2 = 2 x 3 = 2 x 4 = 3 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 1,5 x = 2,5 x = 10 Si x = −10 → (−10 − 2)(−10 − 3)((−10)2 − 2) > 0 → (−`, − 2 ) és solució. Si x = 0 → (0 − 2)(0 − 3)(02 − 2) < 0 → ( 2 , − 2 ) no és solució. 2 , 2) és solució. Si x = 2,5 → (2,5 − 2)(2,5 − 3)(2,5 − 2) < 0 → (2, 3) no és solució.
Si x = 1,5 → (1,5 − 2)(1,5 − 3)(1,52 − 2) > 0 →
(
2
Si x = 10 → (10 − 2)(10 − 3)(102 − 2) > 0 → (3, +`) és solució. Les solucions de l’equació ho són també de la inequació. Per tant, la solució és (−`, − 2 ∪ 2 , 2 ∪ [ 3 , + `). x1 = −1 x = 0 b) Resolem l’equació: x(x − 4)(x +1)(x3 − 1) = 0 → 2 x 3 = 1 x = 4 4 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x = −0,5 x = 0,5 x=2 x = 10 Si x = −10 → −10 ⋅ (−10 − 4)(−10 + 1)((−10)3 − 1) > 0 → (−`, −1) no és solució. Si x = −0,5 → −0,5 ⋅ (−0,5 − 4)(−0,5 + 1)((−0,5)3 − 1) < 0 → (−1, 0) és solució. Si x = 0,5 → 0,5 ⋅ (0,5 − 4)(0,5 + 1)(0,53 − 1) > 0 → (0, 1) no és solució. Si x = 2 → 2 ⋅ (2 − 4)(2 + 1)(23 − 1) < 0 → (1, 4) és solució. Si x = 10 → 10 ⋅ (10 − 4)(10 + 1)(103 − 1) > 0 → (4, +`) no és solució. Les solucions de l’equació ho són també de la inequació. Per tant, la solució és [−1, 0] ∪ [1, 4]. c) Resolem l’equació: x3 + 2x2 + 3x − 6 = 0 → x = 1 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x=0
x = 10
Si x = 0 → 03 + 2 ⋅ 02 + 3 ⋅ 0 − 6 < 0 → (−`, 1) és solució. Si x = 10 → 103 + 2 ⋅ 102 + 3 ⋅ 10 − 6 > 0 → (1, +`) no és solució. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, 1).
16
3
SOLUCIONARI
1− 13 x1 = 2 x = 1 d) Resolem l’equació: x4 − 5x3 + 4x2 + 9x − 9 = 0 → 2 1 + 13 x 3 = 2 x 4 = 3 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x=0
x = −10
x=2
4
x = 2,5
3
x = 10
2
Si x = −10 → (−10) − 5 ⋅ (−10) + 4 ⋅ (−10) + 9 ⋅ (−10) − 9 > 0 − , 1− 13 és solució. ` 2 1− 13 4 , 1 no és solució. Si x = 0 → 0 − 5 ⋅ 03 + 4 ⋅ 02 + 9 ⋅ 0 − 9 < 0 → 2 1 + 13 és solució. Si x = 2 → 24 − 5 ⋅ 23 + 4 ⋅ 22 + 9 ⋅ 2 − 9 > 0 → 1, 2 1 + 13 , 3 Si x = 2,5 → 2,54 − 5 ⋅ 2,53 + 4 ⋅ 2,52 + 9 ⋅ 2,5 − 9 < 0 → 2 no és solució. Si x = 10 → 104 − 5 ⋅ 103 + 4 ⋅ 102 + 9 ⋅ 10 − 9 > 0 → (3, +`) és solució. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. 1− 13 Per tant, la solució és −`, 2 028
1 + 13 ∪ 1, 2
∪ ( 3 , + `).
Representa al pla la regió solució d’aquestes inequacions. a) x + y <0
c) 2x −y >1
b) x −y ≤0
d) y −2 ≥0
a)
c)
Y
1
1 1
b)
Y
X
d)
Y
1
1
X
1
X
Y
1 1
X
17
Equacions, inequacions i sistemes 029
Dibuixa les regions del pla següents: a) Els punts del pla amb abscissa positiva. b) Els punts del pla amb ordenada més gran o igual que zero. Troba una inequació que tingui cada una d’aquestes regions com a conjunt solució. a) x > 0
b) y ≥ 0 Y
Y
1
1 1
030
X
1
X
Calcula les solucions d’aquests sistemes d’inequacions. a) x + 3 > 5 2x − 1 > 11
b)
15 + 7x ≥ 8 3x < 14x + 6
x > 2 a) x + 3 > 5 → 2x − 1 > 11 x > 6 Escollim l’interval que compleix les dues inequacions: (2, +`). x ≥ −1 b) 15 + 7x ≥ 8 6 → 3x < 14x + 6 x > − 11 6 Escollim l’interval que compleix les dues inequacions: − , + `. 11 031
Resol els següents sistemes d’inequacions amb una incògnita. a)
x 2 − 3x < 6 6x 2 + 4x ≥ 3
b) 2x + x 2 < 3x 2 + 4 7x 2 + x ≥ 2x − 6
3 − 33 3 + 33 <x< a) x 2 − 3x < 6 2 2 → 2 6x + 4x ≥ 3 −2 − 22 −2 + 22 ≤x≤ 6 6 −2 − 22 −2 + 22 , Escollim l’interval que compleix les dues inequacions: 6 6 b) 2x + x 2 < 3x 2 + 4 → Sempre es compleixen. 7x 2 + x ≥ 2x − 6 Són certes per a tots els nombres reals.
18
SOLUCIONARI
032
3
Calcula les solucions d’aquests sistemes d’inequacions. a) x + 2y < 4 b) 12x − 3y ≥ 7 −2x + y ≥ 3 −x + 2y ≤ 12 a)
b)
Y
Y
2 2
033
2
X
2
X
2
X
Resol els següents sistemes d’inequacions amb dues incògnites. a) 2x − 3y + 6 > 0 b) 4x − y ≥ 0 x + 2y < 11 x < 2 a)
b)
Y
Y
2 2
034
X
2
Calcula 3!, 4!, 5!, 6! i 7!, i comprova si les expressions següents són certes. b) 3! + 4! = 7! c) 6! −2! = 4! a) 2! ⋅ 3! = 6! 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5.040 a) 2! ⋅ 3! = 12 6! = 720 b) 3! + 4! = 30 7! = 5.040 c) 6! − 2! = 718 4! = 24 Per tant, cap d’aquestes expressions és certa.
035
Simplifica les expressions sense calcular prèviament el valor dels factorials. x! 10 ! 6! 9! ( a + 2 )! 8! f) a) b) c) d) e) ( x −3 )! 7 ! ⋅ 3! 4! 6! a! 4! a) b) c) d) e) f)
6! = 6 ⋅ 5 = 30 4! 9! = 9 ⋅ 8 ⋅ 7 = 504 6! (a + 2)! = (a + 2)(a + 1) = a 2 + 3a + 2 a! 8! = 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 = 1.680 4! 10 ⋅ 9 ⋅ 8 10 ! = = 120 7 ! ⋅ 3! 3⋅ 2⋅1 x! = x (x − 1)(x − 2) = x 3 − 3x 2 + 2x (x − 3)!
19
Equacions, inequacions i sistemes 036
Calcula les incògnites i comprova aquestes igualtats. 8 8 x x a a a) = b) = c) = x 6 3 7 x 5 a) No considerem la solució trivial x = 6. 8 = 8 ! = 8 6 2 ! ⋅ 6 ! 2 10 10 10 ! b) = = 7 3! ⋅ 7 ! 3 a a a! c) = = 5 (a − 5 ) ⋅ 5! a − 5
037
Completa aquests desenvolupaments. a) (3x + 2)4 = 81x 4 + x 3 + + 96 + 16 b) (3 −4y)3 = 27 − y + 144 + c) (2p −q2)4 = 16p 4 −32p q + 24 p q + + q d) (3mn −p2)3 = m3n −27m n p + mnp4 −p a) b) c) d)
038
(3x + 2)4 = 81x 4 + 216x3 + 216x2 + 96x + 16 (3 − 4y)3 = 27 − 108y + 144y2 − 64y3 (2p − q2)4 = 16p4 − 32p3q2 + 24p2q4 − 8pq6 + q8 (3mn − p2)3 = 27m3n3 − 27m2n2p2 + 9mnp4 − p6
Si 5,1 = 5 + 0,1 i 0,99 = 1 − 0,01; calcula el valor de 5,13 i 0,992 utilitzant la fórmula del binomi de Newton. 5,13 = (5 + 0,1)3 = 53 + 3 ⋅ 52 ⋅ 0,1 + 3 ⋅ 5 ⋅ 0,12 + 0,13 = = 125 + 7,5 + 0,15 + 0,001 = 132,651 0,992 = (1 − 0,01) = 12 − 2 ⋅ 1 ⋅ 0,01 + 0,012 = 1 − 0,02 + 0,0001 = 0,9801
039
Determina els termes que s’indiquen en aquests desenvolupaments. a) Setè terme de (x + 2y)10. b) Desè terme de (x 2 −3)15. a) 13.440x4y6 b) −98.513.415x12
040
c) Setzè terme de (2p + q2)28. d) Catorzè terme de (−a + 2)21. c) 306.726.174.720p13q30 d) 1.666.990.080a8
Troba les potències el desenvolupament de les quals són aquestes expressions: a) 4x 2 + 20x + 25 b) 27x 3 −54x 2 + 36x −8 c) 81p4 + 216p3 + 216p2 + 96p + 16 a) (2x + 5)2
20
b) (3x − 2)3
c) (3p + 2)4
SOLUCIONARI
041
3
Troba els termes indicats dels desenvolupaments següents. a) El terme central de (3p2 −2q)12. b) El terme que conté x12 en (2x 2 + 1)9. 10
2 c) El terme que conté x11 en − x 2 . x a) 43.110.144p12q6 042
b) 5.376x12
c) −960x11
Els termes setè i vuitè del desenvolupament d’una potència són 1.792x 2 y12 i 1.024x y14, respectivament. Intenta descobrir de quin binomi hem calculat una potència. (x + 2y2)8
043
Comprova si M(x) = 2x 3 −5x 2 + 4x −4 és divisible per x −2 i, si ho és, troba un polinomi N(x) que permeti escriure M(x) de la forma M(x) = (x −2) ⋅ N(x). Dividim el polinomi entre x −2: 2
2 −5 4 −4 4 −2 4 2 −1 2 0
El polinomi N(x) és el quocient: N(x) = 2x2 − x + 2 044
Determina les arrels dels polinomis següents. a) (x −3)(x + 5)(x −2)
e) x 3 + 8x 2 + 17x + 10
2
b) x(x −2) (2x + 1)
f ) 3x 3 + 7x 2 −22x −8
c) (2x −1)(3x + 2)(x + 3)2
g) 2x 4 −11x 3 + 21x 2 −16x + 4
3
2
h) x 4 −4x 3 −12x 2 + 32x + 64
d) x −3x −6x + 8 a) x1 = −5
x2 = 2
x3 = 3
1 2
x2 = 0
x3 = 2
c) x1 = −3
x2 = −
b) x1 = −
d)
1 −3 1 1 −2 −2 −2 1 −4 4 4 0 1 1
x1 = −2
−6 −2 −8 8 0
x2 = 1
2 3
x3 =
1 2
8 −8 0
x3 = 4
21
Equacions, inequacions i sistemes e)
1 −1 1 −2 1 −5 1
8 17 10 −1 − 7 −10 0 7 10 −2 −10 0 5 −5 0
x1 = −5 f)
3 2 3 −4 3
x2 = −2
x3 = −1
7 −22 −8 6 26 8 0 13 4 −12 − 4 0 1
3x + 1 = 0 1 x =− 3 x1 = −4 g)
x2 = −
1 3
x3 = 2
2 −11 21 −16 4 2 −9 12 −4 0 2 −9 12 − 4 2 4 −10 4 0 2 −5 2 2 4 −2 0 2 −1
1
2x − 1 = 0 1 x= 2 x1 = h)
1 2 1
−2 1 −2 1 4 1 4 1 x1 = −2
22
x2 = 1 −4 −2 −6 −2 −8 4 −4 4 0
−12 12 0 16 16 −16 0
x2 = 4
x3 = 2 32 0 32 −32 0
64 −64 0
SOLUCIONARI
045
3
D’un polinomi de segon grau, P(x), sabem que P(1) = −6, P(0) = −3 i una de les seves arrels és 3. Determina’l. Troba el valor de m perquè el polinomi mx 3 −6x 2 −4x + 8 tingui 2 com a arrel. (x − 3)(ax + b) = 0 Com que P(1) = −6: −2a − 2b = −6 Com que P(0) = −3: −3b = −3 Per tant, resulta que a = 2 i b = 1. El polinomi que es demana és 2x2 − 5x − 3. I com que 2 n’és arrel: m ⋅ 23 − 6 ⋅ 22 − 4 ⋅ 2 + 8 = 0 → m = 3
046
Troba el valor de n perquè el polinomi 2x 3 + 2x 2 + nx + 3 tingui −3 com a arrel. Com que −3 és arrel: 2 ⋅ (−3)3 + 2 ⋅ (−3)2 + n ⋅ (−3) + 3 = 0 → n = −11
047
Quin valor ha de tenir a perquè el residu de dividir x 3 + ax 2 −3x −a entre x −4 sigui 67? Dividim el polinomi entre x − 4: 1 4
a −3 4 16 + 4a 1 4 + a 13 + 4a
−a 52 + 16a 52 + 15a
Igualem el residu a 67: 52 + 15a = 67 → a = 1 048
Determina a i b de manera que el polinomi x 3 + ax 2 + bx −6 sigui divisible per x −2 i per x + 3. Dividim el polinomi entre x − 2: 1 2
a b 2 4 + 2a 1 2 + a 4 + 2a + b
−6 8 + 4a + 2b 2 + 4a + 2b
Dividim el polinomi entre x + 3: 1 −3
a b −6 −3 9 − 3a −27 + 9a − 3b 1 −3 + a 9 − 3a + b −33 + 9a − 3b
Resolem el sistema: 2 + 4a + 2b = 0 →a=2 −33 + 9a − 3b = 0
b = −5
23
Equacions, inequacions i sistemes 049
Escriu un polinomi de tercer grau les arrels del qual siguin les que s’indiquen en cada cas. a) 2, 3 y 5
b) −2, −1 y 4
c) 2, 2 y −4
Resposta oberta; per exemple: a) P(x) = (x − 2)(x − 3)(x − 5) b) Q(x) = (x − 4)(x + 2)(x + 1) c) R(x) = (x + 4)(x − 2)2 050
Troba un polinomi P(x) de segon grau les arrels del qual siguin 1 i −2 i que compleixi que P(3) = 30. Q( x ) = ( x − 1)( x + 2) → P( x ) = 3( x − 1)( x + 2) Q(3) = 10
051
Escriu un polinomi de tercer grau les arrels del qual siguin 3, −1 i −1 i de manera que Q(2) = −18. P( x ) = ( x − 3)( x + 1)2 2 → Q( x ) = 2( x − 3)( x + 1) P(2) = −9
052
Opera i simplifica. a)
3 1 2 − − a+2 2a + 4 3a + 6
b)
3 − 2p p+2
+
1+ p p+3
3 1 2 11 − − = 2a + 4 3a + 6 a+2 6( a + 2 ) 3 − 2p 1+ p 11− p 2 = + b) p+2 p+3 ( p + 2)( p + 3) 3 1 1 c) + = 2a − 6 3− a 2(a − 3) a)
053
Efectua les operacions i simplifica’n el resultat. 3x −1 x+2 − 4x + 12 4x −12 2−x 1 5 b) 2 − + 4x −12 6x −18 x − 3x a)
4 5 − a+b a −b 4 − x2 9 − x2 d) + x+2 x+3
c)
3x − 1 x +2 2x 2 − 15x − 3 − = 4x + 12 4x − 12 4(x + 3)(x − 3) 2− x 1 5 5x − 24 b) 2 − + = 4x − 12 6x − 18 12x (3 − x ) x − 3x 4 5 a + 9b − = c) a+b a−b (a + b )(b − a) 4 − x2 9 − x2 d) + = 5 − 2x x+2 x+3 a)
24
c)
3 1 + 2a − 6 3 −a
SOLUCIONARI
054
3
Comprova si el nombre indicat en cada apartat és solució de l’equació. a) 2(x 2 −x −2) + 6(3 −x) −2(x −3) −8 = 0 x = −2 b) 2(−x −2)(1 −x) −2(x + 1) = 0 x=
3
c) (2 + x)5x − (3x −4) + 3(x −1) −x 2 + 2(x + 4) = 0 x =−
3 2
a) No, les solucions són x1 = 2 i x2 = 3. b) Sí, les solucions són x1 = − 3 i x2 = 3 . c) Sí, la solució és x = −
055
3 2
Resol aquestes equacions de segon grau amb denominadors. a)
2 − x2 3−x 23 + + =0 3 4 12
c)
x − 2x 2 3x + x 2 = 1− 2 4
b)
2−x 3x 2 − 2x 19x + + =0 2 3 6 a)
b)
2 − x 2 3 − x 23 + + = 0 → 8 − 4x 2 + 9 − 3 x + 23 = 0 → −4x 2 − 3x + 40 = 0 3 4 12 x = −3 − 649 2 1 −( −3 ) ± ( −3) − 4 ⋅ ( −4) ⋅ 40 8 x= → 2 ⋅ ( −4) −3 + 649 x 2 = 8 2 − x 3x 2 − 2x 19x 6 − 3x 6x 2 − 4x 19x + + =0→ + + = 0 → x 2 + 2x + 1= 0 2 3 6 6 6 6 x=
c)
−2 ± 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 2⋅1
→ x = −1
x − 2x 2 3x + x 2 = 1− → 2x − 4x 2 = 4 − 3x − x 2 → 3x 2 − 5x + 4 = 0 2 4 x=
−( −5) ± ( −5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 4 2⋅3
→x=
5 ± −23 6
No té solució real.
25
Equacions, inequacions i sistemes 056
Busca les solucions de les equacions amb fraccions algebraiques següents i comprova’n, almenys, una de les solucions. 1− x 2 3x + 1 1 a) + + =0 x 4 6 1− 4x 8 x2 + 4 b) + + =0 3 15 x a)
b)
1− x 2 3x + 1 1 + + = 0 → 12 − 12x 2 + 9x 2 + 3x + 2x = 0 → −3x 2 + 5x + 12 = 0 x 4 6 2 x = − 4 −5 ± 5 − 4 ⋅ ( −3) ⋅ 12 −5 ± 13 x= →x= → 1 3 2 ⋅ ( −3) −6 x 2 = 3 3 ⋅ 3+1 1− 32 1 −8 10 1 + + = + + =0 3 4 6 3 4 6 1− 4 x 8 x2 + 4 + + = 0 → 15x 2 + 60 + 5x − 20x 2 + 8x = 0 3 15 x → −5x 2 + 13x + 60 = 0 12 −13 ± 132 − 4 ⋅ ( −5) ⋅ 60 −13 ± 37 x =− x= →x= → 1 5 −10 2 ⋅ ( −5) x 2 = 5 1− 4 ⋅ 5 52 + 4 8 29 19 8 + + = − + =0 5 3 15 5 3 15
057
Resol les equacions de segon grau sense utilitzar la fórmula corresponent. a) x(x + 3) −2(x 2 −4) −8 = 0
b) (2x + 3)2 −8(2x + 1) = 0
a) x(x + 3) − 2(x2 − 4) − 8 = 0 Operem: −x2 + 3x = 0 És una equació incompleta que té per solucions x1 = 0 i x2 = 3. b) (2x + 3)2 − 8(2x + 1) = 0 Operem: 4x2 − 4x + 1 = 0 Factoritzem el primer membre de l’equació utilitzant les igualtats notables: (2x − 1)2 = 0 1 La solució és x = . 2 058
La suma de les solucions d’una equació de segon grau és 4 i el seu producte és −21. a) Escriu l’equació corresponent. b) Determina aquestes solucions. a) x(4 − x) = −21 b) −x2 + 4x + 21 = 0 → x = Les solucions són −3 i 7.
26
−4 ± 4 2 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 21 2 ⋅ ( −1)
x = −3 → 1 x 2 = 7
SOLUCIONARI
059
3
Calcula k en cada cas. a) x 2 + kx + 25 = 0 té una solució. b) x 2 −4x + k = 0 no té una solució. a) k2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 25 = 0 → k = 10 b) (−4)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ k < 0 → (4, 8)
060
Resol l’equació de segon grau fent servir les igualtats notables. Relaciona el resultat amb el nombre de solucions. bx c + =0 a a bx b2 b2 c bx c 2 2 x + =− → x + + 2 = − a a a a 4a 4a 2 2 2 2 x + b = b − c → x + b = ± b − c 2 a a 2a 4a 2a 4a 2 ax 2 + bx + c = 0 → x 2 +
x=
−b ± 2a
b 2 − 4ac −b ± b 2 − 4ac →x= 2 4a 2a
Si b 2 − 4ac < 0 → No té solució. Si b 2 − 4ac = 0 → Té! una! solució. Si b 2 − 4ac > 0 → Té! dues! solucions. 061
Quin valor ha de tenir k perquè els nombres indicats siguin solucions de les equacions? a) 2x2 + 5x + k = 0 3 x= 2 b) k(x 2 −5x + 1) −6(x + 2) + 4(k −x) −65 = 0 x = −2 2
3 3 a) 2 ⋅ + 5 ⋅ + k = 0 → k = −12 2 2 b) k[(−2)2 − 5 ⋅ (−2) + 1] − 6 ⋅ ((−2) + 2) + 4 ⋅ (k − (−2)) − 65 = 0 → k = 3 062
Quins valors han de tenir a i b perquè l’equació ax 2 + bx −30 = 0 tingui dues solucions, x1 = 5 i x2 = −3? Substituïm les dues solucions a l’equació i formem un sistema en què les incògnites són a i b: ·3 25a + 5b − 30 = 0 → 75a + 15b = 90 ·5 9a − 3b − 30 = 0 → 45a − 15b = 150 120a = 240 → a = 2 → 9 ⋅ 2 − 3b − 30 = 0 → b = −4
27
Equacions, inequacions i sistemes 063
Digues, sense resoldre-les, quina és la suma i el producte de les arrels de les equacions. Després, calcula-les per comprovar-ho. a) x 2 + 5x −14 = 0 b) x 2 + x = 0 c) 9x 2 + 9x −10 = 0 d) 4x 2 −4x + 1 = 0 Partim d’una equació de segon grau que té per solucions a i b: (x − a)(x − b) = 0 Després, multipliquem: x2 − ax − bx + ab = 0 → x2 − (a + b)x + ab = 0 Per tant, el producte de les arrels és el terme independent, i la suma de les arrels és l’oposat del coeficient del terme de primer grau. a) El producte de les arrels és −14 i la suma és −5. Les arrels són x1 = −7 i x2 = 2. b) El producte de les arrels és 0 i la suma és −1. Les arrels són x1 = −1 i x2 = 0. 10 i la suma és −1. 9 2 5 Les arrels són x1 = − i x2 = . 3 3
c) El producte de les arrels és −
d) El producte de les arrels és L’arrel és x =
064
1 . 2
Escriu equacions de segon grau les solucions de les quals siguin: a) x1 = −4 y x2 = 2 b) x1 = 0 y x2 = −7 c) x1 = 3 y x2 = −3 Resposta oberta. a) (x + 4)(x − 2) = 0 b) x(x + 7) = 0 c) (x − 3)(x + 3) = 0
065
28
1 i la suma és 1. 4
Resol les equacions. a)
2x − 3 3−x − =0 x 2 −1 x +1
b)
3 5−x − =0 x+2 x +1
c)
3 x x −1 + = −2 x2 −4 x+2 x −2
SOLUCIONARI
a)
b)
3− x 2x − 3 = 0 → 2x − 3 + x 2 − 4x + 3 = 0 → x 2 − 2x = 0 − x2 −1 x +1 x1 = 0 x2 = 2 3 5− x = 0 → 3x + 3 + x 2 − 3x − 10 = 0 → x 2 − 7 = 0 − x+2 x +1 x1 = − 7
c)
x2 = 7
3 x x −1 + = − 2 → x + x 2 − 3x + 2 = 3x + 6 − 2x 2 + 8 x2 − 4 x+2 x −2 → 3x 2 − 5x − 12 = 0 x=
066
3
−( −5) ± ( −5)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ ( −12) 2⋅3
=
x1 = 3 5 ± 13 → 4 x 2 = − 6 3
Aquestes equacions biquadrades tenen menys de quatre solucions. Determina-les. a) 8x 4 + 26x 2 + 15 = 0 b) 9x 4 + 80x 2 −9 = 0 c) 9(1 −x 2)(1 + x 2) + 80x 2 = 0 z = x2
a) 8x 4 + 26x 2 + 15 = 0 → 8z 2 + 26z + 15 = 0
z=
−26 ± 262 − 4 ⋅ 8 ⋅ 15 2⋅8
z1 = − 3 −26 ± 14 4 = → 5 16 z = − 2 2
No té solució real. z = x2
b) 9x 4 + 80x 2 − 9 = 0 → 9z 2 + 80z − 9 = 0 z=
−80 ± 802 − 4 ⋅ 9 ⋅ ( −9) 2⋅9
=
−80 ± 82 18
z = 1 → 1 9 z2 = −9
1 1 x2 = 3 3 z2 = −9 → No té solució real. z1 = 1 → x1 = −
z = x2
c) 9(1− x 2 )(1+ x 2 ) + 80x 2 = 0 → −9x 4 + 80x 2 + 9 = 0 → −9z 2 + 80z + 9 = 0 z=
−80 ± 802 − 4 ⋅ ( −9) ⋅ 9 2 ⋅ ( −9)
=
z1 = 9 −80 ± 82 → 1 z2 = − −18 9
z1 = 9 → x1 = −3 x2 = 3 1 z2 = − → No té solució real. 9
29
Equacions, inequacions i sistemes 067
Troba les solucions de les equacions: a)
2x (x 3 − 7x) 2x 2 −12
=6
x 2 −2 3 12 20 c) 8x + = 3 x x
b) 3x 2 (x 2 − 2) =
a)
2x (x 3 − 7x ) 2
2x − 12 z=
z = x2
= 6 → x 4 − 13x 2 + 36 = 0 → z 2 − 13z + 36 = 0
−( −13) ± ( −13)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 36
z1 = 9 → x1 = −3 z2 = 4 → x3 = −2
2⋅1 x2 = 3 x4 = 2
=
z = 9 13 ± 5 → 1 z2 = 4 2
x2 − 2 z = x2 → 9x 4 − 19x 2 + 2 = 0 → 9z 2 − 19z + 2 = 0 3 z1 = 2 −( −19) ± ( −19)2 − 4 ⋅ 9 ⋅ 2 19 ± 17 z= = → 1 z2 = 2⋅9 18 9 z1 = 2 → x1 = − 2 x2 = 2 1 1 1 z2 = → x 3 = − x4 = 9 3 3
b) 3x 2( x 2 − 2) =
12 20 z = x2 = 3 → 2x 4 + 3x 2 − 5 = 0 → 2z 2 + 3z − 5 = 0 x x z1 = 1 −3 ± 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−5) −3 ± 7 z= → = 5 z2 = − 2⋅2 4 2 z1 = 1 → x1 = −1 x2 = 1 5 z2 = − → No té solució real. 2
c) 8x +
068
Completa les equacions següents escrivint un nombre al segon membre, de manera que tinguin aquestes solucions: a)
b)
x + 7 − 2 4x + 1 = x=2 1
1
+ x x=4 a) b)
−
1 4x
x + 7 − 2 4x + 1 = −3 1 x
30
=
x+5
+
1 x+5
=
13 − 12
1 4x
SOLUCIONARI
069
3
Resol les equacions i comprova’n les solucions. a) x + 2x + 3 = 6 b) 2 3x + 1 − 2x + 2 = 0 c)
x + 2 − x −6 −2 = 0 a) x + 2x + 3 = 6 → 2x + 3 = x 2 − 12x + 36 → x 2 − 14x + 33 = 0 x=
−(−14) ± (−14)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 33 2⋅1
=
14 ± 8 x = 3 → 1 x 2 = 11 2
x = 3 → 3+ 2 ⋅ 3+3 = 6 x = 11 → 11 + 2 ⋅ 11 + 3 Þ 6 b) 2 3x + 1 − 2x + 2 = 0 → 4x 2 − 20x = 0 x = 5 → 2 3 ⋅ 5 + 1 − 2 ⋅ 5 + 2 = 2 ⋅ 4 − 10 + 2 = 0 x = 0 → 2 3 ⋅ 0 + 1 − 2 ⋅ 0 + 2 = 2 ⋅ 1+ 2 Þ 0 c)
x+2 − x =7→
070
7 + 2 − 7 − 6 − 2 = 3 − 1− 2 = 0
Aquestes equacions tenen zero, una o dues solucions. Determina-les. a) 2 x + 1 − 3 4x − 3 − 5 = 0
c)
b)
d)
3 1+
3x − 2 − x − 2 = 2 a) b) c) d)
071
x − 6 − 2 = 0 → x + 2 = x − 6 + 4 x − 6 + 4 → 1= x − 6
= x
5− x 3
2x − 2 − x − 5 + 1 = 0
No té solució. Té dues solucions: x1 = 2 x2 = 6 Té una solució: x = 4 No té solució.
Les equacions tenen tres solucions. Donada una solució, calcula’n les altres dues. a) (x + 3)(x 2 −2x −3) = 0 x = −3
b) (2a −1)(4a2 + 20a + 25) = 0 1 a= 2 a) Resolem l’equació x2 − 2x − 3 = 0: −(−2) ± (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−3)
x = −1 2± 4 → 1 x 2 = 3 2⋅1 2 2 b) Resolem l’equació 4a + 20a + 25 = 0: x=
a=
−20 ± 202 − 4 ⋅ 4 ⋅ 25 2⋅ 4
=
=
20 5 →a= 8 2
31
Equacions, inequacions i sistemes 072
Troba la solució d’aquestes equacions. a) x 3 + 4x 2 + x −6 = 0 b) x 2(x + 6) = 32 c) x 2(x 2 + 1) + 2x 3 + 36 = 12x(x + 1) a)
1 1 1 −2 1 −3 1 x1 = −3
4 1 5 −2 3 −3 0
1 5 6 −6 0
−6 6 0
x2 = −2
x3 = 1
b) x 2(x + 6) = 32 → x 3 + 6x 2 − 32 = 0 1
6 0 −32 2 16 32 0 1 8 16 −4 −4 −16 0 1 4 −4 −4 0 1 2
x1 = −4
x2 = 2
c) x 2(x 2 + 1) + 2x 3 + 36 = 12x (x + 1) → x 4 + 2x 3 − 11x 2 − 12x + 36 = 0 1 2 1 2 1 −3 1 −3 1 x1 = −3 073
2 −11 −12 2 8 −6 4 −3 −18 2 12 18 0 6 9 −3 −9 0 3 −3 0
36 −36 0
x2 = 2
Escriu equacions factoritzades que tinguin les solucions i el grau indicats. a) Grau 3 i solucions 5, −2 i 7.
b) Grau 4 i solucions 1, −3 i −4.
Resposta oberta. a) (x + 2)(x − 5)(x − 7) = 0 074
Troba les solucions d’aquestes equacions. a) 6x 3 −7x 2 −x + 2 = 0 b) x 4 + 3x 3 −11x 2 + 2x = 0
32
b) (x − 1)2(x + 3)(x + 4) = 0
SOLUCIONARI
a) 1
3
6 −7 −1 2 6 −1 −2 0 6 −1 −2
Resolem l’equació 6x2 − x − 2 = 0:
x=
x1 = − 1 1± 7 2 = → 2 12 x 2 = 3
−(−1) ± (−1)2 − 4 ⋅ 6 ⋅ (−2) 2⋅6
x1 = −
1 2
x2 =
2 3
x3 = 1
b) x4 + 3x3 −11x2 + 2x = 0 → x(x3 + 3x2 − 11x + 2) = 0 1
3 −11 2 2 10 −2 0 5 −1
2 1
Resolem l’equació x2 + 5x − 1 = 0: x=
x1 =
075
−5 ± 52 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−1) 2⋅1 −5 − 29 2
x2 =
=
−5 ± 29 2
−5 + 29 2
x3 = 0
x4 = 2
Resol aquestes equacions. a)
x3 + x2 x +1 +x = x +1 3 6
7 6(17x − 4) b) 3x 2 4 + = x x a)
c)
x2 (x + 7) + x + 1 = 0 16
d)
3 2 1 5 + − = x +1 x −1 x 2
x3 + x2 x +1 +x = x + 1 → 2x 3 + 3x 2 − 5x − 6 = 0 3 6 2 −1 2 −2 2
3 −5 −2 −1 1 −6 −4 6 0 −3
−6 6 0
2x − 3 = 0 3 x= 2 x1 = −2
x 2 = −1
x3 =
3 2
33
Equacions, inequacions i sistemes 7 6(17x − 4) → 4x 3 + 7x 2 − 34x + 8 = 0 b) 3x 2 4 + = x x 4
7 −34 8 30 4 15 −4 −4 −16 4 4 −1 0 2
8 −8 0
4x − 1 = 0 1 x= 4 x1 = −4 c)
x2 =
1 4
x3 = 2
x2 (x + 7) + x + 1 = 0 → x 3 + 7x 2 + 16x + 16 = 0 16 1
7 16 16 −4 −12 −16 0 1 3 4
−4
Resolem l’equació x2 + 3x + 4 = 0: −3 ± 32 − 4 ⋅ 1⋅ 4 −3 ± −7 = → No tiene solución real.. 2 ⋅1 2 x = −4 x=
d)
3 2 1 5 + − = → −5x 3 + 8x 2 + 3x + 2 = 0 x +1 x −1 x 2 −5
8 3 −10 −4 −5 −2 −1
2
2 −2 0
Resolem l’equació −5x2 − 2x − 1 = 0: −(−2) ± (−2)2 − 4 ⋅ (−5) ⋅ (−1) 2 ± −16 = → No tiene solución real. 2 ⋅ (−5) −10 x=2 x=
076
Resol les equacions exponencials següents. a) 35x + 8 − 243 = 0 2 b) 2 x −4x + 4 = 0 ,125 c) 4 x −10 ⋅ 2 x + 16 = 0
d) 2 x + 1 + 4 x −1 = 96 e) 3 x + 3 + 3 x + 2 + 3 x + 1 + 3 x =
a) 35x +8 − 243 = 0 → 35x +8 = 243 = 35 → 5 x + 8 = 5 → x =
40 27
−3 5
125 53 = 3 = 2−3 → x 2 − 4x + 4 = −3 1.000 10 2 x − 4 x + 7 = 0, que no té solucions reals; Resolem l’equació de segon grau per tant, l’equació no té solució.
b) 2 x
34
2
− 4x + 4
= 0 ,125 → 2 x
2
− 4x + 4
=
SOLUCIONARI
3
c) 4 x − 10 ⋅ 2 x + 16 = 0 . Anomenem 2x = m i obtenim: m = 2 → 2 x = 21 → x = 1 m2 − 10m + 16 = 0 → m = 8 → 2 x = 23 → x = 3 d) 2 x + 1 + 4 x −1 = 96 Apliquem les propietats de les potències: 2 x ⋅ 2 + (22 ) x −1 = 96 → 2 ⋅ 2 x + 22x − 2 = 96 → 2 ⋅ 2 x +
22x − 96 = 0 22
Anomenem 2x = m i obtenim: m = 16 = 24 → x = 4 m2 + 2 m − 96 = 0 → m2 + 8m − 384 = 0 → m = −24 (no vàlida) 4 e) 3 x + 3 + 3 x + 2 + 3 x + 1 + 3 x =
40 27
Apliquem les propietats de les potències, anomenem 3x = m i obtenim: 33m + 32m + 3m + m =
40 27
Finalment, traiem denominadors: 27 (27 + 9 + 3 + 1) m = 40 → m = 3 x =
077
40 1 = = 3−3 → x = −3 27 ⋅ 40 27
Resol les equacions logarítmiques següents: c) 2 log x − log (x −16 ) = 2
a) 3 = log 1 x 2
10x − 9 = 1 b) log x 2 − log 9
d) ln (x −1) − ln
5 + x = ln
5−x
3
1 1 a) 3 = log 1 x → = x → x = 2 8 2 10x − 9 =1 b) log x 2 − log 9 Apliquem les propietats dels logaritmes: 10x − 9 x2 x2 = log10 → log = 10 → x 2 = 10 9 10x − 9 10x − 9 9 9 Traiem parèntesi i denominador, i obtenim: 9x 2 = 100x − 90 x = 50 − 13 10 9 Resolem l’equació de segon grau: 9x 2 − 100x + 90 = 0 → x = 50 + 13 10 9 I obtenim dues solucions vàlides, ja que les expressions x 2 i dues positives.
10x − 9 són totes 9
35
Equacions, inequacions i sistemes c) 2log x − log(x − 16 ) = 2 Apliquem les propietats dels logaritmes: x 2 x2 = log100 → log x 2 − log(x − 16) = log 102 → log = 100 x − 16 x − 16 x = 20 x 2 = 100(x − 16) → x 2 = 100x − 1.600 → x = 80 d) ln(x − 1) − ln 5 + x = ln 5 − x Apliquem lespropietats dels logaritmes: x −1 ln 5 + x
= ln 5 − x →
x −1
=
5 − x → x − 1 = (55 + x )(5 − x)
5+ x
Elevem al quadrat: ( x − 1)2 = (5 + x ) (5 − x ) → x 2 − 2x + 1 = 25 − x 2 x = 4 I resolem l’equació de segon grau: 2x 2 − 2x − 24 = 0 → x = −3 (no vàlida) 078
Sabem que x = −1 forma part de la solució d’aquest sistema d’equacions. Determina el valor de y. 3(2x + y −1) − 6(4x − y) = 15 −x + y + 3(x − 2y) + 6 = 4 −2x + y = 2 → y=0 2x − 5y = −2
079
Resol els sistemes següents. a)
−2(x + 4) + 3(3 − 2y) −1 = 12 5(x + y) − 4(x + 1) − 2y + 10 = 0
b) 6(x − 2y − 3) − 3(2x + y − 3) + x + 7 = 3(x − 6y) − 2(x − y) + y = c)
d)
0 0
2x + 3 y +1 + = 3 3 5 x −5 2y −1 − = 0 2 3 x+3 y −5 − = 0 9 8 2x − y + 1 x + 2y − 3 − = 0 2 5
e) −(2x + 3y − 2) − 6(x − y + 1) = −15 4(x + 3) −12(x − y + 3) = −32 3y 16 = x −1
f ) 6(x + 2y − 3) − 5(−2x + 3y −1) + 3 = 6
36
SOLUCIONARI
3
−2(x + 4) + 3(3 − 2y) − 1 = 12 −2x − 6y = 12 → → x = −3y − 6 5(x + y) − 4(x + 1) − 2y + 10 = 0 x + 3y + 6 = 0 Sistema compatible indeterminat. x − 15y = 2 b) 6(x − 2y − 3) − 3(2x + y − 3) + x + 7 = 0 → 3(x − 6y) − 2(x − y) + y = 0 x − 15y = 0 Sistema incompatible. 2x + 3 y +1 + = 3 c) ⋅ (−3) −30x − 9y = −81 → 10x + 3y = 27 → 3 5 ⋅ 10 2y − 1 3x − 4y = 13 → 30x − 40y = 130 x −5 − = 0 2 3 → y = −1 → 3x − 4 ⋅ (−1) = 13 → x = 3 x = 3 y = −1 x +3 y −5 − = 0 d) 8x − 9y = −69 9 8 → 8x − 9y = −11 2x − y + 1 x + 2y − 3 − = 0 2 5 Sistema incompatible. a)
e) −(2x + 3y − 2) − 6(x − y + 1) = −15 4(x + 3) − 12(x − y + 3) = −32 3 1 −8x + 3y = −11 → −8x + 3y = −11 → → y = → 8x − 4 = 8 → x = ⋅ (−1) −8x + 12y = −8 → 8x − 12y = 8 2 3 3 1 x= y= 2 3 f ) 6(x + 2y − 3) − 5(−2x + 3y − 1) + 3 = 6 3y → 16x − 3y = 16 16 = x − 1 Sistema compatible indeterminat. 080
Sigui l’equació 2x −5y = 14. Troba una altra equació de manera que juntes formin un sistema de dues equacions que: a) Tingui una sola solució. b) No tingui solucions. c) Tingui infinites solucions. Resposta oberta. b) 2x − 5y = 0 c) 4x − 10y = 28 a) 3x − 7y = 1
081
Troba, si és possible, un valor de a perquè el sistema: 6x − 4y = 12 −9x + ay = −18 a) Sigui incompatible. b) Sigui compatible indeterminat. c) Sigui compatible determinat. 6 −4 = −9 a 6a = 36 → a = 6 a) No és possible.
b) a = 6
c) a Þ 6
37
Equacions, inequacions i sistemes 082
Troba, si és possible, un valor de b per què el sistema: 8x −12y = 20 4x + 9y = b a) Sigui incompatible. b) Sigui compatible indeterminat. c) Sigui compatible determinat. −12 8 Þ → El sistema sempre és compatible determinat. 4 9
083
Resol aquests sistemes amb tres equacions i dues incògnites, i representa les solucions. 2x + y = −1 −x + y = −4 −4x − y = −1 b) x + y = 7 2x − y = 2 3x − 2y = 0 a)
a)
2x + y = 0 −3x − 2y = 1 x − 3y = 7 d) −4x + 2y = 0 6x − 3y = 2 3x − 2y = −2 c)
2x + y = −1 −x + y = −4 −x + y = −4 → → x = 1 → −1 + y = −4 → y = −3 −4x − y = −1 −4x − y = −1 x = 1 y = −3
b) x + y = 7 2x − y = 2 3x − 2y = 0 Les solucions de les dues primeres equacions són x = 3 i y = 4, que no verifiquen la tercera equació. Per tant, el sistema és incompatible. c) 2x + y = 0 ⋅2 4x + 2y = 0 −3x − 2y = 1 → → x = 1 → 4 ⋅ 1 + 2y = 0 → y = −2 −3x − 2y = 1 x − 3y = 7 x = 1 y = −2 d) −4x + 2y = 0 6x − 3y = 2 3x − 2y = −2 10 Les solucions de la segona i la tercera equacions són x = i y = 6, 3 que no verifiquen la primera equació. Per tant, el sistema és incompatible. 084
Determina les solucions d’aquests sistemes de tres equacions amb tres incògnites. a) 2x + 3y + z = 11 x − 2y + 3z = 6 −x + y − z = −2 b) 2x − y + z = 4 −x + 3y − 2z = 1 x + 2y + z = 1
38
SOLUCIONARI
3
a) 2x + 3y + z = 11 ⋅2 x = 2y − 3z + 6 7y − 5z = −1 → 144y − 10z = −2 x − 2y + 3z = 6 → ⋅5 −y + 2z = 4 → −5y + 10z = 20 −x + y − z = −2 → y = 2 → −2 + 2z = 4 → z = 3 x = 2 ⋅ 2 − 3 ⋅ 3 + 6 =1 x=1 y=2 z=3 b) 2x − y + z = 4 x = −2y − z + 1 −5y − z = 2 −x + 3y − 2z = 1 → → z = −2 → 5y − (−2) = 2 → y = 0 5y − z = 2 x + 2y + z = 1 x = −2 ⋅ 0 −(−2) + 1 = 3 x = 3 y = 0 z = −2 085
Resol les inequacions. a) −x + 15 ≤3 −7x b) x + 11 ≥3 −4x
c) −x −13 ≤3 + 7x d) 2x + 11 ≥6 + 5x
a) −x + 15 ≤ 3 − 7x → 6x ≤ −12 → x ≤ 2 (−`, −2] 8 b) x + 11 ≥ 3 − 4x → 5x ≥ −8 → x ≥ − 5 8 − , + ` 5 c) −x − 13 ≤ 3 + 7x → −16 ≤ 8x → −2 ≤ x [−2, +`) 5 d) 2x + 11 ≥ 6 + 5x → 5 ≥ 3x → ≥ x 3 −`, 5 3 086
Troba la solució de les inequacions següents. a) x −2(x + 2) −3(2 −4x) ≤9 b) 4(10 −2x) −3(2x + 1) ≥−3(x + 1) −(2 −3x) x+2 2x + 4 c) − >1 3 2 a) x − 2(x + 2) − 3(2 − 4x) ≤ 9 → x − 2x − 4 − 6 + 12x ≤ 9 19 → 11x ≤ 19 → x ≤ 11 −`, 19 11 b) 4(10 − 2x) − 3(2x + 1) ≥ −3(x + 1) − (2 − 3x) → −14x ≥ −42 → x ≤
42 =3 14
(−`, 3] x+2 2x + 4 7 c) − > 1 → 2x + 4 − 6x − 12 > 6 → −4x > 14 → x < − 2 3 2 −`, − 7 2
39
Equacions, inequacions i sistemes 087
Troba la solució de les inequacions. 1 − 5x 4 + 3x 1 −2 ≤ 4 5 2 −2 + 3x 6 − 4x 1 b) + + ≥0 5 3 2 x −1 2x − 5 1− 4x + − <0 c) 1− 6 2 3 a)
a)
b)
1− 5x 4 + 3x 1 −2 ≤ → 5 − 25x − 32 − 24x ≤ 10 4 5 2 37 → −49x ≤ 37 → x ≥ − 49 37 − ,+ 49 ` −2 + 3x 6 − 4x 1 + + ≥ 0 → −12 + 18x + 60 − 40x + 15 ≥ 0 5 3 2 63 → −22x ≥ −63 → x ≤ 22 −`, 63 22 2x − 5 1− 4x x −1 + − < 0 → 6 − 2x + 5 + 3 − 12x − 2x + 2 < 0 6 2 3 → −16x < −16 → x > 1 (1, +`)
c) 1−
088
Resol aquestes inequacions. a) 2(x − 5) − 3(2 − 2x) < 0 −x + 3(2 + x) > 3 b) 4(2x − 5) + 2(8 − 2x) + 7 ≥ 0 3(1− 2x) − 3(2x −1) + 1 ≥ 0 c)
1− x x −2 + < 0 5 3 2 − 3x 3 − 3x − > 0 6 2 2 + 5x > 1 3 1 2x −1 2⋅ + < 0 5 5
d) −3(x + 1) ⋅ 2 −
a) 2(x − 5) − 3(2 − 2x) < 0 8x < 16 → −x + 3(2 + x) > 3 2x > −3 x < 2 3 → 3 → − , x > − 2 2
40
2
SOLUCIONARI
3
4x + 3 > 0 b) 4(2x − 5) + 2(8 − 2x) + 7 ≥ 0 → 3(1− 2x) − 3(2x − 1) + 1 ≥ 0 −12x + 7 ≥ 0 3 x > − 4 → − 3 , 7 → 7 4 12 x≤ 12 x −2 1− x + < 0 −2x − 1 < 0 5 3 → 2 − 3x 3 − 3x 6x − 7 > 0 − > 0 6 2 1 x > 2 → 7 , + ` → 7 6 x > 6 2 + 5x > 1 d) −3(x + 1) ⋅ 2 − → −23x − 20 > 3 3 4x − 2 + 1 < 0 2x − 1 1 2⋅ + < 0 5 5 x < −1 → 1 → ( −`, −1) x < 4 c)
089
Quina és la solució d’aquestes inequacions? a) x 2 −x −6 < 0 b) −x 2 −2x + 8 < 0
c) 2x 2 + 5x + 6 < 0 d) −x 2 + 3x −4 < 0
e) 2x 2 + 5x −3 > 0 f ) 6x 2 + 31x + 18 ≤0
x = −2 a) Resolem l’equació: x 2 − x − 6 = 0 → 1 x 2 = 3 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → (−10)2 +10 − 6 > 0 → (−`, −2) no és solució de la inequació. Si x = 0 → 02 − 0 − 6 < 0 → (−2, 3) és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 − 10 − 6 > 0 → (3, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−2, 3). x = −4 b) Resolem l’equació: −x 2 − 2x + 8 = 0 → 1 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → −(−10)2 − 2 ⋅ (−10) + 8 < 0 → (−`, −4) és solució de la inequació. Si x = 0 → −02 − 2 ⋅ 0 + 8 > 0 → (−4, 2) no és solució de la inequació. Si x = 10 → −102 − 2 ⋅ 10 + 8 < 0 → (2, +`) és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, −4) ∪ (2, +`).
41
Equacions, inequacions i sistemes c) Resolem l’equació: 2x2 +5x + 6 = 0 → No té solució real. El primer membre de l’equació sempre pren valors positius. No té solució. d) Resolem l’equació: −x2 + 3x − 4 = 0 → No té solució real. El primer membre de l’equació sempre pren valors negatius. És una identitat. x1 = −3 e) Resolem l’equació: 2x 2 + 5x − 3 = 0 → 1 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 + 5 ⋅ (−10) − 3 > 0 → (−`, −3) és solució de la inequació. 1 Si x = 0 → 2 ⋅ 02 + 5 ⋅ 0 − 3 < 0 → −3, no és solució de la inequació. 2 1 Si x = 10 → 2 ⋅ 102 + 5 ⋅ 10 − 3 > 0 → , + ` és solució de la inequació. 2 Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. 1 Per tant, la solució és (−`, −3) ∪ , + `. 2 x1 = − 9 2 2 f ) Resolem l’equació: 6x + 31x + 18 = 0 → 2 x 2 = − 3 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x = −1 x=0 9 Si x = −10 → 6(−10)2 + 31 ⋅ (−10) + 18 > 0 → −`, − no és solució 2 de la inequació. 9 2 2 Si x = −1 → 6 ⋅ (−1) + 31 ⋅ (−1) + 18 < 0 → − , − és solució 2 3 de la inequació. 2 2 Si x = 0 → 6 ⋅ 0 + 31 ⋅ 0 + 18 > 0 → − , + ` no és solució 3 de la inequació. Les solucions de l’equació ho són també de la inequació. 9 2 Per tant, la solució és − , − . 2 3 090
Resol aquestes inequacions que contenen fraccions algebraiques. a)
x+3 <0 x −5
c)
−x + 1 >0 2 − 3x
b)
2x − 3 <0 x+3
d)
2−x −1 > 0 2x + 5
a)
42
x+3 x + 3 > 0 x > −3 <0→ → x − 5 < 0 x < 5 x −5 (−3, 5)
SOLUCIONARI
b)
c)
d)
091
3
3 2x − 3 2x − 3 < 0 x < <0→ → 2 x + 3 > 0 x +3 x > −3 −3, 3 2 x > 1 −x + 1 −x + 1 < 0 >0→ 2 → 2 − 3x > 0 x < 2 − 3x 3 2 −`, ∪ (1, + `) 3 x < −1 −3x − 3 2− x − 1> 0 → >0→ 5 x > − 2x + 5 2x + 5 2 5 − , −1 2
Determina les solucions d’aquestes inequacions. x+2 x(x −1) + >0 3 5 3x −1 x − x2 b) − + 1< 0 2 3 2 1− 2x 2x + 1 c) x − − ≥5 3 4 a)
a)
b)
2x − 3 16x + x 2 + ≥0 2 3 x −1 12x − x 2 2x 2 + 1 e) − ≥ −x 4 3 3 d) 3 −
x+2 x(x − 1) + > 0 → 5x + 10 + 3x 2 − 3x > 0 → 3x 2 + 2x + 10 > 0 3 5 El primer membre de la inequació sempre és positiu, i per tant sempre es compleix. És certa per a tots els nombres reals. 3x − 1 x − x 2 − + 1 < 0 → 9x − 3 − 2x + 2x 2 + 6 < 0 → 2x 2 + 7x + 3 < 0 2 3 Resolem l’equació: x1 = −3 2x 2 + 7x + 3 = 0 → 1 x 2 = − 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x = −1 x=0 Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 + 7 ⋅ (−10) + 3 > 0 → (−`, −3) no és solució de la inequació. 1 Si x = −1 → 2 ⋅ (−1)2 + 7 ⋅ (−1) + 3 < 0 → −3, − és solució 2 de la inequació. 1 Si x = 0 → 2 ⋅ 02 + 7 ⋅ 0 + 3 > 0 → − , + ` no és solució de la inequació. 2 Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. 1 Per tant, la solució és −3, − . 2
43
Equacions, inequacions i sistemes 1− 2x 2x 2 + 1 − ≥ 5 → 12x − 4 + 8x − 6x 2 − 3 ≥ 60 → −6x 2 + 20x − 67 ≥ 0 3 4 Resolem l’equació: −6x2 + 20x − 67 = 0
c) x −
No té solució real. Com que el primer membre de l’equació sempre pren valors negatius, la inequació no té solució. 2x − 3 16x + x 2 d) 3 − + ≥ 0 → 18 − 6x + 9 + 32x + 2x 2 ≥ 0 2 3 → 2x 2 + 26x + 27 ≥ 0 Resolem l’equació: x = −13 − 115 1 2 2 2x + 26x + 27 = 0 → −13 + 115 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x = −5 x=0 −13 − 115 Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 + 26 ⋅ (−10) + 27 > 0 → −`, 2 és solució de la inequació. −13 − 115 −13 + 115 , Si x = −5 → ⋅2 ⋅ (−5)2 + 26 ⋅ (−5) + 27 < 0 → 2 2 no és solució de la inequació. −13 + 115 , + ` és solució Si x = 0 → ⋅2 ⋅ 02 + 26 ⋅ 0 + 27 > 0 → 2 de la inequació. Les solucions de l’equació ho són també de la inequació. −13 − 115 −13 + 115 ∪ , + ` . Per tant, la solució és −`, 2 2 e)
x − 1 12x − x 2 2x 2 + 1 − ≥ − x → 4x 2 + 33x + 7 ≥ 0 4 3 3 Resolem l’equació: x = −33 − 977 1 2 8 4x + 33x + 7 = 0 → −33 + 977 x 2 = 8 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x = −5 x=0 −33 − 977 2 Si x = −10 → 4 ⋅ (−10) + 33 ⋅ (−10) + 7 > 0 → −`, 8 és solució de la inequació. −33 − 977 −33 + 977 , Si x = −5 → 4 ⋅ (−5)2 + 33 ⋅ (−5) + 7 < 0 → 8 8 no és solució de la inequació. −33 + 977 , + ` és solució Si x = 0 → 4 ⋅ 02 + 33 ⋅ 0 + 7 > 0 → 8 de la inequació. Les solucions de l’equació ho són també de la inequació. −33 − 977 −33 + 977 ∪ , + ` . Per tant, la solució és −`, 8 8
44
SOLUCIONARI
092
3
Troba les solucions d’aquests sistemes. a) x 2 −3x − 4 > 0 b) x 2 −3x − 4 < 0 c) x 2 −3x − 4 > 0 d) x 2 −3x − 4 < 0 2x −3 < 0 2x −3 < 0 2x −3 > 0 2x −3 > 0 a) x 2 − 3x − 4 > 0 2x − 3 < 0 Resolem cadascuna de les inequacions: x = −1 x 2 − 3x − 4 = 0 → 1 x 2 = 4 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10
x=0
x = 10
Si x = −10 → (−10)2 − 3 ⋅ (−10) − 4 > 0 → (−`, −1) és solució de la inequació. Si x = 0 → 02 − 3 ⋅ 0 − 4 < 0 → (−1, 4) no és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 − 3 ⋅ 10 − 4 > 0 → (4, +`) és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, −1) ∪ (4, +`). 3 2x − 3 < 0 → x < 2 3 Per tant, la solució és −`, . 2 La solució del sistema és la intersecció de les solucions de cadascuna de les inequacions: (−`, −1). 3 b) Repetim el procés de l’apartat anterior; la solució és −1, . 2 c) Repetim el procés de l’apartat anterior; la solució és (4, +`). 3 d) Repetim el procés de l’apartat anterior; la solució és , 2 093
4.
Resol aquests sistemes d’inequacions. a) 10 − 3x − x 2 < 0 3x + 5 >−16
c) x 2 + 4x − 5 > 0 3x − 2 < 10
b) 10 − 3x − x 2 < 0 2x − 3 > 13
d) x 2 + 4x − 5 < 0 3x − 2 > 10
a) Resolem cadascuna de les inequacions: x = −5 −x 2 − 3x + 10 = 0 → 1 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10
x=0
x = 10
Si x = −10 → −(−10)2 − 3 ⋅ (−10) + 10 < 0 → (−`, −5) és solució. Si x = 0 → −02 − 3 ⋅ 0 + 10 > 0 → (−5, 2) no és solució. Si x = 10 → −102 − 3 ⋅ 10 + 10 < 0 → (2, +`) és solució Les solucions de l’equació no ho són de la inequació.
45
Equacions, inequacions i sistemes Per tant, la solució és (−`, −5) ∪ (2, +`). 3x + 5 > −16 → x > −7 Per tant, la solució és (−7, +`). La solució del sistema és la intersecció de les solucions de cadascuna de les inequacions: (−7, −5) ∪ (2, +`). b) La inequació de segon grau és la mateixa que a l’apartat anterior. Per tant, la solució és (−`, −5) ∪ (2, +`): 2x − 3 > 13 → x > 8 Per tant, la solució és (8, +`) La solució del sistema és la intersecció de les solucions de cadascuna de les inequacions: (8, +`). c) Resolem cadascuna de les inequacions: x = −5 x 2 + 4x − 5 = 0 → 1 x 2 = 1 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10
x=0
x = 10
2
Si x = −10 → (−10) + 4 ⋅ (−10) − 5 > 0 → (−`, −5) és solució de la inequació. Si x = 0 → 02 + 4 ⋅ 0 − 5 < 0 → (−5, 1) no és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 + 4 ⋅ 10 − 5 > 0 → (1, +`) és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, −5) ∪ (1, +`). 3x − 2 < 10 → x < 4 Per tant, la solució és (−`, 4). La solució del sistema és la intersecció de les solucions de cadascuna de les inequacions: (−`, −5) ∪ (1, 4). d) Si repetim el procés de l’apartat anterior, veiem que el sistema no té solució. 094
Troba gràficament les solucions dels sistemes d’inequacions següents. a) 2x − 3y + 6 < 0 x + 2y > 11
b) 2x − 3y + 6 > 0 x + 2y > 11
a) La solució és la regió més fosca. Y
Y
2
2 2
46
b) La solució és la regió més fosca.
X
2
X
SOLUCIONARI
095
Calcula les solucions d’aquests sistemes. a) 2x − y + 6 < 0 b) 2x − y + 6 < 0 c) 2x − y + 6 > 0 d) 2x − y + 6 > 0 −4x + 2y < 2 −4x + 2y > 2 −4x + 2y < 2 −4x + 2y > 2 a) No té solució.
c) La solució és la regió més fosca. Y
Y
1
1 1
1
X
X
b) La solució és la regió més fosca.
d) La solució és la regió més fosca.
Y
Y
1
1 1
X
1
096
3
X
Resol els sistemes. a)
b)
2x + y y + 6 < 3 5 4 −x 2−y + < 2 3 5
c)
x +1 6x + y 3 − y + < 2 25 5 −x + 1 2x + y − 3 3x + 1 −2 ⋅ < 2 4 3
x − 2y + 3 x − y + 1 1 − ≥ 2 3 2 2x − 4 − y 2x + 3y + ≥ 0 1− 3 2 a) La solució és la regió més fosca.
c) La solució és la regió més fosca.
Y
Y
2 2
X
2 2
X
b) La solució és la regió més fosca. Y
1 1
X
47
Equacions, inequacions i sistemes 097
Determina la suma i el producte de les solucions de l’equació: x 2 −9x + 14 = 0 Troba’n les solucions. Pots explicar què passa? El producte de les arrels és 14 i la suma és 9. Les arrels són x1 = 2 i x2 = 7. Si el coeficient del terme de segon grau és 1, el producte de les arrels és el terme independent, i la suma de les arrels és l’oposat del coeficient del terme de primer grau.
098
Estudia el valor dels coeficients de l’equació biquadrada ax 4 + bx 2 + c = 0, perquè tingui quatre, tres, dues, una o cap solucions. Analitzem el nombre d’arrels de l’equació biquadrada ax4 + bx2 + c = 0 a partir de les arrels obtingudes en l’equació de segon grau associada, az2 + bz + c = 0. Si ∆ =
b 2 − 4ac < 0 → No té solució.
Si ∆ =
b 2 − 4ac = 0 → z =
Si ∆ =
b 2 − 4ac > 0 → L’equació de segon grau té dues solucions.
−b −b → Si < 0 → No té solució. 2a 2a −b → Si = 0 (b = 0, c = 0) → Té una solució: x = 0. 2a −b → Si > 0 → Té dues solucions oposades. 2a
Si totes dues solucions són negatives, l’equació biquadrada no té solució. −b − b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac <0 y < 0 → No té solució. 2a 2a Si una solució és negativa i l’altra és zero: c=0 y
−b < 0 → Té una solució: x = 0. a
Si una solució és negativa i l’altra és zero: c=0 i
−b −b > 0 → Té tres solucions: x = 0, x = ± . a a
Si totes dues solucions són positives, l’equació biquadrada té quatre solucions. −b − b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac >0 y > 0 → Tiene cuatro soluciones. 2a 2a −b + b 2 − 4ac ± 2a x = 2 ± −b − b − 4ac 2a
48
SOLUCIONARI
099
3
Fes servir el mètode de substitució per resoldre aquests sistemes d’equacions no lineals que tenen dues solucions, excepte l’últim, que no té solució. a) y = x 2 c) 10 = xy x + y − 2 = 0 x + 2 = y + 5 b) y − x 2 − 5x + 3 = 0 y = 6x −1
d) y + x 2 − 5x + 6 = x −y + 9 =
0 0
a) Resolem el sistema per substitució: y = x 2 x + y − 2 = 0 x2 + x − 2 = 0 x = −2 −1 ± 12 − 4 ⋅ 1⋅ (−2) −1 ± 3 = → 1 x 2 = 1 2 ⋅1 2 Les solucions són:: x1 = − 2 x2 = 1 Si x1 = −2 → y1 = 4 Si x2 = 1 → y2 = 1 x=
b) Resolem el sistema per substitució: y − x 2 − 5x + 3 = 0 y = 6x − 1 −x2 + x + 2 = 0 x = 2 −1 ± 12 − 4 ⋅ (−1) ⋅ 2 −1 ± 3 → 1 = −2 2 ⋅ (−1) x 2 = −1 Les solucions són:: x1 = 2 x2 = −1 Si x1 = 2 → y1 = 6 ⋅ 2 −1 = 11 Si x2 = −1 → y2 = 6 ⋅ (−1) − 1 = −7 x=
c) Resolem el sistema per substitució: 10 = xy x + 2 = y + 5 x2 − 3x − 10 =0 x = −2 3±7 −(−3) ± (−3)2 − 4 ⋅ 1⋅ (−10) = → 1 x 2 = 5 2 ⋅1 2 Les solucions són:: x1 = −2 x2 = 5 x=
10 = −5 −2 10 Si x2 = 5 → y2 = =2 5 Si x1 = −2 → y1 =
d) Resolem el sistema per substitució: y + x 2 − 5x + 6 = 0 x − y + 9 = 0 x2 − 4x + 15 = 0 Aquesta equació no té solució real; per tant, el sistema no té solució.
49
Equacions, inequacions i sistemes 100
Resol l’equació. 2
1 1 2 x − − 3 x − = 0 x x 1 Tracta de fer-ho substituint a l’expressió x − = t i obtindràs una equació x de segon grau. Calcula les solucions per a la incògnita t i després substitueix per trobar el valor de x. 2
1 1 2 x − − 3 x − = 0 x x 1 =t x Resolem l’equació: 2t2 − 3t = 0 Substituïm: x −
3 t2 = 0 2 Substituïm per calcular x:
t1 =
x−
1 3 = x 2
x1 = −
1 2
x2 = 2 x4 = 1
x3 = −1 101
Determina la solució d’aquestes equacions fent les substitucions de variable necessàries. 2
1 1 a) 2 x + − 9 x + + 10 = 0 x x b)
x2 6x − +8=0 2 x − 6x + 9 x −3 1 =0 x Resolem l’equació: 2t2 − 9t + 10 = 0
a) Substituïm: t = x −
5 t2 = 2 2 Substituïm per calcular x:
t1 =
x+
1 5 = x 2
x1 =
1 2
1 =2 x x3 = 1 x+
50
x2 = 2
SOLUCIONARI
3
b) Factoritzem el denominador de segon grau: x2 6x − +8=0 x −3 (x − 3)2 L’expressem com una identitat notable: 2 x − 3 − 1 = 0 x − 3 x −3 x −3 Resolem l’equació: t2 − 1 = 0 t1 = −1 t2 = 1 Substituïm per calcular x: x 1= − 3 → x1 = 4 x −3 x −1 = − 3 → x2 = 6 x −3 Substituïm: t =
102
Si en Max puja de tres en tres els graons d’una torre, ha de fer 30 passes menys que si els puja de dos en dos. Quants graons té la torre? Anomenem x el nombre de graons: x x + 30 = → 2x + 180 = 3x → x = 180 3 2 La torre té 180 graons.
103
El xeic Omar ha disposat al testament que la tercera part dels seus camells s’entregui al seu primogènit, Alí; la tercera part del ramat sigui per al seu segon fill, Cassim, i la resta vagi a parar a la seva esposa Fàtima. Quan mor Omar, un cop fet el repartiment, a Fàtima li corresponen 140 camells. Quants camells tenia el ramat del xeic? Anomenem x el nombre de camells del xeic: x x x − − = 140 → 3x − 2x = 420 → x = 420 3 3 El ramat del xeic tenia 420 camells.
104
En una bodega venen dos tipus de vi: envelliment i reserva. Esbrina’n el preu si saps que en Joan va comprar 3 ampolles de reserva i 12 ampolles d’envelliment i va pagar 69 €, mentre que la Rosa va comprar 6 ampolles d’envelliment i 8 ampolles de reserva i va pagar 80 €. Anomenem x el preu de l’ampolla d’envelliment i y el preu de l’ampolla de reserva: 12x + 3y = 69 → 12x + 3y = 69 ·(−2) → −13y = −91 → y = 7 6x + 8y = 80 → −12x − 16y = −160 6x + 8 ⋅ 7 = 80 → x = 4 El preu de l’ampolla d’envelliment és de 4 € i el preu de l’ampolla de reserva és de 7 €.
51
Equacions, inequacions i sistemes 105
Un comerciant compra melons a 40 cèntims/kg i els ven a 60 cèntims. Troba quants kilograms de melons va comprar si se li van fer malbé 10 kg i va guanyar 42 €. Anomenem x el nombre de quilograms de melons que vacomprar: 0,20(x − 10) = 42 x = 220 El comerciant va comprar 220 kg de melons.
106
La Carme vol invertir 100.000 €. Al banc li ofereixen dos productes: Fons Tipus A, al 4 % d’interès anual, i Fons Risc B, al 6 % d’interès anual. N’inverteix una part en cada tipus de fons i al final de l’any obté 4.500 € d’interessos. Quant va invertir en cada producte? Anomenem x els diners invertits en el Fons Tipus A i y els diners invertits en el Fons Risc B: x + y = 100.000 0,04x + 0,06y = 4.500 → 4.000 − 0,04y + 0,06y = 4.500 → 0,02y = 500 → y = 25.000 x = 100.000 − 25.000 = 75.000 Va invertir 75.000 € al Fons Tipus A i 25.000 € al Fons Risc B.
107
Un ciclista i un cotxe surten per trobar-se des de dos ciutats separades 180 km. Si saps que el ciclista avança quatre vegades més a poc a poc que el cotxe i que triguen 1 h 48 min a trobar-se, quina és la velocitat de cada un? Plantegem un sistema d’equacions, tenint en compte que e = v ⋅ t. Anomenem x la distància que recorre el ciclista i y la velocitat d’aquest: 1 h 48 min = 1,8 h x = 1, 8y → 180 − 1, 8y = 7, 2y → y = 20 180 − x = 7, 2y x = 1,8 ⋅ 20 = 36 La velocitat del ciclista és de 20 km/h, i la velocitat del cotxe és de 80 km/h.
108
Un camió surt d’una ciutat a 80 km/h i dues hores després surt en la mateixa direcció un cotxe a 100 km/h. Quant trigarà a trobar-lo i quina distància ha recorregut fins a aquest moment? Plantegem un sistema d’equacions, tenint en compte que e = v ⋅ t. Anomenem x la distància que recorre el camió i y el temps que triga a trobar-lo: x = 80y → 80y + 160 = 100y → y = 8 x + 160 = 100y x = 80 ⋅ 8 = 640 Trigarà 8 hores a trobar-lo i haurà recorregut 800 quilòmetres.
52
SOLUCIONARI
109
3
Els costats d’un rectangle es diferencien en 2 m. Si augmentéssim 2 m cada costat, l’àrea s’incrementaria en 40 m2. Troba les dimensions del polígon. Anomenem x el costat menor del polígon i y la seva àrea: x(x + 2) = y 2 2 → x + 6x + 8 = x + 2x + 40 → 4x = 32 → x = 8 (x + 2)(x + 4) = y + 40 y = 8(8 + 2) = 80 Els costats del polígon original fan 8 i 10 m, respectivament.
110
Calcula un nombre si saps que la suma de les seves xifres és 14 i que, si s’inverteix l’ordre de les xifres el nombre disminueix en 18 unitats. Anomenem x la xifra de les desenes i y la de les unitats: x + y = 14 y = 14 − x → 10y + x + 18 = 10x + y 9y − 9x + 18 = 0 → 126 − 9x − 9x + 18 = 0 → 18x = 144 → x = 8 y = 14 − 8 = 6 El nombre és 86.
111
El lloguer d’una tenda de campanya val 80 € al dia. L’Agnès està preparant una excursió amb els amics i fa la reflexió següent: «Si fossim tres amics més, hauríem de pagar 6 € menys cadascú». Quants amics van d’excursió? Anomenem x el nombre d’amics i y els diners que ha de pagar cadascú: 480 xy = 80 80 + 3y − 18 = 80 + 3( y − 6) = 80 → 80 − → (x + 3)( y − 6) = 80 y y → y 2 − 6y − 160 = 0 y = −10 → Sollución no válida 6 ± 26 −(−6) ± (−6)2 − 4 ⋅ 1⋅ (−160) = → 1 y 2 = 16 2 ⋅1 2 80 Si y 2 = 16 → x 2 = =5 16 Van d’excursió 5 amics. y=
112
En Jacint està tancant un terreny de forma rectangular. Quan ha posat filferro en dos costats consecutius del terreny, s’adona que ha gastat 170 m de filferro. Si sap que la diagonal del rectangle fa 130 m, quines són les dimensions i l’àrea del terreny? Anomenem x i y les dimensions del terreny: x + y = 170 2 → y − 170y + 6.000 = 0 2 x + y 2 = 1302 y = 120 170 ± 70 −(−170) ± (−170)2 − 4 ⋅ 1⋅ 6.000 = → 1 2 ⋅1 2 y 2 = 50 Si y1 = 120 → x1 = 170 − 120 = 50 Si y2 = 50 → x2 = 170 − 50 = 120 Les dimensions del terreny són 120 i 50 m, respectivament. L’àrea del terreny és de 6.000 m2. y=
53
Equacions, inequacions i sistemes 113
L’apotema d’un hexàgon regular mesura 8 cm. Determina’n la mida del costat i de l’àrea. Anomenem x el costat de l’hexàgon, i apliquem el teorema de Pitàgores al triangle rectangle que té per catets l’apotema i la meitat del costat, i per hipotenusa, la longitud del costat: 2 x 16 3 16 3 256 → x1 = − x 2 = 82 + → 4x 2 = 256 + x 2 → x = x2 = 2 3 3 3 16 3 cm. 3 P ⋅ ap L’àrea d’un polígon regular és: A = 2 Per tant, l’àrea fa: A = 128 3 cm2 La longitud del costat és
114
Esbrina les dimensions que té un plec rectangular de paper, si saps que si deixem els marges laterals d’1 cm i els verticals de 2,5 cm, l’àrea és de 360 cm2, i que si els marges laterals són de 2 cm i els verticals són d’1,25 cm, l’àrea és la mateixa. Anomenem x i y les dimensions del plec: 350 + 2y x= (x − 2)( y − 5) = 360 y − 5 2 → → 2y − 15y − 875 = 0 350 + 4y (x − 4)( y − 2, 5) = 360 x= y − 2, 5 35 −(−15) ± (−15)2 − 4 ⋅ 2 ⋅ (−875) 15 ± 85 y =− y= = → 1 2 2⋅2 4 y 2 = 25 35 Si y1 = − → x1 = 2
350 + 2
−35 2
−35 −5 2
= −14
Si y 2 = 25 → x 2 =
350 + 2 ⋅ 25 = 20 25 − 5
Les dimensions del plec són 20 i 25 cm, respectivament. 115
Calcula un nombre enter si saps que si al quadrat del nombre següent li restem vuit vegades el seu invers, obtenim 23. Anomenem x el nombre: 8 (x + 1)2 − = 23 → x 3 + 2x2 + x − 8 = 23x → x 3 + 2x2 −22x − 8 = 0 x 1 2 −22 −8 4 4 24 8 0 1 6 2 x 2 + 6x + 2 = 0 → x =
x = −3 − 7 −6 ± 62 − 4 ⋅ 1⋅ 2 −6 ± 2 7 = → 1 x 2 = −3 + 7 2 ⋅1 2
x1 = −3 − 7 x 2 = −3 + 7 El nombre enter és 4.
54
x3 = 4
SOLUCIONARI
116
3
Si augmentéssim 4 cm l’aresta d’un cub, el volum es multiplicaria per 8. Troba la mesura de l’aresta. Anomenem x l’aresta del cub: (x + 4)3 = 8x3 → −7x3 +12x2 + 48x + 64 = 0 −7 4
12 48 64 −28 −64 −64 0 −7 −16 −16
x=4 −7x2 − 16x − 16 = 0 → 7x2 + 16x + 16 = 0 −16 ± 162 − 4 ⋅ 7 ⋅ 16 −16 ± −192 = → No tiene soluciión. 2⋅7 14 La longitud de l’aresta és de 4 cm. x=
117
Dues vaques i tres vedells valen igual que setze ovelles. Una vaca i quatre ovelles valen igual que tres vedells. Tres vedells i vuit ovelles costen el mateix que quatre vaques. Esbrina el preu de cada animal. Anomenem x el preu de les vaques, y el preu dels vedells i z el preu de les ovelles: 2x + 3y = 16z x = 4z x + 4z = 3y → 8 y = z 3y + 8z = 4x 3 Una vaca val el mateix que quatre ovelles, i un vedell val el mateix que vuit terceres parts del preu d’una ovella.
118
Representem de la forma abc un nombre que té tres xifres. Determina’l si saps que, si escrius cab, el nombre disminueix en 459 unitats; si escrius bac, el nombre disminueix en 360 unitats, i que bca és 45 unitats menor que bac. Anomenem a la xifra de les centenes, b la de les desenes, i c la de les unitats: 100a + 10b + c = 100c + 10a + b + 459 90a + 9b − 99c = 459 100a + 10b + c = 100b + 10a + c + 360 → 90a − 90b = 360 100b + 10c + a = 100b + 10a + c − 45 −9a + 9c = −45 10a + b − 11c = 51 a=c+5 b − c = 1 → 10a − 10b = 40 → −10b + 10c = −10 −a + c = −5 a=c+5yb=c+1 Per determinar la solució sabem que els tres nombres són enters i, per tant, c és un nombre del 0 al 9. Com que a = c + 5, c només pot valer 0, 1, 2, 3 i 4, i per a cadascun d’aquests valors de c obtenim a i b. Si c = 0, aleshores: a = 5 y b = 1. El nombre és 510. Si c = 1, aleshores: a = 6 y b = 2. El nombre és 621. Si c = 2, aleshores: a = 7 y b = 3. El nombre és 732. Si c = 3, aleshores: a = 8 y b = 4. El nombre és 843. Si c = 4, aleshores: a = 9 y b = 5. El nombre és 954.
55
Equacions, inequacions i sistemes 119
El triple d’un nombre menys la seva meitat és sempre més gran que 3. Quins nombres verifiquen aquesta propietat? Anomenem x el nombre: 3x −
6 x 6 > 3 → 6x − x > 6 → x > → , + ` 2 5 5
Els nombres que compleixen aquesta propietat són els nombres més grans 6 que . 5 120
D’un nombre sabem que si al seu quadrat li restem la seva meitat, obtenim un nombre més petit que 1. Quin nombre pot ser? Anomenem x el nombre: x2 −
x < 1 → 2x 2 − x − 2 < 0 2
Resolem l’equació: 1− 17 x1 = 2 4 2x − x − 2 = 0 → 1 + 17 x 2 = 4 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 1− 17 Si x = −10 → 2 ⋅ (−10)2 − (−10) − 1 > 0 → −`, 4 de la inequació. 1− 17 1 + 17 , Si x = 0 → 2 ⋅ 02 − 0 − 1 < 0 → 4 4 de la inequació.
no és solució
és solució
1 + 17 Si x = 10 → 2 ⋅ 102 − 10 − 1 > 0 → , + ` no és solució 4 de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és 1− 17 1 + 17 , 4 4
.
Els nombres que es demanen són els nombres més grans que que
56
1+ 17 . 4
1− 17 i més petits 4
SOLUCIONARI
121
3
És cert que la suma d’un nombre i el seu quadrat és sempre positiva? Quins nombres compleixen aquesta condició? Anomenem x el nombre: 2
Veiem que no es verifica que: −
1 1 1 + = − 2 2 4
x + x2 > 0 x = −1 Resolem l’equació: x 2 + x = 0 → 1 x 2 = 0 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x = −0,5 x = 10 Si x = −10 → (−10)2 − 10 > 0 → (−`, 0) és solució de la inequació. Si x = −0,5 → (−0,5)2 − 0,5 < 0 → (−1, 0) no és solució de la inequació. Si x = 10 → 102 + 10 > 0 → (0, +`) és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−`, −1) ∪ (0, +`). 122
Troba tots els nombres enters que multiplicats pel nombre següent donin un resultat més petit que 24. Anomenem x el nombre: x(x + 1) < 24 → x2 + x − 24 < 0 Resolem l’equació: x = −1− 97 1 2 2 x + x − 24 = 0 → −1 + 97 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 −1− 97 Si x = −10 → (−10)2 − 10 − 24 > 0 → −`, no és solució 2 de la inequació. −1− 97 −1 + 97 és solució , Si x = 0 → 02 + 0 − 24 < 0 → 2 2 de la inequació. −1− 97 , + ` no és solució Si x = 10 → 102 + 10 − 24 > 0 → 2 de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. −1− 97 −1 + 97 . , Per tant, la solució és 2 2 Els nombres que es demanen són els nombres més grans que i més petits que
−1 + 97 . 2
−1− 97 2
57
Equacions, inequacions i sistemes 123
Determina per a quins valors de x és possible efectuar les operacions indicades. a)
5 −3x
b)
x −3
c) 4 − 3x − x 2 d) log (2 −5x) e) log (6 −x −x 2) f ) log (x2 −2x + 1) 5 a) 5 − 3x ≥ 0 → x ≤ 3 −`, 5 3 b) x − 3 ≥ 0 → x ≥ 3 [3, +`) c) 4 − 3x − x2 ≥ 0 x = −4 Resolem l’equació: −x 2 − 3x + 4 = 0 → 1 x 2 = 1 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → −(−10)2 − 3 ⋅ (−10) + 4 < 0 → (−`,−4) no és solució de la inequació. Si x = 0 → −02 − 3 ⋅ 0 + 4 > 0 → (−4, 1) és solució de la inequació. Si x = 10 → −102 − 3 ⋅ 10 + 4 < 0 → (1, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació ho són també de la inequació. Per tant, la solució és [−4, 1]. d) 2 − 5x > 0 → x <
2 5
−`, 2 5 e) 6 − x − x2 > 0 x = −3 Resolem l’equació: −x 2 − x + 6 = 0 → 1 x 2 = 2 Agafem un punt de cada interval en què queda dividida la recta: x = −10 x=0 x = 10 Si x = −10 → −(−10)2 − (−10) + 6 < 0 → (−`,−3) no és solució de la inequació. Si x = 0 → −02 −0 + 6 > 0 → (−3, 2) és solució de la inequació. Si x = 10 → −102 − 10 + 6 < 0 → (2, +`) no és solució de la inequació. Les solucions de l’equació no ho són de la inequació. Per tant, la solució és (−3, 2).
58
SOLUCIONARI
3
f ) x2 − 2x + 1 > 0 L’equació només s’anul·la per a x = 1, i a la resta dels valors el primer membre de la inequació sempre és positiu. x Þ1 124
En Jaume i la Clara volen saber quant val una llauna de refresc, però no recorden exactament què van pagar. En Jaume va comprar-ne 8 llaunes i sap que va pagar amb un bitllet de 5 € i que li van tornar una moneda de 2 € i una mica més. La Clara va comprar-ne 18 llaunes i recorda que va pagar la quantitat exacta amb un bitllet de 5 €, una moneda de 2 € i alguna moneda més. Amb aquestes dades, què pots dir sobre el preu de la llauna de refresc? Anomenem x el preu de la llauna de refresc: 3 x< 5 − 8x > 2 8 → 18x < 7 7 x< 18 El preu de la llauna de refresc és més baix que 0,375 €.
PER ACABAR... 125
Demostra aquesta propietat que verifiquen els nombres combinatoris. n n n + + + … + n = 2 n 0 1 2 n n n n n n n 2n = (1 + 1)n = 1n + 1n−1 ⋅ 1 + … + 1n = + + … + 1 0 1 0 n n
126
Demostra, mitjançant el mètode d’inducció, les igualtats següents. n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 2 2 2 2 b) 1 + 2 + 3 + … + n = 6 2 n ( n + 1 ) c) 13 + 23 + 33 + … + n3 = 2 a) 1 + 2 + 3 + … + n =
1(1 + 1) =1 2 Suposem que la igualtat és certa per a n = k i la demostrem per a n = k + 1: k(k + 1) k 2 + k + 2k + 2 (k + 1)(k + 2) + k + 1= = 2 2 2 La igualtat és certa.
a) Comprovem que les igualtats es verifiquen per a n = 1:
59
Equacions, inequacions i sistemes 1(1 + 1)(2 ⋅ 1 + 1) =1 6 Suposem que la igualtat és certa per a n = k i la demostrem per a n = k + 1:
b) Comprovem que les igualtats es verifiquen per a n = 1:
k(k + 1)(2k + 1) k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)2 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) + (k + 1)2 = = 6 6 6 La igualtat és certa. 2 1(1 + 1) =1 c) Comprovem que les igualtats es verifiquen per a n = 1: 2 Suposem que la igualtat és certa per a n = k i la demostrem per a n = k + 1: 2
k(k + 1) (k + 1)(k + 2) k 4 + 6k 3 + 13k 2 + 12k + 4 + (k + 1)3 = = 2 4 2
2
La igualtat és certa.
127
Discuteix les solucions de l’equació següent segons els valors de m. x2 −2x + log m = 0 Per la definició de logaritme, m > 0: ∆ = b2 − 4ac = (−2)2 − 4 ⋅ 1 ⋅ log m Perquè l’equació no tingui solució: 4 − 4 log m < 0 → (10, +`) Perquè l’equació tingui una solució: 4 − 4 log m = 0 → m = 10 Perquè l’equació tingui dues solucions: 4 − 4 log m > 0 → (−`, 10)
128
Si les solucions de l’equació ax2 + bx + c = 0 són x1 i x2, escriu equacions de segon grau les solucions de les quals siguin: a) Els quadrats de x1 i x2. b) Els inversos de x1 i x2. c) Els oposats de x1 i x2. a) (x − x12)(x − x22) = 0 → x2 − (x12 + x22)x+ x12 ⋅ x22 1 1 1 1 1 1 ⋅ =0 b) x − x − = 0 → x 2 − + x + x1 x1 x2 x 2 x1 x 2 c) (x + x1)(x + x2) = 0 → x2 +(x1+ x2) + x1 ⋅ x2 = 0
129
Troba la relació entre els coeficients de l’equació ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 i la suma, el producte i la suma dels dobles productes de les seves tres arrels. (x − α)(x − β)(x − γ) = 0 → x3 − (α + β + γ )x2 + (αβ + αγ + βγ)x − α βγ = 0 Si dividim l’equació de tercer grau entre el coeficient del monomi de grau més alt i comparem els coeficients, obtenim que: El coeficient de segon grau és l’oposat de la suma de les tres arrels. El coeficient de primer grau és la suma del resultat de multiplicar les arrels dues a dues. El terme independent és l’oposat del producte de les tres arrels.
60
SOLUCIONARI
130
3
En Joan i en Lluís pugen una escala mecànica. En Joan puja tres vegades més de pressa que el seu amic, i tots dos pugen de graó en graó. Quan han acabat de pujar, en Joan ha comptat 75 graons i en Lluís n’ha comptat 50. Amb aquestes dades, calcula els graons «visibles» de l’escala. Mentre en Joan puja un graó, l’escala mecànica n’ha pujat x, i el nombre de graons visibles és 75 + 75x. En Lluís puja 50 graons. Com que ho fa tres vegades més a poc a poc que en Joan, mentre en Lluís puja un graó, l’escala mecànica en puja 3x, i el nombre de graons visibles és 50 + 150x. 1 Per tant, tenim que: 75 + 75x = 50 + 150x → x = 3 El nombre de graons «visibles» és 100.
131
Tenim un terra rectangular, format per rajoles senceres quadrades de color clar, que està envoltat de rajoles fosques, també quadrades. Quines dimensions ha de tenir el rectangle clar per què el nombre de rajoles de la zona clara sigui igual al de la franja fosca que l’envolta? Anomenem x i y el nombre de rajoles clares que hi ha de llargada i d’amplada. (x + 2)(y + 2) = 2xy → Aquesta equació té infinites solucions. Una solució d’aquesta equació és: x = 10 e y = 3 És a dir, el rectangle clar tindria 10 rajoles de llargada i 3 rajoles d’amplada.
61