917221Unidad05.qxd
5
19/1/09
10:54
Página 190
Nombres complexos LITERATURA I MATEMÀTIQUES
Les tribulacions de l’estudiant Törless –Digues-me, vas entendre-ho tot bé? –Què? –Aquest assumpte dels nombres imaginaris. –Sí, no és tan difícil. Només cal tenir present que l’arrel quadrada de menys u és la unitat de càlcul. –D’això es tracta precisament. Una cosa així no existeix. Tot nombre, sigui positiu o negatiu, dóna com a resultat, quan se l’eleva al quadrat, alguna cosa positiva. Per això no hi pot haver cap nombre real que sigui l’arrel quadrada d’alguna cosa negativa. –Completament cert. Però, per què, de totes maneres, no s’hauria d’intentar aplicar també a un nombre negatiu l’operació de l’arrel quadrada? Evidentment el resultat no pot tenir cap valor real; per això el resultat s’anomena imaginari. És com quan diem: aquí, abans, sempre s’hi asseia algú; aleshores, posem-li avui també una cadira. I encara que la persona sigui morta, actuem com si encara pogués acudir a nosaltres. –Però, com pot fer-se una cosa semblant, quan sabem, amb tota la precisió matemàtica, que és impossible? –Malgrat això, es fa precisament com si fos possible. Potser pugui obtenir-se’n algun resultat. I què passa, si no, amb els nombres irracionals? Una divisió que mai no acaba, una fracció el valor de la qual mai no pots determinar, encara que passis la vida fent l’operació. I, què penses de les paral·leles, que es tallen a l’infinit? Crec que no hi hauria matemàtiques si pretenguéssim saber-ho tot a consciència i exactament. –En això tens raó. Quan considerem així les coses, tot sembla força correcte; però el que és curiós és que precisament es puguin fer càlculs reals i es pugui arribar finalment a un resultat comprensible amb aquests valors imaginaris, que d’alguna manera són impossibles. […] –Considero molt possible que aquí els inventors de les matemàtiques hagin ensopegat. Perquè, en efecte, per què allò que està més enllà del nostre enteniment no podria permetre’s gastar-li precisament una broma així a l’enteniment? Però la qüestió no em preocupa massa, ja que sé que totes aquestes coses no porten enlloc. ROBERT MUSIL
Törless és un idealista i el seu amic és un pragmàtic. És veritat que −1 no és un nombre real? Explica la referència que fa l’amic als nombres irracionals quan els compara amb −1 . És correcte el que diu? −1 no és un nombre real, perquè cap nombre real elevat al quadrat dóna com a resultat un nombre negatiu. La referència del text és: «I què passa, si no, amb els nombres irracionals? Una divisió que mai no acaba, una fracció el valor de la qual mai no pots determinar, encara que passis la vida fent l’operació». El que l’amic diu dels nombres irracionals no és cert, en realitat està parlant de nombres periòdics, perquè es refereix a fraccions en què l’expressió decimal no és un nombre exacte.
190
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 191
5
SOLUCIONARI
ABANS DE COMENÇAR... RECORDA 001
Posa tres exemples de nombres reals que no siguin racionals, i uns altres tres exemples de nombres reals que no siguin irracionals. Resposta oberta. Tres nombres reals que no siguin racionals: 2 , π i 3 Tres nombres reals que no siguin irracionals: 1, 2 i 3
002
Calcula les arrels dels radicals següents: a)
b)
16
−16
c)
b)
4
c)
3
−1 = −1
d)
5
32 = 2
e)
32 e)
5
5
0
0 =0
2 +2 2 −3 2 + 4 2 = 4 2
Expressa en radians aquests angles. b) 60°
c) 120°
π rad 4 π b) 60° = rad 3
d) 240°
2π rad 3 4π d) 240° = rad 3
a) 45° =
c) 120° =
e) 300° =
e) 300° 5π rad 3
Expressa en graus aquests angles. a)
π rad 3
b)
π rad 2
π rad = 60° 3 π b) rad = 90° 2 a)
006
5
d)
2 + 8 − 18 + 32
Resol:
a) 45°
005
−1
−16 → No té arrels reals.
2 + 8 − 18 + 32 = 004
3
16 = ± 4
a)
003
4
c) π rad
d)
c) π rad = 180° d)
5π rad 4 e)
e)
3π rad 5
3π rad = 108° 5
5π rad = 225° 4
⎛ cos 180° − tg 30° ⎞⎟ Calcula: ⎜⎜⎜sin 45° − ⎟⎟ (cos 30° − sin 90°) ⎜⎝ ⎟⎠ sin 60° ⎛ 3 ⎞⎟⎟ ⎜⎜ −1 − ⎟⎛ ⎞ ⎜ ⎛ ⎞ 3 ⎟⎟⎟⎜⎜ 3 − 1⎟⎟ = ⎜⎜sin 45° − cos 180° − tg 30° ⎟⎟(cos 30° − sin 90°) = ⎜⎜ 2 − ⎟⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎟⎠ sin 60° ⎟⎟⎜⎝ 2 ⎝ ⎠ 3 ⎜⎜ 2 ⎟ ⎜⎝ ⎟ ⎠ 2 ⎛ 2 6 3 2 1 −6 − 2 3 ⎞⎟⎟⎛⎜ 3 − 2 ⎞⎟⎟ − − + = ⎜⎜⎜ − ⎟⎟ = ⎟⎟⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜⎝ 2 4 3 2 3 ⎠⎝ 2 ⎠ 3 3
191
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 192
Nombres complexos 007
Determina el signe del sinus, el cosinus i la tangent d’aquests angles. a) 150°
3π 2
b)
d) −60°
c) 240°
e)
Angle
Sinus
Cosinus
Tangent
150°
+
−
−
3π 2
−
0
No existeix
240°
−
−
+
−60°
−
+
−
2π 3
+
−
−
2π 3
ACTIVITATS 001
Escriu aquests nombres com a nombres complexos. a)
−3
b) −3 =
a) b)
002
4
4
−16
3 · −1 =
−16 =
c) 3
d) −3 c) 3 = 3 + 0i
3i
⎛ 2 2 4 i = 2 i = 2⎜⎜⎜ + ⎝ 2 2
⎞⎟ i ⎟⎟⎟ = ⎠
2 + 2i
d) −3 = −3 + 0i
Resol les equacions següents i expressa’n les solucions com a nombres complexos. a) 3x 2 −3x + 2 = 0
b) x2 −x + 1 = 0
a) 3x 2 − 3x + 2 = 0
⎧ ⎪⎪⎪ x = 1 + 1 ⎪ 3 ± 9 − 4 ·3·2 3 ± −15 2 → ⎪⎨ x= = ⎪⎪ 6 6 1 ⎪⎪ x 2 = − 2 ⎪⎩
15 i 6 15 i 6
b) x 2 − x + 1 = 0
⎧⎪ ⎪⎪ x = 1 + 3 i ⎪ 1 1 ± 1− 4 · 1· 1 1 ± −3 2 → ⎪⎨ x= = ⎪⎪ 2 2 1− 3 i ⎪⎪ x 2 = 2 ⎩⎪
003
Escriu dos nombres complexos la part real dels quals sigui −1, i uns altres dos la part imaginària dels quals sigui −1. Dos nombres complexos la part real dels quals sigui −1: −1 + i i −1 + 2i. Dos nombres complexos la part imaginària dels quals sigui −1: 1 − i i 2 − i.
192
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 193
SOLUCIONARI
004
5
Determina x i y perquè aquests nombres complexos siguin iguals. a) −2x + 3i i
3 − 2 yi 2
b) −x + yi i 7 −6i
3 3 ⎪⎧⎪ ⎪⎪−2 x = → x = − 3 2 4 a) −2x + 3i = − 2 yi → ⎪⎨ ⎪⎪ 3 2 ⎪⎪3 = −2y → y = − 2 ⎪⎩ ⎧⎪− x = 7 → x = −7 b) −x + yi = 7 − 6i → ⎨ ⎩⎪⎪ y = −6 005
y
Donat el nombre complex z = −2 x +
2
i , determina el valor de x i y perquè sigui:
a) Un nombre real. b) Un nombre imaginari pur. c) Un nombre complex que no sigui real ni imaginari pur. a) y = 0 006
b) x = 0
Troba l’oposat i el conjugat dels nombres complexos següents. 1 1 5 +i −i a) c) e) i g) 2 2 2 1 1 b) − + i d) − − i f ) −5 h) 0 2 2 1 +i 2 Oposat
Conjugat
007
c) x ⫽ 0, y ⫽ 0
−
−
1 −i 2
1 −i 2
1 +i 2
1 −i 2 −
1 −i 2 −
1 −i 2
1 +i 2
1 +i 2
−
1 −i 2
1 +i 2 −
1 +i 2
i
−5
−i
5
−i
−5
5 2 −
5 2
5 2
0 0
0
Representa gràficament els nombres complexos següents: 1 5 1 −i +i a) c) e) i g) 2 2 2 1 1 b) − + i d) − − i f ) −5 h) 0 2 2 Ara respon, on estarà situat un nombre real? I si el nombre és imaginari pur? Un nombre real estarà situat a l’eix d’abscisses. Un nombre imaginari pur se situarà a l’eix d’ordenades.
2 b)
e) a) h)
f)
1 d)
g)
c)
193
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 194
Nombres complexos 008
Escriu en forma binòmica els nombres complexos corresponents als afixos representats.
z1
z2 z3 1
z1 = (1, 3), z2 = (0, 3), z3 = (−3, 2), z4 = (−3, 0), z5 = (−2, −4), z6 = (1, −4)
z4
1
z5
009
z6
Resol les operacions següents. a) (−1 −i) + (−4 + 5i)
c) (−1 −i)(−4 + 5i)
−1− i b) −4 + 5 i
d)
( −2 + i ) ( 1 + 3 i ) −1 + 2 i
− 2i
a) (−1 − i ) + (−4 + 5i ) = −5 + 4i b)
−1− i ( −1− i )( −4 − 5 i ) −1 + 9 i = = −4 + 5 i ( −4 + 5 i )( −4 − 5 i ) 41
c) (−1 − i)(−4 + 5i) = 4 − 5i + 4i + 5 = 9 − i d)
010
( −2 + i )( 1 + 3 i ) ( −5 − 5 i )( −1− 2 i ) − 2i = − 2 i = 3 − i − 2 i = 3 − 3i −1 + 2 i ( −1 + 2 i )( −1− 2 i )
Calcula x perquè el resultat sigui un nombre real. a) (2x −i)(−2 + 7xi)
b)
2x −i −2 + 7 i
a) (2x − i )(−2 + 7xi) = −4x + 14x 2i + 2i + 7x = 3x + (14x2 + 2)i
b)
2x − i −2 + 7 i
=
( 2x − i )( −2 − 7 i ) ( −2 + 7 i )( −2 − 7 i )
Igualem a zero la part imaginària:
=
−4 x − 7
+
53
−14 x + 2 53
011
−1 7 = i 7 7
14x 2 + 2 = 0 → x =
Igualem a zero la part imaginària:
−14 x + 2 53
=0→ x=
i
1 7
Determina l’expressió polar dels nombres complexos representats. z1
z1 → r =
z2
2 + 3 = 13
tg α =
2
2
3 → = 56° 18 ' 35, 8 '' z1 = ( 2 , 3 ) = 13 56° 18' 35,8'' 2
z2 → r = ( −1)2 + 22 =
1
5
2 α ∈ (90°, 180°) tgα = → ⎯⎯⎯⎯→ α = 116° 33' 54 '' −1
194
1
z2 = ( −1, 2 ) =
5 116° 33' 54 ''
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 195
SOLUCIONARI
012
Expressa en forma polar. 1 1 + i 2 2
a) 2 + i
c) −
b) −2 −i
d) 2 − 3 i
a) 2 + i = b) −2 − i = c) −
013
5
f ) 12 d) 2 − 3 i = 7 310° 53' 36 ,2''
5 26° 33' 54 ,2 ''
e) −4i = 4270°
5 206° 33' 54''
1 1 2 + i= 2 2 2
e) −4i
f) 12 = 120° 135°
Expressa aquests nombres en forma binòmica i trigonomètrica. a) 1120°
c) 2 π
b) 3240°
d) 3 3 π
3
2
⎛ 1 3 ⎜ a) 1120° = ⎜⎜− , ⎜⎝ 2 2
⎞⎟ ⎟⎟ = (cos 120° + i sin 120°) ⎟⎟⎠
⎛ 3 3 3 ⎜ b) 3240° = = ⎜⎜− , − ⎜⎝ 2 2 ⎛ c) 2 π = ⎜⎜⎜1, ⎝ 3
⎞⎟ ⎟⎟ = 3 (cos 240° + i sin 240°) ⎟⎟⎠
⎞⎟ ⎞ ⎛ ⎟⎟ = 2 ⎜⎜cos π + i sin π ⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎜⎝ 3 3⎠
3 2
⎛ 3π 3 π ⎟⎞ ⎟⎟ + i sin d) 3 3 π = ( 0 , −3 ) = 3 ⎜⎜⎜cos ⎝ 2 2 ⎠ 2 014
Expressa aquests nombres complexos en forma polar. a) 3 (cos 45° + i sin 45°)
b) 3 (cos 135° + i sin 135°)
a) 3 (cos 45° + i sin 45°) = 345° 015
b) 3 (cos 135° + i sin 135°) = 3135°
Donats els nombres complexos: z1 = 230°
z2 = cos 60° + i sin 60°
z3 = 2 5π 4
calcula. a) z1 ⋅ z2
c) z3 ⋅ z3
b) z1 ⋅ z 3
d) ( z1 )2 ⋅ z 2
z1 = 230°
z2 = 160°
z3 = 2225°
a) 230° ⋅ 160° = 290°
c) 2225° ⋅ 2225° = 4450° = 490°
b) 230° ⋅ 2135° = 4165°
d) (230°)2 ⋅ 1300° = 460° ⋅ 1300° = 40°
195
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 196
Nombres complexos 016
Donats els nombres complexos: z1 = 1210°
z2 = 3 [cos (−30°) + i sin (−30°)]
calcula. z1 a) z2
b)
z1 = 1210°
017
z2 = 3330°
1210° 1 = 3330° 3240°
a)
( z1 )2 ⋅ z 2 z2
b)
( 1210° )2 · 330° 1 ·3 3 = 420° 30° = 450° = 1120° 3330° 3330° 3330°
Donats els nombres complexos: z1 = 4330°
z2 = cos 120° + i sin 120°
z3 = 1 −i
calcula. a) (z1)2
c) ( z3 )4 ⋅ z 3
b) (z2)3
z1 = 4330°
z2 = 1120°
z3 =
d) ( z1 )2 ⋅ z 2
2 315°
a) (4330°) = 16660° = 16300° 2
b) (1120°)3 = 10° c)
(
2 315° ) ⋅ 2 45° = 41.260° ⋅ 2 45° = 4 2 1.305° = 4 2 225° 4
d) (4330°)2 ⋅ 1240° = 16660° ⋅ 1240° = 16900° = 16180° = −16
018
Resol aquesta operació. [16 (cos 60° + i sin 60°)] ⋅ (2210°)4 [16 (cos 60° + i sin 60°)] ⋅ (2210°)4 = 1660° ⋅ 16840° = 256900° = 256180°
019
Amb la fórmula de Moivre, expressa cos 3αi sin 3α en funció de cos αi sin α. Considerem un nombre complex de mòdul la unitat: (1α)3 = (cos α + i sin α)3 = cos 3α + i sin 3α Desenvolupem la primera part de la igualtat: cos3 α + 3i cos2 α sin α − 3 cos α sin2 α − i sin3 α = = (cos3 α − 3 cos α sin2 α) + (3 cos2 α sin α − sin3 α)i Igualem aquest resultat amb la segona part de la igualtat: (cos3 α − 3 cos α sin 2 α) + (3 cos2 α sin α − sin3 α)i = cos 3α + i sin 3α Igualem les parts reals i les parts imaginàries, i obtenim: ⎪⎧⎪cos 3α = cos3 α − 3 cos α sin2 α ⎨ ⎪⎪⎩sin 3α = 3 cos2 α sin α − sin3 α
196
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 197
SOLUCIONARI
020
5
Calcula les arrels següents: a) b)
3
3150°
c)
4
−i
−27
d)
3
−1 + i
3150°
a)
El mòdul de les solucions serà l’arrel quadrada del mòdul: 3 . Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 =
150° + 0 · 360° 2 150° + 1 · 360° 2
= 75° = 255°
Per tant, les arrels són 3 75° i 3 255° . b)
3
−27 =
3
27180°
El mòdul de les solucions serà l’arrel cúbica del mòdul: 3. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 =
180° + 0 · 360° 3 180° + 1 · 360° 3 180° + 2 · 360° 3
= 60° = 180° = 300°
Per tant, les arrels són 360°, 3180° = −3 i 3300°. c)
4
−i = 4 1270°
El mòdul de les solucions serà l’arrel quarta del mòdul: 1. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 = Si k = 3 → β 4 =
270° + 0 · 360° 4 270° + 1 · 360° 4 270° + 2 · 360° 4
= 67° 30' = 157° 30' = 247° 30'
270° + 3 · 360°
= 337° 30' 4 Per tant, les arrels són 167° 30', 1157° 30', 1247° 30' i 1337° 30'.
197
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 198
Nombres complexos d)
3
−1 + i =
3
2 135°
El mòdul de les solucions serà l’arrel cúbica del mòdul: 6 2 . Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 =
135° + 0 · 360°
= 45°
3 135° + 1 · 360°
= 165°
3 135° + 2 · 360° 3
= 285°
Per tant, les arrels són 6 2 45° , 6 2 165° i 6 2 285° . 021
Resol aquestes equacions. a) z4 −1 = 0 b) z2 + 16 = 0 c) z3 + 8 = 0 d) z3 −8 = 19 a) z 4 − 1 = 0 → z = 4 1 = 4 10° El mòdul de les solucions serà l’arrel quarta del mòdul: 1. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 = Si k = 3 → β 4 =
0° + 0 · 360° 4 0° + 1 · 360° 4
= 0° = 90°
0° + 2 · 360° 4
= 180°
0° + 3 · 360°
= 270° 4 Per tant, les arrels són 10° = 1, 190° = i, 1180° = −1 i 1270° = −i. b) z 2 + 16 = 0 → z = −16 = 16180° El mòdul de les solucions serà l’arrel quadrada del mòdul: 4. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 =
180° + 0 · 360° 2 180° + 1 · 360°
= 90°
= 270° 2 Per tant, les arrels són 490° = 4i i 4270° = −4i.
198
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 199
5
SOLUCIONARI
c) z 3 + 8 = 0 → z = 3 −8 → z =
3
8180°
El mòdul de les solucions serà l’arrel cúbica del mòdul: 2. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. 180° + 0 · 360°
Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 =
3 180° + 1 · 360°
= 180°
3 180° + 2 · 360°
Si k = 2 → β3 =
= 60°
3
= 300°
Per tant, les arrels són 260°, 2180° i 2300°. d) z 3 − 8 = 19 → z =
3
27 → z =
3
270°
El mòdul de les solucions serà l’arrel cúbica del mòdul: 3. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 =
0° + 0 · 360° 3 0° + 1 · 360°
= 120°
3 0° + 2 · 360° 3
= 0°
= 240°
Per tant, les arrels són 30°, 3120° i 3240°.
022
Calcula i representa les arrels d’aquest nombre. 1+ i −1− i 1+ i ( 1 + i )( −1 + i ) −1− 1 = = = −1 = 1180° ( −1− i )( −1 + i ) −1− i 1+ 1 Mòdul: 3 1 = 1 Arguments: Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 =
180° + 0 · 360° 3 180° + 1 · 360° 3 180° + 2 · 360° 3
Per tant, les arrels són 160°, 1180° i 1300°.
160°
= 60° = 180° 1180°
= 300° 1300°
199
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 200
Nombres complexos 023
Un quadrat, amb centre a l’origen de coordenades, té un dels vèrtexs en el punt A(3, 2). Determina els altres vèrtexs. Calculem les arrels quartes de 3 + 2i. 2 2 Mòdul: 3 + 2 = 13
2 → α = 33° 41' 24 ,2'' 3 Sumem 90° a l’argument de cada vèrtex per obtenir el següent. Arguments: tg α =
Per tant, les arrels són 13 33° 41' 24,2'' , 13 123° 41' 24,2'' , 13 213° 41' 24,2'' i 13 303° 41' 24,2'' .
2 −1
024
2
Expressa aquests nombres complexos en forma binòmica. a)
−16 + 3 a)
b) −2 − −4
−8 + 2
c)
−16 + 3 = 3 + 4 i
b) −2 − −4 = −2 − 2i c) 025
−8 + 2 =
2 + 8i
Resol aquestes equacions i expressa’n les solucions en forma complexa. a) x2 + 4 = 0
b) 2x2 −2x + 1 = 0
c) 2x2 −x + 5 = 0
⎧⎪ x = 2i a) x 2 + 4 = 0 → x = −4 → ⎨ 1 ⎩⎪⎪ x 2 = −2i b) 2x 2 − 2x + 1 = 0 x=
2 ± 4 − 4 · 2 ·1 4
1+ i ⎪⎧⎪ ⎪⎪ x1 = 2 2 ± −4 →⎨ = ⎪⎪ 1− i 4 ⎪ x2 = 2 ⎩⎪⎪
c) 2x 2 − x + 5 = 0 x=
200
1 ± 1− 4 · 2 · 5 2
⎧⎪ 1+ ⎪ ⎪⎪⎪ x1 = 1 ± −39 →⎨ = ⎪⎪ 2 1− ⎪⎪ x 2 = ⎩⎪
39 i 2 39 i 2
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 201
SOLUCIONARI
026
5
Expressa en forma binòmica aquests nombres complexos. z1 = 5 + 2i z2
z2 = −2 + 5i
2
z3 = −4 + i z4 = −3 − 3i
2 z5
z4
z5 = 4 − 2i
027
Representa els nombres en el pla complex. a) 5 + i b)
f ) −2i
d)
3 5 g) − i 2 3
2 − 3i
2
c) −3 −i
h)
3 − 2i
e)
d) 6i
i)
3i
c)
i)
a) g) 3
f)
h)
e) −4
028
z1
z3
b)
Dibuixa el conjugat i l’oposat dels nombres complexos z i s.
z
1 1 s
a) Com serà la representació del conjugat d’un nombre? b) I la del seu oposat? a)
b)
2
z
−s
–s
2
z
2 −z
2
–z s
El conjugat d’un nombre és simètric respecte de l’eix d’abscisses.
s
L’oposat d’un nombre és simètric respecte de l’origen.
201
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 202
Nombres complexos 029
Representa en el pla complex els nombres: −3 + 2i i 4 −i. Troba’n els conjugats i els oposats i representa’ls.
2 4 −3
030
−1
Troba les solucions de les equacions. a) x2 −2x + 5 = 0
c) x2 −4x + 7 = 0 x +1 5 + +2 = 0 d) 3 x +1
b) x2 −6x + 10 = 0 a) x 2 − 2x + 5 = 0 x=
2±
4 − 4 · 1· 5 2
⎪⎧ x1 = 1 + 2 i 2 ± −16 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ x 2 = 1− 2 i 2
=
b) x 2 − 6x + 10 = 0 x=
6 ± 36 − 4 · 1· 10
=
2
6 ± −4 ⎪⎧ x = 3 + i →⎨ 1 ⎪⎪⎩ x 2 = 3 − i 2
c) x − 4x + 7 = 0 2
x=
d)
2
=
⎪⎧ x = 2 + 3 i 4 ± −12 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪ x 2 = 2 − 3 i 2 ⎩
x +1 5 + + 2 = 0 → x 2 + 8 x + 22 = 0 3 x +1 x=
031
4 ± 16 − 4 · 1· 7
−8 ± 64 − 4 · 1· 22 2
=
⎪⎧ x = −4 + 6 i −8 ± −24 → ⎨⎪ 1 ⎪⎪ x 2 = −4 − 6 i 2 ⎩
Calcula i representa en el pla complex els nombres: i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, … Investiga també què passa amb: i −1, i −2, i −3, i −4, i −5, i −6, … i 4n−3 = i i 4n−2 = −1 i 4n−1 = −i i 4n = 1
202
i −4n+3 = −i i −4n+2 = −1 i −4n+1 = i i −4n = 1
1
−1
1
−1
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 203
SOLUCIONARI
032
5
Fes les operacions següents: a) ( 3 − 5 i ) + ( 2 − 7 i ) + ( −4 + 8 i )
e) 2( 3 + i ) − 3(2 3 + 4 i )
b) ( −1 + 2 i ) − ( 3 + 6 i ) − ( −4 − i )
f ) ( 2 − 3 i ) + 2(2 − 3 i )
c) −( 1− 2 i ) − ( −7 i ) − ( −4 − 3 i )
⎛1 ⎞ ⎛3 ⎛1 5 ⎞ 1 ⎞ g) ⎜⎜ + 2 i ⎟⎟ − ⎜⎜ − i ⎟⎟ + 2⎜⎜ + i ⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 4 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 2 ⎟⎠
d) 2 ( 1− 4 i ) − 2 ( 1 + 4 i ) − 3 ( 4 − 4 i )
h) ( 1− 3 i ) + i ( 2 − 6 i ) − 2 i ( −1 + 6 i )
a) (3 − 5i) + (2 − 7i) + (−4 + 8i) = 1 − 4i b) (−1 + 2i) − (3 + 6i) − (−4 − i) = (−1 + 2i) + (−3 − 6i) + (4 + i) = −3i c) −(1 − 2i) − (−7i) − (−4 − 3i) = (−1 + 2i) + (7i) + (4 + 3i) = 3 + 12i d) 2(1 − 4i) − 2(1 + 4i) − 3(4 − 4i) = −12 − 4i e) 2( 3 + i ) − 3(2 3 + 4 i ) = (2 3 + 2 i ) + (−6 3 − 12 i ) = −4 3 − 10 i f) ( 2 − 3 i ) + 2(2 − 3 i ) = ( 2 − 3 i ) + ( 4 − 2 3 i ) = ( 2 + 4) − (3 + 2 3 )i ⎛1 ⎛1 ⎞⎟ ⎛ 3 5 14 5 ⎞⎟ 1 ⎞⎟ + i g) ⎜⎜⎜ + 2 i ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜ − i ⎟⎟⎟ + 2⎜⎜⎜ + i ⎟⎟⎟ = ⎝3 ⎝2 ⎠ ⎝4 3 3 ⎠ 2 ⎠ 12 h) (1 − 3i) + i(2 − 6i) − 2i(−1 + 6i) = (1 − 3i) + (6 + 2i) + (12 + 2i) = 19 + i 033
Efectua aquests productes i potències. a) ( 1− 3 i )( 2 − 6 i )
c) ( −2 + 5 i )2
e) (−3 − 2 2 i )(−3 + 2 2 i )
b) ( −3 − 4 i )( 7 − i )
d) ( 5 − 4 i )( 5 + 4 i )
f ) ( 2 − i)
3
a) (1 − 3i)(2 − 6i) = 2 − 6i − 6i − 18 = −16 − 12i b) (−3 − 4i)(7 − i) = −21 + 3i − 28i − 4 = −25 − 25i c) (−2 + 5i)2 = 4 − 25 − 20i = −21 − 20i d) (5 − 4i)(5 + 4i) = 25 + 16 = 41 e) (−3 − 2 2 i )(−3 + 2 2 i ) = 9 + 8 = 17 f) ( 2 − i ) = 3
034
Efectua les divisions. −1 + 5 i a) 3 − 2i
23 − 6 i − 3 2 + i = − 2 − 5 i
b)
20 + 40 i 8 + 6i
c)
−1 + 5 i 2−i
a)
−1 + 5 i ( −1 + 5 i )( 3 + 2 i ) −3 − 2 i + 15 i − 10 −13 + 13 i = = = = −1 + i 3 − 2i ( 3 − 2 i )( 3 + 2 i ) 9+4 13
b)
20 + 40 i 160 − 120 i + 320 i + 240 ( 20 + 40 i )( 8 − 6 i ) = = = 4 + 2i 8 + 6i 64 + 36 ( 8 + 6 i )( 8 − 6 i )
c)
−1 + 5 i −7 + 9 i ( −1 + 5 i )( 2 + i ) −2 − i + 10 i − 5 = = = 5 2−i ( 2 − i )( 2 + i ) 4 +1
203
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 204
Nombres complexos 035
Calcula, en forma binòmica, el resultat de les operacions. 30 ( 1− i ) + ( 2 − 3i )i −4 − 2 i ( 2 + 3i )3 b) 2 i − −3 + i a)
4 ( 10 − i ) + 8 − ( 3 − i )( 2 + 6 i ) 2 − 6i 10 − 10 i − 5 ( 1 + i ) d) ( −2 − 5 i ) − ( 8 + 2 i ) − ( 5 + 3i ) c)
e)
( 1 + 3 i )2 − ( 2 i )2 −3 + 4 i a)
30 ( 1− i ) + ( 2 − 3 i ) i = −3 + 9 i + ( 3 + 2 i ) = 11i −4 − 2 i
b) 2 i − c)
( 2 + 3i )3 9 33 9 53 = 2i + + i= + i −3 + i 10 10 10 10
4 ( 10 − i ) + 8 48 − 4 i − ( 3 − i )( 2 + 6 i ) = − ( 6 + 18 i − 2 i + 6 ) = 2 − 6i 2 − 6i = 3 + 7 i − ( 12 + 16 i ) = −9 − 9 i
d) ( −2 − 5 i ) −
e)
036
10 − 10 i − 5( 1 + i ) 5 − 15 i = ( −2 − 5 i ) − = ( 8 + 2 i ) − ( 5 + 3i ) 3−i = ( −2 − 5 i ) − ( 3 − 4 i ) = −5 − i
( 1 + 3 i )2 − ( 2 i ) 2 −8 + 6 i + 4 36 2 = = − i −3 + 4 i −3 + 4 i 25 25
Representa en el pla complex els nombres complexos i els resultats de les operacions. Explica què passa en cada cas. a) ( 3 + 2 i ) + ( −1 + 4 i ) b) ( 3 + 2 i )( −1 + 3 i ) c) ( −5 + 2 i ) − ( 4 + 3 i ) d)
−2 + 6 i 4 − 2i a) (3 + 2i) + (−1 + 4i) = 2 + 6i El resultat és un altre nombre complex que té per coordenades la suma de les coordenades dels dos nombres. Gràficament coincideix amb el vector suma.
204
1 1
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 205
SOLUCIONARI
5
b) (3 + 2i)(−1 + 3i) = −3 + 9i − 2i − 6 = −9 + 7i El resultat és un altre nombre complex que té: • Part real igual al producte de les parts reals dels nombres, menys el producte de les parts imaginàries. • Part imaginària igual al producte de la part real del primer per la part imaginària del segon, més la part imaginària del primer per la part real del segon.
1 1
c) (−5 + 2i) − (4 + 3i) = −9 − i El resultat és un altre nombre complex que té per coordenades la resta de les coordenades dels dos nombres.
1 1
Gràficament coincideix amb la diferència de vectors.
d)
−2 + 6 i ( −2 + 6 i )( 4 + 2 i ) −8 − 4 i + 24 i − 12 −20 + 20 i = = = = −1 + i 4 − 2i ( 4 − 2 i )( 4 + 2 i ) 16 + 4 20 El resultat és un altre nombre complex que té: • Part real igual al producte de les parts reals dels nombres, més el producte de les parts imaginàries, dividit entre la suma dels quadrats de la part real i la imaginària del divisor. • Part imaginària igual al producte de la part imaginària del primer per la part real del segon, menys la part real del primer per la part imaginària del segon, dividit entre la suma dels quadrats de la part real i la imaginària del divisor.
037
1 −1
Representa (5 + 2i). Multiplica’l per i i representa el resultat. Multiplica dues vegades per i i explica quin resultat obtens. (5 + 2i)i = −2 + 5i (5 + 2i)i 2 = −5 − 2i Quan es multiplica per i, el punt es desplaça 90°, mitjançant un gir amb centre a l’origen, en el sentit contrari al de les busques del rellotge.
2 5
Quan es multiplica per i 2 s’obté el punt simètric respecte de l’origen (el seu oposat).
205
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 206
Nombres complexos 038
Troba el nombre complex que és invers de −1 + 2i. 1 −1− 2 i −1− 2 i = = −1 + 2 i ( −1 + 2 i )( −1− 2 i ) 5
039
Calcula z en l’equació següent: ( 2 − 3i ) z = ( 6 + 5i ) ( 2 − 3i ) z = ( 6 + 5i ) → z =
040
6 + 5i ( 6 + 5 i )( 2 + 3 i ) −3 + 28 i →z= →z= 2 − 3i ( 2 − 3 i )( 2 + 3 i ) 13
Calcula a, b, c, …, perquè es verifiquin les condicions indicades en cada apartat. a) (3 −5i ) + (−1 + ai ) és un nombre real. b) (b + 3i ) + (5 + 2i ) és un nombre imaginari pur. c) (c + 6i )(3 −2i ) és un nombre real. d) (d + 6i )(3 −2i ) és un nombre imaginari pur. 7 + 11i e) és un nombre real. e − 2i 7 + 11i f) és un nombre imaginari pur. f − 2i a) (3 − 5i) + (−1 + ai) = 2 + (−5 + a)i → a = 5 b) (b + 3i) + (5 + 2i) = (b + 5) + 5i → b = −5 c) (c + 6i)(3 − 2i) = (3c + 12) + (−2c + 18)i → −2c + 18 = 0 → c = 9 d) (d + 6i)(3 − 2i) = (3d + 12) + (−2d + 18)i → 3d +12 = 0 → d = −4 e)
f)
041
7 + 11i ( 7 + 11i )( e + 2 i ) 7 e − 22 11e + 14 11e + 14 = = 2 + 2 i→ 2 =0 e − 2i ( e − 2 i )( e + 2 i ) e +4 e +4 e +4 14 → e=− 11 7 + 11i ( 7 + 11i )( f + 2 i ) 7f − 22 11f + 14 7f − 22 = = 2 + 2 i→ 2 =0 f − 2i ( f − 2 i )( f + 2 i ) f +4 f +4 f +4 22 →f = 7
Troba p i q perquè es compleixi: ( p + 3 i ) ( 4 + qi ) = 15 + 9 i (p + 3i)(4 + qi) = 15 + 9i → (4p − 3q) + (12 + pq)i = 15 + 9i ⎪⎧⎪ p1 = 3 ; q1 = −1 4 p − 3 q = 15⎪⎫ ⎬ → ⎪⎨ 3 ⎪⎪ p2 = ; q2 = −4 12 + pq = 9 ⎪⎪⎭ 4 ⎪⎩
206
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 207
5
SOLUCIONARI
042
Demostra que el nombre complex z = 1 −3i verifica la igualtat
z2 = z − 5. 2
z2 ( 1− 3 i )2 −8 − 6 i = = = −4 − 3 i = 1− 3 i − 5 = z − 5 2 2 2 043
Representa els següents nombres complexos expressats en forma polar. a) 460°
b) 2135°
c) 3220°
d)
2 7π
f ) 53π
e) 5180°
4
2
460° 2135° 1
5180°
1 2
3220°
7π 4
5 3π 2
044
Expressa en forma polar aquests nombres complexos. z1
z1 = 660°
6
z2 = 5180°
z2
4
z4 = 5336°
045
5
−24° z4
z3
Escriu aquests nombres en forma polar i representa’ls. a) 3 −4i
b)
3 +i
b)
e) −3
f)
1 i 2
2
3 + i = 230°
c) − 2 − 2 i = 2225° d) −3i = 3270° e) −3 = 3180° f)
d) −3i
c) − 2 − 2 i
a) 3 − 4i = 5306° 52' 11,63''
046
60°
5
z3 = 4270°
2
1 1 i= 2 2 90°
Escriu en forma binòmica els nombres complexos següents: a) 460°
b) 2215°
c) 3 π
d) 2π
e) 3150°
f ) 13π 2
2
a) 2 + 2 3 i
c) 3i
e) −
b) −1,64 − 1,15i
d) −2
f) −i
3 3 3 + i 2 2
g)
2 7π
h)
3 300°
4
g) 1 − i h)
3 3 − i 2 2
207
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 208
Nombres complexos 047
Donats els nombres complexos: z1 = 5240°
z3 =
z2 = 3135°
3π 6
escriu-ne el conjugat i l’oposat en forma polar i binòmica. Tenim en compte que el conjugat és el punt simètric respecte de l’eix d’abscisses i l’oposat és el simètric respecte de l’origen. Nombre Polar
⎛⎜ 5 5 3 ⎜⎜− , − ⎜⎝ 2 2
5240°
⎛⎜ 3 ⎜⎜ , ⎜⎝ 2
π 6
048
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠
⎛ 3 2 3 2 ⎞⎟ ⎜⎜− ⎟⎟ , ⎜⎜ 2 2 ⎟⎟⎠ ⎝
3135°
3
Conjugat
Binòmica
3 2
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟ ⎠
Oposat
Polar
Binòmica
Polar
5120°
⎛⎜ 5 5 3 ⎜⎜− , ⎜⎝ 2 2
3225°
⎛⎜ 3 2 3 2 ⎜⎜− ,− ⎜⎝ 2 2
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠ ⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠
⎛⎜ 3 3 ⎞⎟⎟ ⎜⎜ , − ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠
3 11π 6
Binòmica
3315°
⎛⎜ 3 2 3 2 ⎜⎜ ,− ⎜⎝ 2 2
3
⎛⎜ 3 3 ⎞⎟⎟ ⎜⎜− , − ⎟ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠
7π 6
Efectua les operacions següents:
( )
a) 4120° ⋅ 360°
e) 5 π
2
i)
10120° 5240°
j)
(
3
b)
6π 2π
f ) 2260° ⋅ 5130°
4
7 2π c) 4 π · 2270°
g)
3
3
5 5π 2
8170° d) 250°
h) (2120°)
5
a) 4120° ⋅ 360° = 12180° b)
6π = 3 3π 2π 4
f) 2260° ⋅ 5130° = 10390° = 1030° 7 2π 3
g)
5 5π
4
7 5
=
2
c) 4 π · 2270° = 4 60° · 2270° = 8330°
π 6
h) (2120°)5 = 32600° = 32240°
3
d)
8170° = 4120° 250°
⎛ e) ⎜⎜⎜5 π ⎝ 3
208
⎞⎟ ⎟⎟ = 25 2π ⎟⎠ 3
i)
10120° = 2240° 5240°
j)
(
2
3
5π 2
)
6
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠
560°
⎛⎜ 5 5 3 ⎜⎜ , ⎜⎝ 2 2
= 2715π = 27π
)
6
3 5π 2
⎞⎟ ⎟⎟ ⎟⎟⎠
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 209
5
SOLUCIONARI
049
Expressa els nombres en forma polar i fes aquestes operacions: a) ( 1− i )4
b) (− 2 + 2 i )
6
7
4
a) ( 1− i )4 = ( 2 315° ) = 4180°
c) (−1 + 3 i ) = ( 2120° )4 = 16120°
b) (− 2 + 2 i ) = ( 2135° )6 = 64 90°
d) ( 2 − i ) =
4
6
050
d) ( 2 − i )
c) (−1 + 3 i )
4
7
3 324° 44' 8 ,2''
Calcula, amb la fórmula del binomi de Newton, aquesta potència: (2 − 2 3 i ) . Fes-ho en forma binòmica. Comprova que si expressem el nombre en forma polar, obtenim el mateix resultat. 5
(2 − 2 3 i ) = 25 − 5 · 24 · 2 3 i − 10 · 23 · 12 + 10 · 22 · 24 3 i + 5 · 2 · 72 − 288 3 i = 5
= 512 + 512 3 i (4300°)5 = 1.02460° 512 + 512 3 i = 1.024 60° 051
Representa en el pla complex aquests nombres complexos i els resultats de les operacions. Explica què passa en cada cas. 6150° 4 a) 2150° ⋅ 3120° b) c) 2 π 2 60° 3
( )
a) El mòdul del resultat és el producte dels mòduls, i l’argument és la suma dels arguments dels nombres donats.
1 1
b) El mòdul del resultat és el quocient dels mòduls, i l’argument és la resta dels arguments dels nombres donats.
1 1
c) El mòdul del resultat és la quarta potència del mòdul, i l’argument és el quàdruple de l’argument del nombre donat.
−8
2
−14
209
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 210
Nombres complexos 052
Efectua les potències següents utilitzant la fórmula de Moivre. a) (3 ( cos 25° + i sin 25° ))
4
b) (2 ( cos 40° + i sin 40° ))
9
⎛ π π⎞ + i sin ⎟⎟ c) ⎜⎜⎜cos ⎝ 3 3 ⎟⎠
3
⎛ ⎛ 3π 3 π ⎞⎟⎞⎟ + i sin d) ⎜⎜3 ⎜⎜cos ⎟⎟ ⎜⎝ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠⎟⎠
4
a) (3 (cos 25° + i sin 25°))4 = 81 (cos 100° + i sin 100°) b) (2 (cos 40° + i sin 40°))9 = 512 (cos 0° + i sin 0°) = 512 ⎛ π π⎞ c) ⎜⎜cos + i sin ⎟⎟⎟ = cos π + i sin π = −1 ⎜⎝ 3 3 ⎟⎠ 3
⎛ ⎛ 3π 3 π ⎞⎟⎞⎟ ⎟⎟⎟⎟ = 81 ( cos 0 + i sin 0 ) = 81 + i sin d) ⎜⎜⎜3 ⎜⎜cos ⎜ ⎝ ⎝ 2 2 ⎟⎠⎟⎠ 4
053
Amb la fórmula de Moivre, expressa sin 3αi cos 3αen funció de sin αi cos α. Considerem un nombre complex de mòdul la unitat: (1α)5 = (cos α + i sin α)5 = cos 5α + i sin 5α Desenvolupem la primera part de la igualtat: cos5 α + 5i cos4 α sin α − 10 cos3 α sin2 α − 10i cos2 α sin3 α + 5 cos α sin4 α + + i sin5 α = (cos5 α − 10 cos3 α sin2 α + 5 cos α sin4 α) + + (5 cos4 α sin α − 10 cos2 α sin3 α + sin5 α)i Igualem aquest resultat amb la segona part de la igualtat: (cos5 α − 10 cos3 α sin2 α + 5 cos α sin4 α) + + (5 cos4 α sin α − 10 cos2 α sin3 α + sin5 α)i = cos 5α + i sin 5α Igualem les parts reals i les parts imaginàries, i obtenim: cos 5α = cos5 α − 10 cos3 α sin2 α + 5 cos α sin4 α ⎪⎫⎪ ⎬ sin 5α = 5 cos 4 α sin α − 10 cos2 α sin3 α + sin5 α ⎪⎪⎭
054
Dibuixa els nombres 230° i 6150°. Per quin nombre complex s’ha de multiplicar el primer per obtenir el segon?
−1
1
S’ha de multiplicar per 3120°.
210
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 211
SOLUCIONARI
055
5
Dibuixa els nombres 12300° i 4120°. Per quin nombre complex s’ha de dividir el primer per obtenir el segon?
2
S’ha de dividir entre 3180°.
2
056
Calcula les solucions de les arrels següents: a)
3
64120°
b)
5
4
c)
32 5π
9220°
4
a)
3
64120°
El mòdul de les solucions serà l’arrel cúbica del mòdul: 4. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 =
120° + 0 · 360°
= 40°
3 120° + 1 · 360° 3
= 160°
120° + 2 · 360°
= 280°
3
Per tant, les arrels són 440°, 4160° i 4280°. b)
5
32 5π =
5
32225°
4
El mòdul de les solucions serà l’arrel cinquena del mòdul: 2. Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 = Si k = 3 → β 4 = Si k = 4 → β5 =
225° + 0 · 360°
= 45°
5 225° + 1 · 360° 5
= 117°
225° + 2 · 360° 5 225° + 3 · 360° 5
= 189° = 261°
225° + 4 · 360°
= 333° 5 Per tant, les arrels són 245°, 2117°, 2189°, 2261° i 2333°.
211
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 212
Nombres complexos c)
4
9220°
El mòdul de les solucions serà l’arrel quarta del mòdul: 3 . Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 = Si k = 3 → β 4 =
220° + 0 · 360° 4 220° + 1 · 360° 4 220° + 2 · 360°
= 235° = 325°
4 3 145° ,
3 235° i 3 325° .
Ralcula les arrels i representa els resultats en el pla complex. a)
6
−16 a)
b)
3
16 i
5
c)
1− 3 i
−16 = 6 16180° El mòdul de les solucions serà l’arrel sisena del mòdul: 3 4 . Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. 6
Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 = Si k = 3 → β 4 = Si k = 4 → β5 = Si k = 5 → β6 =
180° + 0 · 360° 6 180° + 1 · 360° 6 180° + 2 · 360°
3
4 270° = − 4 i i 3
= 30° = 90°
6 180° + 3 · 360° 6 180° + 4 · 360° 6 180° + 5 · 360° 6
Per tant, les arrels són 3 4 30° , 3
4 330°.
1,6
1,6
212
= 145°
4 220° + 3 · 360°
Per tant, les arrels són 3 55° , 057
= 55°
3
= 150° = 210° = 270° = 330°
4 90° =
3
4 i,
3
4 150° ,
3
4 210° ,
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 213
SOLUCIONARI
b)
3
5
16 i = 3 1690°
El mòdul de les solucions serà l’arrel cúbica del mòdul: 2 3 2 . Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 =
90° + 0 · 360°
= 30°
3 90° + 1 · 360° 3
= 150°
90° + 2 · 360°
= 270°
3
Per tant, les arrels són 2 3 2 30° , 2 3 2 150° i 2 3 2 270° = −2 3 2 i .
2,52
−2,52
c)
1− 3 i = 5 260° El mòdul de les solucions serà l’arrel cinquena del mòdul: 5 2 . Hi haurà tants arguments com indiqui el radical. 5
Si k = 0 → β1 = Si k = 1 → β2 = Si k = 2 → β3 = Si k = 3 → β 4 = Si k = 4 → β5 =
60° + 0 · 360°
= 12°
5 60° + 1 · 360° 5
= 84°
60° + 2 · 360° 5 60° + 3 · 360° 5
= 156° = 228°
60° + 4 · 360°
Per tant, les arrels són 5 2 12° ,
= 300°
5 5
2 84° ,
5
2 156° ,
5
2 228° i 5 2 300° .
1
1
213
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 214
Nombres complexos 058
Els vèrtexs del polígon de la figura són les arrels quartes d’un nombre complex. Determina el nombre i les seves arrels.
1 1
Les arrels són: z1 = 4 + 4i = 32 45°
z3 = −4 − 4i = 32 225°
z2 = −4 + 4i = 32 135°
z4 = 4 − 4i = 32 315°
El nombre és: z = 1.024180° = −1.024 059
En la gràfica es representen les arrels d’un nombre. Determina-les i digues quin nombre és. Les arrels són: z1 = 40° = 4 z2 = 472° z3 = 4144°
1
z4 = 4216° z5 = 4288°
1
El nombre és: z = 1.0240° = 1.024 060
n Troba n i z de manera que dues de les solucions de z siguin 630° i 6120°. Hi ha una solució única? Quin és el nombre n més petit que pots trobar?
Considerem z = rα . L’arrel enèsima de r ha de ser 6. L’argument ha de ser múltiple de 30 i de 120. La solució no és única. El nombre més petit que compleix les condicions és n = 4. z1 = 1.296120° Una altra solució és n = 8. z2 = 1.679.616240° 061
Resol les equacions. a) x 2 + 1 = 0 b) x 3 + 12 = 0
c) x 5 −32 = 0 d) x 5 −1 = 0
e) x 4 + 16 = 0 f ) x 3 −8 = 0
a) x 2 + 1 = 0 → x = −1 = 1180° +k⋅360° Si k = 0 → x1 = 190° = i
2
b) x 3 + 12 = 0 → x = 3 −12 = 3 12
Si k = 1 → x2 = 1270° = −i 180° + k⋅360° 3
Si k = 0 → x1 = 12 60°
Si k = 2 → x3 = 3 12 300°
3
Si k = 1 → x2 = 3 12 180° = − 3 12 c) x 5 − 32 = 0 → x = 5 32 = 2 0° +k⋅360° Si k = 0 → x1 = 272° Si k = 1 → x2 = 2144° Si k = 2 → x3 = 2216°
214
5
Si k = 3 → x4 = 2288° Si k = 4 → x5 = 20° = 2
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 215
5
SOLUCIONARI
d) x 5 − 1 = 0 → x = 5 1 = 1 0° +k⋅360° 5
Si k = 0 → x1 = 172° Si k = 1 → x2 = 1144° Si k = 2 → x3 = 1216°
Si k = 3 → x4 = 1288° Si k = 4 → x5 = 10° = 1
e) x 4 + 16 = 0 → x = 4 −16 = 2 180° +k⋅360° 4
Si k = 0 → x1 = 245° Si k = 1 → x2 = 2135°
Si k = 2 → x3 = 2225° Si k = 3 → x4 = 2315°
f ) x 3 − 8 = 0 → x = 3 8 = 2 0° +k⋅360° 3
Si k = 0 → x1 = 2120° Si k = 1 → x2 = 2240° 062
Si k = 2 → x3 = 20° = 2
Efectua l’operació següent: 4
4
−1 + i = 1+ i
( −1 + i )( 1− i ) = ( 1 + i )( 1− i )
4
Si k = 0 → x1 = 222,5° Si k = 1 → x2 = 2112,5° 063
4
−1 + i 1+ i 2i = 2
4
i = 190° +k⋅360° 4
Si k = 2 → x 3 = 2202,5° Si k = 3 → x 4 = 2292,5°
Expressa en forma polar l’invers d’aquests nombres. a) 2150°
b) 3 π
c) 4 π
2
3
⎛1⎞ d) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎝ 4 ⎟⎠ π
Per calcular l’invers d’un nombre en forma polar, calculem l’invers del mòdul i l’oposat de l’argument. a)
1 2 210°
b)
1 3 3π
c)
1 4 5π 3
2
064
d) 4π = −4
Calcula aquestes arrels de nombres complexos. a)
1
b)
3
1
c)
4
d)
i
e)
3
i
f)
4
i
1 = 10° +k⋅360°
a)
2
Si k = 0 → x1 = 1180° = −1 b)
1
3
Si k = 1 → x2 = 10° = 1
1 = 10° +k⋅360° 3
Si k = 0 → x1 = 1120°
Si k = 2 → x3 = 10° = 1
Si k = 1 → x2 = 1240°
215
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 216
Nombres complexos c)
4
1 = 10° +k⋅360° 4
Si k = 0 → x1 = 190° = i Si k = 1 → x2 = 1180° = − 1
Si k = 2 → x3 = 1270° = −i Si k = 3 → x4 = 10° = 1
i = 190°+k ⋅360°
d)
2
Si k = 0 → x1 = 145° Si k = 1 → x2 = 1225° e)
3
i = 190° +k ⋅360° 3
Si k = 0 → x1 = 130° Si k = 1 → x2 = 1150° f)
4
Si k = 2 → x3 = 1270° = −i
i = 190° +k ⋅360° 4
Si k = 0 → x1 = 122,5° Si k = 1 → x2 = 1112,5° 065
Si k = 2 → x3 = 1202,5° Si k = 3 → x4 = 1292,5°
Observa el nombre complex representat. a) A quin exponent s’ha d’elevar per obtenir un nombre real? b) I un nombre imaginari pur? c) Hi ha una única solució en cada cas?
1 1
L’argument és 45°. a) n ⋅ 45° = 180° → n = 4 ⋅ (2k + 1) n ⋅ 45° = 360° → n = 8 ⋅ (k + 1) b) n ⋅ 45° = 90° → n = 2 ⋅ (4k + 1) n ⋅ 45° = 270° → n = 6 ⋅ (4k + 1) c) En cada cas hi ha infinites solucions. 066
Quin nombre complex hem de sumar a −3 + 2i perquè el resultat sigui 5270°? I perquè sigui 6 5 π ? 3
(−3 + 2i) + (a + bi) = −5i → a = 3, b = −7 (−3 + 2i) + (a + bi) = 3 − 3 3 i → a = 6, b = −2 − 3 3 067
Calcula z si saps que el seu mòdul és imaginari pur. z=
5 i que z(3 −6i) és un nombre
5α
3 − 6i =
45 296° 33' 54 ,1''
α + 296° 33' 54,1'' = 90° → α = 153° 26' 5,82'' + 360° ⋅ k α + 296° 33' 54,1'' = 270° → α = 333° 26' 5,82'' + 360° ⋅ k Per tant, tenim que: α = 153° 26' 5,82'' + 180° ⋅ k.
216
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 217
SOLUCIONARI
068
5
Escriu quines condicions han de complir a, b, c i d perquè: a) (a + bi)(c + di) sigui un nombre real. b) (a + bi)(c + di) sigui un nombre imaginari pur. c)
a + bi sigui un nombre imaginari pur. c + di
d)
a + bi sigui un nombre real. c + di (a + bi )(c + di ) = ac − bd + (ad + bc)i a + bi ( a + bi )( c − di ) ac + bd − ad + bc = = 2 + 2 i 2 c + di ( c + di )( c − di ) c +d c + d2 a) Perquè sigui un nombre real: ad = −bc b) Perquè sigui un nombre imaginari pur: ac = bd c) Perquè sigui un nombre imaginari pur: ac = −bd d) Perquè sigui un nombre real: ad = bc
069
Calcula dos nombres reals a i b, de manera que: a + 5 i =
13 + bi 4−i
13 + bi ( 13 + bi )( 4 + i ) 52 − b 13 + 4 b = = + i 4−i ( 4 − i )( 4 + i ) 17 17 ⎪⎧⎪ 52 − b ⎪⎪ 17 = a → 17 a + b = 52 → a = 2 ⎨ ⎪⎪ 13 + 4b = 5 → 13 + 4 b = 85 → b = 18 ⎪⎪ ⎪⎩ 17
070
Troba el valor de a perquè aquest nombre complex compleixi que el seu quadrat és igual al seu conjugat. a+
⎛ 3 Calculem el quadrat: ⎜⎜⎜a + ⎜⎝ 2 Trobem el conjugat: a −
3 i 2
⎞⎟ 3 i ⎟⎟⎟ = a 2 − + 3 ai ⎟⎠ 4 2
3 i 2
3 ⎪⎧⎪ 2 ⎪⎪a − 4 = a 1 ⎪⎨ → a=− ⎪⎪ 3 2 ⎪⎪ 3 a = − 2 ⎪⎩
217
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 218
Nombres complexos 071
Troba el valor de m perquè 3 −2i sigui arrel del polinomi x2 −6i + m. m = a + bi Perquè sigui arrel del polinomi ha de complir: (3 − 2i )2 − 6i + a + bi = 0 → (5 + a) + (−18 + b)i = 0 → a = −5, b = 18
072
Calcula el valor de b perquè el quocient de −9 + bi entre 1 −2i tingui mòdul 5 2 . −9 + bi ( −9 + bi )( 1 + 2 i ) −9 − 2 b + (− −18 + b ) i = = 1− 2 i ( 1− 2 i )( 1 + 2 i ) 5 ( −9 − 2 b )2 + ( −18 + b )2 = 5 2 → 81 + 36 b + 4 b 2 + 324 − 36 b + b 2 = 50 5b 2 + 355 = 0 → b = 71 i
073
Troba c si saps que la representació gràficade del primer quadrant.
12 + ci −5 + 2 i
està sobre la bisectriu
Perquè estigui sobre la bisectriu del primer quadrant, la part imaginària ha de ser igual a la part real. 12 + ci ( 12 + ci )( −5 − 2 i ) −60 + 2 c + ( −24 − 5 c ) i = = ( −5 + 2 i )( −5 − 2 i ) −5 + 2 i 29 −60 + 2c = −24 − 5c → c = 074
36 7
És cert que, sempre que multipliques un nombre real per un nombre complex z, el resultat té el mateix argument que z? Si no és cert, enuncia una propietat correcta. No és cert, ja que: 1180° ⋅ 190° = 1270°. Només és cert si el nombre real és positiu. Si multipliquem un nombre real positiu per un nombre complex z, el resultat té el mateix argument que z.
075
És cert que el conjugat del producte de dos nombres complexos és el producte dels seus conjugats? Considerem z1 = a + bi i z2 = c + di dos nombres complexos. Calculem el conjugat del producte: (a + bi )(c + di ) = ac − bd + (ad + bc)i El conjugat del producte és: ac − bd − (ad + bc)i Trobem el producte dels conjugats: (a − bi )(c − di ) = ac − bd + (−ad − bc)i = ac − bd − (ad + bc)i Per tant, és cert.
218
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 219
SOLUCIONARI
076
5
Demostra que, si multipliques un nombre complex pel seu conjugat, obtens el quadrat del seu mòdul. Considerem z = a + bi. En calculem el mòdul:⏐z⏐ = a 2 + b 2 El quadrat del mòdul és: a2 + b2 Multipliquem pel conjugat: (a + bi )(a − bi ) = a2 + b2 Per tant, és cert.
077
Quina diferència hi ha entre les solucions de l’arrel quadrada real de 16 i l’arrel quadrada del nombre complex 16 + 0i? No hi ha cap diferència, perquè tots dos nombres tenen com a arrel quadrada 4 i −4.
078
Calcula les tres arrels cúbiques de −27 i comprova que sumen zero. Comprova si passa el mateix amb les tres arrels cúbiques de 16 −88i. Això passarà amb tots els nombres complexos? Justifica la resposta. 3
−27 = 3180° +k⋅360° 3
3 3 3 + i 2 2 Si k = 1 → z2 = 3180° = −3
Si k = 0 → z1 = 360° =
Si k = 2 → z3 = 3300° =
3 3 3 − i 2 2
3 3 3 3 3 3 + i −3+ − i=0 2 2 2 2
Sumem les arrels:
Calculem les arrels cúbiques de 16 − 88i = 8.000 280° 18' 17,45'': 6
8.000 280° 18' 17, 45'' +k⋅360° 3
Si k = 0 → x1 = 8.000 93° 26' 5,82'' = −1,1983 + 19,965i 6
Si k = 1 → x2 = 6 8.000 213° 23' 5,82'' = −16,6902 − 11,0197i Si k = 2 → x3 = 6 8.000 333° 26' 5,82'' = 17,8885 − 8,94427i Sumem les arrels: −1,1983 + 19,965i − 16,6902 − 11,0197i + 17,8885 − 8,94427i = 0 Passarà el mateix amb tots els nombres complexos. Per a qualsevol nombre complex, les seves tres arrels cúbiques seran: rα, rα+120° i rα +240°. ⎛3⎞ Si multipliquem les arrels pel nombre complex ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ , dóna com a resultat ⎝ r ⎠− α + 60° les arrels cúbiques de −27, la suma de les quals és zero: ⎛3⎞ 0 = z1 + z2 + z3 = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⋅ ( rα + rα+120° + rα +240° ) ⎜⎝ r ⎠⎟ − α + 60°
⎛3⎞ ⫽ 0 → ( rα + rα +120° + rα +240° ) = 0, la suma de les tres arrels Com que ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ ⎝ r ⎠− α + 60° cúbiques de qualsevol nombre complex diferent de zero és zero.
219
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 220
Nombres complexos 079
Un dels vèrtexs d’un triangle és l’origen de coordenades i els altres dos són els afixos dels nombres complexos −2 + 5i i 3 + i. Calcula la longitud dels costats del triangle. Anomenem O l’origen de coordenades, A = −2 + 5i, B = 3 + i. Calculem la longitud del costat OA: ( −2 )2 + 52 =
29
Trobem la longitud del costat OB: 32 + 12 = 10 Determinem la longitud del costat AB: 080
( −2 − 3 )2 + ( 5 − 1)2 =
41
Dos vèrtexs consecutius d’un quadrat són els afixos dels nombres 6 + 5i i 3 + i. Determina’n els altres vèrtexs, si saps que n’hi ha un al quart quadrant. La variació de la part real dels dos nombres és de 3 unitats i la variació de la part complexa és de 4 unitats. Per tant, si a partir dels vèrtexs coneguts portem una variació de 4 unitats a la part real i 3 unitats a la part imaginària, obtenim els altres dos vèrtexs, i tenim dues solucions: C = (7, −2) i D = (10, 2) C' = (−1, 4) i D' = (2, 8)
5
1 3
6
D’aquestes solucions només la primera té un vèrtex en el quart quadrant. 081
Un dels vèrtexs d’un quadrat amb centre a l’origen té coordenades (−1, 3). Utilitza els nombres complexos per determinar-ne els altres vèrtexs i l’àrea. z2 = −1 + 3i Elevem a la quarta: z = 10073° 44' 23,26'' Calculem la resta de les arrels: 4 100 40 = 10 40 º+ k⋅360° 4
Si k = 0 → x1 = 10 18° 26' 5,82'' = 3 + i
Si k = 2 → x3 = 10 198° 26' 5,81''
Si k = 1 → x2 = 10 108° 26' 5,81''
Si k = 3 → x4 = 10 288° 26' 5,81''
z1 = (3, 1) y z2 = (−1, 3) Trobem la longitud del costat: ( −1− 3 )2 + ( 3 − 1)2 = Per tant, l’àrea és 20. 082
20
Un pentàgon regular, amb centre a l’origen de coordenades, té un dels vèrtexs a (−3, −2). Troba els altres vèrtexs fent servir nombres complexos. z2 = −3 − 2i Elevem a la cinquena: z = 135 213° 41' 24,2'' Calculem la resta de les arrels: 13 213° 41' 24, 2'' +k⋅360° 5
220
Si k = 0 → x1 = 13 42° 44' 16,85''
Si k = 2 → x3 = 13 186° 44' 16,85''
Si k = 1 → x2 = 13 114° 44' 16,85''
Si k = 3 → x4 = 13 258° 44' 16,85''
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 221
SOLUCIONARI
083
5
Quin nombre complex forma un triangle equilàter amb el seu conjugat i amb −5? Anomenem C la longitud del costat del triangle equilàter, un dels vèrtexs és el complex a + bi i l’altre vèrtex és el seu conjugat a − bi. C⋅ 3 C a = −5 + C ⋅ cos 30° = −5 + 2 2 En tots els triangles el vèrtex situat més a l’esquerra és −5. b = C ⋅ sin 30° =
Si el vèrtex −5 estigués situat a la dreta del triangle, les coordenades dels altres vèrtexs serien: b = C ⋅ sin 30° = 084
C 2
a = −5 − C ⋅ cos 30° = −5 −
C⋅ 3 2
Les quatre arrels quartes de −4.096 descriuen un quadrat. Calcula’n l’àrea. A més, les seves arrels cúbiques descriuen un triangle equilàter. Determina’n l’àrea. Les arrels quartes de −4.096 són: z1 = 845° = ( 4 2 , 4 2 )
z3 = 8225° = (−4 2 , −4 2 )
z2 = 8135° = (−4 2 , 4 2 )
z4 = 8315° = ( 4 2 , −4 2 )
Calculem el costat:
(4 2 + 4 2 ) + (4 2 − 4 2 ) = 8 2 2
2
Per tant, l’àrea és de 128. Les arrels cúbiques de −4.096 són:
z1 = 1660° = (8 , 8 3 ) z2 = 16180° = (−16, 0)
z3 = 16300° = (8 , −8 3 )
Es forma un triangle la base del qual fa 16 i l’altura, 24. Per tant, l’àrea és de 192 3 . 085
El nombre complex 3 + 5i és una de les arrels cúbiques de z. Troba les altres dues arrels. z1 = 3 + 5i = 35 59° 2' 10,48'' Les arrels tindran el mateix mòdul. Calculem la resta de les arrels: 35 59° 2' 10 , 48'' + k⋅360° 3
Si k = 0 → x1 = 35 59° 2' 10,48''
Si k = 2 → x3 = 35 299° 2' 10,48''
Si k = 1 → x2 = 35 179° 2' 10,48'' 086
Escriu una equació de segon grau les solucions de la qual siguin 3 + i i 3 −i. Escriu-ne una altra que tingui aquestes solucions: −2 −5i i −2 + 5i. (x − 3 + i )(x − 3 − i ) = 0 → x 2 − 3x − ix − 3x + 9 + 3i + ix − 3i + 1 = 0 → x 2 − 6x + 10 = 0 (x + 2 + 5i )(x + 2 − 5i ) = 0 → x 2 + 2x − 5ix + 2x + 4 − 10i + 5ix +10i + 25 = 0 → x 2 + 4x + 29 = 0
221
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 222
Nombres complexos 087
Demostra que si una equació de segon grau els coeficients de la qual són nombres reals té dues arrels complexes, aquestes arrels han de ser nombres conjugats. Tenim una equació de segon grau: ax 2 + bx + c = 0 Resolem l’equació: ⎪⎧⎪ −b + ( −b 2 + 4 ac )i ⎪⎪ x1 = 2 −b ± b − 4 ac 2a x= → ⎪⎨ ⎪⎪ 2 2a ( ) ⎪⎪ x 2 = −b − −b + 4 ac i ⎪⎪⎩ 2a Per tant, les solucions són dos nombres complexos conjugats.
088
Quina condició han de complir els nombres reals a, b i c perquè l’equació ax2 + bx + c tingui solucions complexes? S’ha de complir que: b2 − 4ac < 0
089
Resol l’equació x 4 + 10x 2 + 169 = 0. t = x x 4 + 10 x 2 + 169 = 0 ⎯⎯→ t 2 + 10 t + 169 = 0 2
t=
−10 ± 102 − 4 · 1· 169 2 ·1
=
−10 ± 24 i ⎪⎧t = −5 + 12 i =⎨1 ⎪⎪⎩t2 = −5 − 12 i 2
Desfem el canvi de variable: ⎧⎪ x = −5 + 12 i = 13112° 37' 11 ,5 '' = ⎪⎨ 1 ⎪⎪ x 2 = ⎩ ⎧⎪ x = −5 − 12 i = 13247° 22' 48 , 49'' = ⎪⎨ 3 ⎪⎪ x 4 = ⎩ 090
13 56° 18' 35,75'' 13 236° 18' 35,75'' 13 123° 41' 24 ,24 '' 13 303° 41' 24 ,24 ''
Resol les equacions següents: z + ( 2 − i ) 6 i = −3 + 2 i 5−i −41 + 37i b) z (−2 + 6 i ) + + 10 − 8 i = z (1 + 7i ) 4 − 3i a)
a)
z z + ( 2 − i ) 6 i = −3 + 2 i → + 6 + 12 i = −3 + 2 i 5−i 5−i z → = −9 − 10 i → z = ( 5 − i )( −9 − 10 i ) → z = −55 − 41i 5−i −41 + 37 i + 10 − 8 i = z ( 1 + 7 i ) → z ( −2 + 6 i ) − 11 + 4 − 3i + i + 10 − 8 i = z ( 1 + 7 i ) → z ( −2 + 6 i ) − 1− 7 i = z ( 1 + 7 i )
b) z ( −2 + 6 i ) +
→ z ( −2 + 6 i ) − z ( 1 + 7 i ) = 1 + 7 i → z ( −2 + 6 i − 1− 7 i ) = 1 + 7 i →z=
222
1+ 7 i → z = −1− 2 i −3 − i
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 223
SOLUCIONARI
091
5
Resol aquestes equacions. ⎫⎪⎪ b) x − iy = 0 ⎬ y − ix = 4 − 6 i ⎪⎪⎭
a) x 2 −8ix + 4i −19 = 0
a) x 2 − 8 ix + 4 i −19 = 0 → x =
8 i ± −64 − 4 · 1· (4 i − 19)
=
8 i ± 10 − 16 i
2 ⎫ x − iy = 0 ⎪ x = iy ⎬ ⎯⎯→ y − i ( iy ) = 4 − 6 i → y + y = 4 − 6 i → y = 2 − 3i b) y − ix = 4 − 6 i ⎭⎪⎪ 2 ·1
x = i(2 − 3i ) = 3 + 2i 092
Representa el nombre complex 1 + 2 3 i i fes en aquest punt un gir de 60° centrat en l’origen. Troba les expressions binòmica i polar del nombre complex resultant. z = 1 + 2 3 i = 13 73° 53' 52,39'' 1
Fem un gir de 60°:
1
13 133° 53' 52,39'' = −2 , 5 + 2 , 6 i 093
La suma de dos nombres complexos conjugats és 16 i la suma dels seus mòduls és 20. Determina’ls. Considerem z = a + bi. a + bi + a − bi = 16 ⎫⎪⎪ ⎬→ a 2 + b 2 + a 2 + ( −b )2 = 20⎪⎪⎭
a = 8 ⎫⎪⎪ ⎬ a 2 + b 2 = 10⎪⎪⎭
→ 64 + b 2 = 100 → b = ±6 Els nombres són: 8 + 6i i 8 − 6i. 094
Troba tots els nombres complexos de manera que el seu cub sigui igual a la seva arrel quadrada. Un nombre complex té la forma rα. Si posem la condició que el seu cub sigui igual a la seva arrel quadrada, tenim: ( rα )3 =
rα
( rα )3 = r 33α =
rα = ( r ) α 2
r ⎪⎫⎪ ⎪ α⎬ 3α = ⎪⎪ 2 ⎪⎭ r3 =
Perquè siguin iguals cal que:
⎪⎧r = 0 r →⎨ ⎪⎪⎩r = 1 α ⎪⎧α = 0° 3α = + 360° → 6α = α + 720° → ⎨ 2 ⎩⎪⎪α = 144° Les solucions són: z = 00°+k⋅360°, z = 10°+k⋅360°, z = 1144°+k⋅360° r3 =
223
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 224
Nombres complexos 095
Esbrina quins nombres complexos compleixen que el seu quadrat és igual al seu conjugat. Per trobar-los, suposa que el nombre està expressat en forma polar. z = rα ⏐z⏐ = r360° − α r 22α = r360° − α Igualem: r 2 = r → r = 0, r = 1 2α = 360° − α → α = 120° Per tant, els nombres que compleixen que el seu quadrat és igual al seu conjugat són 0α i 1120°.
096
1 3 + i . Comprova que si z = −2 + 5i, aleshores z, u −z i u2 −z 2 2 són les tres arrels cúbiques d’un nombre complex. Demostra que això passa per a qualsevol nombre z. Quina particularitat té el nombre u?
Sigui u = −
z = −2 + 5i = 29 111° 48' 5,07'' ⎛ 1 3 ⎞⎟⎟ i ⎟ (−2 + 5i ) = 1120° ⋅ 29 111° 48' 5,07'' = 29 231° 48' 5,07'' u ⋅ z = ⎜⎜⎜− + ⎜⎝ 2 2 ⎟⎟⎠ ⎛ 1 3 u2 ⋅ z = ⎜⎜⎜− + ⎜⎝ 2 2
⎞⎟2 i ⎟⎟⎟ (−2 + 5i ) = 1120° ⋅ 29 111° 48' 5,07'' = 29 351° 48' 5,07'' ⎟⎠
Són les arrels cúbiques de 29335° 24' 15,2''. Això és així per a qualsevol nombre complex, ja que les arrels cúbiques d’un nombre complex tenen el mateix mòdul i el seu argument es diferencia en 120°. Quan multipliquem qualsevol nombre per u, el seu mòdul no varia i el seu argument augmenta 120°. 097
Determina si aquesta afirmació és certa. Si dos nombres complexos z i w compleixen que z 3 = w 3, aleshores z = w. L’afirmació no és certa. Per a qualsevol nombre complex z tenim dos nombres complexos més: 1120° ⋅ z i 1240° ⋅ z, el cub dels quals coincideix amb el cub de z. (1120° ⋅ z)3 = 1360° ⋅ z 3 = z 3 (1240° ⋅ z)3 = 1720° ⋅ z 3 = z 3
098
Sabem que l’argument del nombre complex z1 és 150°, i que el mòdul de z2 és 2. Calcula z1 i z2 si saps que el seu producte és −8i. z1 = r150° z2 = 2α −8i = 8270° r150° ⋅ 2α = 8270° z1 = 4150° r · 2 = 8 ⎫⎪ r = 4 ⎪⎫ ⎬→ ⎬→ z2 = 2120° 150° + α = 270°⎭⎪⎪ α = 120°⎭⎪⎪
224
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 225
SOLUCIONARI
099
5
Representa el nombre 1 + i. Escriu-lo en forma polar i calcula’n les 10 primeres potències. Representa-les al pla complex. Observa que els afixos d’aquests nombres descriuen una corba espiral. z = 1 + i = 2 45° z 2 = 290° z 3 = 2 2 135° z 4 = 4180° z 5 = 4 2 225° z 6 = 8270° z 7 = 8 2 315° z 8 = 160°
4
4
z 9 = 16 2 45° z 10 = 3290° 100
Calcula la suma dels 10 primers termes d’una progressió aritmètica de diferència 1 + 2i el primer terme de la qual és −6 −2i. d = 1 + 2i a1 = −6 − 2i an = a1 + (n − 1)d a10 = −6 − 2i + (10 − 1)(1 + 2i) = 3 + 16i
101
Sn =
( a1 + an ) n 2
S10 =
( −6 − 2 i + 3 + 16 i )10 = −15 + 70 i 2
Si el nombre complex a + bi té mòdul m i argument α, com expressaries en forma binòmica un nombre complex de mòdul 6m i argument 2π −α? 3π ? I si el mòdul és 3m i l’argument és α + 2 Considerem w = c + di el nombre complex que té per mòdul 6m i argument 2π − α. c = 6 a 2 + b 2 cos (2π − α) = 6 a 2 + b 2 cos α d = 6 a 2 + b 2 sin (2π − α) = −6 a 2 + b 2 sin α Considerem v = e + fi el nombre complex que té per mòdul 3m i argument α + ⎛ 3π ⎞⎟ ⎟⎟ = 3 a 2 + b 2 sin α e = 3 a 2 + b 2 cos ⎜⎜⎜α + ⎝ 2 ⎟⎠
3π . 2
⎛ 3π ⎞⎟ ⎟⎟ = −3 a 2 + b 2 cos α f = 3 a 2 + b2 sin ⎜⎜⎜α + ⎝ 2 ⎟⎠
225
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 226
Nombres complexos 102
Sigui z = r⋅ un nombre complex en forma polar i z– el seu conjugat. Calcula el valor del quocient: cos α ⋅ cos 2 α ⋅ … ⋅ cos nα n ( z + z ) ⋅ [ z2 + ( z )2 ] ⋅ … ⋅ [ z n + ( z ) ]
z = rα = r (cos α + i sin α) z– = r360° − α = r (cos α − i sin α) cos α ⋅ cos 2 α ⋅ … ⋅ cos nα ( z + z ) ⋅ ( z 2 + ( z ) 2 ) ⋅ … ⋅ ( z n + ( z )n ) = =
103
=
cos α ⋅ cos 2 α ⋅ … ⋅ cos nα (r (cos α +i sin α) + r (cos α − i sin α )) ⋅ … ⋅ (r n (cos nα + i sin nα ) + r n (cos nα − i sin nα)) cos α ⋅ cos 2α ⋅ … ⋅ cos nα 2r cos α ⋅ 2r cos 2α ⋅ 2r cos nα 2
n
=
1 2n ⋅ r
n + n2 2
Donada l’equació z 2 + (a + bi)z + c + di = 0, amb a, b, c i d nombres reals, troba la relació entre ells perquè les seves arrels tinguin el mateix argument. z 2 + (a + bi )z + c + di = 0 z=
− a − bi ± (a + bi )2 − 4 (c + di ) 2
=
− a − bi ± a 2 − b 2 + 2 abi − 4cc − 4 di 2
Perquè tinguin el mateix argument, el quocient entre la part imaginària i la part entera ha de ser el mateix. a 2 − b 2 + 2 abi − 4 c − 4 di = 0 a 2 − b 2 − 4 c = 0⎫⎪ ⎬ 2 ab − 4 d = 0⎪⎪⎭ Com que només tenim dues equacions i quatre incògnites, hem de deixar dues de les incògnites en funció de les altres. a1 =
(
a2 = −
226
2 c 2 + 2 d 2 + 2 c) d
(
2 c 2 + 2 d 2 + 2 c) d
c2 + d 2 − c
c2 + d 2 − c
a3 =
c 2 + d 2 + c ( 2 c 2 + 2 d 2 − 2 c )i d
a4 =
− c 2 + d 2 + c ( 2 c 2 + 2 d 2 − 2 c )i d
b1 =
2 c2 + d2 − 2 c
b2 = − 2 c 2 + d 2 − 2 c
b3 = − 2 c 2 + d 2 + 2 ci
b4 =
2 c 2 + d 2 + 2 ci
=
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 227
5
SOLUCIONARI
PER ACABAR... n
104
k Calcula la suma ∑ i , i expressa’n el resultat al més simplificat possible. k =0
n
∑ i k = i − 1− i + 1 + … + i n
k =0
n
k Si n = 4t, t ∈ ⺞ → ∑ i = 1 k =0
n
k Si n = 4t − 1, t ∈ ⺞ → ∑ i = 0 k =0 n
k Si n = 4t − 2, t ∈ ⺞ → ∑ i = i − 1 k =0 n
k Si n = 4t − 3, t ∈ ⺞ → ∑ i = i k =0
105
Demostra que si el nombre complex z és una arrel del polinomi P(x) = ax2 + bx + c, amb a, b i c ∈ ⺢, –z també n’és una arrel. z = d + ei P(d + ei ) = a(d + ei )2 + b(d + ei ) + c = a(d 2 − e2 + 2dei ) + bd + ebi + c = = ad 2 − ae2 + 2adei + bd + ebi + c = 0 Per tant, tenim que: ad2 − ae2+ bd + c = 0
2adei + ebi = 0
P(d − ei ) = a(d − ei) + b(d − ei ) + c = a(d − e − 2dei ) + bd − ebi + c = = ad 2 − ae2 − 2adei + bd − ebi + c = = ad 2 − ae2+ bd + c − (2adei + ebi ) = 0 2
106
2
2
Troba un polinomi de quart grau amb coeficients reals les arrels del qual siguin 2i i 1 + i. (x + 2i )(x − 2i )(x − (1 + i ))(x − (1 − i )) → x 4 − 2x 3 + 6x 2 − 8x + 8
107
Troba la suma i el producte de les arrels n-èsimes de la unitat. Considerem n 10 = 1k ⋅360° n
La suma de les arrels és:
1360° ⋅ ⎛⎜⎜⎛⎜1360° ⎜⎝⎜⎝ n n
n ⎞⎟ − 1⎞⎟⎟ ⎟⎠ ⎟⎟⎠
⎛1360° − 1⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎝ n
1360° ⋅ (1− 1) =
n
⎛1360° − 1⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎠ ⎝ n
=0
El producte de les arrels és: Pn = 1360° ⋅ 12⋅360° ⋅ … ⋅ 1n⋅360° = 1⎜⎛ 360° n
n
n
⎜⎜ + ⎜⎝ n
2⋅360° n
+…+
n⋅360° ⎟⎞⎟ ⎟ n ⎟⎠
= 1360° n
(1+ 2+…+ n)
= 1360° n
( n+1 ) n
= −1
2
227
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 228
Nombres complexos 108
Calcula les 5 solucions complexes d’aquesta equació. x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 El primer terme és la suma dels termes d’una progressió geomètrica. a1 = 1, r = x
S5 =
( x 6 − 1) x −1
⎪⎧⎪ x1 = 1 ⎪⎪ x = 1 60° ⎪⎪ 2 6 ( x − 1) x 3 = 1120° ⎪ 5 6 Per tant, resulta que: = 0 → x −1= 0 → x = 1 → ⎨ x −1 ⎪⎪⎪ x 4 = 1180° ⎪⎪ x 5 = 1240° ⎪⎪ x 6 = 1300° ⎩ Les solucions són: x2, x3, x4, x5 i x6. 109
Resol el sistema d’equacions amb incògnites z i w. ⎪⎧iz − ( 1 + i ) w = 3 ⎨ ⎩⎪⎪( 2 + i ) z + iw = 4 w + iw + 3 ⎪⎫⎪ z = w − (w + 3)i z= ⎪⎫⎪ ⎪⎪ iz − ( 1+ i ) w = 3 ⎪⎫ i ⎪⎬ → ⎪⎬ → w = 1 + 2i ⎬→ ( ) − − + 8 w 2 w 4 i ⎪ ⎪⎪ (2 + i ) z + iw = 4⎪⎪⎭ 3 z= 4 − iw ⎪⎪ z= ⎪⎭ 5 ⎪ 2+i ⎪⎭ ⎞ ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛⎛ 1 7 − 4i z = ⎜⎜ + 2 i ⎟⎟⎟ − ⎜⎜⎜⎜⎜ + 2 i ⎟⎟⎟ + 3⎟⎟⎟i = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎝⎜⎝ 3 ⎟⎠ 3
110
Troba l’expressió de z si saps que els afixos dels nombres complexos 1, z i z 2 estan alineats. z2
z 1
Les coordenades dels nombres complexos són: A(1, 0) B(a, b) C(a2 − b2, 2ab) Calculem els vectors: ជ = (a − 1, b) ជ = (a2 − b2 − 1, 2ab) AC AB Els punts estan alineats si els vectors són proporcionals. ជ = t AC ជ → (a − 1, b) = t (a2 − b2 − 1, 2ab) AB 1
⎛ 1 ⎞⎟ 2 a − 1 = t ( a 2 − b 2 − 1)⎪⎫ t = 2a ⎟( a − b 2 − 1) ⎬ ⎯⎯⎯→ a − 1 = ⎜⎜⎜ ⎪ ⎝ 2 a ⎟⎟⎠ b = t ⋅ 2 ab ⎪⎭ → a2 − 2 a + 1 = b → b = a − 1 Per tant, resulta que: z = a + (a − 1)i.
228
917221Unidad05.qxd
19/1/09
10:54
Página 229
SOLUCIONARI
111
5
Un hexàgon regular està centrat a l’origen de coordenades i un dels seus vèrtexs és el punt A(1, 0).
A
Troba els vèrtexs d’un altre hexàgon regular amb el mateix centre, costats paral·lels a l’anterior i una àrea 5 vegades més gran. Si els dos polígons són semblants i la raó entre les seves àrees és 5, la raó entre les seves longituds és 5 . Un vèrtex és el punt ( 5 , 0) i els altres vèrtexs són 5 60° , 5 120° , 5 180° , 5 240° i 5 300° . Això seria equivalent a calcular les arrels sisenes de ( 5 ) = 125. 6
229