917221Unidad08.qxd
8
19/1/09
11:01
Página 334
Funcions LITERATURA I MATEMÀTIQUES
A la recerca de Klingsor Una vegada, un reporter va preguntar a Einstein: –Hi ha alguna fórmula per obtenir èxit en la vida? –Sí, n’hi ha una. –Quina és? –va preguntar el reporter, insistent. –Si A representa l’èxit, diria que la fórmula és A = x + y + z, on x és el treball i y, la sort –va explicar Einstein. –I què seria la z? Einstein va somriure abans de contestar: –Mantenir la boca tancada. Un jove nord-americà, Bacon, va estudiar Física a l’Institut d’Estudis Avançats de Princeton i hi va conèixer Einstein, del qual recorda algunes anècdotes, com aquesta. Quan va acabar la Segona Guerra Mundial, es va fer espia i va viatjar a Alemanya per trobar el màxim responsable de les investigacions atòmiques que van dur a terme els nazis, que s’amagava sota el pseudònim de Klingsor. En aquesta recerca el va ajudar un matemàtic anomenat Links, que formava part de l’equip d’investigació nuclear. Per què estàvem junts el tinent Bacon i jo? –pensava en Links. Quan ens vam trobar per primera vegada? Quina era la nostra missió? Com es van encreuar, en fi, les nostres vides paral·leles? Per respondre aquestes qüestions no em queda altre remei sinó parlar una mica de mi. Ubico el meu naixement al mapa de la meva imaginació com un punt petit dibuixat al centre d’un pla cartesià. Cap amunt, a l’eix de les y, hi ha tots els fets positius que m’han passat; en contraposició, cap avall descobreixo les desventures, els retrocessos i els trencaments. A la dreta, a l’eix de les x, trobo els actes que em defineixen, aquells que voluntàriament he convertit en el centre de la meva vida –desitjos, anhels, obsessions–, mentre que, a l’esquerra, jeuen aquells fragments del meu ésser que m’han modelat contra la meva voluntat o la meva consciència, aquelles parts aparentment impredictibles o espontànies que, no ho puc negar, també m’han portat on sóc ara. Quin podria ser el resultat final d’un exercici com aquest? Quina forma podria aparèixer al mig del full? Seria possible traçar les coordenades que he recorregut al llarg del meu trajecte? I obtenir, a partir d’aquesta línia, la fórmula que em resumeixi en cos i ànima? JORGE VOLPI (text adaptat)
Jutja la metàfora de Links. Seria possible representar una «vida» mitjançant una corba en un sistema de coordenades cartesianes? No seria possible, ja que els elements que es descriuen en el text no són traduïbles a punts del pla que puguin descriure una corba.
334
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 335
SOLUCIONARI
8
ABANS DE COMENÇAR... RECORDA 001
Donada la funció f(x) = log (sin x): π a) Està definida per a x = ? 2
b) I per a x =
3π ? 2
⎛π⎞ ⎛ π π⎞ a) f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = log ⎜⎜sin ⎟⎟⎟ = log 1 = 0 →La funció està definida per a x = . ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎛ ⎛ 3π ⎞ 3π 3π ⎞⎟ ⎟⎟ = log (− −1) → La funció no està definida per a x = b) f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = log ⎜⎜sin , ⎜⎝ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟ ⎠ 2 2 perquè el logaritme de −1 no existeix. 002
Expressa les condicions següents en forma d’interval: a) −1 ≤x <5
b) x ≥7
d) Tots els nombres reals.
c) (−⬁, −2]
b) [7, +⬁)
a) [−1, 5)
003
c) x ≤−2
d) (−⬁, +⬁)
Expressa, de manera algebraica i mitjançant una taula, la funció que assigna a cada nombre el seu cub menys dues vegades el seu quadrat. f(x) = x3 − 2x2
004
x
−2
−1
0
1
2
f(x)
−16
−3
0
−1
0
Dibuixa aquestes funcions i indica de quin tipus són: a) Un venedor de mobles té un sou fix de 480 € i, per cada moble que ven, cobra 10 € de comissió. b) A cada nombre real hi fem correspondre el seu doble menys 2. a)
Y
400 X
1
b)
Y
y = 2x − 2 1 1
X
335
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 336
Funcions ACTIVITATS 001
Justifica si les gràfiques següents corresponen a funcions: a)
Y
b)
Y
X
X
a) La gràfica correspon a una funció, perquè a cada valor de x li correspon un únic valor de y. b) La gràfica no correspon a una funció, perquè hi ha valors de x als quals corresponen diversos valors de y. 002
Raona, en cada cas, si la relació entre les magnituds és una funció o no ho és: a) La distància entre dues ciutats i el temps que triguem a anar de l’una a l’altra. b) La quantitat de fruita que compra una família, en quilograms, i el preu per quilogram. c) L’altura dels alumnes d’un centre escolar i l’edat que tenen. a) No es tracta d’una funció, ja que, segons quina sigui la distància entre les dues ciutats, el temps que triguem pot tenir valors diferents, depenent de la velocitat a la qual circulem. b) És una funció, ja que per a cada quantitat de fruita que compra la família hi ha un preu únic segons el preu per quilogram adquirit. c) No es tracta d’una funció, perquè diversos alumnes poden tenir la mateixa altura, tot i ser d’edats diferents
003
Determina el domini i el recorregut d’aquesta funció:
Y
Dom f = [−4, 3] ∪ (4, 6) Im f = [−3, 2] ∪ {4}
1 1
004
Quin és el domini d’aquestes funcions? a) f (x) =
x+4 2x − 5 b) f (x) = 2 x −16
336
c) f(x) = 9x 3 + 6x 2 −9x d) f(x) = cos x
a) Dom f = [−4, +⬁)
c) Dom f = R
b) Dom f = R − {−4, 4}
d) Dom f = R
X
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 337
SOLUCIONARI
8
Y
005
En quins intervals aquesta funció és creixent? I decreixent? A x = 2, la funció és còncava o convexa?
f(x)
La funció és creixent a (−6, −2) ∪ (−1, 2).
1
La funció és decreixent a (−2, −1) ∪ (2, 4).
1
X
1
X
A x = 2, la funció no és ni còncava ni convexa. 006
Y
Estudia el creixement d’aquesta funció: f(x)
La funció és decreixent a (−⬁, −2), és constant a (−2, 1) i és creixent a (1, +⬁).
007
1
Y
A quins punts de la funció hi ha màxims relatius? I mínims relatius? Té màxims o mínims absoluts?
1 X
1
Hi ha un màxim relatiu en el punt x = −2.
f(x)
No té mínims relatius ni absoluts i no hi ha màxims absoluts. 008
Y
Estudia el domini, el recorregut, el creixement i els màxims i els mínims de f(x).
1
Dom f = (−⬁, 6]
X
1
Im f = [−3, +⬁)
f(x)
La funció és decreixent a (−⬁, −3) ∪ (−1, 5) i és creixent a (−3, −1) ∪ (5, 6). Hi ha un màxim relatiu a x = −1 i un mínim absolut a x = 5. No hi ha màxims absoluts. 009
Dibuixa la gràfica d’una funció perquè sigui: a) Imparella.
b) Parella.
Resposta oberta. a)
Y
b)
Y
2 2 2
X 2
X
337
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 338
Funcions 010
Justifica si aquestes funcions són simètriques: a) f (x) =
x4 + 2 x2
a) f (−x) =
b) g(x) =
x 3 −3
(−x)4 + 2 x4 + 2 = = f (x) → f(x) és simètrica respecte de l’eix Y. 2 (−x) x2
b) g(−x) = (−x)3 − 3 = −x 3 − 3 → g(x) no és simètrica. 011
Representa una funció periòdica que tingui el període determinat per aquesta gràfica: Y
1 X
1
Y 2 X
4
012
Raona si les gràfiques següents corresponen a funcions periòdiques: a)
b)
Y
Y
1 1
X
1
X
1
a) La funció és periòdica i el seu període és 4. b) La funció no és periòdica, perquè la gràfica no es repeteix. 013
A partir de la gràfica de y = f(x), identifica a quina funció correspon cadascuna de les gràfiques que apareixen a la figura. Y f
h
i
1 1
X g
g(x) = −f(x) h(x) = f(−x) i(x) = f(x −3)
338
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 339
SOLUCIONARI
014
8
A partir de la gràfica de y = f(x), representa aquestes funcions: Y
1 X
1 f(x)
a) y = f(x) −3
b) y = f(x + 2)
c) y = −f(−x)
Y
a)
1 X
1 f(x) f(x) − 3 Y
b) f(x + 2)
1 X
1 f(x) Y
c) −f(−x)
1 X
1 f(x)
015
Determina el valor d’aquestes funcions al punt x = −5, x+3 si f(x) = x 2 −3 i g(x) = . x ⎛f ⎞ a) (f −g)(x) b) (f ⋅ g)(x) c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ (x) ⎜⎝ g ⎟⎠ a) (f − g)(x) = x 2 − 3 − ⎛ b) (f ⋅ g)(x) = (x 2 − 3) ⋅ ⎜⎜ ⎜⎝
108 x+3 −5 + 3 = (f − g)(−5) = (−5)2 − 3 − 5 x −5 x + 3 ⎞⎟ x 3 + 3x 2 − 3x − 9 ⎟⎟ = x ⎟⎠ x
(−5)3 + 3(−5)2 − 3(−5) − 9 44 = −5 5 2 3 3 ⎛ f ⎞⎟ ⎞ ⎛ x −3 x − 3x ⎜⎜ f ⎟⎟(−5) = (−5) − 3(−5) = 55 = c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟(x) = ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ x+3 −5 + 3 x+3 ⎝g⎠ ⎝g⎠ x (f ⋅ g)(−5) =
339
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 340
Funcions 016
x2 + 3 , calcula el valor de les funcions següents x +1 als punts que s’indiquen: ⎛ f ⎞⎟ b) ⎜⎜ ⎟⎟(−1) a) (f ⋅ g)(−4) ⎜⎝ g ⎟⎠
Si f(x) =
x 5 i g(x) =
a) (f ⋅ g)(x) =
x5 ⋅
x2 + 3 x +1
No existeix (f · g)(−4), perquè (−4)5 no és real, ja que el radicand és negatiu. ⎛f ⎞ (x + 1) x 5 x5 = b) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(x) = 2 x +3 x2 + 3 ⎝ g ⎟⎠ x +1 ⎛ f ⎞⎟ No existeix ⎜⎜⎜ ⎟⎟(−1), perquè (−1)5 no és real, ja que el radicand és negatiu. ⎜⎝ g ⎟⎠ 017
Determina el valor de la composició de funcions que s’indica a cada apartat, x −1 . a x = −4, si f(x) = x 2 i g(x) = x a) (f o g)(x) c) (f o f )(x) b) (g o f )(x)
d) (g o g)(x)
⎛ 5 ⎞ 25 a) (f o g)(−4) = f ( g(−4)) = f ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 16 15 b) (g o f )(−4) = g(f (−4)) = g(16) = 16 c) (f o f )(−4) = f (f (−4)) = f (16) = 256 ⎛5⎞ 1 d) ( g o g)(−4) = g(g(−4)) = g⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎝ 4 ⎟⎠ 5
018
Si f(x) = 2x 3 i g(x) = x −4, troba el valor d’aquestes funcions als punts que s’indiquen; determina primer la composició de funcions corresponent: a) (f o g)(5)
b) (g o f )(5)
A partir dels apartats anteriors, justifica si la composició de funcions és commutativa. a) (f o g)(x) = f (g(x)) = f (x − 4) = (f o g)(5) =
2
b) (g o f )(x) = g(f (x)) = g( 2x 3 ) = (g o f )(5) =
2(x − 4)3
2x 3 − 4
250 − 4 = 5 10 − 4
(f o g)(5) ⫽ (g o f ) (5) → La composició de funcions no éss conmutativa.
340
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 341
SOLUCIONARI
019
Si f(x) = 3x + 2 i g(x) =
8
x : x +1
a) Determina g o f, f o g i g o g. b) Troba les funcions inverses de f(x) i de g(x), i comprova que f o f −1 i g−1 o g són la funció d’identitat. a) (g o f )(x) = g(f ( x )) = g(3x + 2) =
3x + 2 3x + 3
⎛ x ⎞⎟ x 5x + 2 ⎟ = 3⋅ +2= (f o g)( x ) = f (g( x )) = f ⎜⎜ ⎜⎝ x + 1 ⎟⎟⎠ x +1 x +1 x ⎛ x ⎞⎟ x +1 x ⎟= = (g o g)( x ) = g(g( x )) = g⎜⎜ ⎜⎝ x + 1 ⎟⎟⎠ x 2x + 1 +1 x +1 b) y = 3x + 2 → x =
y −2 x −2 → f −1( x ) = 3 3
⎛ x − 2 ⎞⎟ x −2 ⎟ = 3⋅ +2= x (f o f −1)(x) = f (f −1( x )) = f ⎜⎜ ⎜⎝ 3 ⎟⎟⎠ 3 x y x → xy + y = x → x − xy = y → x = → g−1( x ) = 1− y 1− x x +1 x ⎞ ⎛ x x − 1 x ⎟⎟ = = =x (g−1 o g)( x ) = g−1(g( x )) = g−1⎜⎜ ⎜⎝ 1− x ⎟⎟⎠ x + 1− x x +1 1− x y=
020
Esbrina quina és la funció inversa de f (x) =
7+ x . x
a) Representa les funcions f(x) i f −1(x). b) Comprova si les gràfiques són simètriques respecte de la recta y = x. y=
7+ x 7 7 → xy = 7 + x → xy − x = 7 → x = → f −1( x ) = x y −1 x −1 Y
a)
f −1(x)
2 2
X
f(x)
b) Les funcions són simètriques respecte de la recta y = x.
341
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 342
Funcions 021
Raona si les gràfiques següents poden correspondre a una funció: a)
Y
1
b)
1
X
1
X
1
X
1
X
Y
1
c)
Y
1
d)
Y
1
a) La gràfica correspon a una funció, perquè a cada valor de x li correspon un únic valor de y. b) La gràfica no correspon a una funció, perquè als valors de x situats entre els vèrtexs de l’el·lipse els corresponen dos valors de y. c) La gràfica correspon a una funció, perquè a cada valor de x li correspon un únic valor de y. d) La gràfica no correspon a una funció, perquè hi ha valors de x als quals corresponen diversos valors de y. 022
Construeix una taula i representa aquestes funcions: a) b) c) d)
342
Cada nombre enter el relacionem amb el nombre de divisors positius que té. Cada nombre real el relacionem amb la seva part entera. A cada nombre hi fem correspondre el mateix nombre menys el seu valor absolut. A cada nombre hi correspon el valor 2.
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 343
SOLUCIONARI
a)
x
−4
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
f(x)
3
2
2
1
0
1
2
2
3
8
Y
1 X
1
b)
x
−2
−1,6
−1
−0,4
0
0,7
1
1,5
2
f(x)
−2
−2
−1
−1
0
0
1
1
2
Y
1 X
1
c)
x
−2
−1,6
−1
−0,4
0
0,7
1
1,5
2
f(x)
−4
−3,2
−2
−0,8
0
0
0
0
0
Y 1 X
1
d)
x
−2
−1
0
1
2
f(x)
2
2
2
2
2
Y
1 1
X
343
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 344
Funcions 023
Al llarg d’un dia mesurem la longitud, en metres, de l’ombra que projecta un fanal des que surt el sol fins que es pon. Les mesures, preses cada dues hores, des de les 6:00 h, es mostren a continuació. 0
25
17
5
2
6 19 32 0 a) Penses que les taules defineixen una funció? b) En cas afirmatiu, identifica’n les variables. a) La taula defineix una funció perquè a cada hora li correspon una única longitud de l’ombra. b) La variable independent x correspon a l’hora del dia, i la variable dependent y correspon a la longitud, en metres, de l’ombra. 024
Comprova si els punts següents són als dominis de cada funció: a) Els punts x = 3, x = 2 i x = −5 per a la funció f (x) =
x +1.
b) Els punts x = 3, x = 4 i x = 5 per a la funció f(x) = ln (x −4). 3x − 6 . c) Els punts x = 2, x = −2 i x = 0 per a la funció f (x) = x+2 a) 3 + 1 = 2 → x = 3 ∈ Dom f 2+1 =
3 → x = 2 ∈ Dom f
−5 + 1 = −4 ∉ ¡ → x = −5 ∉ Dom f b) ln (3 − 4) = ln (−1) ∉ R → x = 3 ∉ Dom f ln (4 − 4) = ln 0 ∉ R → x = 4 ∉ Dom f ln (5 − 4) = ln 1 = 0 → x = 5 ∈ Dom f c)
025
3⋅ 2− 6 = 0 → x = 2 ∈ Dom f 2+2 −12 3(−2) − 6 = ∉ ¡ → x = −2 ∉ Dom f −2 + 2 0 3⋅ 0 − 6 = −3 → x = 0 ∈ Dom f 0+2
Estudia si els valors de l’ordenada, y, estan inclosos en els recorreguts d’aquestes funcions: a) Les ordenades y = 3, y = 2 i y = −5 per a la funció f (x) =
3x − 3 .
b) Les ordenades y = 0, y = 30 i y = −3 per a la funció f(x) = x 2 −5x + 6. 2x − 5 13 i y = −7 per a la funció f (x) = . c) Les ordenades y = 1, y = x+2 6 a) 3x − 3 = 3 → 3x − 3 = 9 → x = 4 → y = 3 ∈ Im f 7 3x − 3 = 2 → 3x − 3 = 4 → x = → y = 2 ∈ Im f 3 y = −5 ∉ Im f, perquè l’arrel no pot prendre valors negatius.
344
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 345
SOLUCIONARI
8
b) x2 − 5x + 6 = 0 → x = 2 o x = 3 → y = 0 ∈ Im f x2 − 5x + 6 = 30 → x2 − 5x − 24 = 0 → x = 8 o x = −3 → y = 30 ∈ Im f x2 − 5x + 6 = −3 → x2 − 5x + 9 = 0 → Δ = −11 < 0 → L’equació no té solucions → y = −3 ∈ Im f c)
026
2x − 5 = 1 → 2x − 5 = x + 2 → x = 7 → y = 1 ∈ Im f x+2 2x − 5 13 13 = → 12x − 30 = 13x + 26 → x = −56 → y = ∈ Im f x+2 6 6 2x − 5 = −7 → 2x − 5 = −7x − 14 → x = −1 → y = −7 ∈ Im f x+2
Determina el domini d’aquestes funcions: x2 x −3 7 c) f (x) = 2 b) f (x) = x +1 7 x −3 a) Dom f = R c) Dom f = R b) Dom f = R − {3} d) Dom f = R − {−2, 0}
a) f (x) =
027
d) f ( x) =
x −1 x 2 + 2x
Estudia el domini de les funcions següents: a) y =
x+3
c) y =
x 2 − 4x + 4
e) y =
x 2 + 2x + 9
b) y =
2x 2 + 3x − 2
d) y =
5 − 2x
f) y =
6 + x − x2
a) Dom f = [−3, +⬁)
⎪⎧⎪ x = −2 b) 2x 2 + 3x − 2 = 0 → ⎪⎨ 1 ⎪⎪ x = ⎪⎩ 2 ⎞ ⎛1 Dom f = (−⬁, −2) ∪ ⎜⎜ , + ⬁⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ c) x2 −4x + 4 = 0 → x = 2 Dom f = R ⎛ 5⎤ d) Dom f = ⎜⎜−⬁, ⎥ ⎜⎝ 2 ⎥⎦ e) x2 + 2x + 9 = 0 → Δ = −32 < 0 → L’equació no té solucions. Dom f = R ⎪⎧ x = −2 f) 6 + x − x 2 = 0 → ⎨ ⎪⎪⎩ x = 3 Dom f = [−2, 3] 028
Escriu el domini d’aquestes funcions: a) y = log4 (x −4) b) y = cos (1 −x) a) Dom f = (4, +⬁) b) Dom f = R
c) y = 3ln x d) y = sin (x −π) c) Dom f = (0, +⬁) d) Dom f = R
⎛ 10 ⎞⎟ ⎟ e) y = ln ⎜⎜⎜ ⎝ 4 − x ⎟⎠ e) Dom f = (−⬁, 4)
345
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 346
Funcions 029
Analitza el domini de les funcions següents: a) y = log4 (5 + x) b) y = 23x−6 1
c) y = 5 x −2 d) y = 2 −tg x 3 e) y = ⎛ π⎞ tg ⎜⎜ x + ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2⎠ a) Dom f = (−5, + ⬁) b) Dom f = R c) Dom f = R − {2} ⎧⎪ π ⎫⎪ d) Dom f = ¡ − ⎪⎨ + kπ, k ∈ ¢ ⎪⎬ ⎩⎪⎪ 2 ⎭⎪⎪ ⎧⎪⎪ π ⎫⎪ π e) Dom f = ¡ − ⎨ + k , k ∈ ¢ ⎪⎬ ⎪⎪⎩ 2 ⎪⎪⎭ 2 030
Determina el domini d’aquestes funcions: a) y = b) y = c) y =
x +1 + 8−x 3
x+2 ⋅ x+3 2x − 4 ⋅ 1 − x
a) Dom f = [−1, 8] b) Dom f = [−3, +⬁) c) Dom f = ∅ 031
Estudia el domini i el recorregut de les funcions següents: a) y = 5x −3 b) y = 2 + x −1 3 c) y = x d) y = 2 −4x e) y = 3 − x + 3 + x 2 f) y = x −2 a) Dom f = R Im f = R
d) Dom f = R Im f = (−⬁, 2)
b) Dom f = [1, +⬁) Im f = [2, +⬁)
e) Dom f = [−3, 3] Im f = ⎡⎣ 6 , 2 3 ⎤⎦ f) Dom f = R − {2} Im f = R − {0}
c) Dom f = R − {0} Im f = R − {0}
346
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 347
SOLUCIONARI
032
8
Estudia les característiques de les funcions següents: a)
Y
c)
Y
1
1 X
1
b)
1
d)
Y
1
X
Y
1 1
X
1
X
a) Dom f = R − {0} Im f = R − {0} La funció és decreixent a (−⬁, 0) ∪ (0, +⬁). No hi ha màxims ni mínims relatius ni absoluts. És convexa a (−⬁, 0) i és còncava a (0, +⬁). La funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades. No hi ha periodicitat. Im f = R b) Dom f = R − {0} La funció és creixent a (−⬁, −2) i és decreixent a (−2, 0) ∪ (0, +⬁). No hi ha màxims ni mínims relatius ni absoluts. És convexa a (−⬁, −2) ∪ (−2, 0) i és còncava a (0, +⬁). La funció no és simètrica ni periòdica. 3 ⎪⎫ ⎪⎧ c) Dom f = ¡ − ⎪⎨−1, ⎪⎬ Im f = R ⎪⎪⎩ 2 ⎪⎪⎭ La funció és creixent a (−⬁, −2) ∪ (2, +⬁) i és decreixent a ⎛ 3⎞ ⎛3 ⎞ (−2, −1) ∪ ⎜⎜−1, ⎟⎟⎟ ∪ ⎜⎜ , 2⎟⎟⎟. ⎝⎜ 2 ⎠⎟ ⎝⎜ 2 ⎠⎟ Hi ha un màxim relatiu a x = −2 i un mínim relatiu a x = 2. ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛3 És convexa a (−⬁, − 1) ∪ ⎜⎜⎜0, ⎟⎟⎟ i és còncava a (−1, 0) ∪ ⎜⎜⎜ , + ⬁⎟⎟⎟. ⎟ ⎟⎠ ⎝ 2⎠ ⎝2 La funció no és simètrica ni periòdica. d) Dom f = R − {−1,5; 1; 3,5} Im f = R La funció és creixent a (−⬁; −1,5) ∪ (−1,5; −0,5) ∪ (0,5; 1) ∪ (1; 3,5) ∪ (3,5; 4,5) i és decreixent a (−0,5; 0,5) ∪ (4,5; +⬁). Hi ha un màxim relatiu a x = −0,5 i a x = 4,5, i un mínim relatiu a x = 0,5. És còncava a (−⬁; −1,5) ∪ (0, 1) ∪ (1; 3,5) i és convexa a (−0,5; 0) ∪ (3,5; 5). La funció no és simètrica ni periòdica.
347
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 348
Funcions 033
Considera la funció que relaciona el temps (dies) amb la superfície visible de la Lluna. a) És una funció periòdica? b) En cas afirmatiu, indica’n el període. a) Com que la superfície visible depèn de les fases de la rotació de la Lluna al voltant de la Terra, la funció és periòdica. b) El període és de 28 dies.
034
Estudia les simetries d’aquesta funció: f(x) = x3 −3x f(−x) = (−x)3 −3(−x) = −x3 + 3x = −f(x) → La funció és simètrica respecte de l’origen de coordenades.
035
Donada la gràfica de la funció y = x 2: Y
1 X
1
representa aquestes funcions: a) y = (x −2)2
c) y = (x + 3)2
b) y = x + 3
d) y = x 2 −4
2
Y
a)
Y
c) y=x
2
y = x2
y = (x + 3)2
1
1 1
y = (x − 2)2
X
Y
b)
1
d)
Y 1
y = x2
y = x2 X
1
y = x2 + 3 1 1
348
X
X
y = x2 − 4
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 349
SOLUCIONARI
036
8
A partir de la funció següent: Y
f ( x) =
12 x
5 X
5
troba la gràfica d’aquestes funcions: a) g(x) =
12 x −2
b) h(x) =
12 x+4
c) i ( x) =
12 +1 x
d) j (x) = −
12 x
Y
a)
g(x) 2 4
X
f (x)
Y
b)
f (x) 2 X
2 h(x)
Y
c)
i(x) 2 X
2 f (x)
d)
Y f (x) 2 X
2 j(x)
349
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 350
Funcions Y
037
Amb la gràfica d’aquesta funció: f(x) = x 2 −2x
1 1
X
representa gràficament les funcions següents: a) f(x −2)
b) −f(x)
c) f(x + 1)
d) f(x) + 2
Raona com ho fas i calcula’n l’expressió algebraica. Y
a) f (x)
f (x − 2)
2 2
f(x − 2) = (x − 2)2 + 2(x − 2) = x2 − 2x X
Y
b)
f (x) 2 X
1
−f(x) = −x2 − 2x
−f (x)
Y
c)
f (x)
f (x + 1)
f(x + 1) = (x + 1)2 + 2(x + 1) = x2 + 4x + 3
2 X
2
Y
d)
f (x) f (x) + 2
f(x) + 2 = x2 + 2x + 2
2 2
350
X
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 351
SOLUCIONARI
038
8
A partir de cada gràfica, dibuixa la gràfica de les funcions que s’indiquen: a) f(−x) i −f(x)
Y f(x) 2
b) g(x) + 1 i g(x) −3
1
X
1
X
Y g(x) 1
c) h(x + 1) i h(x −2)
Y
1 1
X
h(x) Y
a)
f (x) f (−x)
2 X
2 −f (x) Y
b)
g(x) + 1 1 X
1 g(x) g(x) − 3 Y
c) h(x + 1)
1 1
h(x)
X
h(x − 2)
351
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 352
Funcions 039
La gràfica pertany a la de la funció y =
2 . x
Y y=
2 x
1 X
1
A partir d’aquesta gràfica, construeix la de les funcions: a) y =
2 +3 x −1
b) y = 2 −
c) y =
2 x −3
2 −1 x+2
d) y = −1 − Y
a)
2 x +1 Y
c) y=
y=
2 −1 x +2
1
2
y=
X
1 X
2
2 x
y=
2 +3 x −1 Y
d)
Y
b)
2 x
y = 2−
2 y = −1− x +1
2 x −3
y=
2 x
1 1
X
1 y=
040
X
1
2 x
8 Donada la funció f (x) = , determina l’expressió analítica d’aquestes funcions x i representa-les: a) f(x −3)
b) f(x) + 3
a) f (x − 3) =
c) f(−x)
8 x −3
d) −f(x)
b) f ( x ) + 3 =
8 +3 x
Y
Y f (x − 3)
f (x) + 3
2 2 f (x)
352
2
X
2 f (x)
X
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 353
SOLUCIONARI
c) f (−x) = −
8 x
d) −f ( x ) = −
8 x
Y
Y
2
2 X
2
041
X
2
f (−x)
f (x)
8
−f (x)
f (x)
Donades les funcions: f ( x) =
x+2
g ( x) =
3 x 2 −1
calcula. a) (f + g)(5) b) (f −g)(3)
c) (f ⋅ g)(0) ⎛f ⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(−2) ⎝ g ⎠⎟
e) (f ⋅ f )(2)
g) (g −f )(3)
⎛g⎞ i) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(−2) ⎝f ⎠
f ) (g + f )(5)
h) (f + f ⋅ g)(0)
j) f 2(2)
a) (f + g)(x) =
x+2 +
3 x2 −1
(f + g)(5) = 7 +
1 8
b) (f − g)(x) =
x +2 −
3 x2 −1
(f − g)(3) =
3 8
c) (f ⋅ g)(x) =
3 x+2 x2 −1
5−
(f ⋅ g)(0) = −3 2
⎛f ⎞ (x 2 − 1) x + 2 d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(x) = ⎜⎝ g ⎟⎠ 3
⎛ f ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟(−2) = 0 ⎜⎜⎝ g ⎟⎟⎠
e) (f ⋅ f )(x) = x + 2
(f ⋅ f )(2) = 4
f ) ( g + f )( x ) =
3 + x2 −1
x+2
( g + f )(5) =
1 + 7 8
g) ( g − f )(x) =
3 − x+2 x2 −1
( g − f )(3) =
3 − 5 8
h) (f + f ⋅ g)(x) =
x+2 +
3 x+2 x2 −1
(f ⋅ g)(0) = −2 2
⎛g⎞ 3 i) ⎜⎜ ⎟⎟⎟(x) = ⎜⎝ f ⎟⎠ 2 (x − 1) x + 2 ⎛ g ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟(−2) no és real, perquè el denominador d’una fracció no pot ser igual a 0. ⎝⎜ f ⎟⎟⎠ j) (f 2)(x) = x + 2
(f 2)(2) = 4
353
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 354
Funcions 042
Calcula el domini d’aquestes funcions: f ( x) =
x2 −4
g(x) =
25 − x 2
Utilitza el resultat per calcular el domini de les funcions següents: a) (f + g)(x)
⎛f ⎞ c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(x) ⎝ g ⎟⎠
b) (f ⋅ g)(x)
⎛g⎞ d) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(x) ⎝f ⎠
Dom f = (−⬁, −2] ∪ [2, + ⬁) Dom g = [−5, 5] a) Dom (f + g) = [−5, −2] ∪ [2, 5] b) Dom (f · g) = [−5, −2] ∪ [2, 5] ⎛f ⎞ c) Dom ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = (−5, −2] ∪ [2, 5) ⎝ g ⎟⎠ ⎛g⎞ d) Dom ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = [ −5, −2) ∪ (2, 5] ⎜⎝ f ⎠⎟ 043
Donades les funcions: m(x) =
x2 −4
n(x) = x + 6
p(x) =
defineix les funcions següents i determina’n els dominis: ⎛n⎞ a) (m + n)(x) c) ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟(x) ⎝m⎠ b) (n + p)(x) a) (m + n)( x ) =
d) (m ⋅ n + p)(x) x2 − 4 + x + 6
Dom (m + n) = (−⬁, −2] ∪ [2, +⬁) b) (n + p)( x ) = x + 6 +
x −1 x +1
Dom (n + p) = R − {−1} ⎛n⎞ c) ⎜⎜ ⎟⎟⎟( x ) = ⎜⎝ m ⎟⎠
x+6 x2 − 4
⎛n⎞ Dom ⎜⎜ ⎟⎟⎟ = (−⬁, −2) ∪ (2, + ⬁) ⎜⎝ m ⎟⎠ d) (m ⋅ n + p)( x ) =
x 2 − 4 ⋅ ( x + 6) +
x −1 x +1
Dom (m · n + p) = (−⬁, −2] ∪ [2, +⬁)
354
x −1 x +1
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 355
SOLUCIONARI
044
8
Donades les funcions: f(x) = 2x
g(x) = x 2
h(x) =
1 x
calcula aquestes composicions de funcions: a) f o g
d) g o f
b) g o h
e) h o g
c) h o f
f) f o h
Determina el valor de cada funció per a x = 3. a) (f o g)( x ) = f (g( x )) = f ( x 2) = 2 x
2
(f o g)(3) = 512 ⎛ 1⎞ 1 b) (g o h)( x ) = g(h( x )) = g⎜⎜ ⎟⎟⎟ = 2 ⎜⎝ x ⎟⎠ x 1 (g o h)(3) = 9 c) (h o f )( x ) = h(f ( x )) = h(2 x ) = (h o f )(3) =
1 8
1 2x
d) (g o f )( x ) = g(f ( x )) = g(2 x ) = 22x (g o f )(3) = 64 e) (h o g)( x ) = h( g( x )) = h( x 2) = (h o g)(3) =
1 9
⎛ f) (f o h)( x ) = f (h( x )) = f ⎜⎜ ⎜⎝ 3 (f o h)(3) = 2 045
1 x2
1 ⎞⎟ ⎟⎟ = 2 x x ⎟⎠
1
Comprova amb les funcions f (x) = x + 1 i g(x) = 3x −2 que la composició de funcions no és commutativa. Calcula el domini de f o g i de g o f. (f o g)( x ) = f ( g( x )) = f (3x − 2) =
3x − 1
(g o f )( x ) = g(f ( x )) = g( x + 1 ) = 3 x + 1 − 2 (f o g)(x) ⫽ (g o f )(x) → La composició de funcions no és commutativa. ⎡1 ⎞ Dom (f o g) = ⎢ , + ⬁⎟⎟⎟ ⎟⎠ ⎢⎣ 3 Dom (g o f ) = [−1, + ⬁)
355
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 356
Funcions 046
Explica de quina manera hem de compondre les funcions: f ( x) =
x2 + 4
g(x) = 5x + 1
h(x) =
2 x +1
per aconseguir les funcions següents: a) m(x) = 5 x 2 + 4 + 1
b) n(x) = 25x + 6
c) p(x) =
x + 11 x +1
a) ( g o f )( x ) = g(f ( x )) = g( x 2 + 4 ) = 5 x 2 + 4 + 1 = m( x ) b) ( g o g)( x ) = g(g( x )) = g(5x + 1) = 5(5x + 1) + 1 = 25x + 6 = n(x) ⎛ 2 ⎞⎟ 10 x + 11 ⎟= + 1= c) ( g o h)( x ) = g(h( x )) = g⎜⎜ = = p( x ) ⎜⎝ x + 1 ⎟⎟⎠ x +1 x +1 047
Determina f o f −1 i f −1 o f als parells de funcions següents per comprovar si són inverses o no:
c) f(x) = 2x
1 x +1 3 x ⎛ 1⎞ i f −1(x) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎝2⎠ i f −1(x) = log2 x
d) f(x) = sin x
i f −1(x) = arc sin x
a) f(x) = 3x −1 i f −1(x) = b) f(x) = 2x
e) f(x) = x + 2 i f −1(x) = 2
x −2
⎞ ⎞ ⎛1 ⎛1 a) (f o f −1)( x ) = f (f −1( x )) = f ⎜⎜ x + 1⎟⎟⎟ = 3⎜⎜ x + 1⎟⎟⎟ − 1 = x + 2 ⎜⎝ 3 ⎜⎝ 3 ⎟⎠ ⎟⎠ 1 2 (f −1 o f )( x ) = f −1(f ( x )) = f −1(3x − 1) = (3x − 1) + 1 = x + 3 3 Les funcions no són inverses. ⎛⎜ 1 ⎟⎞x ⎛⎛ 1 ⎞x ⎞⎟ ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜⎜ ⎟ ⎟ b) (f o f )( x ) = f (f ( x )) = f ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = 2⎝ 2 ⎠ ⎜⎜⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎟⎟ ⎝ ⎠ −1
−1
2x
⎛ 1⎞ (f −1 o f )( x ) = f −1(f ( x )) = f −1(2 x ) = ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ Les funcions no són inverses.
c) (f o f −1)( x ) = f (f −1( x )) = f (log2 x) = 2log2 x = x (f −1 of )( x ) = f −1(f ( x )) = f −1(2 x ) = log2 2 x = x Les funcions són inverses. d) (f o f −1)( x ) = f (f −1( x )) = f (arc sin x) = sin (arc sin x) = x (f −1 o f )( x ) = f −1(f ( x )) = f −1(sin x) = arc sin (sin x) = x Les funcions són inverses. e) (f o f −1)( x ) = f (f −1( x )) = f ( x − 2 ) = x − 2 + 2 = x (f −1 o f )( x ) = f −1(f ( x )) = f −1(x 2 + 2) = x 2 + 2 − 2 = x Les funcions són inverses.
356
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 357
SOLUCIONARI
048
8
Calcula la funció inversa de cada funció: a) y = 2x + 5 b) y =
3−x 2
c) y =
3
2x − 3
Comprova que les gràfiques són simètriques respecte de la bisectriu del primer quadrant. y −5 x −5 → f −1( x ) = 2 2
a) y = 2x + 5 → x = Y
2 X
2 −1
f (x) f (x)
b) y =
3− x → x = 3 − 2y → f −1( x ) = 3 − 2x 2 Y
f (x) 2 X
2 f −1(x)
c) y =
3
2x − 3 → x =
y3 + 3 x3 + 3 → f −1( x ) = 2 2
Y
f (x)
f −1(x) 1 1
X
357
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 358
Funcions 049
Donada la gràfica de la funció y = x 3: Y y = x3
1 X
1
dibuixa la gràfica de la seva funció inversa. Y f (x)
1 1
X
f −1(x)
050
Dibuixa les funcions inverses: a)
Y y = ln (x + 3) 1 X
1
b)
Y
y = 1 + 2x 1 1
358
X
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 359
SOLUCIONARI
c)
8
Y
1 X
1 y=
1 + log2 x 2
d)
Y y = 2x − 1
1
X
1
Y
a)
f −1(x) 2 X
2 f (x) Y
b)
f (x) 1 X
1 f −1(x) Y
c)
f −1(x) 1 X
1 f (x) Y
d)
f (x) 1 1
X
−1
f (x)
359
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 360
Funcions 051
Dibuixa funcions que compleixin aquestes propietats: a) El domini i el recorregut són R. b) El domini és R −{1}. c) És creixent i el domini és R −{−1, 2}. d) És logarítmica i el domini és (3, +⬁). e) És logarítmica i el domini és (−⬁, −2). f ) És exponencial i el domini és R −{0}. Resposta oberta. Y
a)
d)
Y
f (x) 1
1 X
1
X
1 f (x)
b)
Y
Y
e) f (x) f (x)
1
c)
1
X
2
Y
1
f)
X
Y f (x)
1 X
1
1 1
f (x)
052
En una casa paguen a l’empresa que els subministra electricitat 10 euros de despesa fixa i 0,50 euros per cada quilowatt consumit. a) Troba una expressió de la relació que hi ha entre el consum i el preu, i representa-la. b) Si a aquesta quantitat cal afegir-hi el 16% d’IVA, com serà l’equació? Com variarà la gràfica?
360
X
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 361
SOLUCIONARI
8
a) f(x) = 10 + 0,5x Y f (x)
8 X
2
b) g(x) = (10 + 0,5x) · 1,16 = 11,6 + 0,58x Y g(x)
f (x)
8 X
2
La gràfica és una altra recta amb més pendent que la primera.
053
Troba el domini de les funcions del tipus f (x) =
1 n
x
, en què n és un nombre natural.
Si n és senar: Dom f = R − {0} Si n és parell: Dom f = (0, +⬁)
054
El manual d’usuari d’un vehicle afirma que el soroll que produeix el motor segueix aproximadament aquesta fórmula: r = at 2 + 2,8t + 8 en què t és el nombre d’anys d’antiguitat del vehicle; a és un nombre fix, que s’anomena coeficient d’atenuació, i r és el nivell de soroll, mesurat en decibels. La setmana passada vaig portar el cotxe a passar la revisió dels quatre anys i a l’informe figura que el mesurament de soroll va ser de 27 decibels. Quin és el coeficient d’atenuació? Quants decibels produirà als vuit anys? 27 = a · 42 + 2,8 · 4 + 8 → 16a = 7,8 → a = 0,4875 Als vuit anys produirà: r = 0,4875 · 82 + 2,8 · 8 + 8 = 61,6 decibels
361
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 362
Funcions 055
En una circumferència de 5 cm de radi inscrivim un rectangle de costat x. a) Expressa l’àrea en funció de x. Quin domini té? b) Fes un tempteig per mirar de determinar el valor màxim que pot prendre aquesta funció. Quant faran els costats del rectangle en aquest cas? Quin tant per cent de la superfície del cercle ocupa el rectangle?
10
x
b
a) Si apliquem el teorema de Pitàgores: 102 = b 2 + x 2 → b = 100 − x 2 L’àrea del rectangle ve donada per la funció: f(x) = x 100 − x 2 b) Com que x és la mesura d’un costat, el domini de la funció és: Dom f = [0, 10] x
0
1
f (x)
0
9,95
2
3
4
19,59 28,62 36,66
5
6
7
8
9
10
43,3
48
49,98
48
39,23
0
El valor màxim de l’àrea és, aproximadament, 49,98 cm2. En aquest cas, el costat x fa 7 cm; per tant, l’altre costat fa: b = 51 = 7,14 cm L’àrea del cercle és: A = πr 2 = 78, 53 cm2 49, 98 Com que = 0,6364, l’àrea del rectangle ocupa el 63,64 % 78, 53 de la superfície del cercle. 056
Considera aquests triangles, de superfície S.
h b
h
h
b
b
a) Escriu l’expressió analítica que relaciona la base en relació amb l’altura en aquests triangles. b) Quina és la funció que relaciona l’altura en relació amb la base?
c) Representa totes dues funcions. a) b = c)
2A h
b) h = Y
2A b Y
b
h
2
2 2
Les dues gràfiques són iguals.
362
X
2
X
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 363
SOLUCIONARI
057
8
Durant els últims anys, els ingressos i les despeses, en milers d’euros, d’una empresa vénen donats per les funcions següents: I(x) = 200 x 2 −800 x + 3.800 D(x) = −150 x 2 + 900 x + 2.100 en què x és un valor comprès entre 0 (any 2000) i 7 (any 2007). a) Calcula la funció benefici. b) Representa les tres funcions als mateixos eixos. a) B(x) = I(x) − D(x) = 350x 2 − 1.700x + 1.700 b) Representació gràfica de les tres funcions:
350x 2 – 1.700x + 1.700 = 0 → x =
⎧⎪ a ≅ 1, 41⎫⎪ 1.700 ± 1.7002 – 4 · 3.501 · 1.700 →⎨ ⎬ ⎪⎪⎩b ≅ 3, 45⎪⎪⎭ 2 · 350
Y 8.000
I(x)
6.000
4.000 D(x)
2.000
0
058
X
B(x)
0
1 a 2
3 b 4
5
6
7
Una empresa ha fet una inversió per modernitzar les seves instal·lacions i poder incrementar la producció. La taula següent representa els resultats de l’últim trimestre. Ingressos (milers €)
Despeses (milers €)
Juliol
24,5
26
Agost
22
17
Setembre
27
18
Octubre
30
22
Novembre
35
24
Desembre
38
32
Mes
Dibuixa una gràfica que representi de manera conjunta aquests resultats.
363
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 364
Funcions 40 35 30 Ingressos (milers €) Despeses (milers €)
25 20 15 10 5 0 0
059
Ju.
Se.
Ag.
Oc. No. De.
Un vianant surt d’un punt A cap a un altre, B, situat a 20 km de distància, a les 12 hores del matí i va a 5 km/h. Quan ha caminat una hora, descansa 15 minuts i continua caminant. Troba la gràfica del seu moviment i determina a quina hora ha arribat a la seva destinació.
Hora
Distància recorreguda
12 12,15 12,30 12,45 13 13,15 13,30 13,45 14 14,15 14,30 14,45 15 15,15 15,30 15,45 16 16,15
0 1,25 2,5 3,75 5 5 6,25 7,5 8,75 10 11,25 12,5 13,75 15 16,25 17,5 18,75 20
Distància recorreguda (km)
Fem una taula amb les hores (de quart en quart) i les distàncies, i recollim aquestes dades en una gràfica de punts:
20 16 12 8 4 0 12
13
14 Hora
15
16
El vianant ha arribat a la seva destinació a un quart de cinc de la tarda.
060
364
Un ciclista surt d’una ciutat A a les 7 del matí a 25 km/h en direcció a una ciutat B que dista de la primera 175 km. A les dues hores i quart de marxa té una avaria que l’obliga a aturar-se una hora i mitja. Surt, després, a 37,5 km/h sense variar la velocitat fins a arribar a la ciutat B.
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 365
8
SOLUCIONARI
a) A quina hora arribarà? b) A quina distància es troba de A les dotze del migdia? c) Quina hora era quan es trobava a 167,5 km de la ciutat A? d) Quina hora era quan estava a 52,5 km de B? a) Fem una taula amb el temps (de quart en quart d’hora) que reculli les dades del problema, i podem observar que arribarà una mica abans de les dues.
7 7,15 7,30 7,45 8 8,15 8,30 8,45 9 9,15 9,30 9,45 10 10,15 10,30 10,45 11 11,15 11,30 11,45 12 12,15 12,30 12,45 13 13,15 13,30 13,45 14
Distància recorreguda 0 6,25 12,5 18,75 25 31,25 37,5 43,75 50 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 56,25 65,625 75 84,375 93,75 103,125 112,5 121,875 131,25 140,625 150 159,375 168,75 178,125
175 Distància recorreguda (km)
Hora
150 125 100 75 50 25 0 7
8
9
10
11 Hora
12
13
14
Calculem el momenrt exacte. A les 13.00 li falten per arribar: 175 − 140,625 = 34,375 km. I, a una velocitat mitjana de 37,5 km, tardarà: 34, 375 = 0, 91667 h = 55 min. Així, doncs, arribarà a les 13 h 55 min. 37, 5 b) A la taula podem observar que es troba a 103,125 km de A. c) A les 13.00 li faltaven 167,5 − 140,625 = 26,875 km, i a una velocitat mitjana de 26, 875 = 0, 71667 h = 43 min; per tant, eren les 13 h 43 min. 37, 5 km va tardar: 37, 5
365
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 366
Funcions 52, 5 = 1, 4 h = 1 h 24 min, 37, 5 que hem de restar de l’hora d’arribada (13 h 55 min). Així, doncs, eren les 12 h 31min (PK 122,5 km) quan va passar per aquest punt.
d) Va tardar en allunyar-se 52,5 km de B:
061
Una persona segueix un programa de manteniment de 15 setmanes, i ha de caminar diàriament una quantitat de minuts determinada per la funció 60x + 40 y= , en què x assenyala la setmana i y, el nombre de minuts que ha x+8 de caminar cada dia. a) Segons aquest programa de manteniment, a partir de quina setmana ha de caminar més de 30 minuts? b) Fes una gràfica aproximada de la funció i explica’n el creixement. c) Si una persona segueix aquest programa de manera indefinida, més enllà de les 15 setmanes, alguna vegada haurà de caminar més d’una hora? a) Hem de calcular el valor de x que fa que
60x + 40 20 > 30 → x > ; x = 7. x+8 3
Per tant, a partir de la setena setmana. b) És una funció creixent. 45,00 Temps de caminar (min)
40,00 35,00 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 0
7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 Temps (dies)
c) No, perquè la funció és creixent però l’increment és progressivament menor.
062
Un AVE surt de l’estació A a les dotze del migdia a una velocitat constant de 220 km/h en direcció a la ciutat B. Un altre tren surt de B a tres quarts d’una de la tarda a 250 km/h en direcció a A. Si la distància entre les dues ciutats és de 650 km: a) A quina hora i en quin punt es creuen els trens? b) A quina hora distaran 325 km. c) Quina distància els separarà a dos quarts de dues?
366
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 367
SOLUCIONARI
8
a) Elaborem una gràfica que permeti representar els dos recorreguts: 650 600 550 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0
c E 325 km
A
B
13
12
D
14
15
Hem de calcular les coordenades del punt A, prenent com a origen les dotze i tenint en compte que l’AVE que ha sortit de B porta una hora menys de recorregut. Tren 1
Tren 2
Espai: x km
Espai: 650 − x km
Temps: t
Temps: t − 1
Velocitat: 220 km/h
Velocitat: 250 km/h
Per tant, podem resoldre el sistema següent: x = 220t ⎪⎫ ⎪⎧ x = 421, 27 km ⎬→⎨ 650 − x = 250(t − 1)⎭⎪⎪ ⎩⎪⎪t = 1, 91149 = 1 h 54 min 53 s Així, doncs, es creuen a les 13 h 54 min 53 s, en el punt quilomètric 421,27 km. b) Hem de calcular la coordenada x dels punts B i C, tenint en compte que la distància entre B i C és de 325 km. Tren 1 Espai: x km Temps: t Velocitat: 220 km/h Tren 2 Espai: 650(325 − x) km Per tant, podem resoldre el sistema següent: x = 220t ⎫⎪ ⎧⎪ x = 273, 83 km ⎬→⎨ 335 − x = 250(t − 1)⎪⎪⎭ ⎪⎪⎩t = 1, 24 h = 1 h 114 min 41 s I obtenim que a les 13 h 14 min 41 s disten 325 km. c) Hem de calcular les coordenades dels punts D i E. El tren 1 haurà recorregut 220 ⋅ 1,5 = 330 km, i el tren 2: 250 ⋅ 0,5 = 125 km Així, doncs, la distància entre els punts D i E serà de: 660 − (330 + 125) = 205 km.
367
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 368
Funcions Tres germans, la Sílvia, en Marc i en Jordi, que viuen a la 5a planta d’una casa, volen pujar amb ascensor, però està ocupat per quatre persones que van a la quarta planta i només hi pot pujar una persona més. En Marc decideix pujar per l’escala, i en Jordi, esperar que torni l’ascensor. La gràfica dels moviments és la següent:
Y
Pis
063
5 4 3 2 1 20
Calcula:
40 60 Segons
t
a) Quant temps està aturat l’ascensor en cada parada. b) El temps que ha trigat cadascun a arribar. c) Quant triga l’ascensor a pujar un pis. I a baixar-lo? d) Quant triga en Marc a pujar un pis. a) 5 segons: la primera parada del 20 al 25; la segon, del 30 al 35; i la tercera, del 55 al 60. b) Sílvia: 30 segons (0-30); Marc: 60 segons (0-60) i Jordi: 20 segons (60-80). c) El temps que triga l’ascensor a pujar és: un pis cada 5 segons (fa quatre pisos en 20 segons); i a baixar, 4 segons per pis (de la 5a planta a la planta baixa triga 20 segons, del 35 al 55). d) En Marc triga 12 segons (60/5).
064
Els alumnes de Física han fet una pràctica consistent a mesurar mitjançant un polímetre la intensitat que passa per una resistència determinada quan hi apliquem diferents potencials. La taula següent recull aquestes mesures: V (volts)
I (mA)
2
1,8
4
2,3
6
3,5
8
5
10
5,5
12
6,7
14
7,2
16
8,8
18
9,3
20
10,7
22
11,2
a) Quin és el valor aproximat de la resistència? b) Representa aquestes dades en una gràfica. Dibuixa la recta de regressió (línia de tendència) d’aquestes dades.
368
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 369
SOLUCIONARI
8
a) La resistència és el quocient entre el potencial i la intensitat. Com que tots els quocients són diferents, podem fer un quocient entre mitjanes: R=
V 12 V = = 1.796 Ω I 6, 68 mA
b) 14 12 10
I (mA)
8 6 4 2 0 5
0
20
25
Introduïm un tros de magnesi dins d’una dissolució d’àcid clorhídric i es desprèn hidrogen. Cada deu segons mesurem el volum d’hidrogen que es desprèn i ho anotem en una taula. Temps (s) 3
Volum (cm )
0
10
20
30
40
50
60
0
22
42
57
69
79
87
Representa les dades en una gràfica temps-volum i calcula la velocitat mitjana d’aquesta reacció química. 100 90 80 70 Volum (cm3)
065
10 15 V (volts)
60 50 40 30 20 10 0 0
Velocitat mitjana:
10
20
30 Temps (s)
40
50
60
87 volum = = 1, 47 cm3/s 60 temps
369
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 370
Funcions 066
Un agricultor ha recollit 10 tones de fruita que, emmagatzemades, es deterioren a raó de 50 kg/dia. El preu actual de mercat és de 0,95 €/kg i el preu augmenta 2 cèntims/kg cada dia. a) Escriu la quantitat de fruita que li queda passats t dies. b) Escriu el benefici que obtindrà per la venda de tota la fruita passats aquests t dies. c) En quin dia el benefici serà màxim? a) Li queda: 10.000 − 50t. b) B(t) = (100 − 5t) · (0, 95 + 0, 02t) = −t 2 + 157, 5t + 9.500. c) Fem la representació gràfica de la funció:
Benefici (€)
15.000 12.000 9.000 6.000 3.000 0 0
25
50
75
100 125 150 175 200 t (dies)
El dia de benefici màxim és el vèrtex de la paràbola, per tant: tv =
−b −157, 5 = = 78, 75. El benefici serà màxim el dia 79è, dia en què 2a −2
serà de: B(78, 75) = 15.308 €.
067
Una empresa automobilística ha fet un test amb un nou model d’automòbil per determinar-ne el consum de gasolina. Per a velocitats compreses entre 30 km/h i 130 km/h, el consum C(x) de gasolina, expressat en litres consumits en 100 km, a velocitat constant de x km/h, es pot aproximar per la funció C(x) = 7 −0,047 x + 0,0003 x2. a) Determina el consum a les velocitats de 60 km/h i de 120 km/h. b) A quina velocitat s’obté el consum mínim? Quin és aquest consum mínim? c) Estudia el creixement i el decreixement de la funció C(x) en l’interval [30, 130]. Determina les velocitats que corresponen al consum màxim i, també, aquest consum. a) C(60) = 7 − 0, 047 · 60 + 0, 0003 · 602 = 5, 26 l/100 km C(120) = 7 − 0, 047 · 120 + 0, 0003 · 120 2 = 5, 68 l/100 km
370
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 371
SOLUCIONARI
8
b) La funció és una paràbola i el consum mínim s’obté en el vèrtex: −b 0, 047 = = 78, 3 km/h 2a 2 · 0, 0003
xv =
I el consum serà: C(78, 3) = 5,16 l/100 km. c)
Y
Consum (litres/100 km)
6 5 4 3 2 1 X 0 20
0
40
60 80 V (km/h)
100
120
Podem observar que l’interval de decreixement és [30, 78, 3) i el de creixement és (78, 3, 130]. El màxim (consum) està en un dels extrems. N’hi ha prou de comprovar quin dels dos és: C(30) = 5, 86 l/100 km i C(130) = 5, 96 l/100 km. Així, doncs, el consum màxim correspon a la velocitat de 130 km/h.
068
L’any 2006, la cotització en borsa de les accions d’una empresa va seguir, aproximadament, l’evolució següent: f(t) = −3t 2 + 33t + 52, on t és el temps en mesos (0 ≤t ≤12). a) Dibuixa la gràfica de la funció f(t). b) En quin mes es va atènyer la cotització màxima? Calcula el percentatge de benefici que hauria obtingut una persona que hagués comprat accions en el moment de cotització mínima i que les hagués venudes en el de màxima. a)
Y
125 100 75 50 25 X 0 0
2
4
6
8
10
12
371
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 372
Funcions b) La cotització màxima es dóna en el vèrtex de la paràbola: tv =
−b 33 = = 5, 5. Per tant, es va atènyer al cinquè mes (maig) 2a 2 · (−3)
i el seu valor era de: f(5,5) = 142,75 €. La cotització mínima es va donar al començament de l’any i valia: f(0) = 52. Així, doncs, el percentatge de creixement va ser: 142, 75 100 = 2, 75 ⎯×⎯ → 275 % 52 069
El dipòsit d’aigua d’uns lavabos públics té una capacitat de 25 litres i el dispositiu funciona de la manera següent: l’aigua entra al dipòsit contínuament a raó de 2,5 litres per minut i quan el dipòsit és ple es buida de cop en 10 segons. a) Dibuixa la gràfica de la funció que ens dóna el contingut del dipòsit en funció del temps, des de l’instant t = 0, en què el dipòsit és buit, fins a t = 30 minuts. b) Quin volum d’aigua conté el dipòsit al cap de 15 minuts? a)
Y
20
10
X 0
5
10
15
20
25
30
b) Al cap de 15 minuts, fa 4 min i 50 s que s’està omplint a una velocitat de 2,5 litres/minut, per tant: ⎛ 50 ⎞⎟ ⎟⎟ = 12, 083 l V = v ⋅ t = 2, 5 ⋅ ⎜⎜ 4 + ⎜⎝ 60 ⎟⎠
070
Les tarifes d’una companyia de telefonia mòbil són les següents: – Establiment de trucada: 5 cèntims – Horari reduït: 3 cèntims/minuts – Horari normal: 6 cèntims/minut Dibuixa una gràfica que reflecteixi el preu d’una trucada en funció del temps tant en horari normal com en horari reduït.
372
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 373
SOLUCIONARI
8
Preu (cèntims €)
En horari normal: 72 66 60 54 48 42 36 30 24 18 12 6 0 0
1
2
3
4
5 6 7 Temps (min)
8
9
10
11
1
2
3
4
5 6 7 Temps (min)
8
9
10
11
Preu (cèntims €)
En horari reduït: 39 36 33 30 27 24 21 18 15 12 9 6 3 0 0
En un aparcament hem de pagar 1 euro per cada hora o fracció fins a un màxim de 15 euros al dia. Fes una gràfica que representi les quantitats que s'han de pagar per un vehicle que està aparcat entre 0 i 48 hores. 35 30 25 Preu (€)
071
20 15 10 5 0 0
4
8
12
16
20 24 28 32 Temps (hores)
36
40
44
48
373
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 374
Funcions 072
Durant l'aterratge d'una avioneta es prenen les velocitats cada 5 segons. Els mesuraments es fan quan l'avioneta encara està a l'aire i quan ja és a terra. T (s)
0
5
10
15
20
25
30
V (km/h)
150
150
140
120
90
80
80
T (s)
35
40
45
50
55
60
V (km/h)
70
60
40
10
5
5
a) Fes una gràfica que representi la velocitat en funció del temps. b) Identifica sobre la gràfica el moment de prendre terra. c) De tots els intervals de 5 segons que hem tingut en compte, en quin es produeix un descens més gran de la velocitat? a) 160 140
V (km/h)
120 100 80 60 40 20 0 0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
Temps (s)
b) El moment de prendre terra correspon al descens més gran de la velocitat; per tant, entre el segon 15 i el segon 20. c) En dos dels intervals: en el (15,20) i en el (45,50).
PER ACABAR... 073
Donades les funcions f (x) = que [g(x)]2 −[f(x)]2 = 1.
e x + e−x e x − e−x i g(x) = , comprova que es compleix 2 2
⎛ e x + e−x ⎞⎟ ⎛ e x − e−x ⎞⎟ e 2x + e−2x + 2 e 2x + e−2x − 2 ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = − = [g( x )]2 − [f( x )]2 = ⎜⎜ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ 4 4 2+2 = =1 4 2
374
2
917221Unidad08.qxd
074
075
19/1/09
11:01
Página 375
Calcula les funcions inverses de: e x − e−x e x + e−x y= y= 2 2 1 e x − e−x x → 2y = e − x y= 2 e Si z = e x : 1 2y ± 4 y 2 + 4 2y = z − → z 2 − 2yz − 1 = 0 → z = 2 z Per tant, les funcions inverses són de la forma: y = ln ( x + i y = ln ( x − x 2 + 1 ) . Si z = e x : 1 2y ± 4y 2 − 4 2y = z + → z 2 − 2yz + 1 = 0 → z = z 2 Per tant, les funcions inverses són de la forma: y = ln ( x + i y = ln ( x − x 2 − 1 ). Si la funció definida per f ( x) = quant val c? ⎛ cx ⎞⎟ ⎟= f (f ( x )) = f ⎜⎜ ⎜⎝ 2x + 3 ⎟⎟⎠
SOLUCIONARI
8
→ ex = y ±
y2 + 1
x 2 + 1)
→ ex = y ±
y2 −1
x 2 − 1)
3 cx , amb x ⫽ − , verifica que f [f(x)] = x, 2 2x + 3
cx 2x + 3 c 2x = = x → c 2 x = 2cx 2 + 6x 2 + 9x cx 2 6 9 cx x + + 2⋅ +3 2x + 3 c⋅
→ c 2 x − 2cx 2 − 6x 2 − 9x = 0 → c =
2x 2 ± 4 x 4 + 24 x 3 + 36x 2 2x
=
= x ± x 2 + 6x + 9 = x ± (x + 3)2 = x ± (x + 3) 2x 2 + 3x Si c = 2x + 3: f ( x ) = =x 2x + 3 −3x Si c = −3: f ( x ) = 2x + 3 076
En un quadrat de 16 cm de costat suprimim, de cada cantonada, un triangle rectangle i isòsceles de catet x. Expressa l’àrea i el perímetre del polígon que en resulta en funció de x. Quin domini té? I quin recorregut? x x
16
x2 = 256 − 2x 2 2 La hipotenusa dels triangles mesura: a 2 = x 2 + x 2 → a = 2 x L’àrea de la figura ve donada per la funció: f ( x ) = 162 − 4 ⋅
375
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 376
Funcions El perímetre de la figura ve donat per la funció: g( x ) = 4 2 x + 4(16 − 2x ) = ( 4 2 − 8)x + 64 Y
Y f (x) g(x)
50 2
X
10 10
Dom f = ⎡⎣0, 8 2 ⎤⎦ Im f = [0, 256] 077
X
Dom g = ⎡⎣0, 8 2 + 16⎤⎦ Im g = [0, 64]
Un grup d’alumnes de 1r de Batxillerat demanen pressupost en dues agències de viatges per fer una excursió. La primera agència els fa la proposta següent: • Si el nombre d’alumnes que van a l’excursió és de 40 o menys, els cobrarà 200 € per alumne. • Si el nombre d’alumnes és superior a 40, els descomptarà el 10 % a cadascun dels alumnes que s’hi inscriguin. L’oferta de la segona agència és la següent: • Si omplen un autobús amb capacitat per a 60 persones, el preu serà de 150 € per persona. Si algun autobús no va complet, s’incrementarà el preu l’1 % per cada persona que falti per completar-lo. Quina agència els convé més? Un descompte del 10 % en el preu de 200 € significa un preu de: 200 · 0,9 = 180 € Així doncs, la funció que representa la proposta de la primera agència és: ⎧⎪200x f ( x) = ⎨ ⎩⎪⎪180x
si 0 ≤ x ≤ 40 si x > 40
L’increment de l’1 % per cada persona que falti significa un preu de: ⎛ 60 − x ⎞⎟ ⎟⎟ x = 150x + 1,5(60x − x 2) = 240x −1,5x 2 150 ⋅ ⎜⎜1 + ⎜⎝ 100 ⎟⎠ La funció que representa la proposta de la segona agència és: ⎪⎧240x − 1, 5x 2 si 0 ≤ x < 60 g( x ) = ⎪⎨ ⎪⎪⎩ 150x si x ≥ 60 Els punts d’intersecció de les dues funcions són:
⎪⎧⎪ x = 0 ) • Si 0 ≤ x ≤ 40 → 200x = 240x − 1,5x 2 → 1,5x 2 − 40x = 0 → ⎪⎨ 80 ⎪⎪ x = = 26, 6 ⎪⎩ 3 ⎧x = 0 • Si 40 < x < 60 → 180x = 240x − 1,5x 2 → 1,5x 2 − 60x = 0 → ⎪⎨ ⎪⎪⎩ x = 40 • Si x ≥ 60 → 180x = 150x → x = 0 Per tant, la primera agència els convé més si el nombre d’alumnes és més petit o igual que 26; i, a partir de 27 alumnes, els convé més la segona agència.
376
917221Unidad08.qxd
19/1/09
11:01
Página 377
SOLUCIONARI
078
Un fanal té 7 m d’altura. A la base hi ha una persona d’1,80 m d’altura que comença a caminar en línia recta i s’allunya 7 m del fanal a una velocitat de 2 m/s. Passats 10 segons, quina longitud tindrà l’ombra que projecta la persona? Esbrina una funció que expressi la longitud de l’ombra en relació amb el temps, t, que està caminant.
8
1,80 m
Al cap de 10 segons, la persona ha recorregut 20 m.
7m
1,8 m 20 m
s
Com que el fanal i la persona formen angles rectes amb el terra, les seves altures determinen els costats paral·lels de dos triangles en posició de Tales. 7 20 1,8 ⋅ 20 = →s= = 5,14 m 1,8 s 7 La funció que expressa la longitud de l’ombra en funció del temps que està caminant és: f (t) =
1,8 ⋅ 2t 3,6t = 7 7
377