1. HAFTA
MAT108 LİNEER CEBİR
Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr
KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi
MAT108 2 Linner Cebir
GRUPLAR, HALKALAR ve CİSİMLER
Tanım: Bir G kümesi verilmiş olsun. G üzerinde bir ikili işlem deyince G nin herhangi iki elemanını yine G nin bir elemanına karşılık getiren bir kuraldır. Yani
olarak tanımlanmış fonksiyon bir ikili işlem dir.
Tanım: G boş olmayan bir küme ve .da G üzerinde tanımlı bir ikili işlem olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyor sa (G,.) sistemine bir grup denir. (i) Her a, b ϵG içina.b ϵG dir.(Kapalılık Özelliği) (ii) Her a, b, cϵ G için, (a.b).c=a.(b.c) dir. (Birleşme Özelliği) (iii) Her aϵ G için, a.e=e.a=aolacak şekildebir eϵ G vardır. (Birim eleman özelliği) (iv) Her aϵ G için, a.b=b.a=e olacak şekildebir bϵ G vardır. (Ters eleman özelliği)
Tanım: G bir grup olsun. Her a, bϵ G için, a.b=b.aise G' ye değişmeli grup denir. Teorem: (G,.) bir grup olsun. (i)
G ' nin birim elemanı tektir.
(ii)
Her elemanın tersitektir.
(iii)
Her a(-1)(-1)=a dır.
(iv)
Her a, bϵ G için (a.b)(-1)=b(-1)a(-1) dir.
Tanım: Bir G grubunun elemanlarının sayısına G' nin mertebesi denir ve IGI ile gösterilir.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 3 Linner Cebir Tanım: G bir grup ve aϵ G olsun. an=e olacak şekilde bir en küçük pozitif n doğal sayısı varsa bu sayıya a' nın derecesi denir ve IaI ile gösterilir. Böyle bir n sayısı yoksa IaI=∞ yazılır.
Örnek:(Z ,+), (Q,+), (R,+), (C,+), (Zn,+) birer gruptur.
Tanım: R boştan farklı bir küme olsun. R de "toplama" ve "çarpma" denilen ve sırasıyla "+" ve "." sembolleri ile gösterilen iki işlem tanımlanmış olsun. Eğer aşağıdaki şartlar sağlanıyorsa (R, +, .) sistemine halka denir.
(1) (R,+) bir değişmeli gruptur. (2) Her a,b, c ϵ R için, a.(b.c)=(a.b).c dir. (Yani (R,.) bir yarı gruptur.) (3) Her a,b, cϵ R için, a.(b+c)=(a.b)+(a.c) (Soldan dağılma özelliği) (a+b).c=(a.c)+(b.c) (Sağdan dağılma özelliği).
Tanım: R bir halka olsun. Eğer hera,b ϵ R için a.b = b.a ise R' ye değişmeli bir halka denir.
Tanım: R bir halka olsun. Eğer her a ϵ R için, a.e=e.a=a olacak şekilde bir eϵ R varsa R' ye birimli bir halka denir ve e ye de halkanın birimi denir.
Tanım: (R, +,.) halkasında toplama işlemine göre olan birim elemanına halkanın sıfırı denir ve OR ile gösterilir. Bir a elemanının + işlemine göre tersi –a ile gösterilir ve a+(-b) yerine kısaca a-b yazılır.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 4 Linner Cebir Örnekler: Z, Q, R bilinen toplama ve çarpma işlemlerine göre bir halkadır.
Tanım: (R,+, .) bir halk aolsun. Eğer, (R\{0}, .) bir değişmeli grup ise (R,+,.) sistemine bir cisim denir.
Örnekler: (R,+,.), (Q,+,.) birer cisim fakat (Z,+,.) bir cisim değildir.
Tanım: R değişmeli bir halka ve 1, 0 dan farklı olsun. Eğer her a,b ϵ R için, a.b=0 iken a=0 ya da b=0 oluyorsa R ye tamlık bölgesi denir. Her cisim tamlık bölgesidir.
Teorem: Sonlu tamlık bölgesi cisimdir.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE