MAT108 LİNEER CEBİR 7 Öğr. Gör. Bülent ORDU

7. HAFTA MAT108 LİNEER CEBİR

Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi

MAT108 Lenner Cebir 2

LİNEER DENKLEM SİSTEMLERİ Tanım: x 1 , x 2 ,… , x n bilinmeyenler a 1 , a 2 ,… , a n , b

sabitler olmak üzere

a 1 x1 + a2 x 2 +…+ a n x n=b şeklindeki denklemlere lineer denklem denir. Bu denklemde x 1=s 1 , x 2=s 2 , … , x n=s n yazıldığında denklem sağlanıyorsa

s1, s 2 , … , s n dizisine

denklemin bir çözümü denir. Örnek: 6 x 1 − 3 x 2+ 4 x 3=− 13 denkleminde

x 1=2, x 2 =3, x 3=− 4 denklemi

sağladığından ( 2,3 , − 4 ) verilen denklemin bir çözümüdür.

Tanım: x 1 , x 2 ,… , x n n bilinmeyenli m lineer denklemin bir sistemi a 11 x 1 +a 12 x 2+…+ a 1 n x n=b1 a 21 x1 + a22 x 2 +…+a 2 n x n =b2 ……………………………….. a 1 m x 1+ a 2 m x 2+ …+a nm x n=b n Şeklindeki denklem kümesidir. Bu sistemin çözümü, bütün denklemleri aynı andasağlayan bir dizisidir x 1=s 1 , x 2=s 2 , … , x n=s n dizisidir.

Sistemin en az bir çözümü varsa bağdaşabilir, hiçbir çözümü yoksa bağdaşabilir olmayan sistem denir. b1=b2=…=b m=0 şeklindeki sistemlere homojen sistemler denir. Örnek: x 1 − 3 x 2=−7 2 x 1 + x 2=7 sisteminin tek çözümü x 1=2, x 2 =3 tür.

Tanım: İki denklem sistemi aynı çözümlere sahiplerse ileri sistemdenktirler denir. Önerme: Aşağıdaki üç tip işlemin uygulanması sonucu denk sistemler elde edilir.

1) ive j. Denklemlerin yerlerini değiştirmek Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 3 2) Bir denklemi sifırdan farklı bir sabitle çarpmak 3) Birdenklemin sıfırdan farklı bir katını başka bir denkleme ekleme Bu işlemlerin sonunda sonucu daha açık görülen bir denklem sistemi elde edilir. Örnek: x 1 +2 x 2 +3 x 3=6

D 2 → − 2 D 1+ D2

2 x 1 − 3 x 2 +2 x 3=14 D3 → −3 D 1 + D3 3 x 1+ x 2 − x 3=− 2

x 1 +2 x 2 +3 x 3=6

0 x 1 − 7 x 2 − 4 x 3=2 D2 ↔ D3 0 x 1 − 5 x 2 − 10 x 3=−20

x 1 +2 x 2 +3 x 3=6 1 −5 x 2 −10 x 3=− 20 D 2 → − D2 5 −7 x 2 − 4 x 3=2

x 1 +2 x 2 +3 x 3=6 x 2 +2 x 3=4

D3 → 7 D2 + D3

−7 x 2 − 4 x 3=2

x 1 +2 x 2 +3 x 3=6

x 3=3, x 2=− 2, x 1=1 tek çözüm

10 x 3=30

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

x 2 +2 x 3=4

MAT108 Lenner Cebir 4

Örnek: x 1 +3 x 2=1 D2 →− 2 D1 + D 2 x 1 +3 x 2=1 2 x 1 +6 x 2=2

0 x 1 +0 x 2=0

x 2=t için x 1=1 −3 t

sonsuz çözüm vardır.

Örnek: x 1 +3 x 2=1 D2 →− 2 D1 + D 2 x 1 +3 x 2=1 2 x 1 +6 x 2=00 x1 +0 x 2=− 2 İse 0=2

.Hiçbir

x 1 ve

x2

değeri için sağlanmaz. Çözüm yok. (Bağdaşabilir

olmayan sistem)

Bu denklem sisteminin katsayıları olan a ij lerden oluşturulan

[

]

a 11 a 12 … a 1 n A= a21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a mn

matrisine sistemin katsayılar matrisi denir. Denklem sisteminin sağ tarafındaki bi lerin eklenmesiyle elde edilen

[

]

a11 a 12 … a 1 n : b 1 a 21 a 22 ⋯ a 2 n : b2 ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ amn : b m

matrisi ise çözüm sırasında kullanacağımız sistemin ilaveli matrisidir.

Denklem sistemini matris çarpımı aracılığı ile ifade edeceğiz. Bunun için bilinmeyenlerden

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 5

[]

x1 X = x2 : xn

matrisi ve bi

lerden

[]

b1 B= b 2 : bm

matrisi oluşturulur.

Bu tanımlarla verilen A ve X matrislerini çarparsak

[

][ ] [

a 11 x 1 +a 12 x 2 +…+ a1 n x n x1 a 11 a 12 … a 1 n A . X = a 21 a 22 ⋯ a 2 n . x 2 = a 21 x 1+ a 22 x 2 +⋯+ a 2 n x n : ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a mn x n a m 1 x 1+ a m2 x 2+ ⋯ + a mn x n

]

elde ederiz. Dikkat edilirse bu çarpımın ilk satırı b1 e , ikinci satırı b 2 ye ve benzeri şekilde son satırı b m e eşittir. Dolayısıyla bölümün başındaki denklem sistemini A . X =B Matris çarpımı ile ifade edebiliriz.

Gauss YoketmeYöntemi: Elimize bir lineer denklem sistemi olsun ve bu sistemi A . X =B

matris çarpımıyla ifade edelim. Bu denklem sisteminin çözümlerinin bulunması için

[ A∣ B ] ilaveli matrisine aşağıdaki örnekte açıklandığı üzere elemter satır işlemleri uygulanır. Örnek: 3 x 1+− 9 x 2 + x 3 +4 x 4=6 − x 1 +3 x 2 + x 3 −4 x 4=2 − 2 x1 +6 x 2 +3 x 3 −10 x 4=7 Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 6 denklem sisteminin ilaveli matrisi

[

3 −9 1 4 : 6 −1 3 1 −4 : 2 − 2 6 3 −10 : 7

]

.

Adım 1. Sıfırdan farklı terimleri çeren en soldaki sütundan, sıfırdan farklı bir terim seçilir ve bu terimi içeren satır en üste getirilir. Söz konusu terim 1 yapılır.

[

3 −9 1 4 : 6 −1 3 1 −4 : 2 − 2 6 3 −10 : 7

]

İlaveli matriste işaretlediğimiz -1 terimini böyle bir terim olarak seçtik. Şimdi bu terimi yukarıya çıkarmak için 2.satırla 1. satırın yerlerini değiştiririz. Bu işlem ve daha sonra uygulayacağımız bütün işlemler elementer satır işlemlerinden biriolacak.

[

]

[

3 −9 1 4 : 6 −1 3 1 − 4 : 2 ⃗ Sat ır 1 ↔ Sat ı r 2 −1 3 1 −4 : 2 3 −9 1 4 : 6 − 2 6 3 −10 : 7 −2 6 3 − 10 : 7

]

−1 terimini 1 yapmak için 1. satırı −1 ile çarparız.

[

]

[

−1 3 1 −4 : 2 1 −3 −1 4 : −2 ⃗ ( − 1 ) Sat ır 1 → Sat ı r 1 3 −9 1 4 : 6 3 −9 1 4 : 6 − 2 6 3 −10 : 7 −2 6 3 −10 : 7

]

Hatırlayacağınız üzere bir satırı sıfırdan farklı bir skalerle çarpmak da elementer satır işlemlerinden biriydi. Adım 1 sonunda elde ettiğimiz matriste en sol sütunda en yukarıdaki terim 1 olur.Bu terime satırın lider 1'i denir.

Adım 2. Elde ettiğimiz lider 1 kullanılarak bu sütunda aşağıda kalan diğer terimler 0 yapılır. Bunun için, lider bulunduran satırın belli skaler katları daha aşağıdaki satırlara eklenir. Bu işlem, 2. tip elementer satır işlemlerinden olur. İlk olarak ikinci satırda 1 in hemen altında yer alan 3 ü sıfır yapmak için 1. satır -3 ileçarpılarak 2. satıra toplanır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 7

[

1 −3 −1 4 : −2 3 −9 1 4 : 6 −2 6 3 −10 : 7

]

[

1 −3 −1 4 : −2 ⃗ ( −3 ) S 1+ S 2 → S 1 − 3.1+ 3 ( −3 ) . (− 3 )+ ( −9 ) ( − 3) . ( −1 )+ 1 (− 3 ) .4+ 4 : ( −3 ) . (− 2 ) +6 −2 6 3 −10 : 7

[

1 − 3 −1 4 : −2 0 0 4 −8 : 12 −2 6 3 −10 : 7

]

Lider 1 in altındaki ilk terim sıfır yapıldı. Daha sonra bu sütundaki diğer eleman olan -2 yi sıfır yapmak için en son matrisin ilk satırı 2 ile çarpılarak Satır 3 e toplanmalı.

[

1 − 3 −1 4 : −2 0 0 4 −8 : 12 −2 6 3 −10 : 7

[

⃗ ( 2 ) S 1+S 3→ S 3

[

]

1 −3 −1 4 : −2 0 0 4 −8 : 12 ( 2 ) .1+ (− 2 ) 2. ( −3 ) +6 2. ( −1 ) +3 2.4+ (− 10 ) : 2. (− 2 ) +7

1 −3 −1 4 : − 2 0 0 4 −8 : 12 0 0 1 −2 : 3

]

]

Adım 2 sonunda elde ettiğimiz son lider 1 in altında kalan terimler sıfır olur.

Adım 3.Adım ikide, altındaki terimler sıfır yapılan lider 1 in altında kalan satırlara Adım 1 veAdım 2 uygulanır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

]

MAT108 Lenner Cebir 8 Örnekte en son birinci satırdaki lider 1 in altındaki terimler sıfırlanmıştı. Bundan sonra ilk satırhariç, geriye kalan ikinci ve üçüncü satırlara sırasıyla Adım 1 veAdım 2 uygulanacak. İlk olarak dikkat etmemiz gereken, elimizdeki alt matriste sıfırdan farklı terimler içeren ilk sütun Sütun 3. Bu sütundaki 1'i bir üst satıra taşıyarak Adım 1'i tamamlayabiliriz.

[

]

[

1 −3 −1 4 : − 2 1 −3 −1 4 : − 2 ⃗ 0 0 4 −8 : 12 Sat ı r 3↔ Sat ı r 2 0 0 1 −2 : 3 0 0 1 −2 : 3 0 0 4 −8 : 12

]

Adım 2 yitekraretmekiçin de eldeettiğimiz son lider 1 olan 2.satırınlider 1 ialtındaki 4 ü sıfıryapacağız. BununiçinSatır 2 yi -4 ileçarpıpSatır 3 e toplarız.

[

]

[

1 −3 −1 4 : − 2 1 − 3 −1 4 : −2 ⃗ 0 0 1 − 2 : 3 ( − 4 ) S 2+ S 3 → S 3 0 0 1 −2 : 3 0 0 4 −8 : 12 0 0 0 0 : 0

]

Dikkat edilirse, en son elde ettiğimiz matriste daha fazla elementer satır işlemi uygulayamayız. Çünkü satır 2 nin altında kalan alt matriste sıfırdan farklı terimleri içeren bir sütun kalmadı. Satır işlemlerine daha fazla devam edemediğimizde çözümleri en alt satırdan başlayarak şu şekildebuluruz.

3. satırda bütün katsayılar sıfır olduğundan bu satır bize çözüm hakkında bilgi vermez. 2. satırda 3. sütündan itibaren sıfırdan farklıterimler var. Matrisin ikinci satırı bize şu denklemi göstermektedir.

0 x 1 +0 x 2 +1. x 3+ ( − 2 ) . x 4=3 .

Burada katsayısı 1 olan x 3 eşitliğin sol tarafında bırakılarak x 3=3+ 2 x 4 buluruz. Bundan sonra bir üst satıra geçerek bulduklarımızı yerine koyarız. Matrisin 1.satırı şu denkleme karşılık gelmektedir.

1. x1 −3. x 2 − x3 + 4 x 4=− 2 Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 9 Katsayısı 1 olan x 1 i çekersek x 1=− 2+3. x 2 + x 3 − 4 x 4 buluruz. Biröncekiadımdabulduğumuz x 3 ü yerine koyarsak x 1=− 2+3. x 2 + ( 3+2 x 4 ) − 4 x 4 x 1=1+3. x 2 − 2 x 4 . x 1 ve x 3 bilinmeyenleri x 2 ve x 2=s ve x 4=t

x4

e bağlı olarak ifade edildi. Buradan sonra

koyarsak, sistemin çözümü şu şekilde sonuçlandırılır.

x 1=1+3 s − 2t x 2=s x 3=3+ 2t x 4=t

Burada s ve t denir. s ve t x3 ,

x4

ye parametre, elde ettiğimiz çözümlere de parametrik çözümler

parametrelerine verilen her değere göre elde ettiğimiz

x1 ,

x2 ,

dörtlüsü denklem sistemini sağlar.

Denklem sisteminin çözümü için uygulanan işlemlere tekrar dönersek, Adım 3 ün sonunda elde ettiğimiz matriste şu iki durumdan biri görülür.

a. İndirgenmesi gereken alt matriste en az bir [0 0 0 …0 : k] , k ≠ 0

satırı bulunur. Bu satır 0 x 1 +0 x 2 +…+0 x n =k , , k ≠ 0 denklemine karşılık gelir. Böyle bir denklemin çözümü olmayacağı için denklem sistemi çözümsüzdür deriz. b. Kalan matriste ya hiç satır yoktur ya da tamamen 0 lardan oluşmuş

satırlar vardır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 10 Örnek: Aşağıdaki lineer denklem sistemini çözünüz.

2 x 1 − 5 x 2+ 4 x 3 −3 x 4=7 −3 x 1 +7 x 2 − x 3 + x 4=− 3 − x 1 +2 x 2+3 x 3 −2 x 4=4 3 x 1 −8 x 2 +11 x 3 − 8 x 4=5

Denklemin ilaveli matrisini oluşturup yukarıda anlatılan adımları tekrarlayalım.

[

2 −5 4 −3 −3 7 −1 1 −1 2 3 −2 3 −8 11 −8

] [

: 7 −1 2 3 −2 : 4 : −3 ⃗ −3 7 −1 1 : −3 S 3↔S 1 : 4 2 −5 4 −3 : 7 : 5 3 −8 11 −8 : 5

[

1 −2 −3 2 ⃗ − 1. S 1 → S 1 − 3 7 − 1 1 2 −5 4 −3 3 − 8 11 − 8

: −4 : −3 : 7 : 5

[

1 −2 −3 2 0 1 − 10 7 ⃗ 3. S 1+ S 2 → S 2 2 −5 4 −3 3 − 8 11 − 8

[

1 −2 −3 2 ⃗ −2. S 1+S 3→ S 3 0 1 −10 7 0 −1 10 − 7 3 −8 11 − 8

[

1 −2 −3 2 0 1 −10 7 0 −1 10 −7 0 − 2 20 −14

: −4 : −15 : 15 : 17

]

: −4 : −15 : 7 : 5

]

: −4 : −15 : 15 : 5

]

]

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

]

MAT108 Lenner Cebir 11

[

1 −2 −3 2 0 1 −10 7 0 −1 10 −7 0 − 2 20 −14

: −4 : −15 : 15 : 17

]

[

1 − 2 −3 2 7 ⃗ S 2+S 3 → S 3 0 1 −10 0 0 0 0 0 − 2 20 −14

: −4 : − 15 : 0 : 17

]

[

1 − 2 −3 2 : − 4 ⃗ 2. S 2+S 4 → S 4 0 1 −10 7 : − 15 0 0 0 0 : 0 0 0 0 0 : − 13

]

Elde ettiğimiz en son matrisin 4.satırında sol taraftabütünterimlersıfır, sağ tarafta ise sıfırdan farklı -13 terimi bulunmaktadır. Bu satır şu denkleme karşılık gelir.

0 x 1 +0 x 2 +0 x 3 +0 x 4=−13

Bu denklemi sağlayacak hiçbir x 1 ,

x2 ,

x3 ,

x 4 dörtlüsü bulunmadığı için

sistemin çözümü yoktur deriz.

Tanım: AX=0 şeklindeki lineer denklem sistemlerine homojen lineer denklem sistemi denir. Aşikar çözümü 0 dır.

Örnek:Aşağıda verilen lineer denklem sistemini çözünüz.

x+y-z+t+u=0 Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 12 -x+2y+3z-t+2u=0 2x+y-z+2t-u=0 x+6y+4z+t+4u=0 8y+7z+6u=0 3x+7y+3z+3t+3u=0.

Örnek: Aşağıda verilen lineer denklem sisteminin aşikar olmayan çözümünün olması için k ne olmalıdır? x-ky+2z-t=0 -2x+2ky-2z+3t=0 -x+(k+1)y+(k+1)t=0 -3x+3ky-2z+(k+4)t=0.

Teorem: A kare matrisi için aşağıdakiler denktir:

(i) (ii) (iii) (iv)

A nın sol tersi vardır.

AX=0 denklem sisteminin aşikar çözümü vardır.

A tersinirdir.

A nın sağ tersi vardır.

Teorem:A kare matrisi için aşağıdakiler denktir.

(i) (ii) (iii) (iv)

A tersinirdir.

AX=B lineer denklem sisteminin tek bir çözümü vardır.

AX=B lineer denklem sisteminin ençok bir çözümü vardır. Çözümü tek olan bir tane AX=B lineer denklem sistemi vardır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 13

Örnek: Aşağıda verilen lineer denklem sistemini çözünüz. x1+x2+x3=6 x1+2x2+2x3=11 x1+3x2+2x3=13

Çözüm:

[ ]

1 1 1 A= 1 2 2 1 3 2

[

[]

6 ve B= 11 13

1 1 1

6

matrislerini elde ederiz.

]

[

1 1 1

6

[ A: B ]= 1 2 2 ⋮ 11 ( −1 ) R1 + R 2 0 1 1 ⋮ 5 1 3 2 13

[

1 1 1 6

→

]

1 3 2 13

[

]

1 1

1 6 1 ⋮ 5 0 0 − 1 −3

( − 1 ) R1 + R3 0 1 1 ⋮ 5 ( − 2 ) R 2 + R 3 0 1 →

[

0 2 1 7

1 1 1 6

]

→

[

1 1 1 6

( − 1 ) R3 0 1 1 ⋮ 5 ( − 1 ) R 3 + R 2 0 1 0 ⋮ 2 →

0 0 1 3

[

1 0 1 4

→

]

0 0 1 3

[

]

1 0 0 1

(− 1 ) R2 + R1 0 1 0 ⋮ 2 ( −1 ) R3 + R1 0 1 0 ⋮ 2 →

0 0 1 3

→

]

0 0 1 3

]

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 Lenner Cebir 14

[][ ]

x1 1 Olur.Böylece C= 2 = x 2 3 x3

elde edilir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE