MAT108 LİNEER CEBİR 5 Öğr. Gör. Bülent ORDU by isimsiz adam

5. HAFTA

MAT108 LİNEER CEBİR

Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr

KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi

MAT108 2 Linner Cebir

DETERMİNANTLAR

Determinantların matris teorisinin gelişmesinde büyük rol oynadığı muhakkaktır. Determinantlar tekil olmayan matrislerin karakterizasyonunda, ayrıca lineer denklem sistemlerinin çözümlerinde ve alt uzayların boyutlarını hesaplamada kolaylıklar sağlar. Ayrıca determinantlar, analizde vektörel çarpımları, Jacobiyen ve Wronskiyenleri ifade etmekte kullanılır.

Determinantların Elemanter Özellikleri Bu kısımda, bir nxn kare matrisin determinantını tanımlayacağız ve bu determinantların hesaplanması için bir yöntem vereceğiz. İlk olarak 2x2 bir matrisin determinantının tanımını ve özelliklerini veriyoruz. a11, a12, a21, a22 reel sayılar olmak üzere 2x2 tipinden bir

a 11 a 12  A  a 21 a 22  matrisinin determinantı

det A  a 11a 22  a 12a 21 formülü ile tanımlanan bir reel sayıdır. Hemen not edelim ki; determinant her bir 2x2 matrisine bir reel sayı karşılık getiren bir fonksiyondur. Bu fonksiyon, ilk üçü bir 2x2 matrisin üzerinde satır işlemlerinin etkin olduğu, aşağıdaki dört önemli özelliğe sahiptir: (i) Eğer B matrisi, bir k reel sayısı ile A matrisinin bir satırının çarpılması ile A matrisinden elde edilen bir matris ise, o taktirde det B  k. det A

Dır

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 3 Linner Cebir (ii) Eğer B matrisi, A matrisinin satırlarının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edilen bir matris ise, o zaman

det B   det A ’dır. (iii) Eğer B matrisi; A’nın bir satırının bir skaler katının A’nın diğer satırına ilave edilmesi ile A matrisinden elde edilen bir matrisi ise, o zaman

det B  det A ’dır. (iv) 1 0 det    1 ’dır. 0 1

Bu dört özelliğin sağlandığını kontrol etmek için son derece kolaydır. Örneğin

a 11 a 12  ka 11 ka 12  A ve B     a 21 a 22  a 21 a 22  ise, o takdirde

det B  (ka 11 )a 22  (ka 12 )a 21  k(a 11a 22  a 11a 22  a 12a 21 )  k. det A olur. Bu ise, bize (i) özelliğinin doğruluğunu gösterir. Eğer

a 11 a 12  a 11  ka 21 a 12  ka 22  A ve B    a 22  a 21 a 22   a 21 ise, o takdirde

detB  (a11  ka 21 )a 22  a 12  ka 22 a 21  a 11a 22  a 12a 21  det A olup bu da (iii) ün doğruluğunu gösterir. Yukarıdaki dört özellik, bir 2x2 kare matrisin determinantını karakterize etmesi açısından son derece önemlidir. Yani determinant fonksiyonu, her bir 2x2

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 4 Linner Cebir matrise bir reel sayıyı karşılık getiren ve yukarıdaki dört özelliğe sahip olan tek fonksiyondur. Teorem 1. Determinant fonksiyonu; 2x2 matrislerin kümesinden R reel sayılar kümesi içine tanımlanan (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip tek fonksiyondur. İspat: f nin her bir 2x2 A matrisini bir f(A) reel sayısına karşılık getiren bir fonksiyon olduğunu ve aynı zamanda (i), (ii), (iii) ve (iv) özelliklerine sahip bir fonksiyon olduğunu varsayalım. Yani kabul edelim ki; (i) B matrisi, bir k reel sayısı ile A’nın bir satırını çarpmakla A’dan elde edilen bir matris olduğu zaman f (B) = k.f (A) (ii) B matrisi, A’nın satırlarının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edilen bir matris olduğunda f (B) = -f (A) (iii) B matrisi, A’nın bir satırının bir skaler katının A’nın başka bir satırına ilave edilmesi ile A’dan elde edilen bir matris olduğunda f (B) = f (A) (iv) 1 0 f  1 0 1

olsun. Buna göre; biz her 2x2 matris için f (A) = detA olduğunu göstermeliyiz.

a 11 a 12  A  a 21 a 22  olsun. Eğer a 11  0 ise, o takdirde Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 5 Linner Cebir

a 11 f A   f  a 21

a 12   1 a 12     ( iii ) a 12  a 11  1 a   a .f    a . f 11 11  11   a 22  a 21a 12  a 21 a 22  0 a 22  a  11   (i )

 a 12  (iii )  1 a 21a 12  1 .f a 11   a 11a 22  a 12a 21 .f   a 11. a 22   a 11   0  0 1 

(i )

0 1

iv 

 a 11a 22  a 12a 21  det A

olur. Eğer a 11  0 ise, o zaman

 0 a 12  i   0 1  iii   0 1  i  0 1 f A   f   a . f  a . f  a 12a 21.f   12  12     1 0 a 21 a 22  a 21 0 a 21 a 22  1 0 iv    a 12a 21.f     a 12a 21  det A 0 1

(i )

olur. Böylece her iki durumda da iddia edildiği gibi f A  det A eşitliği gösterilmiş olur. Teorem 1’i aşağıdaki gibi nxn mertebeli kare matrislere genelleştirmek mümkündür: Teorem 2. Her nxn matrise bir reel sayıyı karşılıklı getiren ve aşağıdaki özelliklere sahip olan bir ve yalnızca bir fonksiyon, det vardır. (i) B matrisi; verilen bir nxn A matrisinin bir satırının bir  0 reel sayısı ile çarpılması sonucu A matrisinden elde edildiği her zaman

det B  det A

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 6 Linner Cebir (ii) B matrisi; verilen nxn A matrisinin herhangi iki satırının yer değiştirilmesi ile A’dan elde edildiği her zaman

det B   det A (iii) B, nxn A matrisinin bir satırının bir skaler katının diğer bir satıra ilave edilmesi ile A’dan elde edilen matris olduğunda

det B  det A (iv) I, nxn birim matris olmak üzere

det I  1 ’dir. Teorem 2’de varlığı ve tekliği iddia edilen det fonksiyonuna, nxn determinant fonksiyonu denir. Her bir nxn A matrisi için detA reel sayısına A matrisinin determinantı denir. Hemen belirtelim ki; Teorem 2 deki (i), (ii) ve (iii) özellikleri ileride göstereceğimiz gibi satır işlemlerini kullanarak determinantı hesaplamak için kolaylık sağlar.

Determinantin Özellikleri I Teorem 3. A bir nxn kare matris olsun. Buna göre (i) Eğer A matrisinin iki satırı eşit ise, o zaman det A  0 ’dır. (ii) Eğer A matrisi bir 0 satırına sahipse, o zaman det A  0 ’dır. İspat: (i) A matrisinin iki satırının eşit olduğunu farzedelim. B matrisi eşit satırların yer değiştirilmesi ile A dan elde edilen bir matris olsun. Bu halde Teorem 2’nin (ii) özelliğinden dolayı det B   det A yazarız. Halbuki yer değiştirilen satırları

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 7 Linner Cebir eşit olduğundan B  A dir. Sonuç olarak buradan det A  det B olduğu görülür. Böylece det A  det B   det A

ifadesinden det A  0 bulunur ve bu (i) kısmını ispatlar. (ii) Şimdi ise, a matrisinin bir satırının sıfır olduğunu varsayalım. A’nın herhangi bir başka satırını seçelim ve onu bir B matrisi elde etmek için sıfır satırına ilave edelim. Bu durumda Teorem 2 (iii) den det B  det A yazarız. Halbuki B matrisi iki eşit satıra sahip olduğundan (i) den det B  0 yazmak mümkündür. Bundan dolayı det A  0 olur.

Örnek 1. 2 5 A 6  2

1

4

1

4 3 2  4

matrisinin determinantı sıfırdır. Çünkü birinci ve dördüncü satırları eşittir. Keza  7  1  B 6   0  9

3 5 2  0 1 

matrisinin determinantı da sıfırdır. Çünkü B matrisinin dördüncü satırı sıfır satırıdır. Özel olarak determinantlarının hesaplanması çok kolay olan matrisler vardır. Bunları teoremler halinde veriyoruz. Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 8 Linner Cebir Teorem 4. Bir köşegen matrisin determinantı matrisin köşegen elemanlarının çarpımına eşittir. İspat: a 11 0 0 a 22 A    0 0

0   0      a nn  

olsun. Teorem 2. (i) özelliğini tekrar tekrar kullanarak

0  a 11 0  0  1 0 a    0  0 a 22  22 det A  det   a 11 det             0  a nn   0 0 0 1 0  0 1   a 11a 22 det      0 0 

0  0    

0  1  0 0     a 11a 22  a nn det      a nn  0



  0



0 0    1

 a 11a 22 a nn . det I  a 11a 22 a nn

elde ederiz. Teorem 5. Bir üst üçgen (yada alt üçgen) matrisin determinantı, matrisin köşegen elemanlarının çarpımına eşittir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 9 Linner Cebir İspat: İspatımızı, üst üçgen matris için yapıyoruz. Benzer düşünce ile alt üçgen matrisler için ispat yapılabilir.  a 11 0 A   0

a 12



a 22



a 1n  a 2 n    an 

olsun. Teorem 2 nin (i) ve (iii) ifadelerini tekrar tekrar kullanarak;  a 11 0 det A  det    0

a 12



a 22



a 1n   a 11  0 a 2 n  (i )  a nn det       a nn  0

 a 11  0 ( iii )    a 22a 33  a nn det     0

1 0  a 11a 22  a nn . det    0



a 12



a 22



a 1n  a 2 n    1 

0 0    1 

0  1  0      0  1  0 

 a 11a 22 a nn . det I

yazarız. Buradan verilen bir nxn matrisin determinantını hesaplamak için bir yöntem elde etmek mümkündür. Şöyle ki; (i) Verilen nxn kare matrisi, satır işlemleri kullanılarak bir üst (yada alt) üçgen matris haline getirmek

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 10 Linner Cebir (ii) Üst (yada alt) üçgen matrisin determinantı (Teorem 5 den) “köşegen üzerindeki elemanların çarpımına eşittir” ifadesinin göz önüne almak yeterlidir. Örnek 2. 1 1 A 1  1

1

2

1 8  8  1

matrisinin determinantını hesaplayalım. 1  1 1 2 det  1  2  1 1

1 4 4 1

 1 1  0 8  det  0  8   1 0

1 0  6. det  0  0 1 0  6. det  0  0

1 1

1  1  0 3 3 9   3.2. det  0 1 3  7    2 0 2 0

1

1  1  0 3  6. det  0 1    7 0

1 3 1

1

 1 3   7  1

1  1 1 3  0 1  2   0 4 4  1

1  1 1 3   611 1 12  72 0 1  2   0 0  12  1

2. Minörler ile Determinantların Hesaplanması Bir önceki kesimde satır işlemlerini kullanarak bir nxn kare matrisin determinantının nasıl hesaplandığını gösterdik. Bu kesimde determinantları hesaplamak için başka bir yöntem vereceğiz. Herhangi bir nxn kare matrisin

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 11 Linner Cebir determinantını, (n-1)x(n-1) matrislerin determinantları cinsinden ifade eden bir formül vereceğiz.

A  (a ij ) bir nxn kare matris olsun. A matrisinin i-yinci satır ve j-inci sütununun silinmesiyle elde edilen matrise A matrisinin alt matrisi denir ve Aij ile gösterilir. Örnek 3. a 11 a 12 a 13  A  a 21 a 22 a 23  a 31 a 32 a 33 

matrisini göz önüne alırsak, bu matrisin bazı alt matrisleri a 22 a 23  a 12 a 13  A11   , A 21     a 32 a 33  a 32 a 33 

şeklindedir. A matrisinin alt matrislerinin determinantlarına A nın minörleri denir ve detAij şeklinde gösterilir.

 1i j . det A ij işaretli minörüne, aij elemanının kofaktörü denir ve  ij ile gösterilir. Örnek 4. Yine aşağıdaki gibi 3x3 tipinde genel bir a 11 a 12 a 13  A  a 21 a 22 a 23  a 31 a 32 a 33 

matrisini göz önüne alalım. Buna göre a 22 a 23  det A11  det  , a 32 a 33 

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 12 Linner Cebir a 21 a 23  det A12  det  , a 31 a 33  a 21 a 22  det A13  det  , a 31 a 32 

olup,

11   1 det A11  det A11 11

12   1

1 2

det A12   det A12

13   1 deA13  det A13 13

şeklindedir. Buna göre 3x3 tipindeki bir A matrisinin determinantı det A  a 11 det A11  a 12 det A12  a 13 det A13  a 11 11 a 12 12 a 13 13

olarak hesaplanabilir. Bu verdiğimiz örneğin, nxn kare matrisler için aşağıdaki gibi formülüze edebiliriz: A=(aij) nxn tipinde bir kare matris olmak üzere A matrisinin determinant değeri, A matrisinin bir satırındaki (veya sütunundaki) her elemanının kendi kofaktörü ie çarpımlarını toplayarak bulunur. Yani n

det A  a i1  i1 a i 2  i 2    a in  in   a ik  ik k 1

yada n

det A  a 1 j 1 j a 2 j  2 j    a nj  nj   a kj  kj k 1

örnek 5. Aşağıda verilen

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 13 Linner Cebir 3 2 1  A  2 0 4 1 1 3 

matrisinin bütün elemanlarına karşılık gelen kofaktörlerini bulunuz ve bu kofaktörlerden faydalanarak determinant değerini hesaplayınız. Çözüm: 11   1

0 4 det    4, 1 3

 21   1

12   1

 2 4 det    2, 1 3 

 22   1

3 1 det    8, 1 3

13   1

 2 0 det    2, 1 1  

 23   1

3 2 det    1, 1 1  

2 1  det    8, 0 4

 32   1

3 1  det    10,  2 4

11

1 2

1 3

 31   1

31

 33   1

3 3

2 1

2 2

23

3 2

2 1  det    5, 1 3

3 2  det    4  2 0

olup, böylece det A  a 11 11 a 12  12  a 13 13  3. 4  2. 2  1.2  14

yada det A  a 11 11 a 21  21 a 31 31  3. 4  2. 5  1.8  14

bulunur. Burada hemen hatırlatalım ki; hangi satır yada hangi sütuna göre açılırsa açılsın matrisin determinant değeri değişmez. Teorem 6. Bir A kare matrisinin determinantı ile A nın transpozunun determinant değeri aynıdır. Yani

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 14 Linner Cebir

det A  det A T dir. Teorem 6’nın ispatı determinantların kofaktör açılımlarının göz önüne alınması ile hemen görülür.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE