MAT108 LİNEER CEBİR 4 Öğr. Gör. Bülent ORDU

4. HAFTA

MAT108 LİNEER CEBİR

Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr

KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi

MAT108 2 Linner Cebir

SİNGÜLER OLMAYAN MATRİSLER Tanım:

tipinde bir matris olsun. Eğer

olacak şekilde bir

matrisi varsa

ye

nın tersi denir ve

ile gösterilir.. Bu durumda

ya singüler olmayan matris denir. Bu şekilde tersi bulunmayan matrisler, singüler olarak adlandırılır. Örnek: ve (

alalım.

olduğunu gösteriniz.

olduğunu gösteriniz.)

Singüler Olmayan Matrislerin Özellikleri: 1.

2.

singüler değilse, tersi bir tektir. singüler değilse, çarpımları da singüler değildir.

3. Matrisin tersinin tersi kendisidir.

4. Eğer matris singüler değilse, transpozu da singüler değildir.

5.

bir skaler ve

singüler olmayan bir matris olmak üzere

Matris çarpımının özelliklerinde, matris çarpımında sadeleştirmenin özel hallerde olduğunu söylemiştik. Buna göre en genel durumda

eşitliğinden,

sonucuna ulaşamıyorduk. Matris çarpımında sadeleştirme işlemi singüler olmayan matrisler söz konusu olduğunda geçerli bir işlemdir.

singüler olmayan bir matris olmak üzere

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 3 Linner Cebir

olsun. Bu eşitliğin her iki tarafını soldan

ile çarparsak

elde ederiz (Soldan sadeleştirme). Benzer şekilde ile çarparak gene

eşitliğinde olduğu gibi

eşitliğinin her iki tarafını sağdan

buluruz (Sağdan sadeleştirme). Ancak

matrisi eşitliğin bir tarafında solda bir tarafında sağda ise

sadeleştirme yapılamaz.

Teorem: Her elementer matris ve her elementer matrisin çarpımı tersinirdir.

Teorem: Her A nxn tipindeki matris için aşağıdakiler denktir: (i)

A elementer matrislerin çarpımı olarak yazılabilir.

(ii)

A tersinirdir.

(iii)

A matrisi bir satırı 0 olan matrise satrıca denk değildir.

(iv)

A matrisi birim matrisine satırca denktir.

Sonuç: mxn tipindeki A ve B matrisleri satırca denktir ancak ve ancak B=PA olacak şekilde tersinir P matrisi vardır.

Teorem: Her matris satırca indirgenmiş eşolan matrise satırca denktir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 4 Linner Cebir Sonuç: mxn tipindeki iki matris satırca denktir ancak ve ancak her iki matris de aynı satırca indirgenmiş eşolan matrise satrıca denktir.

Örnek:

Örnek:

olmak üzere

Çözüm:

elde edilir.

Örnek:

olmak üzere

Çözüm:

elde edilir.

Örnek:

olmak üzere

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 5 Linner Cebir

Çözüm:

Buradan

=

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 6 Linner Cebir Sorular: SORU 1 : __________________________________________________________

 3  2 0  2  3 0 2 6 11 5  A=  , B=  , C=  , D=      4 0 1  4 1  4 5  5  2 13

a) A + B ve B + A ’nin eşit olduğunu gösteriniz.

3  2 0  2 3  4 A+B=   +   =   4 1  4 5  8 6 

0  2 3  2 3  4 B+A=   +   =   4 5  4 1  8 6 

A + B = B + A koşulu doğrudur. b) A - C , A + 2C , C + 5A boyutları farklı olduğundan tanımsızdır.

c) 

 3  2  3  2  0 4 0  2 4B + 8B = 4  + 8 = 4 + 8     4 5  4 1  4 1   2 5 T

12  8  0 32 12 24 =  +  =      0 44 16 4   16 40

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 7 Linner Cebir d) 4(B+2BT)T-3AT+(5BT-A)T =



     0  2  0  2 0  2   3  2  3  2  = 4    24 5   - 3 4 1  + 54 5   4 1           4 5   



 0  2  0 8    9 12  0 20 3  2  = 4  +    -       4 5   4 10   6 3   10 25 4 1  



0 6   9 12  3 18  = 4  +   -   0 15  6 3   6 26



 0 0   9 12  3  6 =   -   +   24 60  6 3  18 26 

 6  18 =    48 83 

SORU 2 : ________________________________________________________

x y  5  2 1 2  A=  , B=  , C=      z w 6  3 4 7 

2A = 3B - 2C => A = ?

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE



MAT108 8 Linner Cebir

x y  5  2 1 2  2 = 3 - 2     z w 6  3 4 7 

 x y  15  6  2 4  2  =   -    z w 12 21  12  6

13  x y  13  10 x y   2 2  =   =>  z w =   z w  0 27    0 

  5 => A= 27   2

13 2  0 

  5 27   2

SORU 3 : ________________________________________________________

olsun.

(1) A matrisinin satırca denk olduğu satırca indirgenmiş matrisi B yi bulunuz.

(2) A tersinir midir? Niçin?

(3) B=PA olacak şekilde bulunan P ve P-1 tersini bulunuz.

Çözüm: (1)

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 9 Linner Cebir

Olur. Buradan B=

P=

satirca indirgenmis matrisi bulunmus olur.

elde edilir.

(2) A tersinir değildir. Çünkü satırca denk olan matris B nin son alt satırı 0 dır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 10 Linner Cebir

olur.

Böylece

elde edilir.

SORU 4 : ________________________________________________________ matrisinin varsa tersini bulunuz. Çözüm:

olur.

Böylece A tersinirdir ve tersi de

elde edilir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE