MAT108 LİNEER CEBİR 2 Öğr. Gör. Bülent ORDU

2. HAFTA

MAT108 LİNEER CEBİR

Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr

KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi

MAT108 2 Linner Cebir

MATRİSLER Tanım:

F bir cisim olmak üzere her i = 1,2,...,m , j = 1,2,..., n için aij F iken

(1)

Şeklinde dikdörtgensel bir tablo F cismi üzerinde bir m×n matris adını alır. F cismi üzerindeki tüm m× n lik matrisler kümesi mxn F ile gösterilir. Çoğu kaynak matris için F cisminden söz etmeden, “ sayı vb. gibi cebirsel nesnelerin (1) deki gibi oluşturduğu dikdörtgensel bir tablo ya m× n – tipinde bir matris denir” tanımını kullanmaktadır. Biz de zorunlu olmadıkça “F cismi üzerinde bir matris” sözü yerine “matris” sözünü kullanacağız.

Matrisler genellikle A,B,C,... gibi büyük harflerle gösterilir. (1) deki matris A ile gösterilirse her keresinde (1) deki tabloyu yapmak yerine bu matris,

Matrisler

genel terimiyle gösterilir. Herhangi bir

ikinci indeksi j. sütun numarasını verir. satır

elemanının ilk indeksi i.satır,

ve

sütun

dir.

Özel Tipte Matrisler Tanım: Bir A matrisi m satır ve n sütundan oluşun A

lik bir matris olsun.

oluyorsa matrise kare matris deriz. Kare matrislerde

terimleri esas

köşegendir. Örnek:

için

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

dir.

MAT108 3 Linner Cebir A matrisinin boyutları 3x4 tür.

Tanım:

tipindeki

ve

matrislarinin karşılıklı bileşenleri eşit ise

birbirlerine eşittirler. Örnek:

ve

matrislerinin eşit olması için

olmalıdır.

Tanım:

Tanım: (Bir Matrisin Transpozu) sütunlarının satır yapılmasıyla elde edilen denir ve Örnek:

tipindeki bir A matrisinin satırlarının sütun, boyutundaki yeni matrise A nın transpozu

ile gösterilir. olmak üzere

olur.

Tanım: A kare matrisinin esas köşegen elemanlarının toplamına, A matrisinin izi denir ve iz( A) ilegösterilir.

Örnek:

ı

Tanım: Elemanlarının hepsi sıfır olan matrise sıfır matris denir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 4 Linner Cebir Tanım:

ı ç öş

A=

=diag(a11, a22,...ann) ile gösterilir.

Tanım: Köşegen üzerindeki eskalermatris denir.

bütün elemanları aynıs kalere eşit olan köşegen matris

Matrisleri birer skaler matrisiken,

Matrisinin skalermatrisolamayacağına dikkatediniz.

Tanım: Köşegen üzerindeki bütün elemanları 1 e eşit olan skaler matrise birimmatris denir.

Nxnlik birim matris Inile gösterilir.

,

,

Birim matris, matris çarpımı işleminin etkisiz elemanıdır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 5 Linner Cebir Alıştırma:

Olmak üzer e

ve

matris çarpımlarını yapıp iki sonucun da

tipinde bir skaler matris ise, bir skaleri için Örnek:

olduğunu görünüz.

biçimindedir.

skaler matrisi,

şeklinde skalerle

çarpım ile elde edilebilir.

Tanım: A bir kare matris olmak üzere her i>j içinaij= 0 iseA matrisine, üst üçgensel matris denir.

Tanım: A bir kare matris olmak üzere her i<j içina ij=0 iseA matrisine, alt üçgense lmatris denir.

Örnek:

,

,

Yukarıdaki satırda verilen her üç matris de köşegen matrislerdir. Esas köşegen üzerinde olmayan bütün terimler

dır. Son örnekte esas köşegen üzerinde sıfır bulunmasının tanımla

çelişmediği görülmektedir.

Tanım: Tranpozesi, kendisine esit olan matrise simetrik matris denir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 6 Linner Cebir Örnek:

Matrisinin simetrik olması için

olmalıdır.

Tanım: At=-Aise A matrisine ters-simetrikmatris denir.

Alıştırma: Bir matrisi ters simetrik ise esas köşegenindeki terimler 0 olmalıdır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 7 Linner Cebir

Matris İşlemleri Tanım:

Örnek:

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 8 Linner Cebir

Toplama İşleminin Özellikleri (a)

(b) Toplama işlemine gore değişme özelliği vardır. Yani A, B aynı tipte iki matris olmak üzere A+B=B+A dır. (c) Amxn tipinde bir matris olmak üzere, A+0mxn=0mxn+A=A dır.

Tanım: (Bir Matrisin Skalerle Çarpımı): bir skaler ve

tipinde bir matris olsun. A nın

bütün bileşenlerinin rs kaleriyle çarpılmasıyla eldeedilen yenimatriser .A matrisi denir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 9 Linner Cebir SkalerleÇarpımınÖzellikleri: rves reel sayılar, AveB

tipinde matrisler ise

a) b) c) d)

Örnek:

Örnek:

olmak üzere

ve

dir.

için

bulunur.

Tanım (MatrisÇarpımı): Eğer A matrisi şu şekilde tanımlanır. C matrisinin

ve B

tipinde birer matris ise C=A.B çarpım

elemanı A matrisinini. satırıyla B matrisinin j.

Sütununun terimlerinin sırasıyla çarpımlarının toplanmasıyla elde edilir. matrisinin boyutu

olur. Çarpım matrisi C=[

] nin genel terimi

Şeklinde verilir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

Çarpım

MAT108 10 Linner Cebir

Örnek: A= 

ve B =

matrislerinin çarpımını hesaplayalım.

Dikkat edilecek ilk husus A’nın sütun sayısıyla B’nin satır sayılarının eşit olmasıdır.

Aksi takdirde çarpım yapılamazdı.



Çarpım matrisinin boyutu olur.

Şimdi C=A.B çarpımında

i hesaplayalım. Çarpım formülünde dikkat edersek

olur.

Sırasıyla ilk satırdaki diğer terimlerin elde edilişi

.

.

C matrisinin 2.Satırının ilk elemanını (

)

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 11 Linner Cebir

.

Diğer iki terim de benzer şekilde hesaplanarak C = A.B =

bulunur.

Matris Çarpımının Özellikleri: 1. Birleşmelilik

2. Sağdan ve soldan dağılma özellikleri

Bunların dışında matris çarpımının sayıların çarpımından önemli farkları vardır. 

Matris çarpımı değişmeli değildir. Çarpılmaları mümkün olsa bile bir



çarpımının

İki sayının çarpımı

çarpımına eşit olması beklenmemelidir.

olması durumunda çarpılanlardan en az birinin

gerekir. Ancak matrislerde 

,

iken

olabilir.

Matrislerde sadeleştirme yapmak özel durumlarda mümkündür. iken

olabilir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

olması

MAT108 12 Linner Cebir Örnek : Boyutları aynı olan 3 A   1 0

2  4  1

0 B   1 1

3 2 0

Matrislerinin toplamı 3  0 2  3  3 C  A  B   1  1 4  2    2 0  1 1  0 1

5  6  1

şeklindedir.

Örnek:

A  [aij ]2,3

B  [bij ]3,1

Matrisleri verilmiş olsun. Bu iki matris AB çarpımını oluşturmaya uygun, ancak BA çarpımını oluşturmaya uygun değildir. Buna göre; a11 AB   a21

a13  a23 

a12 a22

b11  b   a11b11  a12b21  a13b31   21  a b  a b  a b  22 21 23 31  b31   21 11

Örnek: 3 A  0 2

1 1  , 0 

1 B 2

0 1

1 0 

Şeklinde verilmiş olsun. İkimatris AB ve BA çarpımı için de uygundur: 3 AB  0 2

1 1  0 

1 2 

0 1

1 1   2 0   2

1 1 0

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

3 0  2

MAT108 13 Linner Cebir

1 BA   2

0 1

1 0 

3 0  2

1 1 1    6 0  

1 1

Görüldüğü gibi AB ve BA çarpımları tanımlı olmalarına rağmen eşit değildir. Bu durumda boyutları bile farklıdır.

TranspozunÖzellikleri : r bir skaler, A ve B

tipinde matrisler olsunlar.

a) b) c) d)

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE