3. HAFTA
MAT192 LİNEER CEBİR
Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr
KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi
MAT108 2 Linner Cebir
Bölünmüş Matrisler: Bir matrisin satırları ve/veya sütunları arasına çizilen çizgilerle alt matrislere bölünmesi yoluyla bölünmüş matrisler elde edilir. Örnek:
Matrisi bölünmüş bir matristir. Bu matristeki alt matrisler, aşağıda verildiği gibidir.
Aynı matrisin başka bir bölünüşü ise aşağıdaki gibidir.
ve
matrisleri aynı yolla bölünmüş
tipinde iki matris ise
toplamı
karşılıklı alt matrislerin toplanmasıyla elde edilir.
Bir
bölünmüş matrisinin bir
skaleriyle çarpımı, her bir alt matrisin bu skalerle
çarpılmasıyla bulunur.
Uygun şekilde bölünmüş iki matrisin çarpımı, normal matrislerin çarpımı gibi yapılır.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 3 Linner Cebir Örnek: ve
aşağıdaki gibi bölünmüş iki matristir.
Bu matrislerin çarpımı,
Şeklinde yapılır. Burada, örneğin birinci satırdaki ilk terimi veren
işleminin
gerçekleşebilmesi için, alt matrislerin boyutlarının uygun şekilde ayarlandığına dikkat ediniz.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 4 Linner Cebir Örnek:
MATRİSLER ÜZERİNDE ELEMENTER SATIR İŞLEMLERİ Tanım: Aşağıdaki üç tip işlem elementer satır işlemleri olarak adlandırılır: 1. Herhangi iki satırın yer değiştirmesi. 2. Bir satırdaki terimlerin hepsinin, sıfırdan farklı bir skalerle çarpılması. 3. Bir satırdaki terimlerin belli bir sayıyla çarpılıp, diğer bir satırdaki karşılık gelen indeksli terimlerle toplanması. Örnek: Elementer satır işlemleri herhangi bir matrise uygulanabilmekle birlikte, örnekte kullanacağımız matrisi ilaveli matris biçiminde seçelim. A= 1. A matrisi üzerinde birinci tip satır işlemine örnek 1. ve 3. Satırların yer değiştirmesi olabilir. Bu işlemin sonucunda
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 5 Linner Cebir
Matrisi elde edilir. 2. İkinci tip satır işlemine örnek olarak, ’nın birinci satırını (-2) ile çarpalım. Elde edilen matris
olur. 3. Üçüncü tip bir satır işlemi olarak
nın 2. satırını
ile çarpıp 3. satıra ekleyelim.
Elde edilir.
Tanım: Eğer bir
matrisi,
matrisine uygulanan sonlu sayıda elementer satır işlemiyle elde
edilebiliyorsa, bu iki matrise satırca denk matrisler denir. Yukarıdaki örnekteki
,
ve
matrisleri, satırca
matrisine denktirler.
Tanım: Aşağıdaki özellikleri sağlayan matrise satır eşelon matris denir. (1) Bir satırdaki terimlerin hepsi
ise bu satır en altta yer alır.
(2) Herhangi bir satırda dan farklı ilk terim
olmalıdır; bu terime lider
denir.
(3) Ardışık iki satırdan altta yer alanın lider
i daha sağdaki bir sütunda yer alır.
Bunlara ek olarak aşağıdaki özellik de sağlanıyorsa, matris satırca indirgenmiş eşelon biçimindedir denir; (4) Lider lerin bulunduğu sütunda diğer bütün terimler
dır.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 6 Linner Cebir Örnek:Aşağıdaki matrislerden
satır eşelon formunda,
ise indirgenmiş eşelon
biçimindedir.
matrisi aşağıdaki gibi alınırsa satır eşelon biçiminde olmaktan çıkar, çünkü 3. satırdaki ilk terim 1 değildir.
matrisini aşağıdaki gibi seçersek indirgenmiş eşelon biçiminde olmaz, çünkü üçüncü sütunda lider 1 in üstündeki -7 teriminin 0 olması gerekirdi.
Teorem: Bir matrisin satırca indirgenmiş eşelon formu tektir. Bu teorem bize iki matrisin satırca denk olup olmadıklarını kontrol etmek için şöyle bir yol göstermektedir. İki matrisin satırca denk olup olmadıklarını kontrol etmek için bu iki matris indirgenmiş eşelon forma getirilir. İndirgenmiş eşelon formlarındaki matrisler birbirine eşitse, iki matris satırca denktir.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 7 Linner Cebir Teorem:
Satırca denk olma denklik bağıntısıdır. Yani, yansımalı, simetrik ve geçişme
özelliği vardır: (i)
Her A matrisi kendisine satırca denktir.
(ii)
Eğer A matrisi B matrisine denk ise, B matrisi de A matrisine denktir.
(iii)
Eğer A matrisi B matrisine satırca denk, B matrisi C matrisine satırca denk ise A matrisi C matrisine denktir.
Tanım: Birim matrise tek bir satır işlemi yapılarak elde edilen matrise elementer matris denir.
Teorem: B matrisi, A matrisine E1, E2,...,En elementer satır işlemleri uygulanarak elde edilen matris ise,
P= ErEr-1... E1 (I)= Er(I) Er-1(I)... E1(I) Olmak üzere B=PA dır.
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE
MAT108 8 Linner Cebir Örnek:
Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE