MAT108 LİNEER CEBİR 3 Öğr. Gör. Bülent ORDU

3. HAFTA

MAT192 LİNEER CEBİR

Öğr. Gör. Bülent ORDU bulentordu@karabuk.edu.tr

KBUZEM Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi

MAT108 2 Linner Cebir

Bölünmüş Matrisler: Bir matrisin satırları ve/veya sütunları arasına çizilen çizgilerle alt matrislere bölünmesi yoluyla bölünmüş matrisler elde edilir. Örnek:

Matrisi bölünmüş bir matristir. Bu matristeki alt matrisler, aşağıda verildiği gibidir.

Aynı matrisin başka bir bölünüşü ise aşağıdaki gibidir.



ve

matrisleri aynı yolla bölünmüş

tipinde iki matris ise

toplamı

karşılıklı alt matrislerin toplanmasıyla elde edilir. 

Bir

bölünmüş matrisinin bir

skaleriyle çarpımı, her bir alt matrisin bu skalerle

çarpılmasıyla bulunur. 

Uygun şekilde bölünmüş iki matrisin çarpımı, normal matrislerin çarpımı gibi yapılır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 3 Linner Cebir Örnek: ve

aşağıdaki gibi bölünmüş iki matristir.

Bu matrislerin çarpımı,

Şeklinde yapılır. Burada, örneğin birinci satırdaki ilk terimi veren

işleminin

gerçekleşebilmesi için, alt matrislerin boyutlarının uygun şekilde ayarlandığına dikkat ediniz.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 4 Linner Cebir Örnek:

MATRİSLER ÜZERİNDE ELEMENTER SATIR İŞLEMLERİ Tanım: Aşağıdaki üç tip işlem elementer satır işlemleri olarak adlandırılır: 1. Herhangi iki satırın yer değiştirmesi.

2. Bir satırdaki terimlerin hepsinin, sıfırdan farklı bir skalerle çarpılması.

3. Bir satırdaki terimlerin belli bir sayıyla çarpılıp, diğer bir satırdaki karşılık gelen indeksli terimlerle toplanması. Örnek: Elementer satır işlemleri herhangi bir matrise uygulanabilmekle birlikte, örnekte kullanacağımız matrisi ilaveli matris biçiminde seçelim.

A= 1. A matrisi üzerinde birinci tip satır işlemine örnek 1. ve 3. Satırların yer değiştirmesi olabilir. Bu işlemin sonucunda

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 5 Linner Cebir

Matrisi elde edilir.

2. İkinci tip satır işlemine örnek olarak, ’nın birinci satırını (-2) ile çarpalım.

Elde edilen matris

olur.

3. Üçüncü tip bir satır işlemi olarak

nın 2. satırını

ile çarpıp 3. satıra ekleyelim.

Elde edilir.

Tanım: Eğer bir

matrisi,

matrisine uygulanan sonlu sayıda elementer satır işlemiyle elde

edilebiliyorsa, bu iki matrise satırca denk matrisler denir.

Yukarıdaki örnekteki

,

ve

matrisleri, satırca

matrisine denktirler.

Tanım: Aşağıdaki özellikleri sağlayan matrise satır eşelon matris denir.

(1) Bir satırdaki terimlerin hepsi

ise bu satır en altta yer alır.

(2) Herhangi bir satırda dan farklı ilk terim

olmalıdır; bu terime lider

denir.

(3) Ardışık iki satırdan altta yer alanın lider

i daha sağdaki bir sütunda yer alır.

Bunlara ek olarak aşağıdaki özellik de sağlanıyorsa, matris satırca indirgenmiş eşelon biçimindedir denir; (4) Lider lerin bulunduğu sütunda diğer bütün terimler

dır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 6 Linner Cebir Örnek:Aşağıdaki matrislerden

satır eşelon formunda,

ise indirgenmiş eşelon

biçimindedir.

matrisi aşağıdaki gibi alınırsa satır eşelon biçiminde olmaktan çıkar, çünkü 3. satırdaki ilk terim 1 değildir.

matrisini aşağıdaki gibi seçersek indirgenmiş eşelon biçiminde olmaz, çünkü üçüncü sütunda lider 1 in üstündeki -7 teriminin 0 olması gerekirdi.

Teorem: Bir matrisin satırca indirgenmiş eşelon formu tektir.

Bu teorem bize iki matrisin satırca denk olup olmadıklarını kontrol etmek için şöyle bir yol göstermektedir. İki matrisin satırca denk olup olmadıklarını kontrol etmek için bu iki matris indirgenmiş eşelon forma getirilir. İndirgenmiş eşelon formlarındaki matrisler birbirine eşitse, iki matris satırca denktir.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 7 Linner Cebir Teorem:

Satırca denk olma denklik bağıntısıdır. Yani, yansımalı, simetrik ve geçişme

özelliği vardır: (i)

Her A matrisi kendisine satırca denktir.

(ii)

Eğer A matrisi B matrisine denk ise, B matrisi de A matrisine denktir.

(iii)

Eğer A matrisi B matrisine satırca denk, B matrisi C matrisine satırca denk ise A matrisi C matrisine denktir.

Tanım: Birim matrise tek bir satır işlemi yapılarak elde edilen matrise elementer matris denir.

Teorem: B matrisi, A matrisine E1, E2,...,En elementer satır işlemleri uygulanarak elde edilen matris ise,

P= ErEr-1... E1 (I)= Er(I) Er-1(I)... E1(I) Olmak üzere B=PA dır.

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE

MAT108 8 Linner Cebir Örnek:

Karabük Üniversitesi Uzaktan Eğitim Araştırma ve Uygulama Merkezi Mühendislik Fakültesi No: 215 Balıklarkayası Mevkii 78050 Karabük TÜRKİYE