Математика 8, збирка задатака за 8. разред основне школе by Izdavačka kuća Eduka

Радица Каровић и Сузана Ивановић

МАТЕМАТИКА 8

uk a

pr om

Збирка задатака за осми разред основне школе

Радица Каровић и Сузана Ивановић

МАТЕМАТИКА 8

Збирка задатака за осми разред основне школе ГЛАВНИ УРЕДНИК Др Бошко Влаховић ОДГОВОРНИ УРЕДНИК Др Наташа Филиповић СТРУЧНИ КОНСУЛТАНТИ Душан Мијајловић Никола Каровић

pr om

РЕЦЕНЗЕНТИ Др Ђорђе Баралић, виши научни сарадник, Математички институт САНУ, Београд Др Мића Станковић, редовни професор, Природно-математички факултет у Нишу Др Јелена Ивановић, асистент Архитектонског факултета Универзитета у Београду Веселинка Милетић, наставник математике ЕВАЛУАТОР Александра Степановић Јаковљевић, наставник математике, ОШ „Јован Јовановић Змај”, Мудраковац

uk a

ДИЗАЈН И ГРАФИЧКА ПРИПРЕМА Јасмина Игњатовић ЛЕКТУРА И КОРЕКТУРА Биљана Никић

ИЗДАВАЧ Едука д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: http://www.eduka.rs; имејл: eduka@eduka.rs ЗА ИЗДАВАЧА Др Бошко Влаховић, директор

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2)(076) КАРОВИЋ, Радица, 1967Математика 8 : збирка задатака за осми разред основне школе / Радица Каровић и Сузана Ивановић. - Изд. бр. 1. - Београд : Eduka, 2021 (Суботица : Ротографика). - 236 стр. : илустр. ; 29 cm

ШТАМПА Ротографика, Суботица

Тираж 1.500.

Издање бр.: 1, Београд, 2021. година

1. Ивановић, Сузана, 1959- [аутор]

Тираж: 1500

ISBN 978-86-6013-521-8

COBISS.SR-ID 41431561

Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника Решењем број: 650-02-00395/2020-07. Није дозвољено: репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући и фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

САДРЖАЈ 6

Сличност Пропорционалне величине Размера дужи; пропорционалност; Талесова теорема Сличност троуглова

8 10 19

Решења – Сличност Пропорционалне величине Размера дужи; пропорционалност; Талесова теорема Сличност троуглова

25 26 26 38

pr om

Предговор

42 43 45 46 48 50 52

Решења – Тачка, права, раван Тачка и права Тачка и раван Права и раван Две равни, диедар Ортогонална пројекција Тачка, права и раван у свакодневном животу

53 54 55 56 57 58 60

Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом Решавање линеарних једначина с једном непознатом Примена линеарних једначина с једном непознатом Линеарне неједначине са једном непознатом

62 63 67 71

Решења – Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом Линеарне једначине и неједначине с једном непознатом Решавање линеарних једначина с једном непознатом Примена линеарних једначина с једном непознатом Линеарне неједначине с једном непознатом

75 76 76 78 80

uk a

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН Тачка, права, раван Тачка и права Тачка и раван Права и раван Две равни, диедар Ортогонална пројекција Тачка, права и раван у свакодневном животу

86 87 91 95

Решења – Призма Призма Појам, елементи и врсте призми Површина призме Запремина призме

99 100 100 102 106

Пирамида Пирамида Појам, елементи и врсте пирамида Површина пирамиде Запремина пирамиде

110 112 116 119

pr om

uk a

Решења – Пирамида Пирамида Појам, елементи и врсте пирамида Површина пирамиде Запремина пирамиде

Призма Призма Појам, елементи и врсте призми Површина призме Запремина призме

125 126 126 131 134

138 140 142 144 150

Решења – Линеарна функција Линеарна функција Линеарна функција y = kx + n График линеарне функције; нула функције Цртање и читање графика линеарне функције График линеарне функције, раст и опадање

153 154 154 156 161 165

Системи линеарних једначина с две непознате Системи линеарних једначина с две непознате Линеарне једначине с две непознате Графичко решавање система две линеарне једначине с две непознате Решавање система методом замене Решавање система методом супротних коефицијената Примена система линеарних једначина

168 170 171 173 175 177

Линеарна функција Линеарна функција Линеарна функција y = kx + n График линеарне функције; нула функције Цртање и читање графика линеарне функције График линеарне функције, раст и опадање

181 182 182 183 189 190 191

ВАЉАК, КУПА И ЛОПТА Ваљак Ваљак Појам, елементи и мрежа ваљка Површина ваљка Запремина ваљка

193 194 195 197 199

uk a

Купа Купа Појам, елементи и мрежа купе Површина купе Запремина купе

pr om

Решења – Ваљак Ваљак Појам, елементи и мрежа ваљка Површина ваљка Запремина ваљка

Решења – Системи линеарних једначина с две непознате Системи линеарних једначина с две непознате Линеарне једначине с две непознате Графичко решавање система две линеарне једначине с две непознате Решавање система методом замене Решавање система методом супротних коефицијената Примена система линеарних једначина

203 204 204 205 207 209 210 211 214 215 219 220 220 221 222

Лопта Лопта Појам и елементи лопте Површина лопте Запремина лопте

225 226 226 228 229

Решења – Лопта Лопта Појам и елементи лопте Површина лопте Запремина лопте

231 232 233 234 235

Решења – Купа Купа Појам, елементи и мрежа купе Површина купе Запремина купе

ПРЕДГОВОР

Срећно!

uk a

pr om

Драги учениче / драга ученице, Подсећамо те на нашу намеру да пажљивим избором задатака развијамо твоју снагу мишљења. Вештином да правиш логичке закључке најбоље ћеш овладати ако покушаш да самостално урадиш што више задатака који су дати у збирци која је пред тобом. На почетку сваке теме налазе се примери помоћу којих ћеш се подсетити појмова које ћеш користити у решавању задатака. Задаци су постављани тако да те поступно воде од једноставнијих ка сложенијим захтевима. За једноставније захтеве довољно је да познајеш основне појмове и поступке и зато је важно да их све пажљиво урадиш. Затим, следе задаци за чије решавање је потребно да повежеш појмове који су обрађени у уџбенику. на крају су задаци који се решавају сложенијим поступцима и који ти посебно помажу да уочаваш чињенице и повезујеш их. Надамо се да ћеш проблемски задатак прихватити као изазов у коме ћеш проверити стечено знање и вештине за које верујемо да их усвајаш.

uk a

Ed o

pr om

СЛИЧНОСТ

ПРОПОРЦИОНАЛНЕ ВЕЛИЧИНЕ

  �о�се�ник 

pr om

1. Валентина воли да прави смути од воћа или поврћа за своју породицу. У суботу је сестри Сари и себи за доручак направила смути од две банане и 10 јагода, чија је укупна маса око 300 g. Мешавини је додала 250 g јогурта. Увече је за родитеље припремила смути од поврћа тако што је миксирала два барена кромпира, једну шаргарепу и изрендала две свеже цвекле. Укупна маса поврћа је била око 400 g, а додала је и 300 g бадемовог млека. а) У ком односу је маса воћа и маса јогурта у воћном смутију? б) У ком односу је маса поврћа и маса бадемовог млека у смутију од поврћа?

uk a

2. Ана прави слатко од јагода. Њена другарица Мила жели такође да направи такво слатко. Потражила је од Ане рецепт. Рецепт гласи: СЛАТКО ОД ЈАГОДА 2 kg јагода пошећерити са 1 kg шећера. То треба да одстоји преко ноћи. Сутрадан кувати на умереној температури не дуже од пола сата.

Мила је прочитала рецепт, а затим гласно прокоментарисала: „Ако ја имам 6 kg јагода, колико ми је потребно шећера?” а) Који је однос јагоде и шећера у слатку? б) Колико шећера треба Мили за количину јагода коју има?

3. Марко живи у Енглеској. Разговара са својим братом Младеном и каже: „Сваког дана пређем колима од куће до посла растојање од 40 миља (m), односно 64 km.” Одреди однос мерних бројева миља : километар.

СЛИЧНОСТ

4. Ученици су имали задатак да на интернету пронађу информације и слике најраскошнијих лептира на свету. Група девојчица се определила за краљевског лептира. Нацртале су га на паноу, с распоном крила од 1 m. Ако знаш да је распон крила код краљевског лептира око 100 mm, колики је однос стварног распона крила и распона крила на паноу?

pr om

5. Никола је веома успешан младић. Он је професор математике. Како би у потпуности остварио своје недељне планове, направио је распоред својих активности. За спорт је издвојио дневно 1,5 сати, за дружење са пријатељима 1,5 сати, за пословне обавезе 8 сати. За припрему оброка и обедовање утроши у просеку 3 сата. Никола ноћу спава око 7 сати. Ако остатак дана он проведе у читању, одреди:

uk a

а) о днос времена (време је изражено у сатима) које Никола проведе читајући и времена издвојено за спорт и дружење (заједно); б) однос времена издвојено за пословне обавезе и спавање; в) однос времена за припрему оброка и обедовање и времена проведеног у читању.

РАЗМЕРА ДУЖИ; ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ; ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМA 6. Одреди размеру дужи АB и CD ако је: a) AB = 5 cm, CD = 8 cm; б) AB = 15 cm, CD = 18 cm; г) AB = 5 cm, CD = 0,8 dm; д) AB = 2,5 m, CD = 80 cm;

в) AB = 7 cm, CD = 28 cm; ђ) AB = 240 mm, CD = 0,8 m.

7. Н ацртај у свесци једнакокраки троугао ABC, чије су странице AB= 6 cm, АC = BC = 5 cm. Одреди размеру дужи: а) AB и АC; б) АС и ВС.

pr om

8. Д анкина кућа налази се у близини нишке тврђаве. Од Данкине куће 300 m јужно налази се библиотека, а источно 400 m од њене куће налази се школа. По урбанистичком плану, те три локације се могу представити као темена правоуглог троугла. Oдреди размеру дужине путања од куће до школе и од школе до библиотеке. 9. Нацртај у свесци квадрат ABCD чија је површина 16 cm2.

а) У којој размери су дуж АВ и дуж MN чија је дужина једнака дужини обима квадрата? б) У којој размери су дужина странице и дужина обима произвољног квадрата?

uk a

10. Т ачке А и В деле дуж PQ на три једнака дела. У којој размери су један од добијених делова и дуж PQ? 11. Н а правој a дате су редом тачке A, B, C, D и E, такве да је АB = 5 cm, BC = 4 cm, CD = 1 cm и DE = 6 cm. Одреди размере: а) АB : BD; б) AC : CD ; в) BC : AE.

12. Д уж PQ = 24 cm подељена је тачком А на два дела, тако да је дуж РА дужа 5 пута од дужи АQ. Одреди размеру дужи: а) AQ : PQ; б) AQ : PА; в) PQ : PA. 13. Одреди размере дужи АВ и MN ако је: а) трећина дужи АВ једнака трећини дужи MN; б) трећина дужи АВ једнака петини дужи MN; в) петина дужи АВ једнака трећини дужи MN; г) трећина дужи АВ једнака дужи MN. AB 14. Ако је CD = 3 , заокружи слова испред тачних исказа: 5 а) Дужина дужи АВ већа је од дужине дужи СD; б) Дужина дужи АВ једнака је дужини дужи СD; AB 19 AB CD AB CD ; д) = = ; ђ) = ; в) 5АВ = 3CD; г) 5 CD 3 5 5 5 10

е) 500АВ = 300CD.

СЛИЧНОСТ

15. Дате су размере: 1 1 в) АВ : PQ = 3 : 7 ; а) АВ : PQ = 1 : 1; б) АВ : PQ = 5 : 5 ; 3 6 8 7 г) АВ : PQ = : . 5 9 Запиши размере једнаке датим, тако да чланови размере буду природни бројеви. 16. Дата је размера a) CD = 5 cm;

AB 3 = одреди дужину дужи АВ ако је: CD 5 б) CD = 15 cm; в) CD = 2,5 cm; г) CD = 0,5 cm;

2 д) CD =1 3 cm.

17. Нацртај дуж АВ = 16 cm и на њој тачке P и Q, такве да је AP = 4 cm и BQ = 10 cm. Одреди размере дужи: a) АP и BQ; б) AQ и PB; в) AB и PQ.

Да ли су дате дужи самерљиве?

a) BC : AE;

б) AC : CD;

pr om

18. Н а правој a су дате редом тачке: А, В, С, D и E, тако да је: АB = 10 cm, DE = 4 cm, BE = 20 cm, AC = 15 cm. Одреди размеру следећих дужи: в) BC : DE;

г) AD : BD.

uk a

19. Никола, Душан и Петар су чланови школског еко-клуба „Зелени врт”. Задаци клуба су да њени чланови уређују школски парк. Дечаци су посадили у парку три брезе у близини школске фонтане. Прва бреза је од фонтане (положај F) удаљена 25 m (положај А), друга такође од фонтане 0,075 km (положај В), а трећа 150 000 mm од фонтане (положај С). Одреди размеру дужи: a) FA : AB; б) FA : BC; в) FB : AC.

20. У табели упиши самерљиве/несамерљиве тако да исказ буде тачан.

Самерљиве/несамерљиве

Дужи АP = 9 cm, BQ = 19 cm АP = 9 mm, BQ = 9√9 mm АP = 9√50 m, BQ = 3√5 m АP = 1,44√3 cm, BQ = 1,2√3 cm АP = 7√7 cm, BQ = 17√5 cm АP = 7√36 dm, BQ = 7√9 dm АP = 3√2 dm, BQ = 5√8 dm

21. Хипотенуза правоуглог троугла износи 13 cm, а једна катета 5 cm. Испитај самерљивост хипотенузе и дуже катете. 22. Код правоуглог троугла катете су обележене словима а и b, а хипотенуза словом c. Да ли су самерљиве дужи, полупречник описане кружнице R код правоуглог троугла и дужа катета ако су дате следеће дужи: а) а = 3 dm, b = 4 dm;

б) с = 20 cm, а = 10 cm;

в) c = 5√2 cm, a = 3√2 cm. 11

СЛИЧНОСТ

23. Површина правоуглог троугла износи 54 cm2. Aко су катете тог троугла у размери 3 : 4, израчунај обим тог правоуглог троугла. Испитај да ли су самерљиве дужи хипотенуза тог правоуглог троугла и његов обим. 24. Површина правилног шестоугла износи 54√3 cm2. Одреди размере и испитај самерљивост: а) странице и обима тог шестоугла; б) полупречника описане и уписане кружнице код тог шестоугла. в) А ко би се површина правилног шестоугла повећала на 150√3 cm2, за колико би се промениле тражене размере? 25. Површина круга који је описан око правоугаоника износи 20π cm2. Ако су странице тог правоугаоника у размери 2 : 1, испитај самерљивост дијагонале и дуже странице тог правоугаоника.

pr om

26. Oбим ромба износи 20 cm. Ако је једна дијагонала ромба 8 cm, да ли је страница ромба самерљива са његовом дужом дијагоналом? 27. Унутрашњи угао ромба износи 60°, а дужина његовог обима је 40 cm. Испитај самерљивост: а) странице са дијагоналама; б) дијагонала тог ромба.

uk a

28. Одреди размеру дужине и ширине правоугаоника чија је површина 6 m2, a ширина 30 dm. a) Да ли су дужина и ширина самерљиве дужи? б) Да ли је дијагонала тог правоугаоника самерљива са неком његовом страницом? Објасни зашто.

29. Дијагонала правоугаоника заклапа са дужом основицом угао од 30°. Ако је дужа основица 6 cm, да ли су самерљиве: а) странице тог правоугаоника; б) дијагонала и дужа страница; в) дијагонала и краћа страница? 30. Mилош, као главни менаџер једне фармацеутске куће, по предвиђеном плану, у току сваке радне недеље обилази апотеке у неколико градова. На google-мапи пронашао је локације које треба да обиђе, а затим је исцртао своју путању користећи карту (1 : 1 000 000). Колико километара ће он прећи како би испунио план за ту недељу?

2,3 cm

5,6 cm

12,5 cm

10,4 cm

СЛИЧНОСТ

31. Петра је програмер, ради за пољску фирму, а живи у Београду. Она једном месечно учествује на састанку сектора Јужна Европа који се одржава сваког месеца у Кракову. Ако је удаљеност Кракова од Београда 775 km, а карта на којој су приказани ти градови је рађена у размери 1 : 5 000 000, колика је дужина дужи која представља километражу коју је Петра прешла у току прошле године присуствујући уредно сваком састанку? 32. Градски менаџер са тимом архитеката допуњује урбанистички план једног од градова Србије. По новом плану треба изградити фонтану по угледу на фонтану у Београду. Пречник фонтане треба да буде 20 m. Око фонтане налазиће се стаза са клупама за одмарање, површине 125π m2. Градски менаџер захтева од архитеката да нацртају план фонтане и простора за одмарање око фонтане у размери 1 : 200. Нацртај и ти скицу градске фонтане у својој свесци.

pr om

34. Одреди размеру дужи АВ : PQ aкo je: a) AB : CD = 1 : 2, CD : PQ = 1 : 4; б) CD : AB = 3 : 5, CD : PQ = 1 : 2; в) CD : AB = 3 : 5, PQ : CD = 2 : 3.

33. Јелена је купила плац чији је пројектни план урађен у размери 1 : 600. На том плану, плац је приказан квадратом странице 55 mm. Одреди површину тог плаца у арима.

35. Испитај самерљивост аритметичке и геометријске средине за дужи: a) АВ = 4 cm и СD = 9 cm;

в) АВ = 0,04 cm и СD = 0,09 cm;

б) АВ = 8 cm и СD = 3 cm; г) АВ = 3 cm и СD = 12 cm. 36 4

uk a

36. Дату дуж АВ = 9 cm конструкцијом подели на: а) 2; б) 4; в) 8 једнаких делова. На колико начина то можеш да урадиш?

37. Дату дуж АВ = 11 cm конструкцијом подели на: а) 3; б) 5; в) 7; г) 9 једнаких делова. На колико начина можеш то да урадиш?

38. Конструиши дуж која представља шестину дужи АВ = 13 cm.

39. Нацртај дуж PQ = 7 cm. Подели дату дуж PQ тачком R тако да је PR : RQ у размери: а) 1 : 2; б) 3 : 2; в) 2 : 5; г) 2 : 1 ; д) 1 : 1 ; ђ) 1 : 6. 2 2 2 2

40. На дужи АВ = 12 cm конструиши тачку С тако да она буде четири пута ближа тачки В него тачки А. У којој размери ће средиште краће дужи поделити целу дуж АВ?

41. Дата је дуж АВ = 5 cm. Конструиши дуж PQ тако да је: а) PQ = 1 AB; б) AB = 1 PQ; в) PQ = 5 AB; 3 2 4 4 AB; д) PQ = 0,6 AB; ђ) PQ = 1,4 AB. г) PQ = 5

42. Нацртај дуж PQ = 13 cm. Подели дату дуж PQ тачкама R и S, тако да је PR : RS : SQ у размери: а) 1 : 2 : 3;

б) 4 : 1 : 3;

в) 3 : 3 : 4;

г) 1 : 1 : 5.

43. Нацртај бројевну праву чија је јединична дуж 3cm. Конструиши тачке бројевне праве чије су координате: а) 3 ; 4

б) 1 4 ; 5

в) – 2 1 ; 2

∙ г) 0,3;

∙ д) – 1, 6.

а) √2 ; 3

б) √3 ; 2

в) √5 ; 4

г) √7 . 5

44. Нацртај бројевну праву чија је јединична дуж 5 cm. Конструиши тачке бројевне праве којима одговарају координате:

pr om

45. К онструиши једнакостранични троугао ако је дужина дате дужи МN = 10 cm једнака: а) обиму троугла; б) висини једнакостраничног троугла; в) дужини полупречника описане кружнице. 46. К онструиши једнакокраки троугао ако су његов крак и основица у размери 4 : 3, а обим тог троугла је дуж АВ = 18 cm.

uk a

47. Конструиши квадрат ако је његов полуобим једнак дужини дате дужи МN = 10 cm. 48. К онструиши правоугаоник ако су његове странице у размери 3 : 4, а обим тог правоугаоника је једнак дужини дужи АВ = 26 cm.

49. К онструиши ромб ако је његов обим једнак дужини дужи PR = 17 cm, a један његов угао је 120°.

50. Конструиши правилан шестоугао ако је његов обим једнак дужини дужи CD = 14 cm.

51. Над сваком страницом квадрата ABCD конструисани су са спољне стране једнакостранични троуглови ABP, BCR, CDS и DAT. Ако је обим тако добијеног неконвексног осмоугла APBRCSDTA једнак дужини дужи МN = 19 cm, конструиши квадрат ABCD. 52. Дата је дуж АВ = 8 cm. Конструиши:

а) једнакостранични троугао чија је страница а = 40% АВ;

б) квадрат чија је страница а = 2 АВ; 3 в) кружницу полупречника r = 4 АВ; 5

г) правилан шестоугао чија је страница а = 5 AB. 6 14

СЛИЧНОСТ

53. Дате су дужи: АB = 2 cm, CD = 5 cm, MN = 6 cm, PQ = 8 cm и EF = 20 cm. Од којих се дужи може образовати пропорција? 54. Датo je шест колинеарних тачака: P, R, Q, S, E, F, таквих да је PQ : QR = SF : EF. Одреди дужину непознате дужи x и попуни табелу:

55. Oдреди непознати члан пропорције: а) 5: х = 36 : 9;

б) х : 3√5 = √125 : 15;

в) ( 3х – 1,5 ) : 3 = ( 2х + 1 ) : 4;

SF x 16 cm 7 cm 2,1 cm x 0,3 cm 4 cm x 4√2 cm

EF 4 cm x 2 cm 0,7 cm 3 cm x 2√3 cm 10 cm x

RQ 2 cm 5 cm 1 cm x x 2,7 cm x x 3√2 cm

pr om

PQ 3 cm 8 cm x 3 cm 12 cm x 10√3 cm 2,5 cm 5 cm

uk a

г) ( 1 х − 1 ) : ( 1 х − 1 ) = 3 : 4. 2 4 3 6

56. Ученици осмог разреда су у оквиру пројектног задатка „Математичари у свету и код нас” израдили три различита паноа на којима су приказани наши најпознатији математичари. На основу датих инструкција за њихову израду, висине свих паноа треба да буду за 2 dm дуже од њихове ширине. Такође им је скренута пажња да ширине паноа треба да су у односу 4 : 7 : 6. Ако је ширина највећег паноа за 6 dm дужа од ширине најмањег паноа, одреди димензије сва три паноа. 57. Дужа катета правоуглог троугла АВС (∡С = 90o) је ВС = 8 cm. а) Oдреди дужину друге катете тог троугла ако је размера катета једнака са размером хипотенузе и њене тежишне дужи. б) Да ли је хипотенуза самерљива са катетама тог правоуглог троугла? Објасни зашто. 58. Петар и Богдан се такмиче ко ће брже измерити дужину појединих растојања у дворишту Петровог деке, који им и задаје задатке. Како је резултат био скоро изједначен, а такмичење се одужило, дека им је задао да измере висину јелке која је засађена испред куће још пре 40 година. Он се надао да ће тако прекинути њихову игру. Али, преварио се. Они су „измерили” да је висина јелке 8 m. Објасни како! 15

СЛИЧНОСТ

59. Стан се налази у поткровљу, мале је квадратуре и треба рационално искористити сваки део стана. Маша има своју библиотеку и жели да све књиге смести у свој мали стан. У дневној соби има косину зида као на слици. Она жели да угради четири полицe на једнаком растојању. Одреди дужину сваке полице.

2,5 m

pr om

60. У троуглу АВС права s паралелна је са страницом АВ. Она сече странице ВС и АС у тачкама D и E редом. На основу датих података израчунати непознату дуж х: C

а) АВ = 24 cm, DE = 18 cm, CB = 40 cm, CD = x; б) AB = 12 cm, ED = 8 cm, CD = 16 cm, CB = x;

в) АC = 6 cm, AE = 3 cm, BD = 6 cm, CB = x;

uk a

г) CE = 6 cm, AC = 10 cm, CD = 9 cm, BD = x.

M 62°

61. На основу података са слике, одреди дужину дужи AM. C

6 cm

9 cm

15 cm

62°

62. Дат је троугао АВС. Права p паралелна је са страницом BC и она сече странице АВ и АС у тачкама Р и Q редом. На основу датих података израчунај непознату дуж х: C а) AC = 15 cm, CQ = 5 cm, AP = 14cm, PB = x; б) PB = 6 cm, BC = 18 cm, AP = PQ = x; 1 в) AP = 9 cm, QC = 18 cm, PB = 2 AQ, AC = x; г) AC = 16 cm, AP = 9 cm, AQ = AB, PB = x.

B p

СЛИЧНОСТ

63. Праве a и b секу се у тачки S. Ако су праве m, n, p међусобно паралелне и ако оне секу праве a и b, користећи податке са слике израчунај x ∙ y. b y x 5 cm

10 cm

4 cm

7 cm

pr om

64. Праве a, b и c секу се у тачки S. Ако су праве m и n међусобно паралелне и ако оне секу праве a, b и с, користећи податке са слике израчунај x . y c 12 cm

2x 12 cm

16 cm

y a

uk a

65. Праве а и b су паралелне. На основу података са слике, одреди дужину дужи x – y. b a

12 cm

14 cm x+5

10 cm

14 cm

СЛИЧНОСТ

66. Праве а, b, c и d су паралелне. Ако је ОС = ОА, на основу података са слике, одреди дужину дужи x + y.

x y O 5 cm

3 cm

4 cm

pr om

67. Дат је троугао АВС. Нека је СМ тежишна дуж тог троугла, а тачка S средиште тежишне дужи СМ. Права p(А, S) сече страницу ВС у тачки D (види слику). Ако је дуж CD = 3 cm, израчунај дужину дужи ВD.

6 cm

69. Испитај паралелност правих a и b приказаних на слици.

4,5 cm

90°

4 cm

uk a

68. Дат је једнакокраки троугао АВС. Дуж СD је висина која одговара основици АВ (види слику). На дужи СD дата је тачка Е таква да је СЕ = 1 ЕD. 2 Ако је CF = 3 cm, одреди дужину странице ВС тог троугла.

3 cm

12 cm

13,5 cm

4 cm

2 cm 3 cm

70. Дате су дужи а = 4 cm, b = 3,5 cm, c = 5,5 cm. Применом Талесове теореме конструиши дуж x тако да важи: xa а) а : b = c : x; б) a : x = b : c; в) a : b = x; г) x : a = b; д) c = . b 18

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА

  �о�се�ник 

врста речи – ПРИДЕВ значење речи – КОЈИ ЛИЧИ, НАЛИКУЈЕ

синоними – СРОДАН, БЛИЗАК, УПОРЕДИВ, СРАЗМЕРАН

б)

в)

uk a

pr om

71. Заокружи парове сличних бића, односно предмета. Образложи одговор.

г)

д)

ђ)

е)

ж)

з) 19

СЛИЧНОСТ

72. На сликама а), б) и в) су приказани парови троуглова. На којој од слика је приказан пар сличних троуглова? Образложи одговор, а затим запиши парове пропорционалних страница. a)

Q P

45°

35°

б)

45° 100°

120°

pr om

150°

30°

90°

в)

uk a

25°

125°

73. Покажи да су сви наведени парови троуглова међусобно слични: а) два једнакостранична троугла; б) два једнакокрако-правоугла троугла; в) два једнакокрака троугла, ако сваки од њих има по један угао од 120o; г) два правоугла троугла код којих је хипотенуза два пута дужа од једне катете; д) два троугла, ако сваки од њих има мере два спољашња угла од 120o и 130o; ђ) два правоугла троугла ако један од њих има један унутрашњи угао од 25o, а други 65o; е) два правоугла троугла ако се симетрале два унутрашња угла сваког од та два троугла секу под углом од 100o.

СЛИЧНОСТ

74. Заокружи слова испред тачних тврђења: а) два подударна троугла су увек слична. б) два слична троугла су увек подударна. в) ако су катете једног правоуглог троугла 6 cm и 8 cm, а другог 3 cm и 5 cm, ти троуглови су слични. г) ако је ∆ABC~∆A1B1C1, и ∆ABC~∆A2B2C2, тада важи ∆A1B1C1~∆A2B2C2 . д) Два правоугла троугла су слична ако сваки од њих има по два унутрашња угла чији је збир 100°. ђ) Д ва неједнакостранична троугла су слична ако сваки од њих има по два унутрашња угла чији је збир 110°.

pr om

75. Унутрашње углове троугла АВС означимо са α, β, γ, а углове троугла PQR означимо са 𝛿, 𝜀, 𝜃. На линијама упиши ТАЧНО ако су троуглови слични, или НЕТАЧНО ако нису слични: а) α = 25°, β = 100°, 𝜀 = 100°, 𝜃 = 25°; _______________________ б) γ = 77°, α = 33°, 𝛿 = 77°, 𝜃 = 70°; _______________________ в) α = β = 30°, 𝛿 = 𝜃 = 70°; _______________________ г) γ = 135°, α = 35°, 𝛿 = 10°, 𝜃= 70°. _______________________

76. Д ате су странице два троугла. Повежи парове сличних троуглова чије су странице дате: 4 cm, 5 cm, 6 cm 4 dm, 5 dm, 6 dm 40 cm, 50 cm, 60 cm 500 cm, 400 cm, 500 cm √9 cm, √16 cm, √25 cm 5 m, 5 m, 8 m 2,5 cm, 2,5 cm, 4 cm 0,3 cm, 0,4 cm, 0,5 cm.

uk a

77. У троуглу АВС повучена је средња линија МN ll BC. Уочи сличне троуглове и одреди њихов коефицијент сличности.

78. У неједнакостраничном троуглу АВС повучене су све три средње линије: NР ll АВ, МN ll BC, MP ll АС. Запиши сличне троуглове и одреди коефицијент сличности. 79. С транице АС и ВС троугла АВС подељене су на три једнака дела двема правама p и q које су паралелне са страницом АВ (p ll q ll AB) . Уочи сличне троуглове и одреди коефицијент сличности. 80. Д ат је правоугаоник АВСD. Taчке P, Q, R и S деле редом странице АB, BC, CD и AD на два једнака дела. Који су троуглови слични? Заокружи слово испред тачних исказа: а) ∆ABC ~ ∆ PBQ; б) ∆ АCD ~ ∆ QCR;

в) ∆ APS ~ ∆ PQR;

г) ∆ APD ~ ∆PBQ.

а) ∆ABC ~ ∆ PBQ; б) ∆ АCD ~ ∆ QCR;

в) ∆ APS ~ ∆ ВСD;

г) ∆APD ~∆ PBQ.

81. Д ат је паралелограм АВСD. Taчке P, Q, R и S су редом средишта страница АB, BC, CD и AD. Нацртај тај паралелограм, а затим заокружи слово испред тачних исказа:

СЛИЧНОСТ

82. Троугао АВС сличан је троуглу А1В1С1. За њихове странице важи једнакост а : а1 = b : b1 = c : c1. Странице троугла АВС су: а = 6 cm, b = 9 cm, c = 8 cm. Oдреди странице њему сличног троугла А1В1С1 ако је: a) a1 = 3 cm; б) b1 = 3 cm; в) c1 = 16 cm; г) најдужа страница троугла А1В1С1 дужине 18 cm; д) најкраћа страница троугла А1В1С1 дужине 2 cm; ђ) обим троугла А1В1С1 O1 = 92 cm; е) коефицијент сличности 4; ж) коефицијент сличности 0,5.

83. Р азличите странице једнакокраког троугла су 12 cm и 6 cm, a oбим њему сличног троугла износи 10 cm. Израчунај странице мањег троугла.

pr om

84. Н а основу слике израчунај странице и обим троугла CDE ако је АB = 16 cm, BC = 14 cm, AC = 10 cm и DC = 7 cm. C D

α A

uk a

B 85. Марко је висок 2 m и 10 cm. Његову висину измерили су на систематском прегледу, на који је Никола закаснио. Ако је дужина Маркове сенке 0,7 m, a дужина Николине сенке 6,5 dm, помози Николи да одреди своју висину.

86. Поред бетонског стуба, постављен је дрвени стуб. У једном делу дана дужина сенке дрвеног стуба износила је 60% од његове висине, а дужина сенке бетонског стуба била је 2,4 m. Колика је висина бетонског стуба?

87. Лена је помогла Луки да одреди висину зграде у којој живи, тако што је измерила сенку која је одговарала згради, а која износи 15 m. Лука, који је висок 1,80 m, у истом тренутку има сенку дугу 0,8 m. Колико метара је висока зграда у којој живи Лука?

88. Дати су троуглови АВС и АЕD. Ако је АВ = 20 cm, AE = 5 cm, ED = 3 cm, одреди: а) дужину дужи ЕС; C б) обим четвороугла DBCE. 90° E

90°

СЛИЧНОСТ

89. Kатете правоуглог троугла АВС су дужине 24 cm и 10 cm. Ако је хипотенуза њему сличног троугла А1В1С1 дужине 13 cm, израчунај обим и површину оба троугла. У ком су односу њихови обими? Да ли тај однос важи и за њихове површине? 90. З бир дужина хипотенуза правоуглих троуглова приказаних на слици износи 25 cm. На основу датих података, израчунај обим и површину сваког од датих троуглова. У ком односу су њихови обими? Да ли тај однос важи и за њихове површине?

90°

12 cm

3 cm

90°

pr om

ијагонале AC и BD једнакокраког трапеза ABCD секу се у тачки О. Ако растојање тачке 91. Д О од темена А и В износи 6,8 cm а од темена C и D износи 1,7 cm, одреди размеру основица трапеза. 92. Д ијагонале AC и BD трапеза ABCD секу се у тачки О. Ако је краћа основица CD = 6 cm, a дужина његове средње линије 8 cm, израчунај дужину дуже основице АВ и размеру дужи СО : ОА.

uk a

93. Д ијагонале PR и QS трапеза PQRS секу се у тачки О. Ако су дужине његових основица PQ = 0,6 dm, RS = 0,4 dm, OR = 0,2 dm, израчунај дужину дужи PО.

94. Дата су два слична једнакокрака троугла АВС и PQR. Крак троугла АВС има дужину 10 cm, а крак троугла PQR има дужину 5 cm. Ако се њихови обими разликују за 12 cm, одреди за колико се разликују дужине висина које одговарају основицама тих двају сличних троуглова. 95. Из темена С правог угла троугла АВС, повучена је висина СD на хипотенузу АВ. Његове катете су СА = 0,8 dm и СВ = 0,6 dm. Запиши све парове сличних троуглова које уочаваш на слици, а затим: а) израчунај висину СD; б) израчунај дужине одсечака BD и AD. C

a h

90°

B 23

СЛИЧНОСТ

96. На основу података и слике у претходном задатку, показати да је: а) страница а геометријска средина хипотенузе и одсечка q; б) страница b геометријска средина хипотенузе и одсечка p; в) висина h геометријска средина одсечaка p и q. 97. Висина hc = 16 cm троугла АВС дели страницу АВ на одсечке 32 cm и 8 cm. Да ли је тај троугао правоугли? Образложи одговор. 98. Одреди дужину одсечака које гради хипотенузина висина на хипотенузи правоуглог троугла ако су катете тог троугла 12 cm и 5 cm.

100. На основу дате слике, (∡ ACB = 90˚) попуни табелу:

pr om

а b

uk a

p q

90˚

проблемски задатак У новом стану, Петру је припала соба површине 12 m2, а Милици соба за квадратни метар мања од Петрове. a) Ако су мерни бројеви дужине и ширине Петрове собе природни бројеви, која је њихова размера? б) Могу ли мерни бројеви дужине и ширине Миличине собе бити природни бројеви? Ако могу, која је њихова размера? Размисли, како би у свакој од могућности изгледале њихове собе! 24

99. Oдреди обим и површину правоуглог троугла, ако су одсечци које хипотенузина висина гради на хипотенузи дужине 22 2 cm и 3 11 cm. 13 13 3 5

3,6

1,6

0,4

СЛИЧНОСТ

uk a

pr om

РЕШЕЊА СЛИЧНОСТ

b y x

S m

СЛИЧНОСТ

ПРОПОРЦИОНАЛНЕ ВЕЛИЧИНЕ 1. а) 6 : 5; б) 4 : 3. 2. а) 2 : 1; б) 3 килограма. 3. 5 : 8. 4. 1 : 10. 5. а) 1 : 1; б) 8 : 7; в) 1 : 1.

pr om

РАЗМЕРА ДУЖИ; ПРОПОРЦИОНАЛНОСТ; ТЕЛЕСОВА ТЕОРЕМА б) AB : CD = 5 : 6; д) AB : CD = 25 : 8; б) AC : BC = 1 : 1.

6. а) AB : CD = 5 : 8; г) AB : CD = 5 : 8; 7. а) AB : АC = 6 : 5; 8. 4 : 5. 9. а) AB : MN = 1 : 4; 10. PA : PQ = 1 : 3.

в) AB : CD = 1 : 4; ђ) AB : CD = 3 : 10.

uk a

б) a : 4a = 1 : 4. A

11. а) AB : BD = 1 : 1; б) AC : CD = 9 : 1; в) BC : AE = 1 : 4. 12. а) AQ : PQ = 1 : 6; б) AQ : PA = 1 : 5; в) PQ : PA = 6 : 5. б) AB : MN = 3 : 5; в) AB : MN = 5 : 3; 13. а) AB : MN = 1 : 1; 14. в), г), д), е). 15. а) AB : PQ = 1 : 3; б) AB : PQ = 6 : 1; в) AB : PQ = 7 : 3; 16. а) AB = 3 cm; б) AB = 9 cm; в) AB = 1,5 cm; д) AB = 1 cm. 17. а) AP : BQ = 2 : 5; б) AQ : PB = 1 : 2; в) AB : PQ = 8 : 1. Дате дужи су самерљиве.

18. а) BC : AE = 1 : 6; 19. а) FA : AB = 1 : 2; 26

б) AC : CD = 15 : 11; б) FA : BC = 1 : 3;

в) BC : DE = 5 : 4; в) FB : AC = 3 : 5.

г) AB : MN = 3 : 1.

г) AB : PQ = 72 : 35. г) AB = 0,3 cm;

г) AD : BD = 13 : 8.

СЛИЧНОСТ

20. Дужи АP = 9 cm, BQ = 19 cm АP = 9 mm, BQ = 9√9 mm АP= 9√50 m, BQ = 3√5 m АP = 1, 44√3 cm, BQ = 1, 2√3 cm АP = 7√7 cm, BQ = 17√5 cm АP = 7√36 dm, BQ = 7√9 dm АP = 3√2 dm, BQ = 5√8 dm

Самерљиве/несамерљиве самерљиве самерљиве несамерљиве самерљиве несамерљиве самерљиве самерљиве

21. Самерљиве су.

22. а) самерљиве су;

б) нису самерљиве;

в) самерљиве су.

23. Самерљиве су.

25. Нису самерљиве. 26. Самерљива је.

pr om

24. а) a : O = 1 : 6, самерљиве су; б) R : r = 2 : √3, нису самерљиве; в) Размере се не би промениле.

27. а) Страница и дужа дијагонала нису самерљиве, страница и краћа дијагонала јесу самерљиве; б) Дијагонале нису самерљиве.

uk a

28. а) a : b = 2 : 3, дужина и ширина су самерљиве; б) Дијагонала није самерљива ни са једном страницом, јер је d : a = √13 : 2 и d : b = √13 : 3. 29. а) нису самерљиве;

б) нису самерљиве;

в) самерљиве су.

30. 308 километара. 31. 372 cm.

32. Д имензије полупречника концентричних кругова који се цртају у свесци су R = 7,5 cm и r = 5 cm.

7,5

5 cm

СЛИЧНОСТ

33. P = 10,89 a.

34. а) AB : PQ = 1 : 8; 35. а) самерљиве су;

б) AB : PQ = 5 : 6; б) нису самерљиве;

36. 1. начин: конструкцијом симетрале дужи: а)

в) AB : PQ = 5 : 2. в) самерљиве су;

б)

в)

B A

pr om

г) самерљиве су.

2. начин: користећи Талесову теорему: а)

б) B

uk a

в)

37. Једино користећи Талесову теорему. а) A

г) B

б)

в)

СЛИЧНОСТ

38. 1 6 AB

13 cm

39.

а)

б)

в)

г)

pr om

uk a

k Q

д)

ђ)

СЛИЧНОСТ

40. Средиште краће дужи поделиће целу дуж у односу 9 : 1. A C B

41. а) 1 3 AH

3AB

pr om

б)

в)

г)

uk a

д) A

3 5 AB

7 5 AB

б) Q

13 cm

42. а) P

ђ)

г)

43. –3

–2

–1, (6)

а)

–1

0, (3)

3 4

1 45

uk a

√2

√2 3

44.

–2 12

pr om

в)

√2

б)

1 √3

√3 2

√2

√3

СЛИЧНОСТ

в)

1 √5 √5 4

√5

pr om

г)

√7

45.

uk a 1

√7

√7 5

а)

N a

a a

СЛИЧНОСТ

б) M

в)

46.

47.

uk a

B b

pr om

СЛИЧНОСТ

48. a A

B b

a a

49.

pr om

50.

O a

uk a

51. M

19 cm

a D

a a

8 cm

a 34

а) A

a a

52.

СЛИЧНОСТ

б) A

a B

a 8 cm

a в) B

pr om

8 cm

г)

uk a

8 cm

O r

B O a a

СЛИЧНОСТ

53. Од дужи AB, PQ, CD и EF. На пример: AB : PQ = CD : EF или AB : CD = PQ : EF. 54. RQ 2 cm 5 cm 1 cm 1 cm 6 cm 2,7 cm 15 cm 5 cm 3√2 cm

SF 6 cm 16 cm 7 cm 2,1 cm 6 cm 0,3 cm 4 cm 5 cm 4√2 cm

EF 4 cm 10 cm 2 cm 0,7 cm 3 cm 0,9 cm 2√3 cm 10 cm 4,8 cm

PQ 3 cm 8 cm 3,5 cm 3 cm 12 cm 0,9 cm 10√3 cm 2,5 cm 5 cm

5 1 ; б) x = 5; в) x = 1,5; г) x = . 4 2 56. Димензије паноа су 8 dm и 10 dm, 14 dm и 16 dm, 12 dm и 14 dm.

pr om

55. а) x =

57. а) AC = 4 cm;

б) Хипотенуза није самерљива са катетама јер размера хипотенузе и било које катете није рационалан број.

uk a

58. Богдан је стао поред јелке, док је Петар измерио дужину јелкине сенке – d1 и дужину Богданове сенке – d2. Знајући Богданову висину – h2, висину јелке одредили су помоћу пропорције h1 : h2 = d1 : d2.

59. 1,6 cm, 1,2 cm, 0,8 cm, 0,4 cm. 60. а) x = 30 cm; 61. AM = 10 cm. 62. а) x = 7 cm;

б) x = 12 cm;

63. x ∙ y = 7 cm2.

б) x = 24 cm;

x 1 = y 4 65. x – y = 26 cm. 64.

в) x = 12 cm;

в) x = 36 cm;

66. x + y = 12 cm. 67. BD = 6 cm.

68. BC = 15 cm.

69. а) паралелне су; 4 : 16 = 4,5 : 18 4 ∙ 18 = 16 ∙ 4,5 72 = 72

(T)

б) нису паралелне. 2:5≠3:7 2∙7≠3∙5 14 ≠ 15

г) x = 6 cm.

г) x = 3 cm.

СЛИЧНОСТ

70.

а) a

б)

a b

д) a b

uk a

г)

pr om

в)

СЛИЧНОСТ

СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА 71. а), в), д), ж). 72. Слични су троуглови под а) и б). Унутрашњи углови једног троугла једнаки су одговарајућим унутрашњим угловима другог троугла. а) AB : PQ = AC : PR = BC : QR;

б) MS : KL = MN : KV = SN : LV.

73. а)𝛼 = 𝛼1 = 60°, 𝛽 = 𝛽1 = 60°, 𝛾 = 𝛾1 = 60°;

б) 𝛼 = 𝛼1 = 45°, 𝛽 = 𝛽1 = 45°, 𝛾 = 𝛾1 = 90°;

в) 𝛼 = 𝛼1 = 30°, 𝛽 = 𝛽1 = 30°, 𝛾 = 𝛾1 = 120°;

г) 𝛼 = 𝛼1 = 30°, 𝛽 = 𝛽1 = 60°, 𝛾 = 𝛾1 = 90°;

д) 𝛼 = 𝛼1 = 60°, 𝛽 = 𝛽1 = 50°, 𝛾 = 𝛾1 = 70°;

ђ) 𝛼 = 𝛼1 = 25°, 𝛽 = 𝛽1 = 65°, 𝛾 = 𝛾1 = 90°;

74. а), г), д).

75. а) ТАЧНО;

б) ТАЧНО;

76. 4 cm, 5 cm, 6 cm

40 cm, 50 cm, 60 cm

√9 cm, √16 cm, √25 cm

77. ∆ ABC ∼ ∆ AMN, k = 2.

г) НЕТАЧНО.

в) НЕТАЧНО;

4 dm, 5 dm, 6 dm

30 cm, 40 cm, 60 cm

uk a

2,5 cm, 2,5 cm, 4 cm

pr om

е) 𝛼 = 𝛼1 = 70°, 𝛽 = 𝛽1 = 20°, 𝛾 = 𝛾1 = 90°.

5 m, 5 m, 8 m

0,3 cm, 0,4 cm, 0,5 cm

78. ∆ ABC ∼ ∆ AMN, ∆ ABC ∼ ∆ MBP, ∆ ABC ∼ ∆NPQ, ∆ABC ∼ ∆ PNM, ∆ AMN ∼ ∆MBP ∼ ∆ NPQ ∼ ∆ PNM,

79. ∆ABC ∼ ∆ NFC,

∆ ABC ∼ ∆ MEC,

∆ MEC ∼ ∆NFC, 38

k = 1.

k=2

k=3 3 k= 2 k = 2.

C N M A

p E

q B

80. а), б). 81. а), в). 82. а) a1 = 3 cm, b1 = 4,5 cm, c1 = 4 cm;

в) a1 = 12 cm, b1 = 18 cm, c1 = 16 cm;

д) a1 = 2 cm, b1 = 3 cm, c1 = 8 cm; 3 е) a1 = 1,5 cm, b1 = 2,25 cm, c1 = 2 cm;

б) a1 = 2 cm, b1 = 3 cm, c1 = 8 cm; 3 г) a1 = 12 cm, b1 = 18 cm, c1 = 16 cm;

ђ) a1 = 24 cm, b1 = 36 cm, c1 = 32 cm;

ж) a1 = 12 cm, b1 = 18 cm, c1 = 16 cm.

83. Странице мањег троугла су 4 cm, 4 cm, 2 cm. 84. ED = 8 cm, EC = 5 cm, O = 20 cm. 85. Никола је висок 1 m и 95 cm.

pr om

87. 33,75 m.

86. 4 m.

б) O = 42 cm.

88. а) EC = 11 cm;

89. O = 60 cm, P = 120 cm2, O1 = 30 cm, P1 = 30 cm2. O : O1 = 2 : 1. Однос не важи за површине: P : P1 = 4 : 1. 91. AB : CD = 4 : 1. 92. CO : OA = 3 : 5.

93. PO = 0,3 dm.

uk a

90. O = 12 cm, P = 6 cm2, O1 = 48 cm, P1 = 96 cm2. O : O1 = 1 : 4. Однос не важи за површине: P : P1 = 1 : 16.

94. Висине се разликују за 2√6 cm.

б) BD = 0,36 dm, AD = 0,64 dm.

95. а) CD = 0,48 dm; 96. а) a = √cq

б) b = √cp

в) h = √pq

a = √1 ∙ 0,36

b = √1 ∙ 0,64

h = √0,36 ∙ 0,64

a = 0,6 dm;

b = 0,8 dm;

h = 0,48 dm.

a = √0,36

b = √0,64

h = 0,6 ∙ 0,8

97. Проверавамо да ли важи h = √pq: h = √32 ∙ 8

h = 16 cm (T)

Дакле, троугао је правоугли. 25 144 cm и cm. 13 13 99. O = 60 cm, P = 120 cm2.

98. Дужине одсечака су

СЛИЧНОСТ

100.

а b c p

9 5

16 5

9,6

5,4

4√5 5

2√5 5

3,6

1,6

6,4

0,4

проблемски задатак

pr om

uk a

а) Једина могућа размера може бити 4 : 3. Остале размере, на пример, 12 : 1 или 6 : 2, нећемо узети у разматрање, јер не постоји соба са димензијама 12 m и 1 m или 6 m и 2 m. б) Не могу, јер не постоји соба са димензијама 11 m и 1 m.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

uk a

pr om

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

TAЧКА, ПРАВА, РАВАН

  �о�се�ник 

1. Јован и Миона су одушевљено фотографисали шаролики живи свет у парку. Јован је очаран бубамариним „тачкицама”, а Миона лептировим „туфницама” на крилима. „Туфне” или „тачке”, ко је од њих двоје у праву?

pr om

2. Никола је ученик 7. разреда и он учествује на модерном такмичењу из математике под називом „Мост математике”. Тема овогодишњег пројектног задатка је мозаик. Инспирација за његов практичан рад била је веома популарна играчка „тетрис”. Шта мислиш, зашто?

uk a

3. Које геометријске објекте видиш на датој слици?

4. Пронађи модел једног од основних геометријских објеката на овој слици. Да ли уочаваш још неки геометријски објекат?

5. Jaнa и Петар провели су недељу дана распуста код баке и деке на селу. Тамо су пронашли веома интересантну столичицу са три ноге, троножац. Инспирисани троношцем, почели су да истражују „троношце” у модерном свету. Тако су пронашли сталак за камеру и сталак за мобилни телефон.

И у својој кући су пронашли троношце. Јанин и Петров отац је ловац. Када иде у лов, он и његови другови користе практичне и покретне троношце за седење и за кување хране. Пронађи и ти у својој кући или у свом окружењу пример за троножац.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ТАЧКА И ПРАВА

pr om

6. На слици су нацртани модели тачака, правих и равни. Означи их користећи слова: А, B, C, p, q, α, β, γ.

uk a

7. Нацртај праву р. Означи тачке A, B и C које припадају правој р и тачке M, N и S које јој не припадају. 8. Дате су три колинеарне тачке А, В, С. Упиши на линији највећи број правих које садрже: а) тачку А ______________;

б) тачку В ______________;

в) тачку С ______________;

г) тачке А и В ______________; д) све три тачке ______________. 9. Дате су три неколинеарне тачке А, В, С. Упиши на линији највећи број правих које садрже: а) тачку А ______________;

б) тачку В ______________;

в) тачку С ______________;

г) тачке А и В ______________; д) све три тачке ______________. 10. Колико правих је одређено са: а) 5 б) 7 в) 9 међу којима не постоје три колинеарне тачке?

г) 55

д) n тачака

11. Колико је најмање тачака потребно у равни да би њима било одређено: б) 36 правих; в) 496 правих? а) 10 правих;

12. Дато је 7 тачака у равни, тако да су тачно 3 колинеарне. Колико правих оне одређују? 43

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

13. Осам тачака А, B,C, D, E, F, G и H распоређене су у равни тако да тачке А, B, C, D припадају правој а, а тачке E, F, G и H правој b. Колико укупно правих оне одређују не рачунајући праве а и b (а различито од b) ? 14. Колико је различитих правих одређено са четирима тачкама у равни? Размотри све случајеве. 15. Колико је различитих правих одређено са 100 различитих тачака ако: а) све су колинеарне; б) међу њима никоје три нису колинеарне; в) међу њима има тачно три колинеарне;

г) међу њима има тачно десет колинеарних?

16. За колико се разликује број правих одређених са n и са n – 1 тачака међу којима никоје три нису колинеарне?

pr om

17. Запиши све праве које су одређене теменима трапеза E, F, G и H. 18. Колико правих одређују темена правилног: а) шестоугла? б) дванаестоугла?

19. Колико различитих правих је одређено теменима квадра?

20. Дата је права р и тачка Р која јој не припада. Колико постоји правих које садрже тачку Р и: а) паралелне су правој р; б) мимоилазне су са правом р?

uk a

21. Дванаест тачака, међу којима никоје три нису колинеарне, обележено је бројевима од 1 до 12 и нацртане су све праве које повезују те тачке. Колико ће остати правих ако се обришу праве које повезују тачке обележене бројевима који су истовремено дељиви са 3?

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ТАЧКА И РАВАН 22. Прикажи раван α, а затим тачке A, B и C које припадају равни α и тачке M, N и S које јој не припадају. 23. Дате су три колинеарне тачке А, В и С. a) Колико равни оне одређују? б) Колико има равни које садрже ове тачке? 24. Дата је права р и три неколинеарне тачке М, N и S које јој не припадају. Колико је највише равни одређено овим тачкама?

25. Колико равни је одређено са: а) 10; б) 15; в) 25 некомпланарних тачака?

pr om

26. Колико има некомпланарних тачака у простору међу којима никоје четири нису компланарне ако је њима одређено укупно: а) 84; б) 120; в) 455 равни? 27. На слици је приказана коцка АBCDEFGH. Која темена коцке припадају равнима: а) α1 (А, D, H); б) α2 (A, F, G); в) α3 (A, B, H); г) α4 (D, F, C). G

uk a

B A

28. Дато је пет тачака у простору. Колико равни одређују ове тачке ако сваке три тачке одређују различите равни? 29. Колико равни одређује седам тачака ако сваке три тачке одређују различите равни? 30. Колико различитих равни одређују четири тачке? Размотри све случајеве. 31. Колико је различитих равни одређено са 100 различитих тачака ако: а) све тачке су компланарне б) међу њима никоје четири тачке нису компланарне в) међу њима су тачно четири тачке компланарне; г) међу њима има тачно 20 компланарних тачака? 45

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ПРАВА И РАВАН 32. Представи раван α. Затим нацртај праве а, b и c које припадају равни α. Запиши то математичким симболима. 33. Нацртај праву а и раван α тако да оне: а) немају ниједну заједничку тачку; б) имају једну заједничку тачку; в) имају две заједничке тачке.

34. Колико је равни одређено трима правама које не припадају истој равни, а које се секу у једној тачки?

pr om

35. Колико је равни одређено трима паралелним правама праве које не припадају истој равни? 36. Колико је правих, а колико равни одређено са пет тачака од којих никоје три нису колинеарне? 37. Дате су две праве а и b. Колико постоји равни које садрже те две праве? Размотри све случајеве.

uk a

38. Дата је раван β и тачка В ван те равни. Колико постоји равни које садрже тачку В и: а) паралелне су са датом равни; б) нормалне су на раван β?

39. Колико највише равни одређују права и три различите тачке које јој не припадају?

40. Права р и раван π нормалне су на раван β. Какав међусобни положај могу имати права р и раван π? 41. Права р и раван π нормалне су на праву q. Какав међусобни положај могу имати права р и раван π? 42. Колико равни је највише одређено двема правама које се секу и трима тачкама које им не припадају? 43. Дате су две мимоилазне праве m и n. На свакој од њих дате су по три тачке. Колико равни је одређено овим тачкама? 44. Дата је права а и тачка А ван ње. Колико правих садржи тачку А и: а) паралелне су са правом a; б) секу праву а; в) мимоилазне су са правом а?

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

45. На слици је приказан квадар АBCDEFGH. Запиши на линији у каквом односу су праве: а) p (A, E) и q (E, F) ______________________;

б) a (A, D) и b (E, H) _____________________; в) m (A, G) и n (B, H)_____________________; г) r (В, G) и s (С, F) ______________________.

G F E

C B

а) α (А, В, С);

б) β (E, G, C);

в) γ (A, C, F).

46. Посматрај слику из задатка 45, па одговори које ивице квадра припадају равни:

pr om

47. Нацртај коцку АBCDEFGH. Одреди све равни којима припадају бар две ивице коцке и које: а) паралелне су са правом q (Е, F) a не садрже ту праву; б) садрже праву р (А, С).

uk a

48. Дата је коцка АBCDEFGH, као на слици из 27. задатка. а) Којим равнима одређеним странама коцке припада теме В? б) Којим равнима одређеним теменима коцке припада ивица CD? в) Које ивице коцке су нормалне на раван одређену тачкама А, D, Е? г) Које ивице коцке су паралелне са равни која је одређена тачкама А, В, F, а не припадају тој равни?

49. П раве p и q секу се у тачки S. Ако права r сече сваку од правих p и q, да ли права r мора да припада равни која је одређена правама p и q? Образложи одговор.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ДВЕ РАВНИ, ДИЕДАР 50. Дате су две равни α и β. Илуструј цртежом узајамни положај који те две равни могу имати. 51. Пресек две равни може бити: а) празан скуп;

б) тачка;

в) дуж;

г) полуправа;

д) права;

ђ) раван.

Заокружи слова испред тачних одговора.

52. Наведи највећи могући број правих по којима се могу сећи: а) три равни б) четири равни.

pr om

53. Дато је пет равни од којих се сваке две секу. Колико највише пресечних правих одређују те равни? 54. Дате су две различите праве а и b. Колико постоји равни које садрже праве а и b? 55. Дата је коцка ABCDEFGH.

uk a

а) Којим равнима припада ивица EF? б) Које ивице коцке су нормалне на раван одређену тачкама А, D, H? в) Koje ивице су паралелне са равни која је одређена тачкама А, В, F, а не припадају тој равни?

G F

D B

56. Испитај тачност, па заокружи слово испред тачног A тврђења: а) Ако су две равни нормалне на исту раван, онда су оне међусобно паралелне. б) Ако две равни секу исту раван под истим углом, онда су оне међусобно паралелне. в) Пресек двеју равни не може бити тачка. 57. Нацртај један прав и један кос диедар, па обележи његове стране и његову ивицу. 58. На једној страни диедра дата је тачка М. Колико је тачка М удаљена од ивице диедра, ако је од друге стране диедра удаљена 6 cm, а угао диедра износи: б) 45°; в) 60°? а) 30°; 59. Тачка М налази се на једној страни диедра. Колика је њена удаљеност од друге стране диедра ако је од ивице диедра удаљена 12 cm, a угао диедра износи: б) 45°; в) 60°? а) 30°; 60. У унутрашњости диедра дата је тачка В која је од обе стране диедра удаљена 10 cm. Колико је тачка В удаљена од ивице диедра ако је угао диедра: б) 120°? а) 60°; 48

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

61. Угао диедра је 90o. Тачка Т се налази у унутрашњости диедра. Она је од једне стране диедра удаљена 6√3 cm, a од ивице диедра 12 cm. Колика је удаљеност тачке Т од друге стране диедра? 62. Угао диедра је 90o. Ако се тачка М налази у унутрашњости диедра и ако је она од једне стране диедра удаљена 5 cm, a од друге стране диедра 12 cm, колико је тачка М удаљена од ивице диедра? 63. Страница једнакостраничног троугла АВС је дуж АВ = 8√3 cm. Она припада ивици диедра. Угао диедра је 45o. Ако теме С припада једној страни диедра, колико је оно удаљено од друге стране диедра?

64. Основица једнакокраког троугла АВС је дуж АВ = 18 cm. Она припада ивици диедра. Дужина крака је 15 cm, а угао диедра је 60o. Ако теме С припада једној страни диедра, колико је оно удаљено од друге стране диедра?

pr om

65. Тачке А и В припадају разним странама правог диедра. Из тих тачака повучене су нормале АР и ВQ на ивицу диедра. Одреди дужину дужи АВ ако је АР = ВQ = PQ = 5 cm.

uk a

66. Два једнакокрака троугла АВС и АВD припадају разним странама диедра. Угао диедра је 60o. Ако је AB = 16 cm, АС = BC = 10 cm, АD = BD = 17 cm, одреди растојање између тачака С и D.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА 67. а) Милица је огледало ставила на свој радни сто. Једну чоколадну бомбону ставила је на то огледало, а другу везала за струну и окачила је изнад огледала. И у једном и у другом случају у огледалу се видела једна бомбона. Покушај да замислиш ту ситуацију, а затим направи скицу у својој свесци. б) За разлику од Милице, Ена је на огледало ставила оловку, затим је ту оловку држала изнад огледала. У каквом све положају је Ена могла да поставља оловку у односу на огледало? Скицирај све могућности. Шта уочаваш? 68. Допуни реченице:

а) Ако се тачка А налази у пројекцијској равни, њена ортогонална пројекција је ________________.

pr om

б) Ако тачка В не припада пројекцијској равни, њена ортогонална пројекција је ________________. в) Ортогонална пројекција тачке је ________________.

69. Утврди истинитост следећих тврђења. Заокружи Т ако је тврђење тачно, односно Н ако тврђење није тачно.

uk a

а) Ортогонална пројекција дужи може бити дуж једнака датој дужи. б) Ортогонална пројекција дужи може бити дуж чија је дужина већа од дате дужи. в) Ортогонална пројекција дужи никада не може бити тачка. г) Ортогонална пројекција дужи може бити дуж чија је дужина мања од дате дужи.

Т Т

Н Н

70. Ортогонална пројекција праве може бити ______________ или________________. Објасни и представи скицом. 71. Тачка Р припада равни π, а тачка R је на удаљености од 6 cm од равни π. Ако је дужина пројекције дужи PR на ту раван 8 cm, израчунај дужину дужи PR.

72. Тачка М припада пројекцијској равни π. Тачка N је од равни удаљена 9 cm. Ако је дужина дужи МN = 18 cm, израчунај дужину пројекције дате дужи на раван пројекције. Колики угао гради дуж МN са пројекцијском равни?

73. Тачка Р припада равни π, а тачка R је на удаљености 12 cm од равни π. Израчунај дужину дужи PR, као и дужину пројекције ове дужи на раван π, ако је нагибни угао дужи према равни π: а) 30o; б) 45o; в) 60o. 74. Тачке А и В налазе се са исте стране равни α. Ако је тачка А од равни α удаљена 4 cm, тачка B од исте равни удаљена 28 cm и ако је дужина дужи АВ једнака 26 cm, одреди дужину ортогоналне пројекције дужи АВ на дату раван. 50

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

75. Тачке А и В налазе се са исте стране равни α. Ако је тачка А од равни α удаљена 18 cm, тачка B од исте равни удаљена 26 cm и ако је дужина ортогоналне пројекције дужи АВ једнака 6 cm, одреди дужину дужи АВ на дату раван.

76. Тачке Р и Q налазе се са исте стране равни π. Oдреди удаљење тачке Q од равни π ако је тачка P од равни π удаљена 6 cm, ако је дужина дужи PQ jeднака 26 cm, а ортогонална пројекција дужи PQ има дужину 24 cm.

77. Тачке А и В налазе се са разних страна равни α. Ако је тачка А од равни α удаљена 1 cm, тачка B од исте равни удаљена 5 cm и ако је дужина дужи АВ једнака 10 cm, одреди дужину ортогоналне пројекције дужи АВ на дату раван.

78. Тачке Е и F налазе се са разних страна равни β. Ако је тачка Е од равни β удаљена 2 cm, тачка F од исте равни удаљена 7 cm и ако је дужина ортогоналне пројекције дужи EF на раван β једнака 12 cm, одреди дужину дужи EF.

pr om

79. Дата је дуж SR = 20 cm. Тачка S удаљена је од пројекцијске равни 9 cm, а тачка R је од исте равни удаљена 5 cm. Израчунај дужину ортогоналне пројекције дужи SR. Колико решења има задатак? Образложи своје решење. 80. Права р продире раван β под углом од 30o. Дуж CD припада правој р и има дужину 10 cm. Ако се тачке C и D налазе са исте стране равни β, одреди дужину ортогоналне пројекције дужи CD на раван β.

uk a

81. Права s одређена је тачкама А и В. Она продире раван π у тачки S. Дужина дужи АВ = 12 cm, а дужина њене пројекције на раван π једнака је 6 cm. Ако је тачка А од пројекцијске равни удаљена 1 cm, израчунај колико су тачке А и В удаљене од тачке продора праве s и равни π. 82. Дата је дуж АВ = 10 cm. Колика је највећа могућа дужина пројекције те дужи на пројекцијску раван? Одговор образложи.

83. Права р продире раван α под углом од 45o. На правој р са исте стране равни α налазе се тачке А, В, С такве да је АС : АВ = 1 : 3. Ако дужина пројекције дужи АВ на раван α износи 8 cm и ако је тачка А од дате равни удаљена 1 cm, израчунај дужину дужи АC. 84. У равни π је дат квадрат странице 10 cm и ван равни π дата је тачка S кoja je од сваког темена квадрата удаљена 10 cm. Колико је тачка S удаљена од равни π?

85. У равни π је дат правоугаоник ABCD. Обим тог правоугаоника износи 28 cm, а једна страница има дужину 10 cm. Ако је ван равни π дата тачка Т која је од сва четири темена удаљена по 13 cm, израчунај удаљеност тачке Т од равни π.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН У СВАКОДНЕВНОМ ЖИВОТУ 86. Седам градова у Србији су сваки са сваким повезани директном аутобуском линијом. Колико аутобуских линија постоји између ових градова? 87. На шаховском турниру одиграно је десет партија. Свако са сваким је одиграо по једну партију шаха. Колико је било учесника?

pr om

88. На једном рођендану било је присутно осам девојчица и четири дечака. Ниједна девојчица не познаје ниједног дечака, али се зато све девојчице међусобно познају, као и сви дечаци. На овом рођендану су се сви упознали. Колико је нових познанстава остварено?

uk a

89. Н еколико особа је формирало групу „Љубитељи тачке”. Сви су међусобно били у контакту, па је на тај начин остварено 15 контаката. После извесног времена, три особе су се искључиле, а нове четири прикључиле. Након нових промена, колико је укупно контаката остварено?

проблемски задатак

а) Организација матурске вечери за ученике VIII-1 представља не баш лак посао. О много чему се мора водити рачуна. Број дечака и девојчица није баш најзгоднији, па су се договорили да би било коректно да један дечак прати две другарице. Ако знаш да је број ученика у том одељењу већи од 25, а мањи од 30, колико је девојчица, а колико дечака у том одељењу? б) На колико начина један дечак може да изабере по две девојчице? в) К ако ће се организовати у осталим одељењима осмог разреда? Каква је ту ситуација? У одељењима VIII-2 и VIII-3 ситуација је следећа: одељење VIII-2 има 10 дечака и 22 девојчице, док одељење VIII-3 има 11 дечака и 20 девојчица. Да ли је могуће да по један дечак у тим одељењима буде пратилац за две своје другарице на матурској вечери? Образложи одговор. Ако је твој одговор негативан, шта би био твој предлог да сви буду задовољни? г) У одељењима VIII-4 и VIII-5 број дечака је тачно два пута мањи од броја девојчица, а има их укупно 60. У сваком од тих одељења број ученика је већи од 25 а мањи од 35. Колико има дечака, а колико девојчица у тим одељењима? 52