Математика 8, уџбеник са збирком задатака за 8. разред основне школе by Izdavačka kuća Eduka

Дамир Омрчен Бора Пешић

МАТЕМАТИКА

uk a

pr om

Уџбеник са збирком задатака за 8. разред основне школе

ђа. и Ђор у ш а За М идору. зналу децу. За Ис о ву рад И за с

ДАМИР ОМРЧЕН БОРА ПЕШИЋ МАТЕМАТИКА 8 Уџбеник са збирком задатака за 8. разред основне школе Главни уредник Др Бошко ВЛАХОВИЋ Одговорна уредница Др Наташа ФИЛИПОВИЋ

Дизајн Татјана ВУКМИРОВИЋ Горана РАИЧЕВИЋ

uk a

Аутор дијаграма и графика Дамир ОМРЧЕН

pr om

Рецензенти Милан РИСТИЋ, професор математике у ОШ „Уједињене Нације”, Београд Снежана БОГИЋЕВИЋ, професор математике у ОШ „Јован Дучић”, Београд Драгана Павлићевић, професор математике и информатике у ОШ „Руђер Бошковић”, Београд

Лектори Софија ЖИВКОВИЋ Биљана НИКИЋ Едвард ЈУКИЋ

Издавач ЕДУКА д.о.о. Београд Ул. Змаја од Ноћаја бр. 10/1 Тел./факс: 011 3287 277, 3286 443, 2629 903 Сајт: www.eduka.rs • имејл: eduka@eduka.rs За издавача Др Бошко ВЛАХОВИЋ, директор Штампа: Ротографика, Суботица Издање бр.: 1, Београд, 2021. година Тираж: 1500

CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 37.016:51(075.2) ОМРЧЕН, Дамир, 1966Математика 8 : уџбеник са збирком задатака : за 8. разред основне школе / Дамир Омрчен, Бора Пешић. - Изд. бр. 1. - Београд : Eduka, 2021 (Суботица : Ротографика). - 257 стр. : илустр. ; 30 cm Тираж 1.500. - Појмовник: стр. 237-240. ISBN 978-86-6013-519-5 1. Пешић, Бора, 1967- [аутор] COBISS.SR-ID 40507657

Министар просвете, науке и технолошког развоја Републике Србије одобрио је издавање и употребу овог уџбеника Решењем број: 650-02-00387/2020-07. Није дозвољено: репродуковање, дистрибуција, објављивање, прерада или друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму или поступку, укључујући и фотокопирање, штампање или чување у електронском облику, без писмене дозволе издавача. Наведене радње представљају кршење ауторских права.

САДРЖАЈ

ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК........................................................................................................................................................ 6 СЛИЧНОСТ....................................................................................................................................................................................7 1.1. ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА.....................................................................................................................................................8 1.1.1. МЕРЕЊЕ ДУЖИ. САМЕРЉИВЕ И НЕСАМЕРЉИВЕ ДУЖИ......................................................8 1.1.2. РАЗМЕРА ДУЖИ...............................................................................................................................................10 1.1.3. ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА...................................................................................................................................16 1.2. СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА...........................................................................................................................................19 1.3. ПРИМЕНА СЛИЧНОСТИ НА ПРАВОУГЛИ ТРОУГАО.............................................................................30 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА..............................................................................................................................32

2 3

uk a

pr om

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН....................................................................................................................................................37 2.1. ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ. ОДРЕЂЕНОСТ ПРАВЕ И РАВНИ..........................................................................................................................38 2.2. ОДНОС ПРАВИХ. МИМОИЛАЗНЕ ПРАВЕ. ОДНОС ПРАВЕ И РАВНИ. НОРМАЛА НА РАВАН, РАСТОЈАЊЕ ТАЧКЕ ОД РАВНИ........................................................................................................43 2.2.1. ДВЕ ПРАВЕ...........................................................................................................................................................43 2.2.2. ПРАВА И РАВАН. ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА ТАЧКЕ НА РАВАН...............................46 2.3. ОДНОС ДВЕ РАВНИ. ДИЕДАР.............................................................................................................................48 2.3.1. ДВЕ РАВНИ..........................................................................................................................................................48 2.3.2. ДИЕДАР.................................................................................................................................................................49 2.4. ОРТОГОНАЛНА ПРОЈЕКЦИЈА НА РАВАН....................................................................................................51 2.5. РОГАЉ. ПОЛИЕДАР....................................................................................................................................................54 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА.............................................................................................................................57

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ..........................................61 3.1. ЛИНЕАРНА ЈЕДНАЧИНА.........................................................................................................................................62 3.1.1. БРОЈЕВНИ И АЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ....................................................................................................62 3.1.2. ЈЕДНАКОСТ. ЈЕДНАЧИНЕ. РЕШЕЊА ЈЕДНАЧИНЕ.....................................................................62 3.1.3. ЕКВИВАЛЕНТНОСТ ЈЕДНАЧИНА. ЛИНЕАРНА ЈЕДНАЧИНА..............................................64 3.2. РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ...........................................65 3.3. ПРИМЕНА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА.............................................................................................................70 3.3.1. ТИП 1 – БРОЈЕВИ СА ПОСЕБНИМ ОСОБИНАМА......................................................................71 3.3.2. ТИП 2 – ЗАДАЦИ СА ГОДИНАМА........................................................................................................74 3.3.3. ТИП 3 – ЗАДАЦИ СА КРЕТАЊЕМ (БРЗИНА, ПРЕЂЕНИ ПУТ).............................................76 3.3.4. ТИП 4 – ГЕОМЕТРИЈСКИ ПРОБЛЕМИ.............................................................................................80 3.3.5. РАЗНИ ЗАДАЦИ ИЗ СВАКОДНЕВНОГ ЖИВОТА ........................................................................82 3.3.6. ПРОБЛЕМИ КОЈИ СЕ СВОДЕ НА ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ.................................................84 3.4. ЛИНЕАРНА НЕЈЕДНАЧИНА. ЕКВИВАЛЕНТНОСТ НЕЈЕДНАЧИНА.............................................86 3.5. РЕШАВАЊЕ ЛИНЕАРНИХ НЕЈЕДНАЧИНА С ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ......................................89 3.6. ПРИМЕНА ЛИНЕАРНИХ НЕЈЕДНАЧИНА......................................................................................................92 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА..............................................................................................................................97

ПРИЗМА.....................................................................................................................................................................................101 4.1. ПРИЗМА: ПОЈАМ, ВРСТЕ И ЕЛЕМЕНТИ ПРИЗМЕ.................................................................................102 4.2. МРЕЖА ПРИЗМЕ. ПОВРШИНА ПРИЗМЕ...................................................................................................104 4.3. ЗАПРЕМИНА ПРИЗМЕ.............................................................................................................................................109 4.4. МАСА ТЕЛА....................................................................................................................................................................115 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА............................................................................................................................117

ПИРАМИДА...............................................................................................................................................................................119 5.1. ПИРАМИДА: ПОЈАМ, ВРСТЕ И ЕЛЕМЕНТИ ПИРАМИДЕ..................................................................120 5.2. МРЕЖА ПИРАМИДЕ. ПОВРШИНА ПИРАМИДЕ.....................................................................................122 5.3. ЗАПРЕМИНА ПИРАМИДЕ......................................................................................................................................126 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА............................................................................................................................132

pr om

uk a

ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА....................................................................................................................................................135 6.1. ЛИНЕАРНА ФУНКЦИЈА: ........................................................................................................................................136 6.2. ГРАФИК ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ......................................................................................................................138 6.2.1. ТУМАЧЕЊЕ ПАРАМЕТАРА k И n КОД ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ y = kx + n ............142 6.3. НУЛА ФУНКЦИЈЕ.......................................................................................................................................................144 6.4. ИМПЛИЦИТНИ ОБЛИК ЗАДАВАЊА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ....................................................145 6.5. ОСОБИНЕ ГРАФИКА ЛИНЕАРНИХ ФУНКЦИЈА.....................................................................................147 6.5.1. РАСТУЋЕ И ОПАДАЈУЋЕ ФУНКЦИЈЕ..............................................................................................147 6.5.2. ЗНАК ФУНКЦИЈЕ........................................................................................................................................148 6.5.3. ПРИМЕНА ГРАФИКА ЛИНЕАРНЕ ФУНКЦИЈЕ........................................................................150

ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА............................................................................................................................155

СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ.......................................................................159 7.1. СИСТЕМ ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА...............................................................................................................160 7.1.1. ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ........................................................................160 7.1.2. СИСТЕМ ДВЕ ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ........................................161 7.1.3. ЕКВИВАЛЕНТНОСТ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА..............................................162 7.2. РЕШАВАЊЕ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА МЕТОДОМ ЗАМЕНЕ..............................164 7.3. РЕШАВАЊЕ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА МЕТОДОМ СУПРОТНИХ КОЕФИЦИЈЕНАТА......................................................................................................................................................168 7.4. ГРАФИЧКИ ПРИКАЗ СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА.........................................................170 7.5. ПРИМЕНА СИСТЕМА ЛИНЕАРНИХ ЈЕДНАЧИНА СА ДВЕ НЕПОЗНАТЕ................................173 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА...........................................................................................................................190

ВАЉАК........................................................................................................................................................................................193 8.1. ВАЉАК И ЊЕГОВИ ЕЛЕМЕНТИ........................................................................................................................194 8.2. МРЕЖА ВАЉКА. ПОВРШИНА ВАЉКА........................................................................................................196 8.3. ЗАПРЕМИНА ВАЉКА...............................................................................................................................................198 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА............................................................................................................................205

КУПА.............................................................................................................................................................................................207 9.1. КУПА И ЊЕНИ ЕЛЕМЕНТИ.................................................................................................................................208 9.2. МРЕЖА КУПЕ. ПОВРШИНА КУПЕ................................................................................................................210 9.3. ЗАПРЕМИНА КУПЕ....................................................................................................................................................211 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА............................................................................................................................220

10 додатак

pr om

ЛОПТА..........................................................................................................................................................................................223 10.1. ПОЈАМ ЛОПТЕ И СФЕРЕ. ПРЕСЕЦИ ЛОПТЕ (СФЕРЕ) И РАВНИ...............................................224 10.2. ПОВРШИНА ЛОПТЕ................................................................................................................................................225 10.3. ЗАПРЕМИНА ЛОПТЕ..............................................................................................................................................227 ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ И РЕШЕЊА...........................................................................................................................233

uk a

ДОДАТАК...................................................................................................................................................................................235 А. МАТЕМАТИЧКИ СИМБОЛИ.................................................................................................................................236 Б. ПОЈМОВНИК ..............................................................................................................................................................237 В. ГРЧKИ АЛФАБЕТ.............................................................................................................................................................240 Г. КОРИСНЕ ФОРМУЛЕ .........................................................................................................................................241 Д. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ЗА ИЗАЗОВ.........................................................................................................................242 Ђ. РЕШЕЊА СОВИНИХ ЗАДАТАКА.........................................................................................................................253

ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК

ЕНИК ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК КРОЗ На почетку сваког поглавља налази се списак ВОДИЧ КРОЗУЏБЕНИК УЏБЕНИК 1 ВОДИЧ

„У На овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима на На почетку сваког поглавља налази сесписак списак На почетку сваког поглавља се списак почетку сваког поглавља налаНа налази почетку сваког поглавља налази се НаНа почетку сваког поглавља налази сесе списак 11 почетку сваког поглавља налази списак 2 2 2 се које ћеш у њему наћи одговор. Поглавље увек зи се списак „У овом поглављу са„У овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима на „У овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима на „У овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима на „У„Уовом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима на овомсписком поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК којих требало да си се на ВОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК знаћеш...” 1 сапојмова питањима наби које које ћеш узавршава њему наћи одговор. Поглавље се увек које ћеш у њему наћи КРОЗ одговор. Поглавље сећеш увек ВОДИЧ УЏБЕНИК које ћеш у њему наћи одговор. Поглавље се увек које у њему наћи одговор. Поглавље сесеувек које појмова у којих њему наћи одговор. Поглавље увек ћеш ућеш њему наћи одговор. Поглавље подсетио и списком нових појмова које би требало да си усвојио (2). Уколико им списком требало да налази си се Насваког почеткуби сваког поглавља се списак 1 завршава завршава списком појмова којих бисписком требало да се На си почетку поглавља налази се списак 1 завршава појмова којих би требало да си се завршава списком појмова којих би требало да си сесе 2 завршава списком појмова којих би требало да си се увек завршава списком појмова На почетку сваког поглавља налази се списак 1 „У овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима на подсетио и списком нових појмова које би требало да си усвојио (2). Уколико имаш 2 „Појмовн неких недоумица у вези са кључним појмовима можеш да консултујеш ОДИЧ КРОЗ УЏБЕНИК „У би овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима наусвојио подсетио и списком новихподсетио појмова икоје требало да си усвојио (2). Уколико имаш 2 списком нових појмова које би требало да си (2). Уколико имаш подсетио и списком нових појмова које би требало да си усвојио (2).(2). Уколико им „У овом поглављу сазнаћеш...“ (1) са питањима које ћеш у њемуда наћи одговор. Поглављена сесписком увек којих би требало си се подсетио и нових појмова које подсетио и списком нових појмова које би требало да си усвојио Уколико неких недоумица уу вези са наћи кључним појмовима можеш да консултујеш „Појмовник“ (3)ћеш који се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких симбо које њему одговор. Поглавље се увек завршава списком појмова којих би требало да си се неких недоумица у вези са кључним појмовима можеш да консултујеш „Појмовник“ које неких ћеш утребало њему наћи одговор. Поглавље се увек би дакњиге. си усвојио 2списак . Уколико имаш неких недоумица у вези „Појмовн неких(3)На недоумица у вези са кључним појмовима можеш да консултујеш „Појмовник“ недоумица уналази вези сасе кључним појмовима можеш да консултујеш почетку сваког поглавља неких недоумица у којих вези са кључним појмовима можеш да консултујеш „Појмо који се налази на крају Тамо ћеш наћи итребало листу симбола, подсетио и списком нових појмова које би си усвојио (2). Уколико имаш слова грчког алфабета иТамо прегледни списак математичких формула. завршава списком појмова би требало да си се даматематичких завршава списком појмова којих би требало да си се (3) који се налази на крају књиге. ћеш наћи и листу математичких симбола, са кључним појмовима можеш да консултујеш „Појмовник” 3 , 2који (3) који се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких симбола, (3) који се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких симбо 3 сим неких у вези са кључним појмовима можеш да наћи консултујеш „Појмовник“ слова грчког алфабета иупрегледни списак математичких формула. „У овом поглављу сазнаћеш...“ (1) појмова са питањима на (3) који сенедоумица налази на крају књиге. Тамо ћеш и (2). листу математичких подсетио исписком списком нових појмова би требало да си усвојио Уколико имаш Целине уџбенику почињу подсећањем накоје појмове и са подсетио икратким нових које би требало дадефиниције си усвојио (2). Уколико имаш се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких сим3 егледни списак математичких формула. (3) који се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких симбола, лова грчкогЦелине алфабета и прегледни списак математичких формула. слова грчког алфабета и прегледни списак математичких формула. у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са које ћеш усусретао њему наћи одговор. Поглавље сеформула. увек слова грчког и прегледни списак математичких неких недоумица у вези са кључним појмовима да консултујеш „Појмовник“ неких недоумица у списак вези са кључним појмовима консултујеш 3можеш којима сиалфабета се већ уиипрегледни досадашњем школовању, а који су можеш тида неопходни за„Појмовник“ бола, слова грчког алфабета прегледни списак математичких формула. слова грчког алфабета математичких формула. 3 33 очињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са Целине у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са 3 симбола, којима сиЦелине сеЦелине већ сусретао у досадашњем школовању, а који су ти неопходни за (3) који се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких (3) који се налази на крају књиге. Тамо ћеш наћи и листу математичких симбола, завршава списком појмова којих би требало да си се у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са Целине у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са Целине у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниусвајање нових знања (4). су Новенеопходни дефиниције посебно истакли жутом подлогом и ретаокојима уусвајање досадашњем школовању, аикојима који за смо знања (4). Нове дефиниције смо посебно жутом си нових се већ сусретао у се досадашњем аистакли који су ти неопходни за којима сиси се већ сусретао ушколовању, досадашњем школовању, а који су ти неопходни заза имаш си сети већ сусретао упојмова досадашњем школовању, а подлогом који ти неопходни за (2). Уколико слова грчког алфабета прегледни списак математичких формула. слова грчког алфабета ивећ прегледни списак математичких формула. подсетио и списком нових које би требало си усвојио ције са којима си се већ сусретао у досадашњем школовању, аису који су којима сусретао у досадашњем школовању, асуда који ти неопходни фломастером, важне напомене наранџастом, а теореме зеленом (5). Нова 3 3 усвајање нових знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом и материја Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом и Целине уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са фломастером, важне напомене наранџастом, а теореме зеленом (5). Нова материја Целине у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове и дефиниције са усвајање нових усвајање знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом и нових знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом ии ти неопходни за усвајање знања 4 . Нове дефиниције смода посебно неких недоумица унових вези сарешених кључним појмовима можеш консултујеш „Појмовник“ усвајање нових знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом фломастером, важне напомене наранџастом, а теореме зеленом (5). Нова материја се уводи поступно, уз велики број примера (више од 350 у уџбенику) (6), си већ сусретао у удосадашњем школовању, који тисунеопходни за за се уводи поступно, узсе велики бројпоступно, решених примера (више оданапомене 350 усууџбенику) (6), мене наранџастом, акојима теореме зеленом (5). материја којима си се већ сусретао досадашњем школовању, а који ти неопходни истакли жутом подлогом и Нова фломастером, важне наранџастом, фломастером, важне напомене наранџастом, аузнаранџастом, теореме зеленом (5). Нова материја фломастером, важне напомене аТамо теореме зеленом (5).(5). Нова сесе уводи велики број решених (више од 350 уџбенику) (6),а материја (3) који налази на крају књиге. ћеш наћи и у листу фломастером, важне напомене наранџастом, апримера теореме зеленом Нова материја усвајање нових знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом и математичких разноврсних и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и симбола, разноврсних и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и усвајање нових знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом разноврсних и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме ии велики број решених примера (више од 350 у уџбенику) (6), теореме зеленом 5 . Нова материја се уводи поступно, уз велики број ресе уводи поступно, уз велики број решених примера (више од 350 у уџбенику) (6), се уводи поступно, уз велики број решених примера (више од 350 у уџбенику) (6), ова грчког алфабета исе прегледни списак математичких формула. уводи поступно, уз примера (више од 350 у уџбенику) (6), инеколико фломастером, важне напомене наранџастом, арешених теореме зеленом (5). Нова материја графиконе у боји. Задаци заброј самостално вежбање („Уради сам“) (7)Нова прате ток лекције сваких у боји. Задаци завелики самостално вежбање („Уради сам“) (7) материја прате токи после лекције после сваких неколи фломастером, важне напомене наранџастом, аитеореме зеленом (5). у тежим, боји. Задаци за самостално вежбање („Уради сам“) (7) прате ток лекције и после сваких шених примера (више однеколико у уџанихразноврсних одграфиконе лакшихграфиконе ка уз пратеће прегледне дијаграме 3350 и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и разноврсних и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и серазноврсних уводи поступно, уз велики бројћеш решених примера (више од 350 уџбенику) (6), решених примера наћи потпуно сличне. Ако неизнаш да ихурешиш, врати се поноводијаграме на решене примере. Целине у уџбенику почињу кратким подсећањем на појмове дефиниције са и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне и се уводи поступно, уз ћеш велики број решених (више врати од их 350се у поново уџбенику) примера наћи сличне. Акоих знаш да решиш, врати се поново на бенику) 6 ,(6), разноврсних и решене градира-примере. решенихрешених примера наћи ћеш потпуно сличне. Ако не лекције знашпримера да решиш, на решене примере. 4 потпуно за самостално вежбање („Уради сам“) (7) ток ине после сваких неколико У сваком поглављу налази сваких некол разноврсних и досадашњем градираних одпрате лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и и после рафиконе Задаци за вежбање („Уради сам“) прате ток лекције сваких у боји. Задаци за самостално вежбање („Уради сам“) (7) прате ток лекције инеколико после којима усибоји. сеграфиконе већ сусретао убоји. школовању, авежбање који су(7) ти неопходни за графиконе усамостално Задаци за самостално („Уради сам“) (7) прате ток лекције и после сваких нал нек разноврсних и градираних од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и них од лакших ка тежим, уз пратеће овде убацити симбол, задатак за У сваком налази У сваком поглављу се поглављу и по неколико неколико 8 Задаци графиконе у боји. за самостално вежбање („Уради сам“) (7) прате ток лекције и после сваких ш потпуно сличне. Ако не знаш да их решиш, врати се поново на решене примере. решених примера наћи ћеш потпуно сличне. Ако не знаш да их решиш, врати се поново на решене примере. решених примера наћи ћеш потпуно сличне. Ако не знаш да их решиш, врати се поново на решене примере. изазов и занимљивост и може да овде убацити симбол, задатак за убацити симбол, задатак за прегледне дијаграме и графиконе вајање8нових овде знања (4). Нове дефиниције смо посебно истакли жутом подлогом иток захтевнијих графиконе упримера боји. Задаци заћеш самостално вежбање („Уради сам“) (7) их прате лекције после сваких неколико решених наћи потпуно сличне. Ако не знаш да решиш, поново задатака („Изазов”) севрати и исе по неколико сена решене и(8) упопримере. неколи ћеш потпуно не знаш да их решиш, врати се поново на решене примере. 8 решених примерасенаћи спусти на дно странесличне. Ако У сваком поглављу налази 11 У сваком поглављу налази У сваком поглављу нал и по један неуобичајен, занимљив изазов и занимљивост и може да боји. Задаци за самостално вежбање решених примера наћи ћеш потпуно сличне. Ако не знаш да их решиш, врати се поново на решене примере. 10 изазов и занимљивост и може да ломастером, важне напомене наранџастом, а теореме зеленом (5). Нова материја У сваком поглављу 10 захтевнијих задатака („Изазов”) (8) У сваком поглављу налази захтевнијих задатака („Изазов”)н так за вде убацити симбол, задатак засимбол, задатак („Совин задатак”). Решења овде убацити симбол, задатак 13заза се и по неколико („Уради сам”) 7 прате ток лекције се спусти на дно стране овде убацити задатак се и по неколико се и по некол овде убацити симбол, задатак за Уи сваком поглављу 11 и по неуобичајен, занимљив се8 8спусти дно стране се неколико седа уводи поступно, узна велики број решених примера (више од 350 (6),један се налази и по занимљ нек 11 6 и једних ии других можеш 8 убацити 6 у уџбенику) попоједан неуобичајен, оже 10(„Изазов”) овде симбол, за дада захтевнијих зазов и занимљивост изанимљивост може да изадатак изазов и занимљивост и може и после сваких неколико решених задатака (8) изазов и може да се и по неколико 10 изазов и занимљивост и може захтевнијих задатака („Изазов”) (8) захтевнијих задатака („Изазов”) захтевнијих задатака („Изазов”) (8) 8 градираних пронаћи назадатак”). крају књиге. задатак Решења 13 разноврсних изазов и од лакших ка тежим, уз пратеће прегледне дијаграме и („Совин захтевнијих задатака („Изазов 4 5стране задатак („Совин задатак”). Реше и занимљивост 13 и може да 11на дносе сеспусти спусти на дно стране примера наћи ћеш потпуно сличне. е спусти нана дно стране 11 Честе ученичке грешке 11 захтевнијих задатака („Изазов”) (8) занимљ занимљив 11116и по један неуобичајен, овде шалу –по и по један неуобичајен, занимљив се спусти дно стране и један неуобичајен, занимљив и по један неуобичајен, и једних и других можеш 10 10 афиконе у боји.сеЗадаци за самостално вежбање („Уради сам“) (7) прате ток лекције и после сваких неколико и по један неуобичајен, а 10 кокошка,Ако 10 спусти на дно стране смо уочавали током не знаш дакоје решиш, врати се иих једних и Решења других можеш зани 11 6 10 и(„Совин по један неуобичајен, занимљив задатак („Совин задатак”). 13 задатак („Совин задатак”). Решења слику доњу у пронаћи на крају књиге. задатак задатак”). Решења задатак („Совин задатак”). Реше 10 13 13 вишегодишње предавачке праксе задатак”). 12 12 шених примера наћи ћеш потпуно сличне. вратилево се поново решене примере. задатак Ре 13 13 Ако не знаш да6их решиш, на решене примере. пронаћи на(„Совин крају књиге. и једних и других можеш задатак („Совин задатак”). Решења 11 13 4 и једних и других можеш 6 Честе ученичке грешке смо посебно појаснили и означили овде – и једних и других можеш 4 6 и једних и других можеш 6 шалу УУједних сваком поглављу налази сваком поглављу и једних иналази других можеш греш 6 9 пронаћи на крају књиге. и других Честе ученичке 6 накокошка, овде шалу – иукоје текстусмо („Опрез!”) (9).можеш 4 уочавали током пронаћи крају акњиге. де убацити симбол, задатак за пронаћи на крају књиге. пронаћи на крају књиге. се и по неколико захтевнијих Честе ученичке грешке овде шалу се по неколико пронаћи на(10) крају књиге. ток 4 слику доњу у – кокошка, а пронаћи Пореклоиречи (Етимологија) је уочавали на крају књиге. 4 44 које смо 9 Честе кокошка, вишегодишње предавачке праксе 12 ученичке грешке задатака („Изазов”) азов и занимљивост и може да 5 овде шалу –4 лево Честе ученичке грешке које смо уочавали током Честе ученичке грегр дато за велики број математичких доњу у овде шалу – овдеашалуслику овде шалу – Честе ученичке грешке („Изазов”) (8) Честепредавачке ученичке пра – овде шалу 12 – задатака слику доњу у захтевнијих вишегодишње кокошка, а смои посебно појаснили и означили појмова. То ће ти помоћи да их лево 8 по један неуобичајен, кокошка, а вишегодишње предавачке праксе кокошка, а које смо уочавали током 12 7 кокошка, а спусти на дно стране које смо уочавали током које смо уочавали то лево 11 слику доњу у а неуобичајен, које исмо уочавали током и кокошка, потексту један занимљив које смо уочавали бољезадатак разумеш упамтиш. смо посебно појаснили и означи слику доњу у10 слику доњу у („Опрез!”) у (9). 9 слику доњу у смо посебно појаснили и означили занимљив („Сослику доњу у вишегодишње предавачке 12 вишегодишње предавачке праксе вишегодишње предавачке пра 12 вишегодишње предавачке праксе 12 12праксе лево лево задатак („Совин лево вишегодишње п 12 (Етимологија) 13 Учење ће ти бити интересантнијелево занимљивости (11) из живота узадатак”). вези са градивом, у тексту („Опрез!”) (9). Порекло речи (10) је предавачке 9уз бројне 9 вин задатак”). Решења иРешења у тексту („Опрез!”) (9). лево 7 смо посебно појаснили и означили 5 смо посебно појаснили и означили смо посебно појаснили и означили смо посебно појаснили и означ 8 математичке шале и анегдоте (12) из живота позантих математичара. Посебно судругих издвојене приче опосебно пореклу иједних једних можеш смо и озн Порекло речи Порекло (Етимологија) (10)(Етимологија) јепојаснили 6 других можеш пронаћи на дато заиивелики број математичких речи (10 у („Опрез!”) тексту (9). њихови творци и године када(„Опрез!”) суу смишљени. 9се наводе у тексту („Опрез!”) 9 данашњих математичких симбола 55 у тексту (9). тексту („Опрез!”) (9). 9 (13) у којима 9(9). дато за велики број математичких крају књиге. Честе ученичке пронаћи на крају књиге. у тексту („Опрез!”) (9). 9 појмова. То ће ти помоћи да их 7 дато за велики број речи (Етимологија) (10) математич 4 Порекло речи (Етимологија) (10) Порекло је појмова. То ће ти помоћи да их Порекло речи (Етимологија) (10) је је Порекло речи (Етимологија) (10 На крајупредавачке сваког поглавља налазe посебно 5 7 праксе, грешке, које смо уочавали током вишегодишње смо појаснили и ознаКроз књигу ћеш препознати и следеће боље разумеш и упамтиш. Честе ученичке грешке Порекло речи (Етимологија) овде шалу – 55 појмова. То ће ти помоћи да( дато за велики број математичких 7дато седато задаци завелики вежбање (14), заматематичких које боље разумеш и упамтиш. за број посебно означене делове: чили у тексту („Опрез!”) 9 . Порекло речи (етимологија) 10 је дато за велики број математичзакоје велики број математичких дато за велики број математич кокошка, а 14 смобоље током дато велики број појмова. То ћеразумеш тизапомоћи да их математ су наконзанимљивости тога дата и решења7 (15). Ту Учење ће тиТо бити ти интересантније уз бројне (11) из живота у вези сауочавали градивом, и упамтиш. питања за дискусију, ких појмова. да их боље разумеш и упамтиш. Учење ће ти бити интересантније слику доњу у појмова. То ће ти помоћи да их Учење ће ће ти помоћи бити интересантније уз бројне занимљивости (11) из живота у вези са градивом, 7 појмова. То ће ти помоћи даћети ихтипомоћи појмова. Топраксе ћеш пронаћи 7и решења свихвишегодишње 7су7издвојене предавачке 12Посебно појмова. Тоће помоћида боље и упамтиш. математичке шале и анегдоте (12) 11 из живота позантих математичара. приче ооразмисли! пореклу лево уз бројне занимљивости из живота у вези са градивом, шалеразумеш иприче анегдоте 12 математичке анегдоте из живота позантих математичара. Посебно су издвојене пореклу боље разумеш и упамтиш. задатака „Уради сам“ изматематичке тог боље Учењешале ће ити бити (12) интересантније уз бројне занимљивости (11) из живота у вези са градивом, разумеш и упамтиш. пронађи на Интернету боље разумеш и упамтиш. смо посебно иразумеш означили боље данашњих математичких (13) у којима се наводе њихови творци иогодине када сусупојаснили смишљени. из живота познатих математичара. издвојене приче данашњих данашњих математичких (13) у којима себројне наводе њихови творци ипореклу године када смишљени. поглавља (16), каозанимљивости и кратке приче Учење ћесимбола ти битисимбола интересантније уз су (11) из живота у вези са градивом,и упамтиш. 16Посебно радионица уматемаприроди математичке шале и анегдоте (12) из живота позантих математичара. Посебно су издвојене приче о пореклу интересантније уз бројне занимљивости (11) из живота у вези са градивом, из историје математике и живота у тексту („Опрез!”) (9). 9 13ће ути којима се наводе њихови творци и занимљивости године сурачунарска смишљени. Учењетичких ће ти симбола бити интересантније узинтересантније бројне занимљивости (11) из када живота уиздвојене вези саживота градивом, Учење ће бити интересантније узуз бројне (11) израдионица живота уо пореклу вези математичке шале и,ти анегдоте (12) из живота позантих математичара. Посебно су приче Учење бити бројне занимљивости (11) из у везисасаградивом, градивом данашњих математичких симбола (13) уза којима сеналазe наводе њихови творци и препознати године када су смишљени. познатих математичара насловљене Наналазe крају сваког поглавља налазe На крају сваког поглавља радионица Кроз књигу ћеш и следеће Кроз књигу ћеш препознати следеће 15 На крају сваког поглавља се задаци вежбање 14 , за које су након тога дата и решења 15 доте (12) из живота позантих математичара. Посебно су издвојене приче о пореклу Порекло речи (Етимологија) (10) је . о пореклу данашњих математичких симбола (13) у којима се наводе њихови творци и године када су смишљени. математичке шале и анегдоте (12) из живота позантих математичара. Посебно су издвојене приче о пореклу математичке шале и анегдоте (12) из живота позантих математичара. Посебно су издвојене приче „Можда нисте знали о...”. математичара. Посебно су издвојене приче о пореклу математичке шале и анегдоте (12) из живота се задаци за савежбање (14),позантих за које се задаци за вежбање (14), за које посебно означене делове: Ту ћеш пронаћи ињихови решења свих задатака „Уради сам” тог су поглавља посебно означене делове: симбола (13) у којима се14наводе њихови творци исе године када су смишљени. 14 дато за велики бројиз математичких данашњих математичких симбола (13) у којима наводе творци ињихови године када суисмишљени. данашњих математичких симбола (13) у којима се наводе творци године када смишљени. су након тога дата и решења (15). Ту данашњих математичких симбола (13) у којима се наводе њихови творци и године када су смишљени. На крају сваког поглавља налазe су након 16 тога дата и решења (15). Ту питања за дискусију, На крају свакогприче поглавља налазe математике , као и кратке из историје и Кроз живота познатих књигу ћеш матемапрепознати и след питања за дискусију, Кроз књигу ћеш препознати и следеће појмова. То ће ти помоћи да их 7 ћеш пронаћи и решења свих размисли! се задаци за вежбање (14), за које ћеш пронаћи и решења свих тичара, насловљене са „Можда нисте знали о...”. се задаци за вежбање (14), за које посебно означене делове: размисли! посебно означене иделове: На крају сваког поглавља На налазe сваког На поглавља налазe крају сваког поглавља налазe Кроз књигу ћешиз препознати и књигу следеће 14 крају задатака боље разумеш упамтиш. 14 „Уради сам“ тог Кроз ћеш препознати ићеш следеће Кроз књигу ћеш препознати На крају сваког поглавља налазe пронађи на Интернету задатака су „Уради сам“ из тог Кроз књигу препознатии ислед сл након тога дата и решења (15). Ту су након тога дата и решења (15). Ту пронађи на Интернету питања за дискусију, питања за дискусију, се задаци за вежбање (14), за 16које за поглавља (16), каозаи кратке приче се задаци вежбање (14), за које секњигу задаци вежбање (14), за које Кроз ћеш препознати и следеће посебно означене делове: посебно означене делове: радионица у природи посебно означене делове: посебно означене делове: се задаци за вежбање (14), за које поглавља (16), каопронаћи и занимљивости кратке приче пронаћи и решења свих изсвих 16 Учењетога ће дата ти14 бити интересантније уз бројне (11) животарадионица у вези са градивом, посебно означене делове:размисли! ћеш ии живота решења 1414Ту изћеш размисли! у природи историје математике су након и решења (15). су након тогазадатака дата итеме решења (15). суматематике након тога дата иТурешења (15). Ту рачунарска радионица питања за дискусију, питања за дискусију, питања за дискусију, „Уради сам“ из тог су након тога дата и решења (15). Ту из историје и живота за дискусију атематичке шале и анегдоте (12) изсвих живота позантих математичара. су издвојене приче о пореклу пронађи напитања Интернету за Интернету дискусију, задатака „Уради сам“Посебно из рачунарска тог познатих математичара насловљене радионица пронађи на размисли! ћеш пронаћи решења радионица 15 и ћеш познатих пронаћи и решења свих ћеш пронаћи и и решења свих размисли! поглавља (16), као и кратке приче 16 математичара насловљене размисли! размисли! ћеш пронаћи решења свих радионица у природи са „Можда нисте(16), знали о...”.и творци нашњих симбола (13) се наводе њихови године када су смишљени. размисли! радионица поглавља као краткеиприче 15 математичких 16у којима радионица у природи задатака „Уради сам“ из са тог задатака „Уради сам“ из тог задатака „Уради сам“ из тог пронађи на Интернету из нисте историје математике и живота „Можда знали о...”. пронађи на Интернету пронађи на Интернету задатака „Уради сам“ из тог рачунарска радионица пронађи радионица на Интернету из историје математике и живота пронађи на интернету поглавља (16), као16и кратке приче рачунарска познатих насловљене поглавља као иматематичара кратке приче поглавља (16), као и икратке приче радионица у природи радионица у природи природи 16(16), радионица радионица у радионица у природи На крају сваког поглавља налазe 15 поглавља (16), као кратке приче 16 Кроз књигу ћеш препознатирадионица и следеће у природи познатих математичара са „Можда нисте знали о...”. насловљене из историје15математике из и живота радионица историје математике и живота из историје математике и живота рачунарска радионица се задаци за вежбање (14), за које из историје математике и живота рачунарска радионица рачунарска радионица посебно означене делове: са „Можда нисте радионица знали о...”. рачунарска 14 познатих математичара насловљене рачунарска радионицарадионица математичара насловљене математичара насловљене радионица супознатих након тога датапознатих ипознатих решења (15). Ту математичара насловљене радионица радионица 5 1515 питања за дискусију, радионица са „Можда нисте знали о...”. са „Можда нисте о...”. са „Можда нисте знали о...”. ћеш пронаћи изнали решења свих са „Можда нисте знали о...”. размисли! задатака „Уради сам“ из тог пронађи на Интернету

uk a

pr om

СЛИЧНОСТ

еђујемо дужи.

Како меримо и упор

е дужи

Када кажемо да су дв

uk a

самерљиве. змеру при читању Како да користиш ра увећаних мапа и изради умањених или цртежа. а троугла слична. Када кажемо да су дв ови и странице У ком су односу угл сличних троуглова. теорема. Како гласи Талесова ичности Како да применом сл ну израчунаш висину или дужи непознатог објекта. имене Талесове Које су последице пр . теореме на правоугли троугао

СЛИЧНОСТ

1.1. ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА 1.1.1. МЕРЕЊЕ ДУЖИ. САМЕРЉИВЕ И НЕСАМЕРЉИВЕ ДУЖИ Како смо дефинисали појам ДУЖ? Да ли и крајње тачке дужи припадају дужи? Да ли су бројеви које можемо да представимо у виду разломка (са целобројним имениоцем и бројиоцем и имениоцем различитим од нуле) РАЦИОНАЛНИ или ИРАЦИОНАЛНИ? Како означавамо ова два скупа бројева? Наведи барем два ирационална броја.

pr om

Мерење подразумева упоређивање величина исте врсте, као на пример висине ученика или дужине дужи, површине троугла, запремине посуда, масе тела... Тако, две величине исте врсте можемо узајамно поредити и рећи да је нека од њих већа или мања, или су пак међусобно једнаке, али можемо утврдити и тачан однос ових величина. Поред тога, уобичајено је да се две или више величина упоређују са неком трећом, посебно одређеном. У геометрији се често сусрећемо са појмом мере дужи, односно дужине дужи. Узмимо дуж АВ чију дужину означавамо са |АВ|. Нека је та дуж садржана тачно n пута у дужи CD (што можемо показати наношењем дужи АВ по дужи CD), тада за број n кажемо да је мерни број дужи CD и то записујемо CD = n ∙ АВ, тј. важи да је |CD| = n ∙ |АВ|. Нека је даље m мерни број неке друге дужи EF, односно EF = m ∙ АВ тј. |EF| = m ∙ |АВ|.

uk a

Посматрајмо однос дужина дужи CD и EF: n |CD| : |EF| = n|АВ| : m|АВ| = n : m = . m Уколико је овај однос рационалан број, тада кажемо да су ове дужи самерљиве дужи и да имају за заједничку меру дуж АВ. У противном, ако је њихов однос ирационалан број, те дужи немају заједничку меру и кажемо да су несамерљиве.

Ови појмови су дефинисани још у старогрчкој математици и поклањана им је велика пажња. Појам самерљивости дужи се може проширити и на више од две дужи. Мерењем се свакој дужи додељује један ненегативан реалан број. Дуж којом меримо друге дужи називамо јединичном. У свакодневном животу на нашем поднебљу, за мерење дужине најчешће користимо јединичне дужи чије су дужине: километар, метар, дециметар, центиметар или милиметар. Дакле, користимо договорени систем мера. Истражи на интернету које се још јединице за мерење дужине користе у неким земљама. Да ли знаш да набројиш и неке старе јединице за дужину које су користили наши преци, а које су избачене из званичне употребе или се врло ретко користе? Колико има основних јединица мере у Међународном систему јединица? Да ли знаш и које су? Да ли су исти појмови ненегативан број и позитиван број? Kонсултуј Појмовник на крају књиге.

Пример Покажи да су у правоуглом троуглу самерљиве катета а и хипотенуза с, које заклапају угао од 600. Решење: Заиста, за правоугли троугао чији су оштри углови 300 и 600 важи да је хипотенуза с два пута дужа од катете а, са којом гради угао од 600 , односно c = 2a. Дакле, њихов однос је рационалан број: c üüü a= a a= = .

■

Пример

СЛИЧНОСТ

Покажи да су дијагонала и страница квадрата несамерљиве дужи. Решење: Знамо да је дијагонала квадрата d = a ⋅ 2, па је њихов однос ирационалан

a=a број: d üüü

. Споменимо да је ово било шокантно откриће,

које је изазвало кризу у старогрчкој математици.

■

Решење:

pr om

Са слике лако уочаваш да је d v = 2a , па је

Пример Покажи да су дужа дијагонала и страница правилног шестоугла самерљиве дужи, а краћа дијагонала и страница правилног шестоугла несамерљиве дужи.

d v : a = 2a : a = 2. Дакле, ово су самерљиве дужи. Сети се да је краћа дијагонала шестоугла једнака висини једнакостраничног троугла странице 2a (на слици су додате испрекидане линије, како би ово лакше уочио, нпр. троугао ADG). Такође, ако посматрамо мањи једнакостранични троугао странице а (нпр. троугао АОВ), онда је његова висина једнака половини краће дијагонале.

УС А1

uk a

d m : a = a 3 : a = 3. Однос је ирационалан број, па ове дужи нису самерљиве.

Да ли су у правоуглом троуглу самерљиве дужи хипотенуза и катета која са њом гради угао од 30°?

УС А2

уради сам

Дати правоугаоник има странице 12 cm и 5 cm. Да ли су свака од страница и дијагонала тог правоугаоника самерљиве дужи? УС А3

■

Да ли су странице правоугаоника од 6 cm и 5 cm самерљиве са дијагоналом тог правоугаоника?

ОПРЕЗ! Меру дужи

AB обележавамо са │AB│. Иако исти симбол користимо и за апсолутну вредност броја, потпуно је погрешно рећи апсолутна вредност дужи.

Пример Дате су дужи │AB│ = 10 cm и │CD│ = 15 cm. Одреди њихову највећу заједничку меру, а затим измери мању дуж већом и обрнуто – већу дуж мањом. Решење: Највећа заједничка мера датих дужи је највећи заједнички делилац бројева 10 и 15, а то је 5. То краће записујемо као НЗД (10, 15) = 5. Дакле, њихова највећа заједничка мера је дужине 5 cm. 2 2 AB : CD = 10 : 15 = 2 : 3 = , одакле је: AB = CD ; 3 3 3 3 CD : AB = 15 : 10 = 3 : 2 = , из чега следи да је: CD = AB . 2 2

■

СЛИЧНОСТ

грчког Реч АНАГРАМ је спајањем а ал ст порекла, на то значи речи ана (ανά), ш чи „изнова, нова” и ре ја ко α) μμ грамма (γρα ”. значи „слово

Пример cm и CD = 8 cm Дате су дужи AB = 7 cm cm.. Одреди њихову највећу заједничку меру. Решење: Како су бројеви 7 и 8 узајамно прости, то је НЗД (7, 8) = 1. Дакле, највећа заједничка мера је 1 cm. cm.

■

1.1.2. РАЗМЕРА ДУЖИ

реч која Овим означавамо тањем■ се добија премеш еда ор сп ра - променом чи. ре е уг др слова неке

Ако је AB = m и CD = n , тада ће размера мера тих дужи бити: AB : CD = m : n .

m . Размера дужи је однос мера тих дужи. n

pr om

Користимо и запис

Пример cm и CD = 15 cm Дате су дужи AB = 10 cm cm. Одреди размеру мера ових дужи. Решење:

Потребно је одредити AB : CD . У једном од претходних примера видели смо да је размера

УС Б1

uk a

тих дужи: AB : CD = 10 : 15 = 2 : 3.

Дате су дужи AB = 10 cm cm и CD = 7cm. cm Одреди размеру мера

■

уради сам

ових дужи CD : AB .

УС Б2

Преметањем понуђених 12 слова покушај да сложиш реч – математички појам, који си давно упознао. У питању је врста геометријских фигура.

Наведи поткласу ових геометријских фигура, које имају и додатну особину. Да ли знаш да наведеш и ширу класу геометријских фигура унутар које су смештене геометријске фигуре из решења овог анаграма? УС Б3

Пресложи дата слова тако да добијеш један математички појам – придев, који описује један подскуп реалних бројева.

Да ли нула припада овом скупу?

СЛИЧНОСТ

Размере се користе на мапама, цртежима, плановима и макетама, и дају јасан однос између дужине неке дужи представљене на карти или макети и њој одговарајуће дужине у природи. Избор конкретне размере зависи од намене цртежа и од жељене тачности и прецизности приказа. Ради лакше употребе, размера се обично представља количником 1 : n или у виду разломка код кога је бројилац једнак јединици. Број n означава колико пута је дужина у природи смањена (или знатно ређе, повећана). При поређењу две размере R1 и R2 (R1 = 1: n1 и R2 = 1: n2), за размеру R1 се каже да је крупнија (већа) ако је n2 > n1. Може се рећи и да је размера R2 ситнија (мања).

pr om

Пример На карти која је израђена у размери 1:100 000 растојање између места А и В је 3 cm. Одреди растојање тих места у природи. Решење: Како 1 cm на карти представља 100 000 cm у природи, то је

1:100 000 = 3: x па је x = 300 000. Дакле, растојање тих места је 300 000 cm, тј. 3 km.

uk a

■

Пример Растојање између два места је 20 km. Одреди растојање тих места на карти, ако се зна да је карта израђена у размери 1 : 200 000. Решење: 20 km = 20 000 m = 2 000 000 cm. Сада постављамо пропорцију: 1: 200 000 = x : 2 000 000. cm. Решавањем добијамо: x = 10 cm Дакле, растојање између тих места на карти је 1 дециметар.

■

УС В1

На карти која је израђена у размери 1:1 000 000 растојање између места А и В износи 2,4 cm. Одреди растојање тих места у природи. УС В2

уради сам

Два града, удаљена 450 километара, на мапи су представљена као тачке на растојању од 15 cm. Одреди у којој размери је израђена мапа.

СЛИЧНОСТ

УС В3

УС В4

pr om

Измери димензије своје учионице. Представи је у својој свесци наводећи и која је размера употребљена. Израчунај затим која је највећа размера којом она може бити представљена у твојој свесци, ако за то користиш уради сам само једну страну свеске.

Пронађи у свом атласу карту Србије или Европе. Означи на њој најсевернију и најјужнију тачку наше земље и лењиром измери њихову раздаљину. Она одговара најкраћој – ваздушној раздаљини ових места. Водећи рачуна о размери карте, израчунај њихово растојање. Понови задатак узимајући у обзир најзападнију и најисточнију тачку Србије. Које од ових растојања је веће? За колико километара се разликују?

УС В5

uk a

На више локација у свету постоје паркови са макетама познатих грађевина. Једна од таквих је Минимундус у граду Клагенфурт у Аустрији. На слици се види и макета познатог Ајфеловог торња. Као и већина макета у том парку, он је урађен у размери 1 : 25. Пронађи на интернету висину правог Ајфеловог торња и на основу тога израчунај колико је висока његова копија из парка.

Пример Размера мапе у атласу је 1 : 50 000. Правоугаона површина на њој заузима 12 cm2. Одреди колико износи стварна површина изражена у km2. Решење: Нека су странице правоугаоне површине на карти a и b, тада је површина на карти: P = ab = 12 cm cm22. Како је карта урађена у размери 1 : 50 000, то значи да је један центиметар на карти 50 000 центиметара у природи, па су стварне димензије: as = 50 000a и bs = 50 000b. Стварна површина је: Ps = as ∙ bs = 50 000a ∙ 50 000b = 2 500 000 000ab = 2 500 000 000 ∙ P. Заменом добијамо: Ps = 2 500 000 000 ∙ 12 = 30 000 000 000 cm2 = 3 km2. Видимо да стварна површина износи 3 квадратна километра. ■

СЛИЧНОСТ

Пример На слици су приказане две играчке, верне копије правих возила, сликане једна поред друге. Обе имају дужину 8 cm. Шта мислиш који од њих је урађен у мањој размери?

pr om

Пример Упоредимо два телевизора чије су дијагонале екрана 106 cm. Један од њих има однос страна 4 : 3, а други 16 : 9. Који од њих има већу површину екрана?

Решење: Иако нам нису познате праве величине возила већ само дужине макета, знамо да је у стварном животу камион свакако значајно дужи од путничког аутомобила, па је морао да буде више смањен, тј. његова размера је ситнија (мања). ■

Решење: Како странице правоугаоника (екрана) могу бити представљене као 4k и 3k, тада је његова дијагонала, на основу Питагорине теореме, 5k. cm па добијамо да је По услову задатка је 5 k = 106 cm

uk a

k = 21, 2 cm cm. Површина првог екрана је: 3k ∙ 4k = 12k2 = 12 ∙ 21,22 = 5393,28 ≈ 5393 cm2. На сличан начин, пошто су странице правоугаоника 16j и 9j , тада је квадрат дијагонале другог екрана (на основу Питагорине теореме): (16 j ) 2 + (9 j ) 2 = 337 j 2. Са друге стране, по услову задатка тај израз мора бити једнак са квадрираном вредношћу дате дијагонале (106 cm). Нема потребе да рачунамо (приближну вредност за) j, јер нам касније у

рачуници управо и треба вредност за j 2. 11236 337 j 2 = 1062 односно j 2 = . 337 11236 Површина другог екрана је: 16 j ⋅ 9 j = 144 j 2 = 144 ⋅ ≈ 4801 cm cm22. 337 Дакле, већу површину има први екран са односом страна 4:3. ■ УС Г1

Треба упоредити два телевизора који имају исту дијагоналу екрана (81 cm), али различите размере страница екрана 4 : 3 и 16 : 9. Који од њих има већи обим екрана?

уради сам

Упоређујемо карактеристике два телевизора дијагонале екрана d cm. Један од њих има однос страна 4 : 3, а други 16 : 9. Који има већу површину екрана и колико је она већа у процентима? ИЗАЗОВ

СЛИЧНОСТ

Ако за дате три дужи a, b, c и за неку дуж дужине x важи пропорција a : b = c : x, односно a = c , онда за дуж x кажемо да је четврта геометријска пропорционала за b x дужи а, b и с. Четврта пропорционала, може се израчунати решавањем једначине: , одакле је мера непознате четврте геометријске пропорционале: x = Пример

Решење:

AB PQ = . CD RS

pr om

cm тако да је AB = 2 cm, cm, CD = 3 cm и PQ = 6cm,

А води Реч ПРОПОРЦИЈ ке речи порекло од латинс претходно proportio (односно ачењем pro + pаrtio) са зн о међусобна складност, односн них делова. складност подеље

9 cm Израчунај меру четврте геометријске пропорционале RS =ако су мере три дужи:

Како је

b⋅c . a

AB PQ 2 6 = cm , односно = , онда је 2 ⋅ RS = 3 ⋅ 6 , одакле је RS = 9cm. CD RS 3 RS

Напомена: У пропорцији

еквивалентна пропорција се добија ако:

■

uk a

• спољашњи чланови замене места:

• унутрашњи чланови замене места:

То можемо урадити јер важи комутативност множења, односно вредност производа се не мења ако чиниоци међусобно замене места.

За дате две дужи a и b, геометријска средина је дуж x за коју важи: a : x = x : b. Одавде је: x 2 = a ⋅ b, односно x = a ⋅ b.

Реч ГЕОМЕТРИЈА је грчког порекла, настала спајањем речи Геа (Гῆα), по старогрчком божанству које је означавало Земљу и глагола метриа (μετρία), што значи мерити. У првобитној употреби односила се само на практична мерења имања и земљишних поседа, да би тек касније означила велику и значајну грану математике.

Напомена: Дуж x се назива и средња геометријска пропорционала.

СЛИЧНОСТ

Пример Одреди геометријску средину за дужи чија је мера 2 cm и 8 cm. Решење: Како важи: 2 : x = x : 8 тада је:

x 2 = 2 ⋅ 8 = 16

x = ± 16 . Како мера дужи не може бити негативна, мера геометријске средине датих дужи cm. је x = 4 cm

2 ОПРЕЗ! Једначина x = 16 има два решења:

■

УС Д1

uk a

pr om

или . Како је геометријска средина за две дужи такође дуж, ми за решење узимамо само позитивну вредност, тј. +4. Дакле, занемаривање негативног решења у задацима овог типа не проузрокује грешку, али у великом броју задатака из других области математике ово . доводи до „губитка” једног решења! Требa имати у виду да је

уради сам

Датих 11 слова крију један математички појам којим описујемо особину неке две дужи.

Да ли знаш који појам је у питању? Нацртај две дужи којима ћеш га илустровати. Како гласи супротни појам? УС Д2

Израчунај меру четврте геометријске пропорционале х за дужи чије су мере: cm и PQ = 7cm, cm,, CD = 3 cm cm тако да важи üüü : AB = 2 cm

УС Д3

Одреди геометријску средину за дужи чије су мере 9 cm и 4 cm. УС Д4

Одреди геометријску средину за дужи чије су мере 1 cm и 4 cm.

: .

СЛИЧНОСТ

1.1.3. ТАЛЕСОВА ТЕОРЕМА

Пример

Како се назива права која је нормална на дату дуж и полови је? Како конструишемо ову праву употребом лењира и шестара? Да ли нам ово помаже да дуж поделимо на четири или осам једнаких делова?

Користећи лењир и шестар подели дату дуж AB на три једнака дела.

uk a

pr om

Решење: У овом случају за решавање не можемо користити симетралу дужи. Зато ћемо урадити следеће: Прво нацртамо дуж АВ. Из тачке А повучемо полуправу Ax. Произвољним отвором шестара из тачке А преносимо три једнака одсечка произвољне дужине a на полуправу Ax, и тако добијамо редом тачке P, Q и R. Спојимо крај последњег одсечка, тј. тачку R са крајем дужи АВ, тј. тачком В. Означимо ту праву са r. Кроз тачке P и Q повлачимо праве p и q паралелне са правом r. Пресечне тачке тих правих и дужи AB су редом тачке М и N које деле дату дуж на три једнака дела.

Докажимо сада да су дужи AM, MN и NB међусобно једнаке: Кроз тачку P повлачимо полуправу паралелну са AB и у пресеку са правом q добијамо тачку C. Кроз тачку Q повлачимо полуправу паралелну са AB и у пресеку са правом r добијамо тачку D. Троуглови AMP, PCQ и QDR су међусобно подударни по ставу УСУ, јер имају једнаку једну страницу a и по два једнака на њу налегла угла α и β (као углови са паралелним крацима). Из подударности тих троуглова следи да је AM = PC = QD , а како су MNCP и NBDQ паралелограми, следи да је: PC = MN и QD = NB , па је онда и AM = MN = NB . ■

Поред тога што је био велики математичар и филозоф, Талес је био и велики астроном и врсни познавалац вавилонске астрономије. Постоји запис да је и Платон препричавао следећу анегдоту. Када је Талес посматрајући звезде упао у јарак и почео да запомаже, нека жена која се нашла у близини му се подсмехнула рекавши: - Како очекујеш да схватиш шта се збива на небу ако не видиш ни оно што ти је под ногама.

СЛИЧНОСТ

Напомена: На сличан начин дуж можемо поделити на 5, 6, 7, 9 или више делова.

Пример

Користећи лењир и шестар подели дату дуж AB на четири једнака дела. Решење: Сада знамо да можемо то урадити на два начина: цртањем симетрала (једном за половљење дужи, а затим још два пута за сваку од половина) или примењујући сличан поступак као у ■ примеру 1. Пример

Дату дуж AB подели у размери 3 : 2.

Пример

pr om

Решење: Дуж AB поделимо на пет (3 + 2 = 5) једнаких делова слично као у примеру 1, а затим нађемо тачку М која одваја прва три дела од последња два. Дакле, AM : MB = 3: 2 .

■

uk a

Дату дуж AB подели у размери 3 : 2 : 1.

Решење: Дуж AB поделимо на шест једнаких делова (3 + 2 + 1 = 6) налик претходном примеру. Од добијених 5 тачака између A и B одредимо и тражене две тачке М и N, тако да између тачака A и М буде 3 подељка (сегмента), а између М и N два подељка, а између N и В један подељак.

Талесова теорема: Ако две различите праве m

и n пресечемо паралелним правама p, q и r, онда је размера било које две дужи добијене на правој m једнака размери одговарајућих дужи на правој n.

Дакле, P1Q1 : Q1R1 = P2Q2 : Q2R2 P1Q1 : P1R1 = P2Q2 : P2R2 Q1R1 : P1R1 = Q2R2 : P2R2.

ТИ Реч КОНСТРУИСА ке нс ти ла је настала од то ш , io речи construct дање. значи градња, зи У математици се е још од старе Грчк ка сматра да се не гура геометријска фи ти, са може конструи тати цр ако се може на м само употребо . лењира и шестара

■

СЛИЧНОСТ

Пример

За дате дужи a, b и c конструиши дуж, четврту геометријску пропорционалу x, тако да важи: a :b = c: x .

Пример

pr om

Решење: Из тачке О повлачимо две полуправе Оm и On, које заклапају произвољан угао. На полуправу Оm редом пренесемо дужи a и b, и тако добијемо редом тачке А и В. На полуправу On пренесемо дуж с и у пресеку са On добијемо тачку С, која представља једну крајњу тачку непознате геометријске пропорционале x. Кроз тачке А и С конструишемо праву р. Затим, кроз тачку В конструишемо праву q паралелну правој р. Пресек праве q и полуправе On је тачка која представља другу крајњу тачку геометријске пропорционале x. ■

За дате дужи a, b и c конструиши четврту дуж x, тако да важи a : b = х : с.

УС Ђ1

uk a

Решење: Већ смо напоменули да заменом места унутрашњих или спољашњих чланова добијамо пропорцију еквивалентну полазној. Дакле, после замене места унутрашњих чланова, добијамо пропорцију a : х = b : с.

х a b

с ■

Дату дуж AB подели у размери 5 : 4.

УС Ђ2

уради сам

Дату дуж AB подели у размери 5 : 3 : 2. УС Ђ3

За дате дужи мера AB = 2 cm, cm конструиши четврту cm, CD = 3 cm и PQ = 6cm геометријску пропорционалу дужине x, тако да важи: AB : CD = PQ : x . Примени поступак као у Примеру 5. Провери да ли је мера непознате дужи 9 cm. УС Ђ4

Покушај да решиш следећи анаграм. Његово решење је један математички појам. Да ли знаш да га објасниш?

СЛИЧНОСТ

1.2. СЛИЧНОСТ ТРОУГЛОВА

сличност

идентичност

pr om

Ако је сваки угао једног троугла једнак одговарајућем углу другог троугла, онда су ти троуглови слични, то јест, онда су им пропорционални парови одговарајућих страницa.

Став 1

uk a

Као што имамо ставове за подударност троуглова, тако и за сличност троуглова важе следећи ставови, које наводимо без доказа: Став 1: Два троугла су слична ако су два унутрашња угла јед-

Став 2

b1 α2 b 2

c2 β1

β2 a2

ног троугла подударна са два унутрашња угла другог троугла. Став 2: Два троугла су слична ако су две странице једног

α1

Став 3

Став 4

троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла, а унутрашњи углови које образују те странице су подударни.

b1 c2

Став 3: Два троугла су слична ако су све три странице једног

троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог троугла. Став 1

Став 4: Два троугла су слична ако су две странице једног

α троугла пропорционалне одговарајућим страницама другог c b троугла и ако су углови наспрам дужих од ових страница поα b c дударни. 1

β1

a1 Став 2

α1

b1 α2 b 2

β2 a2

a1 Став 3

Ако су два троугла ABC и A1B1C1 слична, тј. ΔABC ~ ΔA1B1C1, тада су им одговарајући c углови једнаки, а све одговарајуће странице пропорционалне, тј. a : a1 = b : b1 = c : c1 = k . 1

a1 Став 4

b1 c2

γ2

γ2 a2

СЛИЧНОСТ

СИМБОЛИ

Овај симбол који личи на талас користи се у различитим областима са разним значењима. Као математички симбол за сличност увео га је велики немачки филозоф, математичар, проналазач и свестрани мислилац Готфрид Вилхелм Лајбниц (1646-1716) у раду Геометријске особине 1679. године. Употребио је за основу латинично слово S због латинске речи similis (слично, попут), али га је написао положено. Нажалост, оригинални рад није сачуван, па није потпуно јасно да ли је у оригиналу знак био потпуно идентичан данашњем или је био обрнут тако да је „таласић ишао прво надоле, па нагоре“. Каснији штампани радови који се позивају на Лајбница неоспорно потврђују да је он био творац.

pr om

Свака два једнакостранична троугла су слична. Било која два једнакокрака троугла су слична. Свака два правоугла троугла су слична. Било која два квадрата су слична. Било која два ромба су слична. Два правоугаоника су слична ако су им одговарајуће странице пропорционалне. Два правоугла троугла су слична ако имају једнаке оштре углове.

Од понуђених тврдњи три су нетачне. Можеш ли да откријеш које? Зашто?

Пример

uk a

Да ли су слични троуглови са унутрашњим угловима: α = 500 , β = 800 и α1 = 500 , γ 1 = 500 ? Решење: Израчунавањем трећег угла првог троугла добијамо да је: γ = 1800 − 500 + 800 = 500 . Слично, када израчунамо трећи угао другог троугла видимо да је: β1 = 1800 − 500 + 500 = 800 . Видимо да су унутрашњи углови ових троуглова 500, 500 и 800, дакле дати троуглови су слични, јер имају подударне унутрашње углове, (став први). ■

(

) (

)

Пример Мерни бројеви страница једног троугла су 3, 4 и 5. Да ли је дати троугао сличан са троуглом чији су мерни бројеви страница 6, 8 и 9? Решење: Да би ова два троугла била слична, одговарајуће странице треба да су им пропорционалне. 1 1 Како је за прва два пара страница размера 3 : 6 = 4 : 8 = , а за трећи пар 5 : 9 ≠ , то значи 2 2 да троуглови нису слични, јер им трећи пар одговарајућих страница није у истој размери као прва два пара, (став трећи).

■

Напомена: Можда си у бројевима 3, 4 и 5 препознао/ла најпознатију Питагорину тројку

и приметио да је први троугао заправо правоугли троугао. Да би и други троугао из задатка био сличан са њим, он би такође морао да буде правоугли троугао. Лако видимо да то није тако, јер његове странице не задовољавају Питагорину теорему ( 62 + 82 ≠ 92 ). Дакле, ова два троугла свакако нису слична. Наравно, чак и у случају да је и други троугао правоугли, то не би одмах значило и да су слични, јер нам то говори само да имају један (прав) угао исти, што није довољно за њихову сличност. Тада морамо проверити пропорционалност одговарајућих страница.

СЛИЧНОСТ

ЗАНИМЉИВОСТ

Три природна броја a, b и c формирају Питагорину тројку ако за њих важи да је a2 + b2 = c2. То значи да се од дужи чији су мерни бројеви управо a, b, и c може формирати и одговарајући правоугли троугао. Зато су још древни Вавилонци и Египћани били врло заинтересовани за њихово откривање. Свакако најстарија позната тројка је (3, 4, 5) тј. бројеви 3, 4 и 5. Можда знаш још и за (5, 12, 13) и (8, 15, 17). Ако је (a, b, c) Питагорина тројка, онда је то и свака тројка облика (ka, kb, kc) где је k произвољан природан број. Дакле, ако у тројци (3, 4, 5) сваки од бројева помножимо са 2 или 3 или неким другим бројем, добићемо поново Питагорине тројке: (6, 8, 10), (9, 12, 15)... Њих зовемо изведене Питагорине тројке, док су основне Питагорине тројке оне у којима су бројеви a, b и c узајамно прости.

pr om

Покушај да нађеш све основне (примитивне) Питагорине тројке код којих је највећи број мањи од 100 (c < 100). Не заборави да сва три броја морају да буду природна, тако да бројеве 1,1, 2 не рачунамо као Питагорине, иако задовољавају Питагорину теорему. Имајући у виду ово, укупно треба да пронађеш 16 тројки, тј. 13 јер смо 3 већ открили. Можеш ли то? ИЗАЗОВ

ФОРМИРАЊЕ ПРАВОГ УГЛА У ПРИРОДИ

Ова радионица ће ти показати како да лако и једноставно у природи формираш правоугли троугао, односно прави угао, што може бити врло корисно при изради неког заклона или за прецизно скретање под правим углом. Од опреме ти је потребан обичан канап произвољне дужине, три штапа или заставице, које могу да замене и два помоћника. Што је канап дужи и крајњи резултат ће бити прецизнији. На њему треба одмерити 12 једнаких делова (нпр. по пола метра сваки), што можеш да урадиш и пре него што га исечеш. Делове означи или везивањем неке трачице или куглице, или та места једноставно обој да буду уочљива. Крајеве канапа ћеш везати тако да се добије затворена линија, као на првој слици.

uk a

РАДИОНИЦА У ПРИРОДИ:

C A

У почетној тачки, у којој желиш да буде формиран прав угао (означена са C), забоди заставицу или је стави око глежња ноге првог помоћника који остаје на том месту. Са леве стране одброј 4 подеока на канапу (тачка A), тај део затегни и пободи нову заставицу или постави око ноге другог помоћника који остаје у тој тачки A. За последње тражено теме (тачку B) потребно је да са десне стране првог помоћника одбројиш 3 подељка или са леве стране другог помоћника одбројиш 5 подељака. Ухвати то место на канапу и крени напред покушавајући да истовремено затегнеш оба дела који воде до пободених заставица тј. помоћника. То је могуће у само једној тачки и када је нађеш, на њеном месту пободи и последњу заставицу. Тада ће дужи AC и CB код темена C градити прав угао.

СЛИЧНОСТ

Пример Израчунај дужину непознате странице OC приказаног троугла OCD ако је АВ││СD и тачке А, О и С леже на једној правој, а В, О и D на другој. Решење: Троуглови ABO и CDO су међусобно слични јер имају једнаке углове (став други).

pr om

Заиста, ∠ AOB и ∠COD су подударни углови јер су унакрсни. Углови код темена A и C су подударни, као углови са паралелним крацима (крак АС им је заједнички). Тада су подударни и углови код темена B и D, као допуне до 1800. Из сличности троуглова ABO и CDO следи да су им одговарајуће странице пропорционалне: AO : OC = BO : OD . Дакле: 5 : x = 6 : 3 , 6 x = 15 , из чега следи x = 15 = 2, 5, односно 6 OC = 2, 5 cm cm. ■

Пример На основу елемената датих на слици, одреди непознату дужину x.

uk a

Решење: Са слике видимо │AB│ = 14,4; │AC│ = 4; │CD│= 10; . │BC│ = │ED│ = x . Иако страница АВ у левом троуглу и СD у десном троуглу нису паралелне, на слици је назначено да су углови код темена А и Е подударни. Унакрсни углови код темена С су подударни, па је задатак сличан претходном. Δ ABC ˜ Δ ЕDС. Поставимо одговарајућу пропорцију: x : 14, 4 = 10 : x

x 2 = 144. Одакле видимо да је x = 12. Пример У троуглу ABC повучена је дуж MN паралелна са основицом AB (види слику). Ако је │AB│ = 8 cm, │BN│ = 4 cm, │MN│= 6 cm, израчунај дужину дужи NC. Решење: Троугао ABC је сличан троуглу MNC (јер имају један заједнички угао код темена C, а друга два су једнака као углови са паралелним крацима). Одавде је:

■

AB : MN = BC : CN .

Заменом следи:

8 : 6 = (4 + x) : x

8x = 6 ⋅ (4 + x ) 8 x = 24 + 6 x 8 x − 6 x = 24 2 x = 24 х = 12, па је тражена дужина дужи │NC│= 12 cm.

■

СЛИЧНОСТ

ОПРЕЗ! Уобичајена грешка при изради оваквих задатака је да се постави пропорција

AB : MN = BN : CN . То није исправно јер дуж BN није страница ниједног од троуглова ABC и MNC.

Тада важи да је 9 : 7 = ( x + 7 ) : ( 9 + 4 ),

pr om

Решење: Слични су троуглови ABC и MBN јер им је угао код темена B заједнички и поред тога имају и још један подударан угао (70°) (став први). Дужина странице BC је x + 7 , а странице AB је 9 + 4.

Пример На датој слици пронађи сличне троуглове, а затим одреди непознату дужину x.

УС Е1

uk a

односно 13 ⋅ 9 = 7 ⋅ ( x + 7 ). Сређивањем добијамо 7x + 49 = 117, односно 68 7x = 117 – 49 = 68 и на крају x = . 7

■

уради сам

Мерни бројеви страница једног троугла су 8, 10 и 12. Да ли је дати троугао сличан са троуглом чији су мерни бројеви страница 4, 5 и 6? УС Е2

На основу слике а) одреди непознату дужину x. УС Е3

На слици б) је приказан троугао и средња линија MN која одговара страници AB. Знајући да је АВ││MN и користећи сличност троуглова, покажи оно што већ знаш од раније – да је средња линија упола краћа од одговарајуће странице.

УС Е4

У троуглу EFG повучена је дуж KL паралелна са основицом EF, тако да тачка K припада страници EG, а тачка L страници FG. Ако је |EF| = 10 cm, |KL| = 6 cm и |GL| = 3 cm, израчунај дужину дужи FL. УС Е5

На основу мера са слике в) одреди непознату страницу AB.

СЛИЧНОСТ

УС Е6

На основу слике г), одреди непознату дужину x = |AB|, знајући да је тачка В пресечна тачка дужи АD и СЕ.

УС Е7

Дат је троугао ABC на слици д). Дужине сегмената CM и CN су редом 4 и 3. Oдреди дужину странице BC ако знаш да је |CM| = |MA|. УС Е8

pr om

За дати троугао на слици ђ) одреди дужину странице AB. Дужине страница AC, MB и MN су редом 10, 8 и 6.

Напомена: Ако су два троугла слична, тада важи да су им у истој размери и обими

uk a

и одговарајуће висине: a : a1 = b : b1 = c : c1 = O : O1 = h : h1 = k , док за однос површина важи: P : P1 = k 2 .

Пример Дат је правоугаоник ABCD са страницама 6 cm и 8 cm. Тачка S као средиште странице CD дужине 6 cm, спојена је са наспрамним теменима правоугаоника A и B. Тако је добијен једнакокраки троугао ABS. Дијагонала BD сече дуж AS у тачки М. Одреди површину троугла ABM (види слику).

Решење: Из сличности троуглова ABM и SDM следи да је

AB : SD = 6 : 3 = h1 : h2 .

Дакле, дужина висине троугла ABM је два пута већа h1 . Како је 2 h cm, следи да је h1 + 1 = 8, њихов збир h1 + h2 = 8 cm 2 16 cm. односно 2h1 + h1 = 16 и h1 = cm 16 3 6⋅ a ⋅ h1 Површина троугла ABM је P = cm22. = 3 = 16 cm 2 2 од дужине висине троугла SDM, тј. h2 =

■

СЛИЧНОСТ

Напомена: Као што можемо применити сличност на троуглове, тако можемо и на

uk a

ЗАНИМЉИВОСТ

pr om

остале геометријске слике. Триангулација је поступак поделе неког многоугла његовим унутрашњим дијагоналама на више троуглова. Њоме се сваки многоугао са n страница дели на (n − 2 ) троуглова. Примењујући сличност на сваки од тих троуглова, произилази да су два многоугла слична ако су им одговарајући углови једнаки, а одговарајуће странице пропорционалне.

Поступак налик описаној триангулацији је једна од битних фаза у процесу израде савремене тродимензионалне рачунарске анимације. Прво се формира основни изглед односно контура предмета и тзв. жичани модел, неопходан касније за што реалније прорачуне при кретању објекта. У данашње време се при изради жичаних модела користе често и снимци правих објеката или сцена, на којима су посебним светлима или сензорима означена кључна места (нпр. код људи на лактовима, коленима, раменима...). Затим се објекат апроксимира основним геометријским телима (лопта, квадар, ваљак, купа...), а њихове површине се изделе међусобно повезаним полигонима, најчешће четвороугловима и троугловима. Правилни објекти са равним површинама се на овај начин лако апроксимирају, док објекти са пуно кривих површина имају знатно сложенију апроксимацију, па је потребно што више уситњавати полигоне који се користе како би приказ био што вернији. На крају се полигонима додељује одређена боја и текстура, од чега ће у каснијим прорачунима зависити њихова провидност, начин одбијања светла и слично (различити утисак оставља чаша од кристала, метала или дрвета).

АПРОКСИМАЦИЈА је реч латинског порекла, настала спајањем прилога ad, са значењем „ка, код, уз“ и речи proximus, што значи „најближи“. У математичком смислу неку вредност апроксимирамо тако што је „померамо ка најближој погодној“. Дакле, тачна вредност се замењује приближном.

СЛИЧНОСТ

Пример На основу слике одреди непознату дужину x = |BE|. Тачке А, В и D су колинеарне, као и тачке С, В и Е. Решење: Питагорином теоремом добијамо да је |ВC| = 5. Приказани правоугли троуглови ABC и DBE су слични јер имају унакрсне углове код темена B. Из њихове сличности следи да је 4 : 5 = 9 : x, одакле добијамо да је x =

45 . 4

■

pr om

Пример Два тима извиђача су се нашла са две стране реке. Поставили су укупно пет заставица и извршили три мерења, чије резултате можеш видети на слици са стране. На основу приказаних података израчунај ширину реке.

Погледајмо како се идеја из претходног примера може успешно применити у задацима са одређивањем непознатих растојања у природи, када су њихова директна мерења тешка, опасна или неизводљива.

uk a

Решење: Поново можемо да уочимо два слична правоугла троугла којима су подударни углови код темена C као унакрсни углови, а углови код темена D и A су прави углови. Следи ED : CD = AB : AC . Онда је 36 : 40 = 90 : x.

Одавде видимо да је x = 100 m. Дакле, ширина реке је 100 метара.

■

У стварном животу није могуће увек имати помоћнике са друге стране реке. Ако имамо погодан објекат са друге стране, као у следећем задатку, можемо да израчунамо ширину реке.

Пример Група истраживача се налази поред реке на месту где су обале паралелне. У тачкама C и D виде се остаци порушеног моста. Два кочића (А и B) су пободена уз ивицу реке, тако да je растојање BC 65 метара, а AB 45 метара. Вођа групе је од тачке А кренуо леђима окренут реци идући под правим углом у односу на њу, стално проверавајући да ли је место на коме стоји на истој правој са тачкама В и D. Требало је да пређе 36 метара до тачке Е, како би се то и догодило. Колика је ширина реке на месту некадашњег AE моста : AB =( CD )? : BC , Решење: Из сличности троуглова: ΔABE ˜ ΔCВD постављамо пропорцију AE : AB = CD : BC , одакле је: 36 : 45 = x : 65, где смо са x означили дужину непознате странице CD. 36 ⋅ 65 Даље добијамо да је x = = 52. Ширина реке је 52 метра. 45

■

СЛИЧНОСТ

МЕРЕЊЕ ШИРИНЕ РЕКЕ У природи су обале реке ретко савршено паралелне, као што смо разматрали у претходна два примера, али нам то заправо и није неопходно. Пажљиво проучи следећи пример. Можда ти једног дана може помоћи у природи. Покушај да са наставником у околини школе нађеш погодно место где бисте могли да урадите мерења налик на ова из примера који следи. Уочи неки објекат са друге стране реке, на пример велико и усамљено дрво. Потребно је да се поставиш преко пута њега у односу на ток реке, у тачку S. По потреби се због кривудања реке одмакни од реке остављајући дрво тачно иза себе, до тачке А. Из те тачке под правим углом крени одређени број метара, рецимо 10 и на том месту (у тачки М) забоди неку заставицу или штап, а затим у истом смеру настави исти број метара као и до заставице (у нашем случају 10), до тачке B. Из ње под правим углом настави кретање у смеру од реке до тачке C која се налази на истој правој линији на којој су тачке D и М. Добијена два правоугла троугла AMD и ВМC не само да су слични него су и подударни. Зато је растојање BC исто као и AD. Ширину реке добијамо када од ове вредности одузмемо растојање SA.

uk a

pr om

РАДИОНИЦА У ПРИРОДИ:

Напомене: За успешно и тачно извођење вежбе посебну пажњу треба посветити скретању под правим углом. Како смо то претходно и показали у једној од радионица, то није проблем ако имаш са собом посебно припремљен канап са 12 чворова. Уместо реке, на сличан начин можеш одредити и ширину ауто-пута, не угрожавајући том приликом своју безбедност.

УС Ж1

Покушај да решиш следећи анаграм. Његово решење је један математички појам – придев који користимо уз речи као што су фигура и средина.

уради сам

Можеш ли да смислиш још неки неки појам испред ког је могуће ставити ову реч? УС Ж2

Следећих 13 слова делују насумично изабрана, међутим иза њих се крије један појам из математике. Који појам је у питању? Нацртај произвољни многоугао и на њему покажи значење овог појма.

СЛИЧНОСТ

Пример Дугачка дрвена греда је прислоњена уза зид наслањајући се на врх металне ограде високе 1,6 метара. Ограда је удаљена од зида 1 метар, а подножје греде од подножја ограде 4 метра. До које висине на зиду је дошла греда? Решење: Из сличности правоуглих троуглова ABE и ACD, који имају заједнички угао код темена A, следи: AB : BE = AC : CD . Нека је x = CD . Заменом вредности следи да је:

pr om

■

4 :1, 6 = (4 + 1) : x. Решавањем добијамо: x = 2 .m. Дакле, тражена висина на зиду је 2 m.

Пример Ако дужина сенке човека високог 1,8 m износи 0,6 m, израчунај висину дрвета чија је сенка у том тренутку 3,5 m.

uk a

Решење: На помоћном дијаграму представимо са |АВ| висину човека, а са |ML| висину дрвета. Дужине њихових сенки означимо са |ВC| и |MN|. Тада на основу сличности правоуглих троуглова којима је исти угао код темена C и N имамо: AB : ML = BC : MN .

Онда је: 1, 8 : ML = 0, 6 : 3, 5.

Из овога следи да је ML = 10, 5 m m. .

■

Ово је одличан пример примене математике у ситуацији када је онемогућено мерење жељене величине. У задацима у којима користимо сунчеве сенке полазимо од идеје да су сунчеви зраци који падају на блиске објекте на Земљи паралелни. Међутим, ово не важи за вештачке изворе светла (нпр. рефлектор на стадиону) који су неупоредиво ближе! То има за последицу да посматрани углови под којим зраци падају на тло нису исти α ≠ β , па ни посматрани троуглови (АВС и МNL) нису слични. Напомена:

СЛИЧНОСТ

Ово не значи да није могућа баш никаква примена у случају вештачког извора светла. Погледај следећи задатак: ЗАНИМЉИВОСТ

Пример Дечак висине 1,5 m стоји поред бандере за улично светло и прави сенку дужине 3,3 m. Ако се налази на удаљености 4,4 m од бандере, израчунај висину бандере.

ΔABE ˜ ΔАCD, (став први) па је AB : BE = AC : CD . Односно: 3,3 :1,5 = (3,3 + 4, 4) : CD .

pr om

Решење:

Пошто се Земља не креће по идеално кружној путањи око Сунца, њихово растојање није увек исто. Просечно растојање Земље од Сунца износи 149 597 871 километар или приближно 150 милиона километара. Ово растојање се узима као мера за још већа растојања која сусрећемо у астрономији и назива се астрономска јединица (AU astronomical unit). Да би боље схватио колико је ово велико, имај на уму да чак и зраку сунца, који се креће невероватном брзином од 300 000 километара у секунди, треба око 500 секунди да пређе овај пут. То је 8 минута и 20 секунди!

uk a

Одатле израчунавамо да је CD = 3,5. Дакле, тражена висина уличне светиљке је 3,5 m.

■

Видели смо како можемо да уз помоћ сенке, сличности и рачунања откријемо висину неког објекта у природи. Да ли можеш до истог резултата да дођеш само мерењем сенки без допунског рачунања? Да ли је то могуће у било ком моменту дана? Шта још треба да узмеш у обзир па да израчунаш и висину пирамиде, имајући у виду да део пирамиде покрива почетак сенке, тј. подножје врха пирамиде? О томе је размишљао и велики грчки математичар Талес када је заиста и израчунао висину Кеопсове пирамиде.

ИЗАЗОВ

УС З1

Отац и син стоје један поред другог. Отац је висок 180 cm, а дужина његове сенке је 3,2 m. Израчунај колико је висок син, ако знаш да је дужина његове сенке у том истом тренутку 256 cm. УС З2

уради сам

Девојчица стоји у дворишту своје школе поред 12 метара високог јарбола за заставу. Корачала је од јарбола све док се сенка врха јарбола није поклопила са сенком њене главе. Ако знаш да је девојчица висока 1,5 метара, а да је дужина њене сенке у том тренутку износила 2,25 метара, да ли можеш да израчунаш колико је она тада била удаљена од јарбола?

СЛИЧНОСТ

1.3. ПРИМЕНА СЛИЧНОСТИ НА ПРАВОУГЛИ ТРОУГАО Теорема: Нека су а и b катете и c хипотенуза правоуглог троугла. Из темена правог

угла C повучемо висину hc која одговара хипотенузи AB, а чије је подножје тачка D која дели хипотенузу на два дела. Означимо те делове са p (дуж BD) и q (дуж AD). Тада важе следеће четири једнакости: (1)

a2 = p ⋅ c

(2)

b2 = q ⋅ c

(3)

p+q =c

(4)

Реч ХИПОТЕНУЗА је настала од грчког префикса хипо (ὑπο), у значењу испод, под и глагола теинен (τείνεν), што значи разапети. Смисао је да је ово најдужа страница ја правоуглог троугла, ко е дв ђу ме из “ ета је „разап г аво пр т ро суп на катете, е угла. Ово се још лепш та цр на се види ако д периферијски угао на , уга кр г ко не м пречнико о ам зн о шт о који је ка прав угао.

pr om

hc 2 = p ⋅ q

Доказ: (4): Нека је тачка D подножје висине hc која одговара хипотенузи.

uk a

Тада је AD = q и DB = p , одакле следи да је c = AB = AD + DB = p + q . Нека је α угао код темена А, а β угао код темена В. Троуглови ABC, ACD и CBD су правоугли и имају оштре углове α и β, одакле следи да су слични: ΔABC ~ ΔACD ~ ΔCBD.

(1): Из сличности троуглова ΔACD и ΔCBD важи: AD : CD = CD : BD .

Односно: q : hc = hc : p .

Сређивањем ове пропорције добијамо да је hc = p ⋅ q . (2): Из сличности троуглова ΔABC и ΔCBD постављамо пропорцију: BC : AB = BD : BC

тј. a : c = p : a

Сређивањем добијамо да је: a 2 = p ⋅ c . (3): Најзад, због сличности троуглова ΔABC и ΔACD важи: AC : AB = AD : AC .

Одатле је: b : c = q : b , односно: b 2 = q ⋅ c .

■

СЛИЧНОСТ

Напомена: Сабирањем једнакости (2) и (3) доказујемо Питагорину теорему:

(2): a 2 = p ⋅ c (3): b 2 = q ⋅ c (2) + (3): a 2 + b 2 = pc + qc извлачењем заједничког чиниоца c добијамо a 2 + b 2 = ( p + q ) ⋅ c . Како је p + q = c , видимо да је a 2 + b 2 = c ⋅ c, односно a 2 + b 2 = c 2 . Дакле, доказали смо Питагорину теорему. Она се понекад, ради лакшег памћења исказује у стиху: квадрат над хипотенузом (то зна свако дете), једнак је збиру квадрата над обе катете.

18 cm cm. Дакле, рp==18 cm,, q = 32 cm

pr om

Решење:

У грчком језику ова реч је означавала вертикалу, попут оне коју формира спуштени висак према земљи, правећи са њом прави угао. Зато су и две странице правоуглог троугла које формирају прави угао назване овако.

cm. На основу једнакости (4): c = p + q добијамо да је c = 50 cm 2

На основу једнакости (1): hc = p ⋅ q, 2

cm. . добијамо да је hc = 18 · 32 = 576, одакле је hc = 576 = 24 cm

uk a

На основу једнакости (2): a 2 = p ⋅ c , cm.. добијамо да је a2 = 18 · 50 = 900 одакле је a = 900 = 30 cm

cm На основу једнакости (3) b 2 = q ⋅ c добијамо да је b = 40 cm. (ову вредност смо могли добити и применом Питагорине теореме).

Реч КАТЕТА је пореклом од грчке речи катетос (κάθετος), што значи спуштен вертикално.

Пример Хипотенуза правоуглог троугла је подножјем своје висине подељена на два дела чије су дужине 18 cm и 32 cm. Одреди дужине хипотенузе и хипотенузине висине, као и дужину катета.

■

Пример Конструиши дуж чија је дужина геометријска средина за дате две дужи чије су дужине p и q. Решење: Знамо да за геометријску средину важи да је p : x = x : q , одакле је x 2 = p ⋅ q . Искористићемо чињеницу да је квадрат висине над хипотенузом једнак производу одсечака на хипотенузи h 2 = p ⋅ q . Дакле, геометријска средина дужи p и q одговара дужини висине над хипотенузом с, јер је с = p + q. Најпре конструишемо дуж p као BD, а затим на њу наставимо дуж q (DA), и тако добијамо дуж AB, AB = p + q . Над дужи AB конструишемо полукруг пошто знамо да је периферијски угао над пречником прав. Из тачке спајања дужи p и q (D) повучемо нормалу до пресека са полукружницом и добијамо тачку C. Дуж CD је висина над хипотенузом, односно тражена геометријска средина датих дужи p и q. ■ УС Ј1

Ако су дужине катета правоуглог трогла a = 6 cm и b = 8 cm, израчунај одсечке p и q на хипотенузи, које одређује подножје хипотенузине висине.

уради сам

СЛИЧНОСТ

ЗАДАЦИ ЗА ВЕЖБАЊЕ: 1. Да ли су висина и страница једнакостраничног троугла самерљиве дужи? 2. Да ли су самерљиве дужи чије су мере 3 2 и

3. На карти је растојање између два места 5 cm, а у природи 5 km. У којој размери је урађена карта? 4. Одреди четврту пропорционалу x за дужи чије су мере 3, 5 и 6 тако да важи: 3 : 5 = 6 : x . 5. Одреди меру дужи x тако да важи x : 5 = 7 : 2. 6. Одреди меру геометријске средине дужи чије су мере 2 и 18.

7. Нацртај произвољну дуж AB, затим и дуж CD тако да је њихова размера 3 : 1. 8. Дужине катета правоуглог троугла су: а) a = 3 cm и b = 4 cm ;

б) a = 3 cm и b = 2 cm .

pr om

Да ли су у тим троугловима самерљиве њихове хипотенузе и катете?

9. а) Да ли је пар дужи чије су дужине 4 и 5 пропорционалан са паром дужи чије су дужине 2 и 3? б) Да ли је пар дужи чије су дужине 3 1 ,и7,74пропорционалан са паром дужи чије су 2 дужине 4 и 8? 10. Израчунај размеру дужи чије су дужине 5 dm и 2 cm.

11. Дуж чија је мера AB = 712cmcm подели на а) три; б) пет једнаких делова. Одреди мере тих делова.

uk a

12. Дуж чија је мера |AB| = 11 cm подели у размери 1 : 2 : 3. 13. Конструиши четврту пропорционалу за дужи чије дужине чине пропорцију 4 : 3 = 6 : x . 14. Дата је дуж AB произвољне дужине. Конструиши дуж MN, тако да важи: 2 3

а) MN = AB ;

4 3

б) MN = AB .

15. Дате су три дужи a, b и c. Конструиши дуж x тако да важи a : b = x : c .

16. Дужине основица трапеза су 60 cm и 40 cm. Оба крака тог трапеза су продужена до тачке њиховог пресека C. Ако је дужина једног крака 25 cm, колико је дугачко продужење тог крака до тачке C? 17. Одреди висину стуба чија је дужина сенке 4 m ако је у том тренутку дужина сенке дечака високог 150 cm једнака 100 cm. 18. Дат је троугао ABC чије странице су a = 5 cm, b = 6 cm и c = 7 cm. Израчунај обим cm. троугла A1B1C1 који је сличан троуглу ABC, ако је дата његова најкраћа страница a1 = 12, 5 cm 19. Обим једнакокраког троугла је 17 cm, а крак је за 1 cm дужи од основице. Одреди дужину крака њему сличног троугла чија основица је 10 cm. 20. Докажи да правоугли троугао ABC са катетом 3 cm и хипотенузом 5 cm има подударне углове са правоуглим троуглом ЕFG чије су катете 6 cm и 8 cm. Покажи да троугао ABC нема подударне углове са правоуглим троуглом MNK чије су катете 5 cm и 12 cm. 21. Катете правоуглог троугла су 12 cm и 16 cm. Висина над хипотенузом дели овај троугао на два троугла. Одреди њихове површине. 22. Кружницa k1 са центром у тачки А и полупречником r1 = 4 cm и кружницa k2 са центром у

СЛИЧНОСТ

тачки B налазе се у области угла∠xOy. Обе кружнице додирују оба крака тог угла. Ако је ОА = 6 cm и АB = 15 cm, израчунај полупречник другог круга (r2). 23. На плану који је рађен у размери 1 : 1000 димензије правоугаоног плаца су 5 cm и 8 cm. Колике су стварне димензије тог плаца и колика је његова површине у арима? 24. Краци AD и BC трапеза ABCD секу се у тачки Е. Одреди дужину дужи DE ако је ВЕ = 15 cm, АЕ = 10 cm и СЕ = 8 cm. 25. Конструиши правоугли троугао ABC са катетама 3 cm и 4 cm, а затим конструиши правоугли троугао DEF чије су катете два пута дуже од катета троугла ABC. Да ли су та два троугла слична? 26. Основица једнакокраког троугла ABC је 24 cm, а крак 13 cm. Основица другог једнакокраког троугла је 12 cm, а његов крак 6,5 cm. Конструиши те троуглове и испитај да ли су слични.

27. Мере страница једног троугла су редом 4, 5 и 6, а мере страница другог троугла су редом 8, 9 и 10. Да ли су дати троуглови слични?

pr om

28. Телефонски стуб висине 5 m има сенку дужине 1,5 m. Одреди висину димњака који у истом тренутку има сенку дужине 6 m. 29. Дужине основица трапеза ABCD су │АВ│ = 8 cm и │СD│ = 6 cm. Дужина једног крака је │ВС│ = 12 cm. Продужени краци AD и BC секу се у тачки Р. Одреди дужину │СР│. 30. Обим једнакокраког троугла ABC је 32 cm, а његова основица је за 4 cm краћа од крака. Израчунај обим њему сличног троугла DEF чија је основица 10 cm.

uk a

31. Дужине катета правоуглог троугла су 12 cm и 5 cm. Израчунај дужину хипотенузе, хипотенузине висине, као и дужине одсечака p и q на које је хипотенуза подељена подножјем своје висине. 32. Хипотенузa правоуглог троугла је подножјем своје висине подељена на два одсечка: p = 4 cm и q = 2 cm. Конструиши овај троугао и одреди дужину хипотенузе и њене висине. 33. Конструиши дуж чија је мера

34. За правоугли троугао коме су дати једна катета а = 136 и хипотенузина висина hс = 120 одреди дужину друге катете, хипотенузе и одсечке p и q на које је хипотенуза подељена подножјем своје висине. 35. У једнакокраком троуглу основице 10 и крака 13 уписан је квадрат, чија једна страница припада основици троугла, а преостала два темена припадају крацима. Одреди страницу тог квадрата. РЕШЕЊА ЗАДАТАКА „УРАДИ САМ” А1. Не, њихов однос је 1 : односно 5

61.

3 ; А2. Да. Однос је 12 : 13, односно 5 : 13; А3. Не. Однос је 6 2

61,

Б1. Како је НЗД (7,10) = 1, то је размера 7 : 10;

Правоугаоник припада класи четвороуглова, Б2. тј. сваки правоугаоник је свакако четвороугао. Он припада и класи паралелограма, односно четвороуглова који имају два пара наспрамних паралелних и међусобно једнаких страница. Да би паралелограм био правоугаоник, мора имати и четири права угла, а самим тим и две једнаке дијагонале које се међусобно полове. Поткласа правоугаоника је квадрат, који има све четири једнаке странице и две једнаке дијагонале које се секу под правим углом.

СЛИЧНОСТ

Б3.

Нула не припада скупу ирационалних бројева. Она је

рационалан број. В1. 24 km;

В2. 1 : 3 000 000.

Д1.

Г1. Већи обим има први екран (провери зашто).

Самерљиве су оне дужи које имају заједничку меру. У

супротном, за дужи које немају заједничку меру кажемо да су несамерљиве дужи; Д3. 6 cm;

Д4. 2 cm.

Д2. х = 10,5 cm;

Ђ1. Види пример 3 (стр. 17); Ђ2. Види пример 4 (стр. 17); Ђ3. Види пример

5 (стр. 18); Ђ4.

Ако за дате четири дужи a, b, c и x

важи пропорција a : b = c : x, односно

a c = , онда за меру дужи x кажемо да је четврта геометријска b x

пропорционала. Меру четврте пропорционале можемо одредити рачунски или геометријски – види

пример 7 (стр. 14) и пример 5 (стр. 18). Е1. Да, све одговарајуће странице су им пропорционалне и у 32 55 24 ; Е4. 2 cm; Е5. │АВ│= 100 ; Е6.х = — Е7. BC = ; ; — 6 3 5 7 40 . З1. 144 cm; З2. 15,75 m. Ј1. Хипотенуза је c = 10 cm, a дужине одсечака су p = 3,6

Е8. AB

Е2. x =

pr om

размери су 2 : 1;

Поред појмова геометријска

cm и q = 6,4 cm. Ж1.

слика (фигура) и геометријска средина (бројева или дужи), свакако си чуо и за геометријска тела; Ж2.

Триангулација је поступак поделе неког многоугла његовим унутрашњим дијагоналама на више трoуглова (види слику).

uk a

РЕШЕЊА ЗАДАТАКА ЗА ВЕЖБАЊЕ: 1. Не, њихов однос је 4. 10.

5. 17,5.

6. 6.

3 . 2. Да, јер је 2

8 = 2 2 , па је њихов однос 3 : 2. 3. 1 : 100 000.

7. Прва дуж је три пута дужа од друге. 8. а) Да; б) Не. 9. а) Не;

б) Да. 10. 25 : 1. 11. Применом Талесове теореме: а) 4 cm; б) 2,4 cm. 12. Подели на шест

делова, а затим у датој размери. 14. Подели дуж AB на три једнака дела. MN се добија 13.

а) двоструким б) четвороструким преношењем тих делова. 15. Најпре „обрни” пропорцију b : a = c : x , затим примени Талесову теорему. 16. 50 cm. 17. 6 m. 18. 45 cm. 19. 12 cm. 20. Директно следи из сличности. 21. P1 = 34,56 cm2; 16 cm. P2 = 61,44 cm2 . 22. 14 cm. 23. 50 m и 80 m; P = 40 a. 24. —

25. Да. 26. Да.

27. Не. 28. 20 m. 29. 36 cm. 30. 40 cm. ü60 144 25 cm cm cm 31. c = 13 cm, hüc == cm,,, p = cm,, q = cm. 13 11 13 13 32. Теме правог угла добија се у пресеку нормале на хипотенузу кроз заједничку тачку дужи p и q и полукруга чији је пречник управо та хипотенуза (јер је периферијски угао над пречником прав). Дужина хипотенузе је 6 cm, а њене висине 2 2 cm. cm 33. Како важи да је h =

p ⋅ q , за одсечке p и q узећемо мере нпр. 1 и 5, па је висина hc = 5 . 60 . 34. p = 64 cm, c = 289 cm, q = 225 cm, b = 255 cm. 35. 11

СИМБОЛИ

СЛИЧНОСТ

°ʹʺ

pr om

Симболе за степене, минуте и секунде употребљавамо при мерењу углова. Већ их је у 2. веку користио Клаудије Птоломеј (85–165), велики хеленски астроном из Александрије, али у нешто измењеном облику, па је тешко одржива идеја да су данашњи симболи заправо античког порекла. У данашњем облику први их је употребио 1551. године немачки астроном и математичар Еразмо Рејнхолд (1511–1553) у свом делу Пруске таблице небеских кретања.

uk a

Можда нисте знали... О ТАЛЕСУ

Талес (624–547. год. п. н. е.) je један од првих старогрчких математичара и филозофа. Родом је из Милета, грчког града на обали Средоземног мора, који данас припада Турској. Био је свестрани мислилац. Поред математике и филозофије, бавио се и политиком, астрономијом, техником и трговином. Припадају му следећа открића у геометрији:

1. унакрсни углови у пресеку две праве су једнаки,

2. углови на основици једнакокраког троугла су једнаки, 3. троугао је потпуно одређен једном страницом и угловима налеглим на ту страницу, 4. круг је преполовљен пречником, 5. периферијски угао над полукругом је прав угао.

Први је у историји науке предвидео помрачење Сунца 585. године п. н. е. због чега је добио надимак „мудрац из Милета“. Талес је био атеиста. Одбацивао је божанско порекло васионе. Основом свих ствари сматрао је воду. Устао је против обожавања небеских тела (Сунца, Месеца, звезда), сматрајући их за материјална тела испуњена ватром. Талесу филозофу се приписује начело УПОЗНАЈ САМОГ СЕБЕ и мисао Најбржи је ум, јер кроз све јури. Кад су га питали какву награду жели да добије за своја открића у астрономији, одговорио је: За мене ће бити довољно ако причајући другима о мојим открићима будете говорили да је то моје откриће, а не ваше! На његовом гробу уклесан је натпис: „КОЛИКО ЈЕ МАЛА ОВА ГРОБНИЦА, ТОЛИКО ЈЕ ВЕЛИКА СЛАВА ОВОГ ВЕЛИКАНА КОЈИ ТУ ПОЧИВА.“

СЛИЧНОСТ

СОВИН ЗАДАТАК:

„9 ТАЧАКА – 4 ЛИНИЈЕ”

pr om

„Ништа није немогуће. За немогуће је потребно само мало више времена“.

Можеш ли да, користећи само 4 праве линије и не одвајајући том приликом оловку од папира, прођеш кроз свих 9 тачака са дате слике. Ако после извесног времена помислиш да је ово немогуће, знај да је могуће и сети се једне старе изреке:

uk a

У ОВОМ ПОГЛАВЉУ СМО...

...СЕ ПОДСЕТИЛИ СЛЕДЕЋИХ КЉУЧНИХ ПОЈМОВА:

...УСВОЈИЛИ СЛЕДЕЋЕ КЉУЧНЕ ПОЈМОВЕ:

рационалан број ирационалан број пропорција симетрала дужи скуп Питагорина теорема

јединична дуж самерљивост дужи несамерљиве дужи размера четврта геометријска пропорционала геометријска средина Талесова теорема слични троуглови Питагорине тројке триангулација

Провери да ли је заиста тако и по потреби консултуј ПОЈМОВНИК на крају књиге.

pr om

ТАЧКА , ПРАВА И РАВАН

и Који су основни појмов су могу геометрије и у ком одно бити. су две праве Ка да кажемо да и паралелне, нормалне ил мимоилазне. зала. Шта је трансвер одређена раван. Чиме може бити мо диедар и који су Како дефинише његови елементи. лана пројекција и Шта је ортогона која је њена примена.

uk a

Шта су полиедри.

ТАЧКА, ПРАВА И РАВАН

2.1. ОДНОС ТАЧКЕ И ПРАВЕ, ТАЧКЕ И РАВНИ. ОДРЕЂЕНОСТ ПРАВЕ И РАВНИ

Пронађи на који је начин Еуклид пре више од две хиљаде година дефинисао појмове тачка, права и паралелност. Вероватно ти звуче чудно. Пробај сам да дефинишеш исте појмове.

pr om

Тачка, права и раван су основни појмови геометрије којe не дефинишемо посебно. Тачке обично обележавамо великим словима абецеде (A, B, C...), праве – малим словима абецеде (p, q, r...), а равни – словима грчког алфабета (α, β, γ...). Права и раван су бесконачни скупови тачака. Права се може бесконачно продужити. Са обе стране сваке тачке на правој, налази се бар још једна тачка која припада правој. И раван се може продужити у свим правцима (који припадају равни). Како је лист папира, па и табла по којој цртамо и пишемо, ограничен, то праву представљамо правом линијом (не означавајући њене крајеве као код дужи), а раван паралелограмом.

uk a

Колико је правих одређено једном тачком? Кроз једну тачку М можемо повући бесконачно много правих, које формирају такозвани прамен правих који садржи тачку М. Тачка М зове се центар прамена правих. Колико је правих одређено са две различите тачке? Са две различите тачке одређена је тачно једна права. Дакле, тачком N, која је различита од тачке М, одређена је тачно једна права из датог прамена правих који садржи тачку М. Ова права је на горњој слици приказана зеленом бојом.

Права p одређена тачкама M и N се обележава и са p (M, N). Део праве између две тачке, који укључује и те две тачке, назива се дуж. Те тачке су крајње тачке дужи. Ако су крајње тачке на пример M и N, тада се та дуж означава са MN или NM. Важно је правити разлику између праве која је одређена тачкама M и N и дужи MN. Уколико неке тачке припадају истој правој кажемо да су колинеарне. У супротном су неколинеарне. Напомена Ако су А, В и С колинеарне тачке, тада су p(А, В), p(В, А), p(А, С), p(С, А),

p(В, С) и p(С, В) ознаке за исту праву.

Који положај могу да имају тачка и права? – Тачка припада правој што пишемо нпр. A p, B p... – Тачка не припада правој, у ознаци нпр. К / p... Нека је дата права p и тачка О која јој припада. Тада та тачка дели праву на два дисјунктна дела (p1 и p2, на слици означене плавом и црвеном бојом). Сваки од та два дела, заједно са тачком О, чине полуправу. Ове полуправе означавамо са Оp1 и Оp2.

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

Који положај могу да имају тачка и раван? – Тачка припада равни што записујемо нпр. A π, B π... – Тачка не припада равни и пишемо L / π...

Уколико неке тачке припадају истој равни кажемо да су компланарне. У супротном, кажемо да су некомпланарне.

pr om

Са колико је тачака одређена једна раван? Раван је једнозначно одређена са три неколинеарне тачке.

uk a

Раван π одређена тачкама A, B и C се обележава и са π(A, B, C).

измењеРеч КОЛИНЕАРАН је настала од ) због (cum ног латинског префикса ком ењу знач у а , речи еће почетног слова след што a), (line еа лин е ниц име и „заједно, са“ значи линија. дно“ Означава, дакле, тачке које се „заје налазе на једној линији.

Зашто је важно да су те три тачке неколинеарне? Шта се догађа ако су колинеарне?

Пример Колико је највише правих, а колико равни одређено са четири различите тачке ако никоје три нису колинеарне? Решење: Овакве четири неколинеарне тачке (A, B, C и D) одређују шест правих: p1(A, B), p2(A, C), p3(A, D), p4(B, C), p5(B, D) и p6(C, D). С друге стране, ове тачке одређују највише четири равни: π1(A, B, C), π2(A, B, D), π3(A, C, D) и π4(B, C, D). Ако су ове тачке у једној равни, тада оне одређују само ту једну раван. ■ Пример Колико је правих одређено са четири компланарне тачке које су темена правоугаоника?

Решење: Поред правих одређених страницама правоугаоника могуће је формирати и још две праве које садрже дијагонале. Дакле, то је укупно шест правих: p1(A, B), p2(A, C), p3(A, D), p4(B, C), p5(B, D) и p6(C, D).

■

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

Пример Колико је правих одређено са пет компланарних тачака ако су четири од њих темена правоугаоника, а пета се налази на средишту једне дијагонале тог правоугаоника?

Решење: Скицирањем услова задатка решење постаје очигледније. Означимо темена правоугаоника са A, B, C и D, а тачку на половини дијагонале AC са M. Знамо да се дијагонале правоугаоника полове, па ће тачка M припадати и другој дијагонали BD. То значи да сем правих одређених страницама и дијагоналама правоугаоника није могуће формирати ниједну другу праву. Решење је, дакле, шест правих и то: p1(A, B), p2(A, C), p3(A, D), p4(B, C), p5(B, D) и p6(C, D). Видимо да је број правих исти као у претходном примеру, тј. да додавање овакве пете тачке није утицало на повећање броја правих. СИМБОЛИ

■

ᴜ ∩ ϵ 4

pr om

Ова три симбола често користимо у геометрији и при раду са скуповима. Представљају редом симболе за унију два скупа, пресек два скупа и ознаку за припадност скупу. Увео их је италијански математичар Ђузепе Пеано (1858—1932) око 1885. године. Скоро цео живот је провео као професор и предавач математике и сматра се оснивачем две значајне области у математици: Теорије скупова и Математичке логике. Пет једноставних аксиома за дефинисање природних бројева које је увео носе назив по њему – Пеанове аксиоме.

uk a

Пример Колико је правих одређено са пет компланарних тачака ако су четири од њих темена правоугаоника, а пета се налази на једној од његових дијагонала и не поклапа се са њеним средиштем?

Решење: Означимо темена правоугаоника са A, B, C и D. Нека тачка М припада дијагонали AC. Онда она не припада другој дијагонали BD, па са тачкама B и D одређује још две праве p7(B, М) и p8(М, D), које су на слици означене зеленом бојом. Дакле, укупан број могућих правих је осам: p1(A, B), p2(A, C), p3(A, D), p4(B, C), p5(B, D), p6(C, D), p7(B, М) и p8(М, D). ■

Пример Колико је правих одређено са пет компланарних тачака ако су четири од њих темена правоугаоника, а пета тачка се налази у унутрашњости тог правоугаоника и не припада његовим дијагоналама? Решење: У овом случају укупан број могућих правих је десет, што је за две више него у Примеру 4. Можеш ли да уочиш које су то две праве?

■ Размисли да ли се претходни резултат мења уколико уместо дела „...пета тачка се налази у унутрашњости тог правоугаоника...” напишемо „...пета тачка се налази ван тог правоугаоника...”.

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

Пример Колико је правих одређено са пет компланарних тачака ако су четири од њих темена правоугаоника, а пета се налази на једној од његових страница? Решење: Након скицирања постаје јасно да се овај случај суштински не разликује од већ урађеног Примера 4. Нека тачка М припада страници CD. Тада се праве p6(C, D), c(C, M) и d(D, M) поклапају. Укупан број могућих правих је поново осам: p1(A, B), p2(A, C), p3(A, D), p4(B, C), p5(B, D), p6(C, D), p7(B, М) и p8(М, А).

pr om

мало Реч КОМПЛАНАРАН је настала од (cum) ком икса преф г нско лати ног ење изм ус план е ниц име који значи „заједно, са” и ш”. повр а равн ан, „рав и (planus), што знач припадају Компланарне тачке су тачке које истој равни.

■

Пример Колико је највише правих, а колико равни одређено са 6 различитих тачака?

Дакле,

uk a

Решење: Број тачака је шест тј. n = 6. Број правих се добија по формули: Формула за број равни је:

■

Заменом добијамо,

ЗАНИМЉИВОСТ

Стари математички списи Занимљиво је да су до данас остали сачувани делови једне од копија чувеног Еуклидовог дела „Елементи“ са приказом геометријске скице и доказом једне теореме. Пронађена је у месту Оксиринхус у Египту, а старост јој је процењена на скоро 2000 година (1. век нове ере). Зачудићеш се када сазнаш да то ни изблиза није најстарији сачувани математички документ. Најстарији документ је свитак папируса познат као Московски математички папирус. Претпоставља се да је настао око 1850. године пре нове ере. На овој ролни дужине преко 5 метара представљено је 25 математичких проблема, заједно са њиховим решењима. Они обухватају изразе са разломцима, линеарне једначине, рачунање површине троугла и правоугаоника, али и површине и запремине неких геометријских тела.

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

уради сам УС А1

Одреди тачност датих исказа заокруживањем слова испред сваког од њих (Т за тачно, а Н за нетачно). Обавезно образложи дати одговор. Т Н Три колинеарне тачке припадају тачно једној равни. Т Н Значајне тачке једнакокраког троугла (центри описане и уписане кружнице, тежиште и ортоцентар) су колинеарне. Т Н Постоји тачно једна права која садржи све четири значајне тачке једнакостраничног троугла. Т Н На кружници можемо пронаћи три различите тачке које су колинеарне. Т Н Темена ромба су компланарне тачке. УС А2

pr om

Колико је правих одређено са: а) шест компланарних тачака које су темена правилног шестоугла? б) седам компланарних тачака ако су шест од њих темена правилног шестоугла, а седма је центар описане кружнице тог шестоугла? Да ли се разликују резултати под а) и б)? Можеш ли да објасниш зашто је тако? УС А3

uk a

Од понуђених слова покушај да сложиш реч - математички појам.

Са којим основним геометријским појмовима је он у вези? УС А4

Колико је највише правих одређено са шест компланарних тачака ако су пет од њих темена правилног петоугла, а шеста се налази у његовој унутрашњости?

УС А5

Колико је правих одређено са десет компланарних тачака датих на слици, које заузимају позиције темена правилне звезде петокраке?

Да ли можеш да решиш и уопштену верзију задатака које смо посматрали? Колико је правих одређено са n тачака у једној равни, од којих никоје три нису колинеарне? ИЗАЗОВ

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

2.2. ОДНОС ПРАВИХ. МИМОИЛАЗНЕ ПРАВЕ. ОДНОС ПРАВЕ И РАВНИ. НОРМАЛА НА РАВАН, РАСТОЈАЊЕ ТАЧКЕ ОД РАВНИ Какве скупове називамо ДИСЈУНКТНИМ? Наведи пример два дисјунктна скупа.

У каквом положају могу бити две праве?

pr om

– случај (1): Две праве могу да се поклапају, односно да су им све тачке заједничке. Тада пишемо a = b (можемо рећи и да су ове праве паралелне, али не и дисјунктне).

2.2.1. ДВЕ ПРАВЕ

uk a

– случај (2): Могуће је да две праве у равни немају заједничких тачака и тада кажемо да су паралелне што записујемо m││‫‌‌‏‬n, и дисјунктне: m ∩ n = Ø (њихов пресек је празан скуп).

– случај (3): Две праве могу да се секу, односно да имају само једну заједничку тачку:

– случај (4): Две праве у простору могу да не припадају једној равни, па самим тим и немају заједничких тачака. Тада кажемо да су мимоилазне.

МИМОИЛАЗИТИ СЕ – проћи једно поред другог (мимо – поред)

Савремени путеви се често секу (укрштају), али се граде и тако да се мимоилазе. Пут и железничка пруга на слици лево се мимоилазе.

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

За праве које се поклапају или су у једној равни, а међусобно су дисјунктне, кажемо да су међусобно паралелне. Видимо да су и праве које се поклапају међусобно паралелне, али нису дисјунктне. Ако се две праве секу под правим углом, кажемо да су узајамно нормалне, тј. ортогоналне.

Реч ОРТОГОНАЛНО је настала од грчких речи орто (ὀρθός), што значи усправно, и речи гониа (γωνία), што значи угао.

pr om

У случају да су дате две паралелне праве a и b, тада важе следећа правила: – ако је нека права p паралелна са једном од датих правих, тада је паралелна и са другом; – ако је нека права q у истој равни са правама a и b и сече једну од паралелних правих, тада она сече и другу. Праву q називамо трансверзалом правих a и b.

Други израз који такође употребљавамо је (узајамно) НОРМАЛНО. Он је настао од латинске речи нормалис (normalis), која означава меру правог угла односно „онај израђен према столарском, тј. зидарском углу“ (или винклу, алатки коју користе столари).

УС Б1

uk a

Основа за реч ТРАНСВЕРЗАЛА је латинска сложеница transversus, која значи „попречна, коса“. Изведена је од речи trans што значи „кроз“ и vertere са значењем „окренути се, ићи“.

Пресложи датих 12 слова тако да добијеш један математички појам.

уради сам

Да ли знаш да га објасниш? УС Б2

Покушај да решиш следећи анаграм. Његово решење је један математички појам у вези са скуповима.

Да ли знаш његову дефиницију? Наведи неки пример скупова за које он важи. УС Б3

Преметањем понуђених слова покушај да сложиш реч - математички појам.

Наведи пример из свакодневног живота који га илуструје.

Пример На моделу коцке ABCDA1B1C1D1 одреди праве које се поклапају, паралелне праве, праве које су узајамно нормалне и праве које су мимоилазне. A1

C1 B1

D A

C B

pr om

Решење: Поклапају се, на пример, праве r(А, В) и q(B, A). Међусобно су паралелне, на пример, праве p(B, C), а(A, D), b(B1, C1), које су на слици означене црвеном бојом. Узајамно нормалне су, на пример, праве m(A, А1) и n(А1, B1), које су на слици означене плавом бојом. Један пример мимоилазних правих чине праве r(A, B) и d(D, D1), које су на слици означене зеленом бојом. Следеће три теореме ћемо навести без доказа. Теорема 1

Раван је једнозначно одређена правом и тачком ван ње.

uk a

Уобичајена ознака за раван π одређену правом а и тачком B која јој не припада је π(а, B).

Теорема 2

Теорема 3

Раван је једнозначно одређена са две праве које се секу.

Раван је једнозначно одређена са две различите паралелне праве.

Уколико је раван π одређена са две праве a и b, било да су оне паралелне или се секу тада користимо следећи запис: π(a, b). Задатак: Нађи пример одређености равни у свету који те окружује (нпр. у учионици). СИМБОЛИ

ТАЧKА, ПРАВА И РАВАН

Ознаку за празан скуп увео је 1939. године утицајни француски математичар Андре Веј (André Weil, 1906–1998). За инспирацију му је послужило слово Ø истог изгледа, које се јавља у данском и норвешком језику, а не грчко слово Φ (фи), како су неки мислили. Као равноправна ознака за празан скуп употребљава се и {}. Она користи заграде за скупове, унутар којих није написано ништа, јасно стављајући на знање да тај скуп не садржи ниједан елемент, тј. да је празан.

■