Coeficientes indeterminados en edo

Coeficientes Indeterminados Resumen clases

EDO

M´etodo de Coeficientes Indeterminados Sirve para encontrar una solución particular.

Es aplicado sĂłlo a ED lineales con coeficientes constantes.

Este m´etodo es usado cuando y "+ ay' + by = q(x ) = đ?‘’ đ?œ”đ?‘Ľ (Pm (x ) cos(β x ) + Qn(x )sen(β x )),(1) donde đ?œ”, Î˛âˆˆ R y Pm(x ) y Qn(x ) son polinomios de grados m y n respectivamente Esto significa que q(x ) tiene una de las siguientes formas: q(x ) = k, k ≥ cte; q(x ) = polinomio en x ; q(x ) = eÎąx ; q(x ) = cos(βx ), q(x ) = sen(βx ) q(x ) =sumas, sustracciones y/o multiplicaciones finitas de las expresiones anteriores.

Ejemplo: 1) y "+ 2y' + by = 2e3x EDO

M´etodo de Coeficientes Indeterminados y "+ ay' + by =đ?‘’ đ?œ”đ?‘Ľ (Pm (x ) cos(βx ) + Qn (x )sen(βx )). Îť2 + aÎť + b=0 Teorema Sea k = m´ax{grad(Pm), grad(Qn)}. (a)Si đ?œ”Âą iβ no es raĂ­z de (3), entonces (2) tiene soluciĂłn particular de la forma yp (x ) = đ?‘’ đ?œ”đ?‘Ľ (Pk (x ) cos(βx ) + Qk (x)sen(βx)), donde Pk , Qk son polinomios de grado k. (b)Si đ?œ” Âą iβ es ra´Ĺz de multiplicidad Ρ de (3), entonces (2) tiene soluciĂłn particular de la forma yp (x ) = x Ρ đ?‘’ đ?œ”đ?‘Ľ (Pk (x ) cos(βx ) + Qk (x )sen(βx )), donde Pk , Qk son polinomios de grado k.

EDO

(2) (3)

M´etodo de Coeficientes Indeterminados

Ejemplo 1

y -5y + 6y = 2cos(2x)+xsen(2x)

2

Solución

3

P0 (x)=2 , Q1 (x)=x , 𝜔 =0

4

Luego P1 =Ax+B

5

0 ± 2 i no es raíz de λ2 -5λ + 6=0

6

Entonces la solución particular es de la forma

"

'

,

β=2, k=1

Q1 =Cx+D

yp (x ) = (Ax+B)cos(2x)+(Cx+D)sen(2x) 7

EDO

M´etodo de Coeficientes Indeterminados

EDO