edo de segundo orden lineal homogénea

Page 1

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN LINEAL

Consideremos đ?‘‘2 đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

A

2 +đ??ľ

+Cđ?‘Ś = 0

Donde A,B y C ∈ đ?‘…. Buscamos soluciones de la forma đ?‘Ś = đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ , luego al reemplazar en la ecuaciĂłn diferencial , nos queda

Ađ?‘˜ 2 đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ +Bđ?‘˜đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ +Cđ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ =0

đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ (Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C)=0, como đ?‘’ đ?‘˜đ?‘Ľ ≠0 Entonces Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C=0 es llamada ecuaciĂłn caracterĂ­stica

Analizaremos los tipos de soluciones de la ecuaciĂłn caracterĂ­stica

Caso 1. Sea Ađ?‘˜ 2 +Bđ?‘˜ +C=0, entonces −đ??ľ Âą √đ??ľ2 − 4đ??´đ??ś đ?‘˜= 2đ??´ Si đ??ľ2 − 4đ??´đ??ś > 0, tenemos dos raĂ­ces reales đ?‘˜1 y đ?‘˜2 donde đ?‘˜1 ≠đ?‘˜2 Luego tenemos que

đ?‘Ś1 =đ?‘’ đ?‘˜1 đ?‘Ľ , đ?‘Ś2 =đ?‘’ đ?‘˜2 đ?‘Ľ son las soluciones de la ED. Y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…

Ejemplo đ?‘‘2 đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ś

đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?‘‘đ?‘Ľ

+6đ?‘Ś = 0 2 -5

Entonces đ?‘˜ 2 -5đ?‘˜ +6=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica.

Con đ?‘˜1 = 3 đ?‘Ś đ?‘˜2 =2

Luego 𝑦(𝑥 ) = 𝑐1 𝑒 3𝑥 + 𝑐2 𝑒 2𝑥 Si le agregamos condiciones iniciales 𝑦(0) = 0, 𝑦'(0)=1 la solución y su gráfica serían

Caso 2. đ??ľ2 − 4đ??´đ??ś = 0

Entonces hay dos raĂ­ces reales iguales đ?‘˜1 y đ?‘˜2 , đ?‘˜1 = đ?‘˜2 . Luego đ?‘Ś1 =đ?‘’ đ?‘˜1 đ?‘Ľ , đ?‘Ś2 =đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘˜1 đ?‘Ľ son las soluciones de la ED. Y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…

Ejemplo đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 2

đ?‘‘đ?‘Ś

-2 +đ?‘Ś = 0 đ?‘‘đ?‘Ľ

Entonces đ?‘˜ 2 -2đ?‘˜ +1=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica. Con đ?‘˜1 = 1 = đ?‘˜2

Luego đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘’ đ?‘Ľ + đ?‘?2 đ?‘Ľđ?‘’ đ?‘Ľ

Si le agregamos condiciones iniciales đ?‘Ś(0) = 0, đ?‘Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Caso 3. đ??ľ2 − 4đ??´đ??ś < 0, en este caso tenemos raĂ­ces complejas conjugadas

đ?‘˜1 = Îą + iβ đ?‘˜2 = Îą − iβ Luego đ?‘Ś1 = đ?‘’ Îąđ?‘Ľ cos(β đ?‘Ľ), đ?‘Ś2 = đ?‘’ Îąđ?‘Ľ sen(β đ?‘Ľ) Son las soluciones de la ED. Por tanto la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 đ?‘Ś1 + đ?‘?2 đ?‘Ś2 , đ?‘?1 , đ?‘?2 ∈ đ?‘…. Ejemplo đ?‘‘2 đ?‘Ś đ?‘‘đ?‘Ľ 2

+9đ?‘Ś = 0

Entonces đ?‘˜ 2 +9=0 es la ecuaciĂłn caracterĂ­stica. Donde đ?‘˜1 = 0 + 3i đ?‘˜2 = 0 − 3i Luego đ?‘Ś1 = cos(3 đ?‘Ľ), đ?‘Ś2 = sen(3 đ?‘Ľ) son las soluciones de la ED y la soluciĂłn general es đ?‘Ś(đ?‘Ľ ) = đ?‘?1 cos(3 đ?‘Ľ) + đ?‘?2 sen(3 đ?‘Ľ) Si le agregamos condiciones iniciales đ?‘Ś(0) = 0, đ?‘Ś'(0)=1 la soluciĂłn y su grĂĄfica serĂ­an

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.