DefiniciĂłn: Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Es llamada exacta , si existe una funciĂłn đ?‘˘:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
=M(x,y)
đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
=N(x,y)
u(x,y)=C, C cte Donde u(x,y)= âˆŤ đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•
= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ
đ?‘‘â„Ž
= N(x,y) đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?‘‘y+h(x) đ?œ•
đ?‘‘y+h(x))= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
h(x)=âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘â„Ž
đ?‘‘y)+ đ?‘‘đ?‘Ľ = N(x,y)
đ?‘‘y)
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y))dx
Por tanto đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y+âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ•
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘ (đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y))dx=c
AnĂĄlogamente con la variable x podemos hacer los mismo.
Teorema đ?œ•đ?‘€
đ?œ•đ?‘ľ
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔ ( đ?œ•đ?‘Ś − đ?œ•đ?‘Ľ ) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)=0
Ejemplo 1 Determinar una funciĂłn M de modo que la ecuaciĂłn diferencial
sea exacta. Para que la ecuaciĂłn diferencial sea exacta debe cumplirse que
Y al integrar con respecto a “y�
Si la ecuaciĂłn diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 no es exacta , se determina una funciĂłn Îź(x,y) que hace que
Îź(x,y)M(x,y)dx+ Îź(x,y)N(x,y)dy=0 sea exacta llamado factor integrante o de integraciĂłn , es decir
(
đ?œ•Îźđ?‘€ đ?œ•Îźđ?‘ľ ) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 − đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ
1) Si Ο depende sólo de la variable "��
Entonces
1) Si Ο depende sólo de la variable "�� Entonces
Ejemplo 2 Usando un factor integrante adecuado, encuentre la soluciĂłn general de (1)
SoluciĂłn. Sea
Entonces
Y luego la ecuaciรณn (1) no es exacta. Pero como
Depende solo de y, tenemos el factor integrante
La ecuaciรณn (1) multiplicada por el factor integrante es (2)
Poniendo
Tenemos
Comparando con el segundo sumando de la ecuación (2) obtenemos
De esta forma una función potencial para (2) es
Y la solución general en forma implícita de (2) es
Ejemplo 3 Encuentre la solución general de la ecuación diferencial (1)
Soluci贸n. Sea
Entonces
Y luego la ecuaci贸n (1) no es exacta. Pero como
Depende s贸lo de
, luego tenemos el factor integrante
La ecuaci贸n (1) multiplicada por el factor integrante es (2)
Entonces
Tenemos
Comparando con el segundo sumando de la ecuaciĂłn (2) obtenemos
De esta forma
Y la soluciĂłn general en forma implĂcita de (2) es
Es la soluciรณn general de (1).
Links de ayuda
https://www.youtube.com/watch?v=xmQ7dK6vlBw
Ejercicios Determine si la siguientes ecuaciones son exactas. Si lo son resuĂŠlvelas