Ecuaciones Diferenciales de primer orden de Variables Separables Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372
Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma que es separable o que tiene variables separables. Ejemplo 1. Considere la ecuación diferencial
Encuentre la solución general.
Solución. La ecuación se escribe de la forma
Separamos variables obteniendo
𝑑𝑦 𝑑𝑥
=g(x)h(y), Se dice
e integrando
Por lo tanto
o lo que es lo mismo
AsĂ
y luego la soluciĂłn general es
Ejemplo 2 . Encuentre todas las soluciones de la ecuación diferencial
Solución Separamos variables obtenemos
Integrando
Por lo tanto, tenemos
o lo que es lo mismo
Así
Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+y%27%3Dxy http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php?lang=es&form=ode https://www.youtube.com/watch?v=TympPNsHwRE
Ejercicios
Ecuaciones diferenciales homogéneas reducibles a variables separables Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372 Definición : Una función f(x,y) es homogénea de grado n en sus argumentos si se cumple la identidad f(tx,ty)=𝑡 𝑛 f(x,y) Ejemplo f(x,y)=xy, es homogénea de grado 2, ya que f(tx,ty)=txty=𝑡 2 xy.
Una ecuación diferencial de primer orden en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1), Se dice que es homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado y si al hacer el cambio de variables y=zx ó x=vy, la ecuación (1) se transforma en una de variables separables.
Ejemplo
Solución: Sean
Funciones homogéneas de grado 2, entonces haciendo la sustitución y=ux e dy=udx+ydu Se tiene
De donde
Integrando
Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve++y%27%3D(x-y)%2F(x%2By) https://www.youtube.com/watch?v=txPSj29_zZw https://www.youtube.com/watch?v=zYldFBReqJo
Ejercicios Resolver
Ecuaciones diferenciales Lineales de primer orden Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372
Definición: Una ecuación diferencial lineal de primer orden en su forma estándar es dada por
Y cuya solución es
Ejemplo Resolver la ecuaciรณn de primer orden
Soluciรณn Sean
Como
Entonces
Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+y%27%2By%3D2 https://www.youtube.com/watch?v=bnCi4-z6Z1U
Ejercicios Resolver
EcuaciĂłn Diferencial de Bernoulli Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 IngenierĂa en ejecuciĂłn CM-372
Definición: La ecuación diferencial �� ��
+ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ)đ?‘§ đ?‘› , n≠0,1
Se llama ecuaciĂłn de Bernoulli y al hacer el cambio de variable Se reduce a una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden. En efecto multiplicamos a đ?‘‘đ?‘§ + đ?‘ƒ (đ?‘Ľ )đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘§ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ
Por (1-n) đ?‘§ −đ?‘› luego đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ
(1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› + (1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› đ?‘ƒ (đ?‘Ľ )đ?‘§= đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘§ đ?‘› (1-n) đ?‘§ −đ?‘›
w=đ?‘§ 1−đ?‘›
�� ��
(1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› + (1 − n) đ?‘§1−đ?‘› đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )= đ?‘“ (đ?‘Ľ )(1-n) đ?‘‘đ?‘¤
Sea đ?‘¤(đ?‘Ľ)=đ?‘§ 1−đ?‘› ⇨
��
1
(*) ��
��
=(1-n) đ?‘§ −đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľâ¤‡(1−đ?‘›) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘› =đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ
Al reemplazar en (*) 1
��
(1−đ?‘›) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘› (1 − n) đ?‘§ −đ?‘› +(1 − n) đ?‘¤đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)= đ?‘“(đ?‘Ľ)(1-n) đ?‘‘đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘Ľ
+(1 − n) đ?‘¤(đ?‘Ľ)đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )= đ?‘“(đ?‘Ľ )(1-n)
es una lineal de primer orden.
Ejemplo
SoluciĂłn Para resolver esta ecuaciĂłn de Bernoulli multiplicamos por z-2 obteniendo
Haciendo el cambio de variables
, que implica
Que genera la ecuaciĂłn lineal de primer orden
Cuya soluciรณn general es
Luego
Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+4y(x)%2Fx%2Bdy(x)%2Fdx%3Dx%5E3y(x)%5E2,y(2) %3D-1 https://www.youtube.com/watch?v=-y5XFE6dr_o
Ejercicios Resolver 1.
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3.
4.
5.
Ecuaciones Diferenciales Exactas y Factores de IntegraciĂłn
Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 IngenierĂa en ejecuciĂłn CM-372 DefiniciĂłn: Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
Es llamada exacta , si existe una funciĂłn đ?‘˘:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
=M(x,y) =N(x,y)
u(x,y)=C, C cte Donde u(x,y)= âˆŤ đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ
đ?‘‘â„Ž
đ?œ•
= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ
= N(x,y) đ?‘‘đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?œ•
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?‘‘y+h(x) đ?œ•
đ?‘‘y+h(x))= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
h(x)=âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
đ?‘‘y)
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y))dx
đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘â„Ž
đ?‘‘y)+ đ?‘‘đ?‘Ľ = N(x,y)
Por tanto đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ
đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś
đ?‘‘y+âˆŤ(N(x, y) −
đ?œ•
(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ
đ?œ•đ?‘˘ (đ?‘Ľ,đ?‘Ś)
đ?‘‘y))dx=c
đ?œ•đ?‘Ś
AnĂĄlogamente con la variable x podemos hacer los mismo.
Teorema đ?œ•đ?‘€
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔ (
đ?œ•đ?‘Ś
−
đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ
) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)=0
Ejemplo 1 Determinar una funciĂłn M de modo que la ecuaciĂłn diferencial
sea exacta. Para que la ecuaciĂłn diferencial sea exacta debe cumplirse que
Y al integrar con respecto a “y�
Si la ecuaciĂłn diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 no es exacta , se determina una funciĂłn Îź(x,y) que hace que
Îź(x,y)M(x,y)dx+ Îź(x,y)N(x,y)dy=0 sea exacta llamado factor integrante o de integraciĂłn , es decir
(
đ?œ•Îźđ?‘€ đ?œ•Îźđ?‘ľ ) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 − đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ
1) Si Ο depende sólo de la variable "��
Entonces
1) Si Ο depende sólo de la variable "�� Entonces
Ejemplo 2
Usando un factor integrante adecuado, encuentre la soluciรณn general de (1)
Soluciรณn. Sea
Entonces
Y luego la ecuaciรณn (1) no es exacta. Pero como
Depende solo de y, tenemos el factor integrante
La ecuación (1) multiplicada por el factor integrante es (2)
Poniendo
Tenemos
Comparando con el segundo sumando de la ecuación (2) obtenemos
De esta forma una función potencial para (2) es
Y la solución general en forma implícita de (2) es
Ejemplo 3 Encuentre la soluciรณn general de la ecuaciรณn diferencial (1)
Soluciรณn. Sea
Entonces
Y luego la ecuaciรณn (1) no es exacta. Pero como
Depende sรณlo de
, luego tenemos el factor integrante
La ecuaciรณn (1) multiplicada por el factor integrante es (2)
Entonces
Tenemos
Comparando con el segundo sumando de la ecuaciรณn (2) obtenemos
De esta forma
Y la solución general en forma implícita de (2) es
Es la solución general de (1).
Links de ayuda
https://www.youtube.com/watch?v=xmQ7dK6vlBw
Ejercicios Determine si la siguientes ecuaciones son exactas. Si lo son resuĂŠlvelas
Ejercicios varios