Guía de Ejercicios Resueltos y Propuestos de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden

Ecuaciones Diferenciales de primer orden de Variables Separables Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372

Definición: Una ecuación diferencial de primer orden de la forma que es separable o que tiene variables separables.

Ejemplo 1. Considere la ecuación diferencial

Encuentre la solución general.

Solución. La ecuación se escribe de la forma

Separamos variables obteniendo

𝑑𝑦 𝑑𝑥

=g(x)h(y), Se dice

e integrando

Por lo tanto

o lo que es lo mismo

AsĂ­

y luego la soluciĂłn general es

Ejemplo 2 . Encuentre todas las soluciones de la ecuación diferencial

Solución Separamos variables obtenemos

Integrando

Por lo tanto, tenemos

o lo que es lo mismo

Así

Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+y%27%3Dxy http://um.mendelu.cz/maw-html/index.php?lang=es&form=ode https://www.youtube.com/watch?v=TympPNsHwRE

Ejercicios

Ecuaciones diferenciales homogéneas reducibles a variables separables Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372 Definición : Una función f(x,y) es homogénea de grado n en sus argumentos si se cumple la identidad f(tx,ty)=𝑡 𝑛 f(x,y) Ejemplo f(x,y)=xy, es homogénea de grado 2, ya que f(tx,ty)=txty=𝑡 2 xy.

Una ecuación diferencial de primer orden en la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 (1), Se dice que es homogénea si M(x,y) y N(x,y) son funciones homogéneas del mismo grado y si al hacer el cambio de variables y=zx ó x=vy, la ecuación (1) se transforma en una de variables separables.

Ejemplo

Solución: Sean

Funciones homogéneas de grado 2, entonces haciendo la sustitución y=ux e dy=udx+ydu Se tiene

De donde

Integrando

Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve++y%27%3D(x-y)%2F(x%2By) https://www.youtube.com/watch?v=txPSj29_zZw https://www.youtube.com/watch?v=zYldFBReqJo

Ejercicios Resolver

Ecuaciones diferenciales Lineales de primer orden Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 Ingeniería en ejecución CM-372

Definición: Una ecuación diferencial lineal de primer orden en su forma estándar es dada por

Y cuya solución es

Ejemplo Resolver la ecuaciรณn de primer orden

Soluciรณn Sean

Como

Entonces

Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+y%27%2By%3D2 https://www.youtube.com/watch?v=bnCi4-z6Z1U

Ejercicios Resolver

EcuaciĂłn Diferencial de Bernoulli Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 IngenierĂ­a en ejecuciĂłn CM-372

Definición: La ecuación diferencial �� ��

+ đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ)đ?‘§ đ?‘› , n≠0,1

Se llama ecuaciĂłn de Bernoulli y al hacer el cambio de variable Se reduce a una ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden.

En efecto multiplicamos a đ?‘‘đ?‘§ + đ?‘ƒ (đ?‘Ľ )đ?‘§ = đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘§ đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľ

Por (1-n) đ?‘§ −đ?‘› luego đ?‘‘đ?‘§ đ?‘‘đ?‘Ľ

(1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› + (1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› đ?‘ƒ (đ?‘Ľ )đ?‘§= đ?‘“ (đ?‘Ľ )đ?‘§ đ?‘› (1-n) đ?‘§ −đ?‘›

w=đ?‘§ 1−đ?‘›

�� ��

(1 − n) đ?‘§âˆ’đ?‘› + (1 − n) đ?‘§1−đ?‘› đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )= đ?‘“ (đ?‘Ľ )(1-n) đ?‘‘đ?‘¤

Sea đ?‘¤(đ?‘Ľ)=đ?‘§ 1−đ?‘› ⇨

��

1

(*) ��

��

=(1-n) đ?‘§ −đ?‘› đ?‘‘đ?‘Ľâ¤‡(1−đ?‘›) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘› =đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘‘đ?‘Ľ

Al reemplazar en (*) 1

��

(1−đ?‘›) đ?‘‘đ?‘Ľ đ?‘§ đ?‘› (1 − n) đ?‘§ −đ?‘› +(1 − n) đ?‘¤đ?‘ƒ(đ?‘Ľ)= đ?‘“(đ?‘Ľ)(1-n) đ?‘‘đ?‘¤ đ?‘‘đ?‘Ľ

+(1 − n) đ?‘¤(đ?‘Ľ)đ?‘ƒ(đ?‘Ľ )= đ?‘“(đ?‘Ľ )(1-n)

es una lineal de primer orden.

Ejemplo

SoluciĂłn Para resolver esta ecuaciĂłn de Bernoulli multiplicamos por z-2 obteniendo

Haciendo el cambio de variables

, que implica

Que genera la ecuaciĂłn lineal de primer orden

Cuya soluciรณn general es

Luego

Links de ayuda http://www.wolframalpha.com/input/?i=Solve+4y(x)%2Fx%2Bdy(x)%2Fdx%3Dx%5E3y(x)%5E2,y(2) %3D-1 https://www.youtube.com/watch?v=-y5XFE6dr_o

Ejercicios Resolver 1.

2.

3.

4.

5.

Ecuaciones Diferenciales Exactas y Factores de IntegraciĂłn

Docente: Jorge Olivares Funes Segundo Semestre 2016 IngenierĂ­a en ejecuciĂłn CM-372 DefiniciĂłn: Una ecuaciĂłn diferencial de la forma M(x,y)dx+N(x,y)dy=0

Es llamada exacta , si existe una funciĂłn đ?‘˘:D∠đ?‘… 2 → đ?‘… , tal que đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ

=M(x,y) =N(x,y)

u(x,y)=C, C cte Donde u(x,y)= âˆŤ đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘‘â„Ž

đ?œ•

= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ

= N(x,y) đ?‘‘đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?œ•

(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?‘‘y+h(x) đ?œ•

đ?‘‘y+h(x))= đ?œ•đ?‘Ľ(âˆŤ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

h(x)=âˆŤ(N(x, y) −

đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

đ?‘‘y)

(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘y))dx

đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘â„Ž

đ?‘‘y)+ đ?‘‘đ?‘Ľ = N(x,y)

Por tanto đ?‘˘(đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = âˆŤ

đ?œ•đ?‘˘(đ?‘Ľ,đ?‘Ś) đ?œ•đ?‘Ś

đ?‘‘y+âˆŤ(N(x, y) −

đ?œ•

(âˆŤ đ?œ•đ?‘Ľ

đ?œ•đ?‘˘ (đ?‘Ľ,đ?‘Ś)

đ?‘‘y))dx=c

đ?œ•đ?‘Ś

AnĂĄlogamente con la variable x podemos hacer los mismo.

Teorema đ?œ•đ?‘€

M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 es exacta ⇔ (

đ?œ•đ?‘Ś

−

đ?œ•đ?‘ľ đ?œ•đ?‘Ľ

) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś)=0

Ejemplo 1 Determinar una funciĂłn M de modo que la ecuaciĂłn diferencial

sea exacta.

Para que la ecuaciĂłn diferencial sea exacta debe cumplirse que

Y al integrar con respecto a “y�

Si la ecuaciĂłn diferencial M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 no es exacta , se determina una funciĂłn Îź(x,y) que hace que

Îź(x,y)M(x,y)dx+ Îź(x,y)N(x,y)dy=0 sea exacta llamado factor integrante o de integraciĂłn , es decir

(

đ?œ•Îźđ?‘€ đ?œ•Îźđ?‘ľ ) (đ?‘Ľ, đ?‘Ś) = 0 − đ?œ•đ?‘Ś đ?œ•đ?‘Ľ

1) Si Ο depende sólo de la variable "��

Entonces

1) Si Ο depende sólo de la variable "��

Entonces

Ejemplo 2

Usando un factor integrante adecuado, encuentre la soluciรณn general de (1)

Soluciรณn.

Sea

Entonces

Y luego la ecuaciรณn (1) no es exacta. Pero como

Depende solo de y, tenemos el factor integrante

La ecuación (1) multiplicada por el factor integrante es (2)

Poniendo

Tenemos

Comparando con el segundo sumando de la ecuación (2) obtenemos

De esta forma una función potencial para (2) es

Y la solución general en forma implícita de (2) es

Ejemplo 3 Encuentre la soluciรณn general de la ecuaciรณn diferencial (1)

Soluciรณn.

Sea

Entonces

Y luego la ecuaciรณn (1) no es exacta. Pero como

Depende sรณlo de

, luego tenemos el factor integrante

La ecuaciรณn (1) multiplicada por el factor integrante es (2)

Entonces

Tenemos

Comparando con el segundo sumando de la ecuaciรณn (2) obtenemos

De esta forma

Y la solución general en forma implícita de (2) es

Es la solución general de (1).

Links de ayuda

https://www.youtube.com/watch?v=xmQ7dK6vlBw

Ejercicios Determine si la siguientes ecuaciones son exactas. Si lo son resuĂŠlvelas

Ejercicios varios