1. Determine, si existe, la derivada de f en x = 2 de la funci´ on f definida por 2 , x +1 f (x) = 5 , (x − 1)2 + 4 ,
Soluci´ on
l´ım−
h→0
=
f (2 + h) − f (2) = h
l´ım−
h→0
h→0−
l´ım
h→0+
=
l´ım
l´ım
h→0+
((2 + h − 1)2 + 4) − (5) h
(1 + 2h + h2 + 4) − (5) h
= l´ım+
h(2 + h) = h
como:
l´ım
h→0
l´ım (4 + h) = 4
h→0−
f (2 + h) − f (2) = h
h→0+
h→0
((2 + h)2 + 1) − (5) h
(22 + 4h + h2 + 1) − (5) h h(4 + h) = h
= l´ım
l´ım−
x < 2, x = 2, x > 2.
h→0−
l´ım (2 + h) = 2
h→0+
f (2 + h) − f (2) 6= h
l´ım
h→0+
f (2 + h) − f (2) h
la derivada no existe en x0 = 2
2. Determine la derivada de las siguientes funciones: 2.1) f (x) =
ln(sen(x + 1)) , √ x−1
Soluci´ on ′
f (x) =
=
ln(sen(x + 1)) √ x−1
′
√ √ (ln(sen(x + 1)))′ · ( x − 1) − (ln(sen(x + 1))) · ( x − 1)′ √ ( x − 1)2
=
1 sen(x+1)
=
1 sen(x+1)
′
· (sen(x + 1))
√ · ( x − 1) − (ln(sen(x + 1))) · √ ( x − 1)2
√ · (cos(x + 1)) · ( x − 1) − (ln(sen(x + 1))) · √ ( x − 1)2
1 √ 2 x
2.2) f (x) = (x2 − 1)(x + 5)3 . Soluci´ on
f ′ (x) = (x2 − 1)′ · (x + 5)3 + (x2 − 1) · ((x + 5)3 )′ =
(2x) · (x + 5)3 + (x2 − 1) · (3(x + 5)2 )(x + 5)′
= 2x(x + 5)3 + 3(x2 − 1)(x + 5)2 =
2x(x + 5) + 3(x2 − 1) (x + 5)2
=
5x2 + 10x − 3 (x + 5)2
1 √ 2 x