1. Determine, si existe, la derivada de f en x = 2 de la funci´ on f definida por 2 , −2 ≤ x < 1, 5−x f (x) = 6 − 2x , 1 ≤ x < 2, 2x − 2 , 2 ≤ x ≤ 4.
Soluci´ on
l´ım−
h→0
=
f (2 + h) − f (2) = h
l´ım
h→0−
h→0−
=
h
l´ım
h→0+
=
h→0
(2(2 + h) − 2) − (2 · 2 − 2) h
h→0+
(2 + 2h) − (2) h
= l´ım
2h = 2 h
como:
l´ım
h→0+
l´ım
h→0
−2
f (2 + h) − f (2) = h
l´ım+
(6 − 2(2 + h)) − (2 · 2 − 2) h
(2 − 2h) − (2) h −2h
= l´ım
l´ım−
h→0−
f (2 + h) − f (2) 6= h
l´ım
h→0+
f (2 + h) − f (2) h
la derivada no existe en x0 = 2
2. Determine la derivada de las siguientes funciones: 2.1) f (x) =
ln(sen(x + 1)) √ x−1
Soluci´ on ′
f (x) =
=
ln(sen(x + 1)) √ x−1
′
√ √ (ln(sen(x + 1)))′ · ( x − 1) − (ln(sen(x + 1))) · ( x − 1)′ √ ( x − 1)2
=
1 sen(x+1)
=
1 sen(x+1)
′
· (sen(x + 1))
√ · ( x − 1) − (ln(sen(x + 1))) · √ ( x − 1)2
√ · (cos(x + 1)) · ( x − 1) − (ln(sen(x + 1))) · √ ( x − 1)2
1 √ 2 x
2.2) f (x) = (x2 − 1)(x + 5)3 Soluci´ on
f ′ (x) = (x2 − 1)′ · (x + 5)3 + (x2 − 1) · ((x + 5)3 )′ =
(2x) · (x + 5)3 + (x2 − 1) · (3(x + 5)2 )(x + 5)′
= 2x(x + 5)3 + 3(x2 − 1)(x + 5)2 =
2x(x + 5) + 3(x2 − 1) (x + 5)2
=
5x2 + 10x − 3 (x + 5)2
1 √ 2 x