Problemas on: 1. Determine la primera y segunda derivada de la siguiente funci´ f (x) = (x2 + 2x − 1) sen(x).
Desarrollo.Por regla del producto,
f 0 (x)
=
(2x + 2) sen(x) + (x2 + 2x − 1) cos(x)
=
2(x + 1) sen(x) + (x2 + 2x − 1) cos(x)
Nuevamente, utilizando regla del producto, tenemos que
f 00 (x)
=
[2 sen(x) + 2(x + 1) cos(x)] + (2x + 2) cos(x) + (x2 + 2x − 1)(− sen(x))
=
4(x + 1) cos(x) − (x2 + 2x − 3) sen(x)
=
4(x + 1) cos(x) − (x + 3)(x − 1) sen(x)
2. Determine la derivada impl´ıcita
dy on: de la siguiente relaci´ dx x sen y + ln(sec x + y) = 0.
Desarrollo.Derivando impl´ıcitamente, tenemos que sec x tan x + y 0 sec x + y
=
0
=⇒
sen y(sec x + y) + (sec x + y)x cos yy 0 + sec x tan x + y 0
=
0
=⇒
(sec x + y)x cos yy 0 + y 0
=
− sec x tan x − sen y(sec x + y)
=⇒
[1 + (sec x + y)x cos y] y 0
=
− sec x tan x − sen y(sec x + y)
=⇒
y0
=
−
sen y + x cos yy 0 +
sec x tan x + sen y(sec x + y) 1 + (sec x + y)x cos y
2 3. Hallar la ecuaci´ on de la recta tangente en el punto de abscisa x0 = e3 , de la funci´ on: f (x) = sen(π ln x). Desarrollo.Primero, tenemos que y0 = f (e3 ) = sen(3π) = 0. Ahora, debemos encontrar la pendiente de la recta tangente, dada por m = f 0 (e3 ). Se tiene que f 0 (x)
=
cos(π ln x)
=⇒
f 0 (e3 )
=
cos(3π)
=⇒
f 0 (e3 )
=
−
π e3
Por tanto, la ecuaci´ on de la recta tangente est´a dada por LT : y = −
π (x − e3 ), e3
o bien, πx + e3 y − πe3 = 0.
π e3
π x