Problemas on: 1. Determine la primera y segunda derivada de la siguiente funci´ f (x) = (x2 + 2x − 1) sen(x).
Desarrollo.Por regla del producto,
f 0 (x)
=
(2x + 2) sen(x) + (x2 + 2x − 1) cos(x)
=
2(x + 1) sen(x) + (x2 + 2x − 1) cos(x)
Nuevamente, utilizando regla del producto, tenemos que
f 00 (x)
=
[2 sen(x) + 2(x + 1) cos(x)] + (2x + 2) cos(x) + (x2 + 2x − 1)(− sen(x))
=
4(x + 1) cos(x) − (x2 + 2x − 3) sen(x)
=
4(x + 1) cos(x) − (x + 3)(x − 1) sen(x)
2. Determine la derivada impl´ıcita
dy on: de la siguiente relaci´ dx x sen y + ln(sec x + y) = 0.
Desarrollo.Derivando impl´ıcitamente, tenemos que sec x tan x + y 0 sec x + y
=
0
=⇒
sen y(sec x + y) + (sec x + y)x cos yy 0 + sec x tan x + y 0
=
0
=⇒
(sec x + y)x cos yy 0 + y 0
=
− sec x tan x − sen y(sec x + y)
=⇒
[1 + (sec x + y)x cos y] y 0
=
− sec x tan x − sen y(sec x + y)
=⇒
y0
=
−
sen y + x cos yy 0 +
sec x tan x + sen y(sec x + y) 1 + (sec x + y)x cos y