Derivadas 5

Problema 1. Utilizando la definici´on de derivada, encuentre f ′ (3) para la funci´on f , definida por: f (x) =

2 . x+1

Desarrollo:

f ′ (3)

=

= = = = = =

f (x + 3) − f (3) h→0 h 2 2 − 4 + h 4 lim h→0 h 8 − 2(4 + h) lim h→0 4h(4 + h) 8 − 8 − 2h lim h→0 4h(4 + h) −2h lim h→0 4h(4 + h) 1 1 − lim 2 h→0 4 + h 1 − .

8 lim

2 Problema 2. Determine la derivada impl´ıcita

dy , para la relaci´ on: dx

xy 2 + ln(x2 y) = 0.

Desarrollo: Derivando con respecto a la variable x, se tiene: d (xy 2 + ln(x2 y)) dx d d xy 2 + ln(x2 y) dx dx d d 2 d 1 x y2 + y2 x + x y dx dx x2 y dx

dy d 2 1 2 d x 2xy + y2 + y + y x dx x2 y dx dx

dy 1 2 dy x 2xy + y2 + + 2xy dx x2 y dx 1 dy 2 dy + y2 + + 2xy dx y dx x

1 dy 2xy + y dx dy dx

=

0

=

0

=

0

=

0

=

0

=

0

= =

xy 2 + 2 − x

2 y xy + 2 . − x 2xy 2 + 1

Problema 3. Determine la ecuaci´ on de la recta tangente y normal a la curva: √ y = (x + 1) 3 3 − x, en el punto (2, 3).

Desarrollo: En primer lugar, encontremos la derivada de la funci´on.

Luego,

√ x+1 f ′ (x) = − p + 3 3 − x.

3 3 (3 − x)2 f ′ (2) ′

f (2)

= =

−1 + 1 0.

La ecuaci´ on de la recta tangente en el punto (2,3) de la curva, esta dada por: y−3 y

= f ′ (2)(x − 2) = 3.

Por otro lado, la recta normal en el punto (2,3) tiene pendiente −∞ y su ecuaci´on es la recta vertical x = 2.