geometría analítica

Recordar

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Distancia entre dos puntos Sean P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ) d(P, Q) =

Ecuaci´ on Punto-Punto:La recta que pasa por los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), tiene ecuaci´ on:

q (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2

y − y1 =

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d(P, Q)

y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1

Ecuaci´ on general: ax + by + c = 0 donde a, b y c son constantes, a y b no se anulan simultaneamente.

y2 b

b

Q

Q = (x2 , y2 )

b

P

y1 b

P = (x1 , y1 )

x1

x2

Observaci´ on: d(P, Q) = d(Q, P ) ≥ 0

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Punto Medio Sean P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ) el punto medio PM del segmento P Q est´ a dada por PM =

x2 + x1 y2 + y1 , 2 2

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Distancia de un punto a la recta Sean P = (x1 , y1 ) y L := ax + by + c = 0 una recta, entonces d=

´ nicas Co

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´ n de la recta Ecuacio Sean P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 )

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Circunferencia Ecuaci´ on de la circunferencia centrada en el origen: 2

x +y

La pendiente y2 − y1 . m= x2 − x1 L1 y L2 son paralelas si m1 = m2

2

=r

2

Ecuaci´ on de la circunferencia centrada en (h, k): 2

2

(x − h) + (y − k) = r

2

Ecuaci´ on general de la circunferencia: L1 y L2 son perpendiculares si m1 · m2 = −1

´ n de la recta Formas de la ecuacio

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|ax1 + by1 + c| p a2 + b 2

Ecuaci´ on Punto-Pendiente: La recta que pasa por el punto P = (x1 , y1 ) y con pendiente m, tiene por ecuaci´ on: y − y1 = m(x − x1 ) Ecuaci´ on Pendiente-Ordenada: La recta cuya pendiente es m y cuya coordenada en el origen es b, tiene por ecuaci´ on: y = mx + b

2

2

x + y + Dx + Ey + F = 0

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Focos: (h, k + c), (h, k − c) Vertices: (h ± b, k)(h, k ± a)

Par´ abola Ecuaci´ on de la par´ abola con v´ ertice en el origen: 2

x = 4py, F = (0, p), y = −p y

2

= 4px, F = (p, 0), x = −p

Ecuaci´ on de la par´ abola con v´ ertice (h, k): 2

(x − h) = 4p(y − k), F = (h, k + p), y = k − p

Ecuaci´ on general de la elipse.

2

2

2

Ax + By + Cx + Ey + F = 0

(y − k) = 4p(x − h), F = (h + p, k), x = h − p

Donde A y B tienen igual signo.

Observaciones: ∗ b 2 = a2 − c2

∗ Excentricidad e =

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Ecuaci´ on general de la par´ abola:

c . a

Hip´ erbola Ecuaci´ on de la hip´ erbola centrada en el origen con eje transversal coincidente con el eje X. x2 y2 − 2 =1 a2 b Focos: (c, 0), (−c, 0); Vertices: (±a, 0)

2

Ax + Dx + Ey + F = 0 2

Cy + Dx + Ey + F = 0

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Elipse Ecuaci´ on de la elipse centrada en el origen con eje focal coincidente con el eje X. y2 x2 + 2 =1 a2 b Focos: (c, 0), (−c, 0); Vertices: (±a, 0)(0, ±b) Ecuaci´ on de la elipse centrada en el origen con eje focal coincidente con el eje Y .

Ecuaci´ on de la hip´ erbola centrada en el origen con eje focal coincidente con el eje Y . x2 y2 − 2 =1 a2 b Focos: (0, c), (0, −c); Vertices: (0, ±a) Ecuaci´ on de la hip´ erbola con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje X. (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2 Focos: (h + c, k), (h − c, k) Vertices: (h ± a, k)

x2 y2 + 2 =1 2 b a Focos: (0, c), (0, −c); Vertices: (±b, 0)(0, ±a) Ecuaci´ on de la elipse con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje X. (y − k)2 (x − h)2 + =1 a2 b2 Focos: (h + c, k), (h − c, k) Vertices: (h ± a, k)(h, k ± b)

Ecuaci´ on de la hip´ erbola con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje Y (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2 Focos: (h, k + c), (h, k − c) Vertices: (h, k ± a)

Ecuaci´ on general de la hip´ erbola.

2

2

Ax + By + Cx + Ey + F = 0 Ecuaci´ on de la elipse con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje Y . (y − k)2 (x − h)2 + =1 b2 a2

Donde A y B tienen distinto signo.

Observaciones:

∗ b 2 = c2 − a2

c . a ∗ Las as´ıntotas cuyas ecuaci´ on son:

∗ Excentricidad e =

b

b 1. y − k = ± a (x − h). Si el eje transversal es paralelo al eje X.

2. y − k = ± a b (x − h). Si el eje transversal es paralelo al eje Y . b

b b

b b

b

b