Recordar
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Distancia entre dos puntos Sean P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ) d(P, Q) =
Ecuaci´ on Punto-Punto:La recta que pasa por los puntos P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ), tiene ecuaci´ on:
q (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
y − y1 =
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d(P, Q)
y2 − y1 (x − x1 ) x2 − x1
Ecuaci´ on general: ax + by + c = 0 donde a, b y c son constantes, a y b no se anulan simultaneamente.
y2 b
b
Q
Q = (x2 , y2 )
b
P
y1 b
P = (x1 , y1 )
x1
x2
Observaci´ on: d(P, Q) = d(Q, P ) ≥ 0
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Punto Medio Sean P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 ) el punto medio PM del segmento P Q est´ a dada por PM =
x2 + x1 y2 + y1 , 2 2
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Distancia de un punto a la recta Sean P = (x1 , y1 ) y L := ax + by + c = 0 una recta, entonces d=
´ nicas Co
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´ n de la recta Ecuacio Sean P = (x1 , y1 ) y Q = (x2 , y2 )
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Circunferencia Ecuaci´ on de la circunferencia centrada en el origen: 2
x +y
La pendiente y2 − y1 . m= x2 − x1 L1 y L2 son paralelas si m1 = m2
2
=r
2
Ecuaci´ on de la circunferencia centrada en (h, k): 2
2
(x − h) + (y − k) = r
2
Ecuaci´ on general de la circunferencia: L1 y L2 son perpendiculares si m1 · m2 = −1
´ n de la recta Formas de la ecuacio
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|ax1 + by1 + c| p a2 + b 2
Ecuaci´ on Punto-Pendiente: La recta que pasa por el punto P = (x1 , y1 ) y con pendiente m, tiene por ecuaci´ on: y − y1 = m(x − x1 ) Ecuaci´ on Pendiente-Ordenada: La recta cuya pendiente es m y cuya coordenada en el origen es b, tiene por ecuaci´ on: y = mx + b
2
2
x + y + Dx + Ey + F = 0
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Focos: (h, k + c), (h, k − c) Vertices: (h ± b, k)(h, k ± a)
Par´ abola Ecuaci´ on de la par´ abola con v´ ertice en el origen: 2
x = 4py, F = (0, p), y = −p y
2
= 4px, F = (p, 0), x = −p
Ecuaci´ on de la par´ abola con v´ ertice (h, k): 2
(x − h) = 4p(y − k), F = (h, k + p), y = k − p
Ecuaci´ on general de la elipse. 2
2
2
Ax + By + Cx + Ey + F = 0
(y − k) = 4p(x − h), F = (h + p, k), x = h − p
Donde A y B tienen igual signo. Observaciones: ∗ b 2 = a2 − c2
∗ Excentricidad e =
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Ecuaci´ on general de la par´ abola:
c . a
Hip´ erbola Ecuaci´ on de la hip´ erbola centrada en el origen con eje transversal coincidente con el eje X. x2 y2 − 2 =1 a2 b Focos: (c, 0), (−c, 0); Vertices: (±a, 0)
2
Ax + Dx + Ey + F = 0 2
Cy + Dx + Ey + F = 0
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Elipse Ecuaci´ on de la elipse centrada en el origen con eje focal coincidente con el eje X. y2 x2 + 2 =1 a2 b Focos: (c, 0), (−c, 0); Vertices: (±a, 0)(0, ±b) Ecuaci´ on de la elipse centrada en el origen con eje focal coincidente con el eje Y .
Ecuaci´ on de la hip´ erbola centrada en el origen con eje focal coincidente con el eje Y . x2 y2 − 2 =1 a2 b Focos: (0, c), (0, −c); Vertices: (0, ±a) Ecuaci´ on de la hip´ erbola con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje X. (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2 Focos: (h + c, k), (h − c, k) Vertices: (h ± a, k)
x2 y2 + 2 =1 2 b a Focos: (0, c), (0, −c); Vertices: (±b, 0)(0, ±a) Ecuaci´ on de la elipse con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje X. (y − k)2 (x − h)2 + =1 a2 b2 Focos: (h + c, k), (h − c, k) Vertices: (h ± a, k)(h, k ± b)
Ecuaci´ on de la hip´ erbola con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje Y (y − k)2 (x − h)2 − =1 a2 b2 Focos: (h, k + c), (h, k − c) Vertices: (h, k ± a)
Ecuaci´ on general de la hip´ erbola. 2
2
Ax + By + Cx + Ey + F = 0 Ecuaci´ on de la elipse con centro (h, k) y eje focal paralelo al eje Y . (y − k)2 (x − h)2 + =1 b2 a2
Donde A y B tienen distinto signo. Observaciones:
∗ b 2 = c2 − a2
c . a ∗ Las as´ıntotas cuyas ecuaci´ on son:
∗ Excentricidad e =
b
b 1. y − k = ± a (x − h). Si el eje transversal es paralelo al eje X.
2. y − k = ± a b (x − h). Si el eje transversal es paralelo al eje Y . b
b b
b b
b
b