Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho
Aula 5: Integração
1 Introdução Uma das aplicações de integral é o cálculo de área delimitada por uma curva definida por uma função. O problema é objeto de estudos desde a antiguidade (Arquimedes 287 a.C. - 212 a.C), mas só a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, que a relação entre derivada e integral é formulada e torna-se um instrumento indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.
2 Primitivas Dizemos que uma função F é uma primitiva de outra função f se esta é derivável e F ′ (x ) = f (x ). Como x3 exemplo temos que F (x ) = sen (x ) + x 2 é uma primitiva de f (x ) = cos(x ) + . Observe que F (x ) = 3 sen (x ) + x 2 + C , onde C ∈ R é uma constante, também é uma função primitiva de f , ou seja f tem uma infinidade de funções primitivas, que diferem uma das outras de um valor constante. O cálculo da primitiva é chamado de integral indefinida e denotamos por ∫ f (x )d x = F (x ) + C ,
C ∈R
Para algumas funções elementares a integral indefinida é imediata. ∫ xnd x =
(P.1)
x (n +1) +C, n +1
n ̸= 1.
∫ sen (x )d x = − cos(x ) + C .
(P.2) ∫
cos(x )d x = sen (x ) + C .
(P.3) ∫
sec2 (x )d x = tan(x ) + C .
(P.4) ∫
axdx =
(P.5) ∫ (P.6)
ax +C ln(a )
1 d x = l n (|x |) + C . x
Página 1 de 6
3 Conceito de Integral Área de um polígono qualquer pode ser obtida em termos da área de um triângulo, pois o polígono pode ser decomposto em triângulos. No caso do círculo a área é obtida considerando a área do polígono de n lados, inscrito no circulo. Cada lado do polígono é a base de um triângulo isósceles, de altura h n .
A área do polígono é dada por,
l n ∗ hn 2 A área do polígono é uma aproximação da área da circunferência. Quanto maior for o número de lados do polígono, mais próximo estaremos da área do circulo, obtendo que a área será An = n
lim A n = lim n
n→∞
n →∞
l n ∗ hn = πr 2 2
A definição de área definida por uma curva qualquer é feita de forma análoga. Vamos considerar o cálculo da área da figura plana, definida por uma função positiva f , o eixo x , num intervalo [A, B ], como mostra a figura abaixo.
Página 2 de 6
Iniciamos uma aproximação para o valor da área, dividindo o intervalo em n subintervalos, da forma [x k , x k +1 ]. Em cada subintervalo determinados um retângulo, onde a base é a amplitude do intervalo, ∆s e a altura é o menor valor que a função atinge dentro do subintervalo, f (x s ).
A soma das áreas dos retângulos fornece uma aproximação para a área da figura, ou seja
A≈
n ∑
∆i f (x i )
i =0
A próxima figura sugere que, a medida que n cresce, a soma se aproxima de um valor limite. Em outras palavras, estamos aumentando o número de subintervalos e consequentemente o número de retângulos.
Página 3 de 6
Além disso, a figura também sugere que esse valor limite é o que temos de definir como sendo a área da figura delimitada pelo gráfico da f (x ), o eixo x, no intervalo [A, B ]. A área assim definida é chamada de integral de f no intervalo [A, B ], a qual é definida por ∫b n ∑ f (x )d x = lim ∆i f (x i ) a
n →∞
i =0
Quando o limite existe, dizemos que f é integrável no intervalo [A, B ]. A definição está sujeita a existência ou não do limite, que não é uma questão simples, mas é importante saber que toda função contínua, num intervalo fechado é integrável nesse intervalo. A definição da integral, como sendo a área delimitada pela função, pressupõe que f (x ) seja positiva em [A, B ]. Mas a integral de uma função qualquer não é necessária mente positiva. Se f assume valores negativos em [a ,b ], os termos ∆i f (x i ) do somatório, são negativos. Logo a integral de f em [a ,b ] representam a diferença entre as área, onde f é positiva e f é negativa, como mostra a figura abaixo.
3.1 Propriedades da Integral. Considerando que f e g sejam funções integráveis em [a ,b ] temos as seguintes propriedades: ∫
∫
b
f (x )d x = −
(P.1) a
a
f (x )d x . b Página 4 de 6
∫
a
f (x )d x = 0.
(P.2) a
∫
∫
b
f (x ) + g (x )d x =
(P.3) a
∫
∫
a
∫
c
f (x )d x = a
f (x )d x , C ∈ R. a
∫
b
(P.5)
g (x )d x . a
b
C f (x )d x = C ∫
b
f (x )d x + a
b
(P.4)
∫
b
b
f (x )d x + a
f (x )d x . c
4 Teorema Fundamental do Cálculo Vimos que o cálculo da derivada, por intermédio do limite, não é um meio prático. Para tanto, apresentamos algumas regras de derivação. No caso da integral temos a mesma situação. O cálculo do somatório infinito não é nada prático, e para superar esta dificuldade vamos ver um dos resultados mais importante do Cálculo Diferencial, o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona a integral e a derivada de uma função. Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja a função f contínua num intervalo [a ,b ], e F definida por ∫ x
F (x ) =
f (t )d t ,
x ∈ [a ,b ]
a
A função F é derivável em todos os pontos x ∈ [a ,b ] e F ′ (x ) = f (x ). A função F é a primitiva de f que se anula em x = a , pois ∫
a
f (t )d t = 0
F (a ) = a
Uma primitiva mais geral é dada pela função ∫
x
G (x ) =
f (t )d t + C a
onde C é uma constante. Calculando para x = a obtemos ∫
a
G (a ) =
f (t )d t + C = C a
e com isto temos o seguinte resultado
b ∫
G (b ) − G (a ) = G (x ) = a
b
f (t )d t a
A igualdade acima, mostra que a integral definida, num intervalo [a ,b ] corresponde a diferença de uma de suas primitivas, calculada em b e em a .
Página 5 de 6
Vamos considerar um exemplo bem simples. Sendo f (x ) = x no intervalo [0, 1], é fácil de verificar que a integral ∫1 1 xdx = 2 0 2
2
Como primitivas de f temos G 1 (x ) = x2 + 5 e G 2 (x ) = x2 + 100. Em ambos os casos temos
1 1
G i (x ) = G i (1) − G i (0) = , 2 0
i = 1, 2
.
5 Exercícios Questão 1 Calcule as integrais definida ou indefinida indicadas: ∫ ∫2 2x 3 − 2x 2 − 16x + 1d x
(a) ∫0 (c)
(b)
dx ∫
π/2
cos(x ) − sen (x )d x
3
2x d x
(d) ∫ −1 1
∫−π/2 2 (e) dx 3x
(f) 0
5 dx cos2 (x )
Questão 2 Calcule as áreas das figuras determinadas pelas curvas dadas abaixo. Faça o gráficos. (a) y = x 2 e y =
p x , x = 0 e x = 1.
(b) y = cos(x ) e y = sen (x ), x = −p i /4 e x = p i /4. (c) y = x1 e y = 0 x = 1 e x = 2. Questão 3 A função aceleração (em m /s 2 ) e a velocidade inicial são dadas, quando uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) a velocidade no instante t e (b) a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado, quando:
(a) a (t ) = t + 4 e v (0) = 5 e 0 ≤ t ≤ 10. (b) a (t ) = 2t + 3 e v (0) = −4 e 0 ≤ t ≤ 3.
Página 6 de 6