Aula_5_Integração

Universidade de Brasília Faculdade UnB Planaltina Curso: Ciências Naturais Disciplina: Cálculo 1 - 2013-1 Professor: José Eduardo Castilho

Aula 5: Integração

1 Introdução Uma das aplicações de integral é o cálculo de área delimitada por uma curva definida por uma função.

O problema é objeto de estudos desde a antiguidade (Arquimedes 287 a.C. - 212 a.C), mas só a partir do séc. XVII, com Leibniz e Newton, que a relação entre derivada e integral é formulada e torna-se um instrumento indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência.

2 Primitivas Dizemos que uma função F é uma primitiva de outra função f se esta é derivável e F ′ (x ) = f (x ). Como x3 exemplo temos que F (x ) = sen (x ) + x 2 é uma primitiva de f (x ) = cos(x ) + . Observe que F (x ) = 3 sen (x ) + x 2 + C , onde C ∈ R é uma constante, também é uma função primitiva de f , ou seja f tem uma infinidade de funções primitivas, que diferem uma das outras de um valor constante.

O cálculo da primitiva é chamado de integral indefinida e denotamos por ∫ f (x )d x = F (x ) + C ,

C ∈R

Para algumas funções elementares a integral indefinida é imediata. ∫ xnd x =

(P.1)

x (n +1) +C, n +1

n ̸= 1.

∫ sen (x )d x = − cos(x ) + C .

(P.2) ∫

cos(x )d x = sen (x ) + C .

(P.3) ∫

sec2 (x )d x = tan(x ) + C .

(P.4) ∫

axdx =

(P.5) ∫ (P.6)

ax +C ln(a )

1 d x = l n (|x |) + C . x

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3 Conceito de Integral Área de um polígono qualquer pode ser obtida em termos da área de um triângulo, pois o polígono pode ser decomposto em triângulos. No caso do círculo a área é obtida considerando a área do polígono de n lados, inscrito no circulo. Cada lado do polígono é a base de um triângulo isósceles, de altura h n .

A área do polígono é dada por,

l n ∗ hn 2 A área do polígono é uma aproximação da área da circunferência. Quanto maior for o número de lados do polígono, mais próximo estaremos da área do circulo, obtendo que a área será An = n

lim A n = lim n

n→∞

n →∞

l n ∗ hn = πr 2 2

A definição de área definida por uma curva qualquer é feita de forma análoga. Vamos considerar o cálculo da área da figura plana, definida por uma função positiva f , o eixo x , num intervalo [A, B ], como mostra a figura abaixo.

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Iniciamos uma aproximação para o valor da área, dividindo o intervalo em n subintervalos, da forma [x k , x k +1 ]. Em cada subintervalo determinados um retângulo, onde a base é a amplitude do intervalo, ∆s e a altura é o menor valor que a função atinge dentro do subintervalo, f (x s ).

A soma das áreas dos retângulos fornece uma aproximação para a área da figura, ou seja

A≈

n ∑

∆i f (x i )

i =0

A próxima figura sugere que, a medida que n cresce, a soma se aproxima de um valor limite. Em outras palavras, estamos aumentando o número de subintervalos e consequentemente o número de retângulos.

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Além disso, a figura também sugere que esse valor limite é o que temos de definir como sendo a área da figura delimitada pelo gráfico da f (x ), o eixo x, no intervalo [A, B ]. A área assim definida é chamada de integral de f no intervalo [A, B ], a qual é definida por ∫b n ∑ f (x )d x = lim ∆i f (x i ) a

n →∞

i =0

Quando o limite existe, dizemos que f é integrável no intervalo [A, B ]. A definição está sujeita a existência ou não do limite, que não é uma questão simples, mas é importante saber que toda função contínua, num intervalo fechado é integrável nesse intervalo.

A definição da integral, como sendo a área delimitada pela função, pressupõe que f (x ) seja positiva em [A, B ]. Mas a integral de uma função qualquer não é necessária mente positiva. Se f assume valores negativos em [a ,b ], os termos ∆i f (x i ) do somatório, são negativos. Logo a integral de f em [a ,b ] representam a diferença entre as área, onde f é positiva e f é negativa, como mostra a figura abaixo.

3.1 Propriedades da Integral.

Considerando que f e g sejam funções integráveis em [a ,b ] temos as seguintes propriedades: ∫

∫

b

f (x )d x = −

(P.1) a

a

f (x )d x . b Página 4 de 6

∫

a

f (x )d x = 0.

(P.2) a

∫

∫

b

f (x ) + g (x )d x =

(P.3) a

∫

∫

a

∫

c

f (x )d x = a

f (x )d x , C ∈ R. a

∫

b

(P.5)

g (x )d x . a

b

C f (x )d x = C ∫

b

f (x )d x + a

b

(P.4)

∫

b

b

f (x )d x + a

f (x )d x . c

4 Teorema Fundamental do Cálculo Vimos que o cálculo da derivada, por intermédio do limite, não é um meio prático. Para tanto, apresentamos algumas regras de derivação. No caso da integral temos a mesma situação. O cálculo do somatório infinito não é nada prático, e para superar esta dificuldade vamos ver um dos resultados mais importante do Cálculo Diferencial, o Teorema Fundamental do Cálculo, que relaciona a integral e a derivada de uma função.

Teorema 1 (Teorema Fundamental do Cálculo) Seja a função f contínua num intervalo [a ,b ], e F definida por ∫ x

F (x ) =

f (t )d t ,

x ∈ [a ,b ]

a

A função F é derivável em todos os pontos x ∈ [a ,b ] e F ′ (x ) = f (x ).

A função F é a primitiva de f que se anula em x = a , pois ∫

a

f (t )d t = 0

F (a ) = a

Uma primitiva mais geral é dada pela função ∫

x

G (x ) =

f (t )d t + C a

onde C é uma constante. Calculando para x = a obtemos ∫

a

G (a ) =

f (t )d t + C = C a

e com isto temos o seguinte resultado

b ∫

G (b ) − G (a ) = G (x ) = a

b

f (t )d t a

A igualdade acima, mostra que a integral definida, num intervalo [a ,b ] corresponde a diferença de uma de suas primitivas, calculada em b e em a .

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Vamos considerar um exemplo bem simples. Sendo f (x ) = x no intervalo [0, 1], é fácil de verificar que a integral ∫1 1 xdx = 2 0 2

2

Como primitivas de f temos G 1 (x ) = x2 + 5 e G 2 (x ) = x2 + 100. Em ambos os casos temos

1 1

G i (x ) = G i (1) − G i (0) = , 2 0

i = 1, 2

.

5 Exercícios Questão 1 Calcule as integrais definida ou indefinida indicadas: ∫ ∫2 2x 3 − 2x 2 − 16x + 1d x

(a) ∫0 (c)

(b)

dx ∫

π/2

cos(x ) − sen (x )d x

3

2x d x

(d) ∫ −1 1

∫−π/2 2 (e) dx 3x

(f) 0

5 dx cos2 (x )

Questão 2 Calcule as áreas das figuras determinadas pelas curvas dadas abaixo. Faça o gráficos. (a) y = x 2 e y =

p x , x = 0 e x = 1.

(b) y = cos(x ) e y = sen (x ), x = −p i /4 e x = p i /4. (c) y = x1 e y = 0 x = 1 e x = 2.

Questão 3 A função aceleração (em m /s 2 ) e a velocidade inicial são dadas, quando uma partícula movendo-se ao longo de uma reta. Ache (a) a velocidade no instante t e (b) a distância percorrida durante o intervalo de tempo dado, quando:

(a) a (t ) = t + 4 e v (0) = 5 e 0 ≤ t ≤ 10. (b) a (t ) = 2t + 3 e v (0) = −4 e 0 ≤ t ≤ 3.

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