2.6 Una aplicación física: el tiro vertical

―¡Claro que sí! Abro mis ojos, oídos y mente a su planteamiento.

―Pues hablemos sobre el tiro vertical de un objeto que es un caso particular de movimiento uniformemente acelerado. Éste consiste en lanzar un objeto en dirección vertical, normalmente en sentido ascendente (sentido positivo) y sobre él actúa la gravedad con una aceleración constante (en sentido negativo). Si t representa el tiempo, v(t) la velocidad en el instante t y s(t) la altura en que está el objeto en ese instante, y partimos de que el objeto en el instante inicial está a una determinada altura s(0) = s0 y la velocidad inicial con la que se lanza es v(0) = v0, entonces:

en el supuesto que el objeto se lanza hacia arriba, es decir, , el objeto primero asciende hasta que la velocidad es nula y posteriormente desciende. en el supuesto que el objeto se suelta, es decir, , éste desciende incrementando su velocidad en sentido negativo. en el supuesto que el objeto se lanza hacia abajo, es decir, , el objeto también desciende incrementando su velocidad en sentido negativo. v0 > 0 v(t) v0 = 0 v0 < 0

En la siguiente escena interactiva puedes abordar una simulación de este tiro vertical.

Experimenta con diferentes valores para la velocidad y altura inicial, y observa e interpreta bien las gráficas que se te presentan . Después te haré alguna pregunta al respecto.

Escena 2.9. Tiro vertical (escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa)

¡Haz clic en el botón de la esquina superior derecha, para ampliar la escena!

―¡Objetivo conseguido! ¡Qué interesante este ejemplo! Hay que ver como de un simple dato se deduce todo lo que acontece. ¡Las Matemáticas al poder!

―Efusivo te veo. Las Matemáticas es un saber y como algo inanimado no puede tener o alcanzar el poder, pero sí ayudan a tenerlo a aquellos que saben usarlas. A mí, más que de poder, me gusta ubicar a las Matemáticas como herramienta para la mejora social y motor para la Paz.

―Etimológicamente "Filosofía" significa "amor a la sabiduría" , "Matemáticas" puede asociarse a "conocimiento" y un matemático sería aquel que es "amante del conocimiento" . Actualmente estamos acostumbrados a parcelar el saber, a crear especialistas, y muchas veces los profesores olvidamos ubicaros el origen y fin de lo que estudiamos o lo que os hacemos estudiar. Este es un tema muy interesante, pero no olvido que te indiqué que te iba a hacer alguna pregunta sobre el tiro vertical.

―Eso del tiro y la Paz me parece que no hace mucha liga, y contrariamente a lo que dice, quiere centrarse en lo primero antes que en lo segundo.

―Tirar (lanzar) un satélite de comunicaciones ¿es algo contrario a la Paz? ¿No podemos mediante él llevar el conocimiento a casi cualquier lugar del mundo? La bondad o maldad de una herramienta está en "las manos" de quien la utiliza, ¿no te parece?

―Sí, profe. ¡"Tíreme" esas preguntas!, pero sea compasivo con este aprendiz de luchador por la Paz.

―Veamos. En la escena hemos obtenido que es un polinomio de segundo grado y, por tanto, su gráfica es una parábola. ¿Significa esto que el objeto que lanzamos sigue una trayectoria parabólica?

―No me líe, o mejor dicho no trate de liarme. Si estamos en "tiro vertical" el movimiento es sólo en ¡vertical! Asciende o desciende pero sin desplazarse lateralmente. nos da la altura a la que está el objeto en el instante t y esa gráfica parabólica representa la gráfica de la función altura en relación al tiempo. No es la gráfica de la posición del objeto. Si el objeto está ubicado inicialmente en el punto , entonces la posición en el instante será . Siempre tendrá la misma abscisa . s(t)

s(t) P0(x0, y0) t Pt (x0, s(t)) x0

―¡Sobresaliente, Paco! Tu dominio de las funciones y la interpretación de su gráfica ha sido excelente. ¡Premio! ¡A jugar con el hombre araña!:

Escena 2.10. Tiro parabólico con el hombre araña

¡Haz clic en el botón de la esquina superior derecha, para ampliar la escena!

―El juego era lo mismo que habíamos visto antes, pero ilustrado con personajes fantásticos. Con este ejemplo se observa que detrás de los videojuegos hay mucha física y matemáticas.

―Sin duda, Paco. Por ello no está de más el practicar con más ejercicios. Por favor, haz los siguientes teniendo en cuenta que la derivada segunda es la derivada de la derivada primera y, por tanto, la derivada primera es la integral de la derivada segunda. ¿De acuerdo?

Escena 2.11. Ejercicios de integración con condiciones iniciales

¡Haz clic en el botón de la esquina superior derecha, para ampliar la escena!

Adicionalmente, resuelve los siguientes ejercicios:

1. En los siguientes apartados hallar y = f (x)

condiciones iniciales.

f "(x) = 2, f ’(2) = 5, f (2) = 10 f "(x) = x2 , f ’(0) = 6, f (0) = 3 f "(x) = x − 3/2, f ’(4) = 2, f (0) = 0 f "(x) = x − 3/2, f ’(1) = 2, f (3) = −4

2. El ritmo de crecimiento de una población

t

de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de , donde es el tamaño de la población y el tiempo en días. En forma simbólica . El tamaño inicial de la población es . Tras un día ha crecido hasta . Estimar la población en una semana. 3. Se lanza una bola verticalmente hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de . ¿Qué altura alcanza? (Rta. 56,25 pies) 4. ¿Con qué velocidad inicial ha de lanzarse un objeto hacia arriba, desde el suelo, para que alcance la azotea de un edificio que tiene una altura de ? (Rta. ). 5. Un jugador del equipo de fútbol del Pascual Bravo, patea un balón hacia arriba con una velocidad inicial de . Calcular la máxima altura que alcanza el balón (Rta. ). 6. Una partícula, inicialmente en reposo, se mueve por el eje x de manera tal que su aceleración en es . En el instante su posición es . Calcular su velocidad y su función posición. (dP /dt) t P dp/dt = k t 400 500 60 pies/s g = −32 pies/s2 550 pies 187,617 pies/s 20 m/s 20,41 m t > 0 a(t) = cost t = 0 x = 3