2.10 Calculadora de integrales

―¿Calculadora de integrales? ¿Cálculo simbólico?

―Sí, Paco. En el momento que en nuestro aprendizaje introdujimos las letras para representar números, comenzamos a adentrarnos en el cálculo simbólico. Empleamos símbolos para expresar cálculos genéricos y adicionalmente aprendemos a operar con esos símbolos trasponiendo términos, reduciendo, simplificando, etc. Lo que continuamente estamos haciendo y aprendiendo son cálculos simbólicos. Y lo que te comento es que al igual que disponemos de calculadoras que nos ayudan a realizar los cálculos numéricos, las hay que realizan cálculo simbólico.

―¡Qué me dice, profe! Si tenemos una calculadora que hace todo eso ¿para qué me hace aprender lo métodos de integración?

―¡Paciencia! ¡paciencia!... ¡Lo primero!, ¡para activar tus neuronas, que falta te hace!, para que creen redes en base a las cuales puedas crear conocimiento y razonar adecuadamente. Y lo segundo, entre una larga ristra de razones, te lo voy a exponer con una simple analogía. Una persona que va a usar un carro sólo necesita aprender a conducirlo, pero un ingeniero que va a diseñar un carro necesita conocer los principios y mecanismos que hacen que funcione adecuadamente. ¿Qué quieres hacer tú?

―¡Comprendido! Por favor, ayúdeme a ser un futuro ingeniero o científico, en definitiva a ser constructor y no mero usuario.

―¡En ello estamos, Paco! Pero permítime incidir un poquito más en el tema acudiendo a una batallita personal, a una viñeta que vi en mi juventud y que me marcó. Era comienzos de los 80 y el ZX80 comenzó a popularizarse, dado que pudo llegar a las casas gracias a su precio asequible. Estaba naciendo la informática personal.

En ese contexto vi lo siguiente:

Escena 2.18. Preferencias de formación en los años 80

―¿Sinclair?

―Sí, ¡Sinclair! Ahora la niña diría: "yo, como Steve Jobs... " .

―¡Pues sí que era lista esa chiquilla! Así, visto con esa perspectiva, no voy a replicarle.

Adelante ¡enseñeme los métodos de integración!, pero no olvide enseñarme también esas calculadoras de integrales, para que cuando sepa integrar pueda hacerlo más rápido acudiendo a ellas, lo mismo que acudo a hacer operaciones numéricas básicas a la calculadora tradicional.

―Vamos a ello. Adentrémonos en las diferentes herramientas que te cité antes. Mathemática, Maxima y Maple se crearon básicamente para cálculo simbólico. Matlab, además del cálculo simbólico (utilizando el kernel o núcleo de Maple), se puede usar en métodos numéricos y en simulación de sistemas. Matlab es el programa preferido en asignaturas de automatización y control de procesos industriales.

Existen otras alternativas en el mundo del software libre y que poco a poco van ganando terreno en el campo de las aplicaciones científicas, tres de ellas son: GNU Octave, Scilab y Maxima. Los tres programas proveen una amplia gama de poderosas funciones.

Una versión de demostración (trial) para Matlab la puedes bajar en este vínculo: Matlab. Para nuestro curso, podemos usar el procesador geométrico GeoGebra, la calculadora gráfica Desmos, el programa de cálculo simbólico wxMaxima o en su versión en línea wxMaxima en línea, una opción de Matlab es Octave en línea y, obviamente, nuestra herramienta DescartesJS.

Tienes donde elegir Paco. Por ahora vamos a comprobar uno de nuestros ejercicios en tres de los programas anteriores:

―Excelente profe. Hagamos uno con radicales.

―Tú podrás comprobar el ejercicio que quieras posteriormente. Yo, ahora, por simplicidad te explicaré el procedimiento con una integral simple. Simple, en el sentido tipográfico. Todas son en realidad muy sencillas de resolver.

―Tomemos la integral dada por

x 3 3 + C ∫ x2dx

. Sabemos que su resultado es

Integrando con Matlab

Matlab recoge del Maple la capacidad de trabajar con variables simbólicas. Esto le permite resolver integrales indefinidas y definidas de manera analítica. Para crear una variable simbólica usamos la función syms. Las ecuaciones simbólicas se pueden integrar utilizando la función int. int(expresión) realiza la integral indefinida de la expresión con respecto a la variable simbólica que tenga la misma. Para nuestro ejemplo, observa la siguiente figura (puedes probar estas instrucciones con Octave en línea):

Figura 2.2. Ventana de comándos de Matlab

Sistema de cálculo simbólico Maxima

Maxima es un sistema de cálculo simbólico escrito en Lisp, desciende del sistema Macsyma desarrollado en el MIT (Massachusetts Institute of Technology) entre 1968 y 1982. Desde 1998 se distribuye bajo licencia GNU-GPL.

Para calcular las integrales dispone de la función integrate (expr, x); que calcula simbólicamente la integral de expr respecto de x.

Video

Observa el siguiente vídeo :

Puedes realizar el ejercicio del video, usando wxMaxima en línea.

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Software de matemáticas dinámicas GeoGebra

GeoGebra es un software libre de matemática disponible en múltiples plataformas e idiomas. Ofrece representaciones diversas de los objetos desde cada una de sus posibles perspectivas: vistas gráficas, algebraica general y simbólica, estadísticas y de organización en tablas y hojas de datos dinámicamente vinculadas.

Para nuestro ejercicio ejemplo, basta que escribas la función f(x)=x^2 en la ventana inferior y luego el comando Integral[f]. Ademas de mostrarte el valor de la integral, GeoGebra te muestra las gráficas. En el caso de funciones que tengan variables diferentes a x, hay que recurrir a la ventana de Cálculo Simbólico (CAS). Observa el vídeo:

Video

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Puedes usar la herramienta de GeoGebra de la caja de herramientas.

Calculadora de integrales en línea

También existen varias páginas que ofrecen el servicio de cálculo de integrales, entre ellas:

https://es.symbolab.com/solver/indefinite-integral-calculator http://es.onlinemschool.com/math/assistance/integrate/integrate/ http://www.wolframalpha.com https://www.calculadora-de-integrales.com/

―Variedad para elegir hay bastante. Probaré con ellas y ya le comentaré cuál me parece más operativa. De partida se ven fáciles de utilizar.

―Me parece muy bien Paco. Ahora te dejo un puzle para que descanses un poquito.

―¡Profe! Mire que le dije que hiciéramos con la calculadora de integrales un ejemplo con radicales. Lo intenté y me encontré con algunos problemas con la sintaxis, por ejemplo con la raíz cuadrada.

―Es razonable Paco. Cuando surgen dudas, ¡debes acudir y leer las ayudas que te ofrecen estos programas! Es obvio que para los "nativos digitales" no existen los manuales, siempre os lanzáis a probar y probar, sin reflexionar ni consultar la información que os brinda el propio programa.

―Tiene mucha razón, estoy acostumbrado a aprender toqueteando y nunca accedo a la ayuda del propio programa. Estamos acostumbrados a que todo funcione de manera intuitiva y generalmente así es.

―Voy a detallarte algo más lo que tienes que hacer en Maxima y en Geogebra; ambos son software libre. La sintaxis para raíz cuadrada es: sqrt(expresión), las siglas vienen de las consonantes (sin repetir) de “SQuare RooT” o “ raíz cuadrada” . No obstante podías haber elevado a , ¿no te parece?

―Claro que sí, puse atención en el programa y no en mis conocimientos básicos matemáticos. Eso era más intuitivo que adivinar lo de sqrt, aunque también podríamos decir que es algo lógico.

―Vamos a probar con una integral inmediata, a ver qué obtenemos. Integremos la función:

1/2

f (t) =

1 1 − t2

Integrando con Maxima

Maxima utiliza el comando integrate(función, variable);. Observa en la imagen que la solución no incluye la constante de integración.

Otra forma, es definir la función f(t), tal como se indica en la imagen:

Luego, usamos el comando integrate incluyendo la función y la expresión. Observa la siguiente imagen:

―La presentación del resultado es más elegante.

―Interpreto que te refieres a que se presenta con la notación usual. Además, ahora, se refleja la constante de integración. Puedes usar estos comandos con la versión wxMaxima en línea.

Integrando con Geogebra

Con GeoGebra la sintaxis es igual. Además incluye las gráficas tanto de la función, como de la integral.

En la imagen siguiente puedes observarlo. He incluido, adicionalmente, la ventana de cálculo simbólico (CAS), para que observes dicha sintáxis. ¡prueba tú ahora!

Figura 2.3. Vista gráfica, algebraica y del CAS de GeoGebra.

―¡Genial! Practicaré con estos de programas de cálculo simbólico, pues me ayudaran bastante.

―Aquí puedes usarlos para comprobar si lo que hayas integrado manualmente lo has hecho correctamente. No vamos a suplir el aprendizaje del cálculo integral por el aprendizaje de estas herramientas. Pero obviamente en la resolución de problemas técnicos y científicos su uso es frecuente.

Haz clic sobre la siguiente imagen, para que veas una animación que muestra cómo calculamos la integral con la herramienta GeoGebra.

Bueno Paco, sigue ejercitándote en estrategias. Para ello, te dejo nuevamente el puzle Rush Hour, ahora en el nivel intermedio.

Escena 2.19. Puzle Rush Hour nivel intermedio