2.8 Integrales cuasi-inmediatas

―Cuando te decía que completásemos la tabla de integrales inmediatas ―en primera persona del plural, es decir, tú y yo― era porque a partir de la que has preparado vamos a construir una complementaria que cubre un abanico más amplio de funciones.

―Movamos el abanico que hace algo de calor.

―Si recordamos la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas:

y, como ya debe sernos habitual, si hacemos una lectura inversa tendríamos que:

es decir, si en el integrando observamos alguna función que se asemeja a esa forma podría ser un indicador de que se corresponde a la derivada de una función compuesta. Por ejemplo:

Y en base a ello podemos reescribir la tabla anterior de la siguiente forma: [g(f (x))]′ = g ′(f (x))f ′(x)

∫ g ′(f (x))f ′(x)dx = g(f (x)) + C

∫ e arctan(x)

1 1 + x2 dx =

e arctan(x) + C

Tabla 2.2. Integrales cuasi-inmediatas

―¡Puff, profe! Más que una tabla es un tablón.

―¡Sí! un tablón que nos va a ayudar a seguir construyendo. No te pierdas entre tanta expresión algebraica. Observa detenidamente la lógica implícita de la de regla de la cadena y ese tablón será realmente una tabla más de salvación en el aparentemente proceloso aprendizaje del cálculo integral. Y ése es el motivo de por qué se dicen que son integrales cuasi-inmediatas, ya que sin más que hacer una atenta observación del integrando e identificar esa regla permite su resolución inmediata.

Para que compruebes que es así te dejo una escena que te permite prácticar tanto como quieras hasta que lo domines plenamente. ¡Ánimo! observa, identifica y actúa. ¡Ah! y fíjate que si necesitas, que si te falta una constante multiplicando para completar la regla de la cadena, la linealidad de la integral te lo permitirá.

Escena 2.13. Cálculo de integrales cuasi-inmediatas.

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―Ejercicios hay ahí para practicar y para hartarse. La mente ha de adaptarse a ver la derivada de una función compuesta donde está el integrando y a veces sí se ve fácil, y a veces las neuronas se vuelven perezosas.

―No te lo voy a negar, pero la mente se vuelve ágil cuando se la incentiva y se le ayuda practicando y practicando, lo que hay quien dice que es hacer gimnasia mental.

―Ya, pero ¿no hay nada en lo que apoyarse para darse cuenta que es la derivada de una función compuesta y cuál es ésta?

―Bien, vamos a tratar de sistematizar esa detección y para ello primero hay que tener práctica en reconocer la composición de funciones y calcular derivadas de funciones compuestas. Por favor, da respuesta a lo que se te pregunta a continuación:

Escena 2.14. Cálculo de integrales cuasi-inmediatas (escena de María de Lourdes Velasco Arregi con licencia).

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