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2.5 Constante de integración y condiciones iniciales
from Integrando con Paco
by Juan Rivera
―Profe, he realizado todo lo que me había dejado como tarea. Y por iniciativa propia he ampliado mi tabla de integrales inmediatas incluyendo las que hemos visto en los ejemplos anteriores.
―¡Magnífico! Situémonos a continuación en otro aspecto Paco.
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―Ya te había explicado que una familia de primitivas se caracteriza por tener una expresión funcional común y, para constituir la familia, usamos una constante. Es lo que hemos denotado como y = F (x) + C
―Lo recuerdo profe, ¿a que viene regresar a ese detalle?
―Porque quiero que comprendas bien lo que esto significa y porque, a veces, es necesario calcular esta constante de integración, de acuerdo a unas condiciones dadas.
Fíjate que si conocemos la gráfica de una función y = F (x)
, entonces
conocemos la grafica de y = F (x) + C, pues ésta no es más que una traslación de la anterior en la dirección del eje de ordenadadas. Y si x0 es un valor del dominio de definición de F (x) entonces sea cual sea el valor de y0 podremos determinar un valor de C de manera que F (x) + C pase por el punto de coordenadas (x0, y0). En concreto
C = y0 − F (x0)
―Le observo algo "acelerado" ¿Podemos ver algunos ejemplos?
―¡Claro que sí! En la siguiente escena tienes cuatro ejemplos. Ve seleccionando cada uno de ellos y fijándote en lo que ahí se muestra.
En la columna de la izquierda podrás observar el procedimiento analítico que comienza especificando la función que se quiere integrar. A continuación se realiza el cálculo de la integral (familia de primitivas) y la determinación de la constante de integración C para que pase por un punto dado. A la derecha se representa gráficamente y la primitiva donde puede variarse con el control inferior etiquetado con ese nombre. Al ir variando se va dejando el rastro de las primitivas anteriores. Con el botón "otro punto" puede cambiarse el punto por el que deseamos pase la primitiva de . A la izquierda en verde se muestra el cálculo de la constante buscada y cuando el control tome ese valor la gráfica de la primitiva buscada, la que pasa por el punto , se mostrará también en verde. f (x) F (x) P f (x) F (x) + C C C f (x) C P
Escena 2.6. Constante de integración
―Fueron clarificadores esos ejemplos. Y las primitivas se correspondían con integrales inmediatas que ya conocíamos, pues todas eran potencias. ¿Tiene algunos ejemplos un poquito más complicados?
― "Voilà!" Observa los ejemplos siguientes y después harás algunos ejercicios.
Escena 2.7. Integrales indefinidas y condiciones iniciales (escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa)
―Ahora Paco, para afianzar lo de la constante de integración, resuelve estos ejercicios. En caso de ser necesario, utiliza dos decimales de precisión.
Escena 2.8. Constante de integración y condiciones iniciales (escena de Alejandro Radillo Díaz CC by-nc-sa)
―Gracias profe, por los ejemplos y ejercicios. Ya he comprendido lo de las famosas familias.
―¡Qué bien Paco! Te vas dando cuenta que el Cálculo Integral es sencillo y divertido.
―Bueno, lo de divertido puede que sea para usted.
―Y seguro que para ti también, poco a poco te lo parecerá. Mientras tanto observa el siguiente vídeo, que muestra una explicación de esta sesión
Video
Video 2.3. Video "Constante de integración"
―Bueno profe, de veras que me he motivado bastante con ese vídeo que resume todo lo anterior. Ahora, entiendo que es posible determinar una sola primitiva si se da una condición.
―Eso es cierto Paco. A esa condición, en el contexto de problemas de Física, se le suele llamar condición inicial. Si te parece, vamos a plantear a continuación una aplicación física de lo que hemos visto.
