1.4 El Teorema Fundamental del Cálculo

v(t) = dx = dt lim

h→0 f (t + h) − f (t) h

Teorema FundamentalTeorema Fundamental deldel CálculoCálculo

SiSi FF yy ff sonson dosdos funcionesfunciones talestales queque ff (( xx )) == dd xx dd FF (( xx )) parapara todatoda xx enen unun intervalointervalo [[ aa ,, ,,bb ]] entoncesentonces

∫∫ aa

bb

ff (( xx )) dd xx == FF (( bb )) − − FF (( aa ))

OtroOtro enunciadoenunciado equivalenteequivalente dede esteeste teoremateorema dicedice queque sisi ff eses unauna funciónfunción enen unun intervalointervalo [[ aa ,, bb ]] yy sese definedefine

FF (( xx )) == ∫∫ ff (( tt )) dd tt aa

xx

entoncesentonces

dd FF dd xx (( xx )) == ff (( xx )) parapara xx enen [[ aa ,, bb ]]

ElEl teoremateorema dicedice que,que, enen ciertocierto sentido, sentido, lala integraciónintegración yy lala derivaciónderivación sonson operacionesoperaciones inversas. inversas.

Gracias a este teorema, el Cálculo permite obtener resultados importantes. Por ejemplo, si conocemos la velocidad de un cuerpo en todo momento, y su posición inicial, podemos saber su posición en cualquier instante. También podemos calcular el área bajo la gráfica de una función f (x) si encontramos una función F (x) cuya derivada sea precisamente f .