3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - pitanja
4. KONTROLNA ZADAĆA - pitanja 1. Odredite kut α trokuta ABC ako je: A (-1,2), B (3,3) i C (1,5). 2. Odredite jednadžbu pravca koji je okomit na pravac s jednadžbom x – 3y + 1 = 0 i prolazi sjecištem pravaca s jednadžbama 3x – 2y – 6 = 0 i 7x + y + 3 = 0. 3. Grafički riješi sustav jednadžbi: a) 2x + y = 8 x + 3y = 9
b) x – 3y = 5 -x + 3y = 4
4. Napišite jednadžbu kružnice koja prolazi točkama A (-1,7), B (2,6) i C (-5,-1). 5. Napišite jednadžbe tangenata na kružnicu ( x + 1 )2 + ( y – 7 )2 = 25 koje su okomite na pravac 3x + 4y + 2 = 0. 6. Kolika je duljina one tetive elipse 2x2 + y2 = 36 što je sadrži pravac 2x – y – 9 = 0. 7. Odredite jednadžbu tangente hiperbole x2 – 5y2 = 20 u točki T (10,4) te hiperbole. 8. Nađite vrijednost preostalih trigonometrijskih funkcija ako je zadana:
a) sin x = i x ∈ ( , π)
9. Odredite točnu vrijednost: a) cos 75°
b) tg x = 2 i x ∈ ( ,
)
b) sin 105°
10. U pravokutnom trokutu hipotenuza je 7 cm, a jedan njegov kut 35°. Odredite duljinu kateta.
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
1
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - rjeťenja
4. KONTROLNA ZADAĆA - rjeťenja 1. A ( -1 , 2 ) B(3,3) C(1,5) ι=?
y – yA = A ( x – xA) jednadĹžba pravca kroz 2. toÄ?ke
y y y y y
tg Îą =
–2= ( x 1 – 2 = ( x + 1) – 2 = x = x + 2 = x
k k
k k
tg Îą =
!
∙ !
=
( ( x 1 y–2= (x+1) y – 2 = x y = x + 2 ) y = x
y–2 =
kut između dva pravca pravca #$ !
%
& ! %
*
= =
= 0,90909
Îą = 42° 16' 25“
2.
x – 3y + 1 = 0 => -3y = -x – 1 / : (-3) 3) => y = x
3x – 2y – 6 = 0 7x + y + 3 = 0 / ¡ 2 3x – 2y – 6 = 0 14x + 2y + 6 = 0 17x = 0 x=0
uvjet okomitosti
3x – 2y – 6 = 0
k = 'k
3 ¡ 0 – 2y – 6 = 0
k=-
-2y = 6 / : (-2) y = -3 T( 0,-3)
k = -33 y = -3x 3x – 3
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
2
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
3. a) 2x + y = 8 x + 3y = 9 y = - 2x + 8 3y = -x + 9 / : 3
y=- x+3
Rješenje je T ( 3 , 2 ).
b) x – 3y = 5 -x + 3y = 4 -3y = -x + 5 / : (-3)
(
y = x -
3y = x + 4 / : 3
y = x
k = k
Sustav jednadžbi nema rješenja jer su pravci paralelni.
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
3
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
4. A ( -1 , 7 ) B(2,6) ( x – p )2 + ( y – q )2 = r2 C ( -5 , -1 ) ( -1 – p )2 + ( 7 – q )2 = r2 ( 2 – p )2 + ( 6 – q )2 = r2 ( -5 – p )2 + ( -1 – q )2 = r2 ( -1 – p )2 + ( 7 – q )2 = ( 2 – p )2 + ( 6 – q )2 1 + 2p + p2 + 49 – 14q + q2 = 4 – 4pp + p2 + 36 – 12q + q2 2p – 14q + 4p + 12q = 4 + 36 – 1 – 49 6p – 2q = -10 ( -5 – p )2 + ( -1 – q )2 = ( 2 – p )2 + ( 6 – q )2 25 + 10p + p2 + 1 + 2q + q2 = 4 – 4pp + p2 + 36 – 12q + q2 10p + 2q + 4p + 12q = 4 + 36 – 25 – 1 14p + 14q = 14 / : 14 p+q=1 6p – 2q = -10 p+q=1/·2 6p – 2q = -10 2p + 2q = 2 8p = -88 / : 8 p = -11
-11 + q = 1 q=1+1 q=2
((-1 + 1 )2 + ( 7 – 2 )2 = r2 52 = r2 r=5 ( x + 1)2 + ( y – 2 )2 = 25
5. ( x + 1 )2 + ( y – 7 )2 = 25 3x + 4y + 2 = 0 r2 ( 1 + k2) = ( q – kp – l)2 4y = - 3x – 2 / : 4
y = x -
k0 = - k
k0 = -
!
k0 =
25 ( 1 + ( )2 ) = ( 7 - · ( -1) – l )2 , ( ) = ( – l )2 (∗ ( ( = ( – l )2 ( ( –l=± ( ( l1 = -
25 ( 1 +
l1 = 0
( (* - (*
(
- l2 = -
-
- l2 =
/ · ( -1)
l2 =
y= x
y= x+
(*
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
4
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
6. 2x2 + y2 = 36 2x – y – 9 = 0 -y = -2x + 9 / · ( -1) y = 2x – 9 2x2 + y2 = 36 2x2 + ( 2x – 9 )2 = 36 2x2 + 4x2 – 36x + 81 – 36 = 0 6x2 – 36x + 45 = 0 / : 3 2x2 – 12x + 15 = 0
. / √. 12 1 / √ * x1,2 = / √ x1,2 = √, x1,2 = 3 /
x1,2 =
A (3 +
√,
, - 3 + √6 )
y1= 2 ( 3 +
√,
-9)
y1= 6 + √ √6 - 9 )
y1= - 3 + √6 y2= 2 ( 3 -
√,
-9)
y2= 6 - √ √6 - 9 ) y2= - 3 - √6
B (3 -
√,
, - 3 - √6 )
√, √, 5555 AB = 6( x ' x ( y ' y = =(3 - ' 3 - ( '3 ' √6 3 ' √6 √ =
= √6 24 = √30
7. x2 – 5y2 = 20
x2 – 5y2 = 20
4 = 10k + l
T ( 10 , 4 )
x y ' *
l = -10k + 4
a2k2 – b2 = l2
=1
uvjet tangente
20k2 – 4 = l2 20k2 – 4 = ( -10k + 4 )2 20k2 – 4 = 100k2 – 80k + 16 100k2 – 80k + 16- 20k2 + 4 = 0 80k2 – 80k + 20 = 0 / : 20 4k2 – 4k + 1 = 0 k1,2 =
k1,2 = k=
. / √. 12 1 / √ , , <
l = -10k 10k + 4
l = -10 · + 4 l = -55 + 4 l=-1
y= x–1
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
5
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
8. a) sin x =
6
i x ∈ ( ,
√
cos x = - √1 ' sin x = '=1 ' = '= = '
tg x =
ABC x
DEA x
ctg x =
=
tg x
b)
=
√
√
= ' √3
i x ∈ ( ,
tg x = 2
= '
√
= '
√
ABC x
tg x = DEA x
sin x = tg x · cos x
sin x = tg x · √1 ' sin x /2 sin2 x = tg2 x ( 1 – sin2 x ) sin2 x = tg2 x – tg2 x · sin2 x sin2 x + tg2 x · sin2 x = tg2 x sin2 x ( 1 + tg2 x ) = tg2 x tg x
cos x = - √1 ' sin x
sin2 x = tg x sin2 x =
cos x = - =1 ' (
sin2 x = ( sin x = ' sin x = '
cos x = - =(
cos x = '
√(
√( (
√( (
ctg x = tg x ctg x =
2
9. a) cos 75° = cos ( 45° + 30°) = cos 45° · cos 30° - sin 45° · sin 30° = =
√ √ √ ∙ '
∙ =
√,
'
√
=
√, √
sin 105° = sin ( 60° + 45° ) = sin 60° · cos 45° + cos 60° · sin 45° = =
√ √ ∙
√ √, =
∙
√
=
√, √
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
3. razred
4. KONTROLNA ZADAĆA - rješenja
7
B
10. c = 7 cm α = 35° sin α =
a
a c
a = sin α · c a = sin 35° · 7 a = 0,57358 · 7
c
C
α
A
b
a = 4,01 cm cos α =
b c
b = c · cos α b = 7 · cos 35° b = 7 · 0,81915 b = 5,37 cm
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr