8. razred
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
Stranica 1
STOŽAC 1.
Polumjer baze stošca je 5 cm, a duljina njegove izvodnice je 7,4 cm. Izračunaj oplošje tog stošca.
2.
Promjer baze stošca je 9 cm, a površina njegova plašta je 45π cm2. Izračunaj duljinu izvodnice i oplošje tog stošca.
3.
Polumjer baze stošca je 3,6 cm, a duljina njegove visine je 5 cm. Izračunaj obujam tog stošca?
4:
Opseg baze stošca je 7,5π cm, a duljina njegove visine je 4 cm. Izračunaj obujam tog stošca.
5.
Uspravni je stožac presječen ravninom koja prolazi vrhom stošca i sadrži promjer baze. Izračunaj površinu tog presjeka ako je polumjer baze 20 cm, a duljina izvodnice stošca 29 cm.
6.
Promjer baze uspravnog stošca je 40 cm, a duljina izvodnice je 29 cm. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.
7.
Polumjer baze stošca je 5 cm, a njegova visina je 12 cm. Izračunaj oplošje, obujam i površinu osnog presjeka tog stošca.
8.
Visina stošca je 84 mm, a duljina izvodnice je 85 mm. Izračunaj oplošje i obujam stošca.
9.
Osni presjek stošca je jednakostraničan trokut čija je površina 9√3 cm2. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.
10.
Izračunaj oplošje i obujam jednakostraničnog stošca čija je površina baze 16π cm2.
11.
Površina osnog presjeka jednakostraničnog stošca je 36√3 cm2. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.
12.
polukrug polumjera 10 cm savijen je u plašt stošca. Koliki je obujam nastalog stošca?
13.
Pravokutni trokut s katetama duljine a = 8 cm i b = 15 cm rotira oko svoje kraće katete. Izračunaj oplošje i obujam dobivenog rotacijskog tijela.
14.
Pravokutni trokut s katetama duljine a = 8 cm i b = 15 cm rotira oko svoje dulje katete. Izračunaj oplošje i obujam dobivenog rotacijskog tijela.
15.
Pravokutni trokut s katetama 6 cm i 8 cm rotira oko svoje hipotenuze. Izračunaj oplošje i obujam nastalog rotacijskog tijela.
16.
Ako se plašt kružnog stošca razvije u ravninu dobiva se kružni isječak iz kružnice polumjera 6 cm sa središnjim kutom od 120°. Izračunaj oplošje i obujam tog stošca.
KUGLA 17.
Izračunaj oplošje i obujam kugle s polumjerom duljine 12 cm.
18.
Izračunaj oplošje i obujam kugle s polumjerom duljine 1,8 dm.
19.
Oplošje kugle je 361π cm2. Izračunaj njezin obujam.
20.
Kugla je presječena ravninom koja prolazi njezinim središtem. Izračunaj površinu tog presjeka, oplošje i obujam kugle ako je njezin polumjer 9 cm.
21.
Kolika je površina kupole na nekoj zgradi ako je kupola oblika polukugle promjera 10 m?
22.
Iz kocke obujma 1 dm3 napravljena je najveća moguća kugla. Izračunaj njezino oplošje i obujam.
23.
Izračunaj oplošje i obujam kugle koja prolazi svim vrhovima kocke kojoj je brid dug 36 mm.
24.
U posudu do vrha napunjenu vodom ubačeno je 12 metalnih kugli promjera 10 cm. Koliko će se vode izliti iz posude?
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
8. razred
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
Stranica 2
FORMULE STOŽAC OPSEG BAZE
KUGLA
BAZA
B =
PLAĹ T
P = rπs
IZVODNICA
VISINA
OPLOĹ JE
O=B+P O = rπ
OBUJAM
V=
OSNI PRESJEK
¡
¡
O = 4
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 1.
Stranica 3
r = 5 cm s = 7,4 cm O=?
O = rπ O = 5π 5 7,4 O = 5π ¡ 12,4 O = 62π cm 2.
R = 9 cm P = 45Ď€ cm2 s, O = ?
O = rπ
2r = R 2r = 9
O = 4,5Ď€ 4,5 10
r = 4,5 cm
O = 4,5π ¡ 14,5
P = rπs
O = 65,25 cm
45Ď€ = 4,5Ď€s /: 4,5Ď€ s = 10 cm 3.
r = 3,6 cm v = 5 cm V=?
V V
¡
,
¡!
" ,# ¡!
V = 21,55Ď€ cm 4.
O% 7,5Ď€ cm v = 4 cm V=?
7,5π = 2rπ /: 2π r = 3,75 cm ¡
V V
,(! ¡)
"),* ! ¡)
V = 18,75Ď€ cm
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 5.
Stranica 4
r = 20 cm s = 29 cm P./ ?
1 29 20
MoĹžemo na dva naÄ?ina, kvadriranjem ili razlikom kvadrata. Ako upotrijebimo razliku kvadrata nije nam potreban kalkulator. 1 841 400
ili
1 29 20 29 20
1 441
1 49 ¡ 9
v = √441
1 441
v = 21 cm
P./ 20 ¡ 21
P./ 420 cm
6.
R = 40 cm s = 29 cm O, V = ? 2r = R 2r = 40 r = 20 cm
1 29 20
1 29 20 29 20 1 49 ¡ 9
¡
O = rπ
O = 20Ď€ 20 29
V
O = 20π ¡49
V = 400π ¡ 7
O = 980Ď€ cm
V = 2800Ď€ cm
* ¡ "
1 441 v = √441 v = 21 cm 7.
r = 5 cm v = 12 cm O, V, P./ ?
¡
O = rπ
s 5 12
O = 5Ď€ 5 13
V
s 25 144
O = 5π ¡18
V = 25π ¡ 4
O = 90Ď€ cm
V = 100Ď€ cm
s 169
!
¡"
P./ 5 ¡ 12 P./ 60 cm
s √169 s = 13 cm Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 8.
Stranica 5
v = 84 mm s = 85 mm O, V = ?
r 85 84
r 85 84 85 84 r 169 ¡ 1
¡
O = rπ
O = 13Ď€ 13 85
V
O = 13π ¡ 98
V = 169π ¡ 28
O = 1.274Ď€ cm
V = 4.732Ď€ cm
" ¡>)
r 169 r = 13 mm 9.
P./ 9√3 cm O, V = ?
8 9
2r = s
)
9
: √
povrĹĄina jednakostraniÄ?nog trokuta
9√3 /¡
)
√
s 36
¡
O = rπ
2r = 6
O = 3Ď€ 3 6
V=
r = 3 cm
O = 3π ¡ 9
V = 9√3 ¡ Ď€ cm
s = 6 cm
1
:√
1
√
O = 27Ď€ cm
¡ √
v = 3√3 cm 10.
B = 16Ď€ cm2 O, V = ? B =
16π = r π /: = r 16 r = 4 cm
v=
:√
>√
s = 2r
v=
s=2¡4
v = 4√3 cm
s = 8 cm
O = rπ
O = 4Ď€ 4 8
V=
O = 4π ¡ 12
V=
O = 48Ď€ cm
V=
¡
) ¡)√
" ¡)√
)√ √ ¡?
cm
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 11.
Stranica 6
P./ 36√3 cm O, V = ?
8 9
2r = s
: √ )
povrĹĄina jednakostraniÄ?nog trokuta
9
36√3 /¡
)
√
s 144
¡
O = rπ
2r = 12
O = 6Ď€ 6 12
V=
r = 6 cm
O = 6π ¡ 18
V = 36Ď€ ¡ 2√3
O = 108Ď€ cm
V = 72√3 ¡ Ď€ cm
s = 12 cm
1
:√
1
" √
¡ √
v = 6√3 cm 12.
s = 10 cm V=? 2rπ = sπ Objaťnjenje: opseg cijelog kruga bi bio 2sπ, a poťto je to samo polukrug onda je pola opsega sπ ťto odgovara 2rπ po definiciji plaťta stoťca. 2rπ = 10π /: 2π r = 5 cm 1
:√
1
"*√
iz toga vidimo da je stoĹžac jednakostraniÄ?an jer je s = 2r pa je
v = 5√3 cm
V= V= V=
¡
!
¡ !√
! ¡ !√
" !√
= @A
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
8. razred 13.
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
Stranica 7
a = 8 cm b = 15 cm O, V = ?
B 8 C
c 8 15
c 64 225
c 289
c = 17 cm r=b s=c v=a
14.
O = rπ
O = 15Ď€ 15 17
V=
O = 15π ¡ 32
V=
O = 480Ď€ cm
¡
"! ¡ >
! ¡ >
V = 600Ď€ @A
a = 8 cm b = 15 cm O, V = ?
B 8 C
c 8 15
c 64 225
c 289 c = 17 cm r=a s=c v=b
O = rπ
>
¡
¡ "!
O = 8Ď€ 8 17
V=
O = 8π ¡ 25
V = 64π ¡ 5
O = 200Ď€ cm
V = 320Ď€ @A
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 15.
Stranica 8
a = 6 cm b = 8 cm O, V = ? Prvo moramo izraÄ?unati koliko nam je hipotenuza c, a onda koliki su nam x i y.. To ćemo uÄ?initi pomoću pitagorinog pouÄ?ka.
B 8 C
c 6 8
c 36 64 c 100
c = 10 cm x + y = 10
D x = 10 – y
1 a y
1 b x b x a y
8 10 y 6 y
1 a y
64 – 100 + 20y – y = 36 – y
1 6 3,6
20y = 36 – 64 + 100
x = 10 – y
20y = 72 /: 20 y = 3,6
x = 10 – 3,6 x = 6,4
1 36 12,96 1 23,04 23 v = 4,8 cm
Rotacijsko tijelo se sastoji ji od dva stoĹĄca sa istom bazo polumjera 4,8 cm. StoĹžac 1 ima visinu 6,4 cm i izvodnicu 8 cm, a stoĹžac 2 ima visinu 3,6 cm i izvodnicu 6 cm. r = 4,8 cm 1" 6,4 cm s" 8 cm 1 3,6 cm s 6 cm
O = J
V = J
O = rπ J
O = rπ J
O = 4,8Ď€ 8 6
V
O = 4,8π ¡ 14
V
O = 67,2Ď€ cm
V = 7,68π ¡ 10
¡ J
¡
J
6,4 3,6
),>
,*)
¡ 10
V = 76,8Ď€ cm
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 16.
Stranica 9
s = 6 cm ι = 120° O, V = ? K l = duŞina luka JLM° : O 2rπ /: 2π ">*° :O r= *° ¡" *° r= *°
r = 2 cm
¡
O = rπ
1 6 2
O = 2Ď€ 2 6
V
1 36 4
O = 2π ¡ 8
V
) ¡)√
1 32
O = 16Ď€ cm
V
" √
¡)√
Ď€ cm
v = √32 v =4√2 cm 17.
r = 12 cm O, V = ?
O = 4 O = 4 ¡ 12 π
V V
O = 4 ¡ 144π
O = 576Ď€ cm
18.
)¡" P
)¡" ¡"
V = 16 ¡ 144π V = 2.304π cm
r = 1,8 dm = 18 cm O, V = ?
O = 4
)¡">P
O = 4 ¡ 18 π
V
O = 4 ¡ 324π
V
O = 1.296Ď€ cm
V = 24 ¡ 324π
)¡">¡">
V = 7.776Ď€ cm
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 19.
Stranica 10
O = 361Ď€ cm2 V=?
20.
O = 4
361π = 4r π /: 4π
V
)¡#,!P
)¡>!(, (!
r 90,25
V
r = 9,5 cm
V = 1.143,17Ď€ cm
r = 9 cm O, V = ?
21.
O = 4
O = 4 ¡ 9 π
V
O = 4 ¡ 81π
V
O = 324Ď€ cm
V = 12 ¡ 81π
)¡#P
P./ 8 π
)¡#¡#
P./ 81Ď€ cm
V = 972Ď€ cm
R = 10 m 2r = R 2r = 10 r=5m
Q
PR 2 ¡ 5 π
PR 2 ¡ 25π
PR 50Ď€ cm
22.
VRS 1 dm ORU , VRU ?
VRS a a 1
2r = a
P
a = √1
2r = 1 "
a = 1 dm
O = 4 "
O = 4 ¡ V W π "
r = dm
V V
O=4¡ π )
ORU =Ď€ dm
X P )¡V W
X )¡ Y
VRU = dm Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
GEOMETRIJSKA TIJELA – STOŽAC I KUGLA
8. razred 23.
Stranica 11
a = 36 mm ORU , VRU ? D = a√3 D = 36√3 2r = D 2r = 36√3 r = 18√3 cm
O = 4
24.
P
O = 4 ¡ Z18√3[ Ď€
V
)¡ Z">√ [
O = 4 ¡ 324 ¡ 3π
V
)¡!> ¡ √
ORU =3.888Ď€ mm
VRU = 23.328Ď€âˆš3 mm
R = 10 cm 2r = R 2r = 10 r = 5 cm
V V
)¡!P
)¡" !
V = 523,3 cm 12 ¡ 523,3 = 6.279,6 cm3 1000 cm3 = 1 L 6.279,6 : 1000 = 6,2796 L Izlit će se 6,2796 litara vode.
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr