kvadratne jednadžbe, racionalne jednadžbe i kompleksni brojevi

Page 1

Str. 1

Kvadratne jednadŞbe, racionalne jednadŞbe i kompleksni brojevi KVADRATNE JEDNADŽBE GRUPA A 1.

RijeĹĄi jednadĹžbe: a)

2.

16 0

b)

x

x 0

6x 24x 25 0

c)

NapiĹĄi jednadĹžbu Ä?ija su rjeĹĄenja: a)

3.

ovdje treba biti 16

x , x 1

x

b)

x

x y 10

RijeĹĄi sustav:

b)

x+y =2 5x 2x 3

4.

Faktoriziraj:

5.

RijeĹĄi jednadĹžbu:

4x 5x 9 0

RJEĹ ENJA: 1.

a)

16 0/¡ 25

x 400 0

x 4x 15 0

x , √ 400

x 0

x , 20

6x 24x 25 0

x ,

√ ! "

4x 15/: 4 x

ili

16x 24x 25 0

4x 3 9 25 0

√ #$ $%%

4x 3 16 0

x ,

√

4x 3 4 4x 3 4 0

x , 1

√ √$

√$

x , 1 a)

4x 15 0

x ,

x , 1

2.

4x 15x 0

x , 400

c)

x 0/¡ 10

x

x 1

16 4

4x 3 4 0

4x 3 4 0

4x 3 4 /: 4

4x 3 4 /: 4

x

x

_________________________________________

' ( ( ) ( ( * +

3 ,x - x 1 0

3x 2 x 1 0

3x 3x 2x 2 0 3x x 2 0

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, racionalne jednadĹžbe i kompleksni brojevi b)

Str. 2

x

x

__________________________________________________________________

2

3

2

3

144 ,x 3 4 - ,x 3 4 - 0 2

3

2

3

12 ,x - ¡ 12 ,x - 0 3

4

3

4

. 12x 8 9 0. 12x 8 9 0 0 12x 8 9 0

144x 192x 64 81 0

144x 192x 145 0

3.

x y 10

x + y = 2 => y = 2 – x x 2 x 10

x 4 4x x 10 0 2x 4x 6 0

2x 2x 6x 6 0

2x x 1 6 x 1 0

x 1 2x 6 0 x 1 0

y 2 x

2x 6 0

y 3

x 1

2x 6/: 2 x 3

4. 5.

y 2 1

y 2 3 y 1

(–1, 3) (3, –1)

5x 2x 3 5x 5x 3x 3 5x x 1 3 x 1 x 1 5x 3

4x 5x 9 0

4x 4x 9x 9 0

4x x 1 9 x 1 0 x 1 4x 9 0

x 1 0 x 1

x , √ 1

x ,

4x 9 0

4x 9/: 4 1

x

1

x , 2

x ,

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Str. 3

Kvadratne jednadŞbe, racionalne jednadŞbe i kompleksni brojevi KVADRATNE JEDNADŽBE GRUPA B 1.

RijeĹĄi jednadĹžbu: a)

2.

$

25 0

b)

x

x 0

144x 72x 73 0

c)

NapiĹĄi jednadĹžbu koja ima rjeĹĄenja: a)

3.

x , x 1

x

b)

x

x y 13

RijeĹĄi sustav:

b)

x+y =5 4.

Faktoriziraj: 5x 9x 4

5.

RijeĹĄi jednadĹžbu:

x 3x 2 0

RJEĹ ENJA: 1.

a)

$

25 0/¡ 36

x 900 0

3x 2x 0

x 900

x 3x 2 0

x , √ 900

x 0

x , 30 c)

( * 4 * ( 45 ( 45

12x 3 64 0 12x 3 8 0

12x 3 8 /: 12

x

a)

3x 2/: 3

144x 72x 73 0

12x 3 8 12x 3 8 0

3x 2 0

x

12x 3 9 73 0

2.

x 0/¡ 4

12x 3 8 0

12x 3 8 /: 12

x

x

x 1

' ( ( ) ( ( * +

a je umnoĹžak svih nazivnika (ako ih ima)

4 ,x - x 1 0

4x 3 x 1 0

4x 4x 3x 3 0 4x 7x 3 0

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, racionalne jednadĹžbe i kompleksni brojevi

Str. 4

x

b)

x

144 ,x - ,x - 0

12 ,x - ¡ 12 ,x - 0

12x 9 8 12x 9 8 0

. 12x 9 8 0. 12x 9 8 0 0 12x 9 8 0

144x 216x 81 64 0

144x 216x 145 0

3.

x y 13

x + y = 5 => y = 5 – x

x .5 – x0 13

x 25 10x x 13 0

2x 10x 12 0

2x 4x 6x 12 0

2x x 2 6 x 2 0

x 2 2x 6 0 x 2 0 x 2

2x 6 0

2x 6/: 2 x 3

4. 5.

y 5 2 y 3

y 5 3

y 2

(2,3), (3,2)

5x 9x 4 5x 5x 4x 4 5x x 1 4 x 1 x 1 5x 4

x 3x 2 0

x 2x x 2 0

x x 2 x 2 0 x 2 x 1 0

x 2 0

x 1 0

x 2

x 1

x , √2

x ,

x , √ 2

x , √ 1

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Str. 5

Kvadratne jednadĹžbe, racionalne jednadĹžbe i kompleksni brojevi KOMPLEKSNI BROJEVI GRUPA A 1.

Odredi x i y : 3x 2y 1 4 5

2.

Odredi z – w, z + w, z : w, ako su z = 2 + 3i i w = 3 – i.

3.

IzraÄ?unaj |z| ako je z

4.

IzraÄ?unaj: , ;; -

5.

IzraÄ?unaj R >? ako je z 9@ @

: <<

:

9 : ; ¡ 9: ; 9 : ;

9:

RJEĹ ENJA: 1.

3x 2y 1 4 5

3x 2y 1 4 5

3x 1 2y 1 4 5 3x 1 4

2y 1 5 3x – 1 = –4

2y – 1 = –5

3x = –4 + 1

2y = –5 + 1

3x = –3 /:3

2y = –4 /:2

x = –1 2.

y = –2

z = 2 + 3i w=3–i z w 2 3 3 2 3 3 1 4

z w 2 3 3 5 2 ?

B

3.

z

9 : @

¡

9@ 9@

$9 :91:

9 : ; ¡ 9: ; 9 : ;

9 :9 :91

2, - , : <<

,: ;; -

: H

9:

- F E

9 :

G9$:

|C| D( * 4 *

E E

%

2

$

9:

,

:

1

¡

9:

:9:9

9: :

9 :9: 9 :

9 :

E E

%

2

9:

9:

z 9@ @ Re? 2

,I :

:

,

9 : 9:

E F,

E E

91

C ( 45

9 : ;

E

5.

9 : ; ¡ 9: ;

|z| E

4.

9 :

9

¡

9: 9:

E E

9 :

9 :

9 :

¡

: :

E

E E E

1 1

,

: 9

19$: 9

-

G9$:

2

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, racionalne jednadĹžbe i kompleksni brojevi

Str. 6

KOMPLEKSNI BROJEVI GRUPA B 1.

Odredi x i y u jednadĹžbi 3x 2y 1 2 5 .

2.

Odredi z–w, z+w, B ako z=3–2i i w=3+4i.

?

: I

3.

Odredi |z| ako je z : I @ I

4.

IzraÄ?unaj: , ;; - .

5.

Koliki je Im? broja z 9: : .

##

: II

:

9:

RJEĹ ENJA: 1.

3x 2y 1 2 5

3x 2y 1 2 5

3x 1 2y 1 2 5 3x – 1 = 2 2y + 1 = 5 3x = 2 + 1 2y = 5 – 1 3 x = 3/:3 2y = 4 /:2 x=1 y=2 2.

z = 3 – 2i w = 3 + 4i z w 3 2 3 4 3 2 3 4 6

z w 3 2 3 4 6 2 ?

B

3.

– :

9 :

:

1 : $: G

¡ :

19 $

: I

z : I @ I : I

G:

:

G

:

9 :

:

|z| E : I @ I E F, : @ - F E E E : ¡ 9 :E : : E

91: :9 91

$9G:

E E

2, - , -

4. 5.

: II

##

,: ;; -

: H

##

,: I -

9:

%

E E 1

9 : %

$

9 :

E E

9:

9: ##

, : ¡ 9:-

9:

9:

9:

Im?

: ##

,

2 2 1 1

z 9: : :9 :9 : ¡ 9:

E E E

9

9 %: 9

-

: ##

,

9 %: $

-

##

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, raacionalne jednadĹžbe i kompleksni brrojevi

Str. 7

RACIONALNE JEDNADŽBE GRUPA A 1. 2. 3.

4.

RijeĹĄi jednadĹžbu √x x 20.

Odredi tjeme,tok funkcije, nul toÄ?ke, te nacrtaj graf funkcije N x x x 2. Odredi polinom drugog stupnja N x ax bx c ako su

1 4. N 0 3, N 2 3, N 1

Odredi ekstrem funkcije N N x x x 3.. O kojem je ekstremu rijeÄ??

RJEĹ ENJA: 1.

√x x 20/

2

x x 40x 400

x 40x 400 x 0

x 41x 400 0 √ !

x ,

"

√ $G $%%

x ,

√G

x ,

1

x , 2.

x

N x x x 2

(+

x%

x%

P

4+

*'

y%

y%

1

x 16

U'V P* U'

¡ ¡ G

1

y%

∞

Tok

x

x 25

T x% , y%

91

∞

1

T , , -

x f x x x 2 0

x x 2x 2 0

x x 1 2 x 1 0 x 1 x 2 0 x 1 0

x 1

x 2 0

x 2

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, racionalne jednadĹžbe i kompleksni brojevi

3.

Str. 8

N x ax bx c N 0 3

N 2 3

N 1 4

a ¡ 0 b ¡ 0 c 3

a ¡ 2 b ¡ 2 c 3 a ¡ 1 b ¡ 1 c 4 c=3 4a + 2b + c = –3 a + b + c = –4 4a +2b + 3 = –3 a + b + 3 = –4 4a + 2b = –3 – 3 a + b = –4 – 3 4a + 2b = –6 a + b = –7 => b = –a – 7 4a 2.– a – 70 6 4a – 2a – 14 = –6 4a – 2a = –6 + 14 2a = 8 /:2 a 4

N x 4x 11x 3 4.

b 4 7 b 11

N x x x 3

Ekstrem je na y%

4+

y% y%

U'V P* U'

H ¡ ¡ H ¡

$

#

y%

poĹĄto je a > 0 ekstrem je minimum.

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, racionalne jednadĹžbe i kompleksni brojevi

Str. 9

RACIONALNE JEDNADŽBE GRUPA B 1. 2. 3. 4.

RijeĹĄi jednadĹžbu √x 1 x 7.

Odredi ekstrem funkcije N x x x 3. O kojem je ekstremu rijeÄ??

Odredi tjeme,tok funkcije, nul toÄ?ke, te nacrtaj graf funkcije N x x 2x 5. Odredi polinom drugog stupnja N x ax bx c ako su

N 0 3, N 2 3, N 3 0. RJEĹ ENJA: 1.

√x 1 x 7

Prebacimo sve bez korijena na jednu stranu

√x x 6 /

i kvadriramo

√x x 7 1 2

x x 12x 36

x 12x 36 x 0 x 13x 36 0

x , x , x , x ,

2.

√ ! "

√ $1

√

N x x x 3

x

9

x 9

x

x 4

Ekstrem je na y%

4+

y% y%

U'V P* U' H W

¡, -¡

y% 4

3.

H W

¡, -

poĹĄto je a < 0 ekstrem je maksimum.

N x x 2x 5

T x% , y%

(+

P

*'

x%

x% 1

4+ y% y%

U'V P* U'

¡ ¡ ¡

%

y% 6

T 1 , 6

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Kvadratne jednadĹžbe, raacionalne jednadĹžbe i kompleksni brrojevi

∞

Tok

1

Str. 10

∞

x f x

x 2x 5 0

( ),* x , x , x , x ,

P DP * U'V *X

√ 9 %

√

√$

. √$0

x , 1 √6 4.

N x ax bx c N 0 3

N 2 3

f 3 0

a ¡ 0 b ¡ 0 c 3

a ¡ 2 b ¡ 2 c 3

a ¡ 3 b ¡ 3 c 0 c=3 4a – 2b + c = 3 9a – 3b + c = 0 4a – 2b + 3 = 3 9a – 3b + 3 = 0 4a – 2b = 3 – 3 9a – 3b = –3 /:3 4a – 2b = 0 3a – b = –11 => b = 3a + 1 4a 2 3a 1 0 4a – 6a – 2 = 0 – 2a = 2 /: (–2) a = –1

b 3 ¡ 1 1 b = –3 + 1 b = –2

N x x 2x 3

Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr

Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.