LINEARNE JEDNADŽBE Linearna jednadžba s jednom nepoznanicom je svaka jednadžba oblika a ⋅ x = b. PRIMJER 1.
3x − 7 = 4 x − 3( x + 11) + 8 [najprije se riješimo zagrada] 3 x − 7 = 4 x − 3x − 33 + 8
[izračunajmo što se može]
3 x − 7 = x − 25
[prebacimo nepoznate na lijevu, a poznate na desnu stranu, pri tome svaki broj koji mijenja stranu mijenja predznak]
3 x − x = 7 − 25
[Izračunamo na obje strane što se može]
2 x = −18 / : 2
[Podijelimo sa brojem uz nepoznanicu]
x=
− 18 2
[Skratimo]
x = −9
1)
21 − 8 x − 23 = 2(x + 14 ) − 10
− 5( x − 2 ) − 4(x − 3) + 6( x − 2 ) = 9(3x − 1) − 1
21 − 8 x − 23 = 2 x + 28 − 10
− 5 x + 10 − 4 x + 12 + 6 x − 12 = 27 x − 9 − 1
− 8 x − 2 = 2 x + 18
− 3 x + 10 = 27 x − 10
− 8 x − 2 x = 2 + 18
− 3 x − 27 x = −10 − 10
− 10 x = 20 / : 2
− 30 x = −20
x=
20 − 10
x = −2
3)
1 3 5 + x + 1 = + x /⋅ 8 2 4 8 4 + 6 x + 8 = 5 + 8x 6x − 8x = 5 − 4 − 8 − 2 x = −7 x=
7 2
4)
x=
− 20 − 30
x=
2 3
x x 1 x − + 1 = 1 − − − 2 2 3 6 2 x x x 1 − +1 = 1+ + /⋅ 12 2 3 12 3 6x − 4x = x + 4 2x − x = 4 x=4
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
1.)
5x − 8 1 2x − 7 −3 = 4 4 3
3x − 3 x − 6 2 x − 12 2x + 3 − − 2.) 1 − = 3 − 5 3 2 5
5 x − 8 13 2 x − 7 − = /⋅ 12 4 4 3
2x + 3 3x − 3 x − 6 2 x − 12 1− − + = 3 − 2 5 3 5
3(5 x − 8) − 13 ⋅ 3 = 4(2 x − 7 ) 1−
15 x − 24 − 39 = 8 x − 28
3 x − 3 x − 6 2 x − 12 2x + 3 + − = 3− /⋅ 30 5 2 5 3
15 x − 63 = 8 x − 28
30 − 6(3x − 3) + 15(x − 6) − 6(2 x − 12 ) = 90 − 10(2 x + 3)
15 x − 8 x = 63 − 28
30 − 18 x + 18 + 15 x − 90 − 12 x + 72 = 90 − 20 x − 30
7 x = 35 / : 7
− 15 x + 30 = −20 x + 60
x=5
20 x − 15 x = 60 − 30 5 x = 30 / : 5 x=6
3)
1 3 = /⋅ x ⋅ (x + 10 ) ≠ 0 x x + 10 x≠0
x + 10 ≠ 0
4.)
4 11 − = 0 /⋅ ( x − 1)(3 x − 4 ) ≠ 0 x − 1 3x − 4
x ≠ −10
x − 1 ≠ 0 3x − 4 ≠ 0
x ≠1
x + 10 = 3 x
x≠
4 3
4(3x − 4 ) − 11( x − 1) = 0
x − 3x = −10 − 2 x = −10 / : (-10)
12 x − 16 − 11x + 11 = 0 x = 16 − 11
x=5
[Moramo provjeriti da rješenje nije nešto isključeno]
x=5
5.)
(x − 2)2 − (x − 3)(2 x − 5) = 3 − (x − 4) /⋅ 4 2
4
[Riješimo se najprije razlomaka i usput možemo kvadrirati i množiti zagrade ]
(
) (
)
2 x 2 − 4 x + 4 − 1 2 x 2 − 5 x − 6 x + 15 = 12 − 4 x + 16 2 x 2 − 8 x + 8 − 2 x 2 + 5 x + 6 x − 15 = 28 − 4 x 3 x + 4 x = 28 + 7 7 x = 35 / : 7 x=5
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
JEDNADŽBE SA ALGEBARSKIM RAZLOMCIMA - UPUTE NA PRIMJERU Primjer 1.
2x − 1 6x2 − 4x
−
1 − 3x 9x2 + 6x
=
2 3x
1. Nazivnike rastavimo na faktore: - primjenom neke od poznatih formula; - izlučivanjem; - grupiranjem pa izlučivanjem. - izlučimo u svakom nazivniku što se može ili … 2x − 1 1 − 3x 2 − = 2 x (3x − 2 ) 3x (3x + 2 ) 3x 2. Odredimo zajednički nazivnik ( TO JE NAJMANJI ZAJEDNIČKI VIŠEKRATNIK SVIH NAZIVNIKA U JEDNADŽBI): - prvi nazivnik pomnožimo sa onim iz drugog što nije sadržano u prvom. To što smo dobili pomnožimo sa onim što nije napisano iz slijedećeg nazivnika – postupak ponavljamo koliko god imamo razlomaka u jednadžbi. Sada cijelu jednadžbu pomnožimo sa zajedničkim nazivnikom. 3. Svaki brojnik pomnožimo sa onim što nije u ″njegovom″ nazivniku a sadržano je u zajedničkom nazivniku. 2x − 1 1 − 3x 2 − = /⋅ 2 x ⋅ 3 ⋅ (3x − 2 )(3x + 2 ) 2 x (3x − 2 ) 3x (3x + 2 ) 3x
3(3x + 2 )(2 x − 1) − 2(3x − 2 )(1 − 3x ) = 2 ⋅ 2 ⋅ (3x − 2 )(3x + 2) 4. Sredimo dobivenu jednadžbu: - pomnožimo, reduciramo(jednake zbrojimo ili oduzmemo ovisno o predznacima). [ Uočimo da se pojavljuje razlika kvadrata i primijenimo ju ]
(
) (
) (
3 6 x 2 − 3x + 4 x − 2 − 2 3x − 9 x 2 − 2 + 6 x = 4 9 x 2 − 4 18 x 2 + 3x − 6 − 18 x + 18 x 2 + 4 = 36 x 2 − 16 36 x 2 − 15 x − 2 = 36 x 2 − 16
) Sada reduciramo i dobijemo
Svakog ″prebacimo″ na njegovu stranu
− 15 x = −16 + 2
− 15x = −14 / : (− 15) x=
14 15
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr
Zadatak 1.)
5x − 4 4 x − 1 2x + 3 − = 1− 2x − 1 6x − 3 10 x − 5
x≠
1 2
5x − 4 4x − 1 2x + 3 1 /⋅ 15 ⋅ (2 x − 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ − = 1− 2 x − 1 3(2 x − 1) 5(2 x − 1) 2
15(5 x − 4 ) − 5(4 x − 1) = 15(2 x − 1) − 3(2 x + 3) 75 x − 60 − 20 x + 5 = 30 x − 15 − 6 x − 9 75 x − 20 x − 30 x + 6 x = −15 − 9 + 60 − 5 31x = 31 / : 31 x=
31 31
x =1
Zadatak 2.)
3x − 1 1 x − = 2 2x + 1 6x − 3 1 − 4x
x≠
1 2
, x≠−
1 2
3x − 1 1 x − = 2 3(2 x − 1) − 1 4 x − 1 2 x + 1
(
)
3x − 1 1 x + 2 = 3(2 x − 1) 4 x − 1 2 x + 1 3x − 1 1 x 1 + = /⋅ 3(2 x − 1)(2 x + 1) ≠ 0 ⇒ x ≠ ± 3(2 x − 1) (2 x − 1)(2 x + 1) 2 x + 1 2
(3x − 1)(2 x + 1) + 3 = 3x (2 x − 1) 6 x 2 + 3x − 2 x − 1 + 3 = 6 x 2 − 3x 4 x = −2 / : 4 x=
−2 4
x=−
skratimo
1 2
Ali smo dobili za rješenje broj za koji smo već istaknuli da ne može biti rješenje jer se za taj broj poništava i drugi i treći razlomak . ⇒ Naša jednadžba nema rješenja.
Za pomoć u matematici zdravko.lezai@inet.hr