© 2017 Kagge Forlag AS Omslagsdesign: Terese Moe Leiner Omslagsfoto: © www.billybonkers.no Tegninger: Arnt Ove Foss, Hanna Hovdenes, Kristoffer Ulvik Høisæther, Nikolai Bjørnestøl Hansen, Vibeke Gwendoline Fængsrud, Vilde Nyrønning Strøm, William Eitrem Layout: House of Math AS Papir: Arctic matt 130 g Boka er satt med 14 punkt Helvetica Neue Light Repro: Løvaas Lito AS Trykk og innbinding: Livonia Print ISBN: 978-82-489-1957-5 Kagge Forlag AS Tordenskiolds gate 2 0160 Oslo www.kagge.no
Takk! Denne bokserien er et produkt av et fremragende redaksjonsteam hos House of Math AS og hos Kagge Forlag AS. Jeg vil spesielt trekke frem, i alfabetisk rekkefølge: Erling Kagge Hanna Margrethe Bendixen Hovdenes Karl Erik Holter Kristoffer Edward Alfonso Huertas Kristoffer Ulvik Høisæther Morten Madshus Nikolai Bjørnestøl Hansen Nina Tandberg Sverre Løyland Truc Mong Vo Vilde Nyrønning Strøm William Eitrem Redaksjonsmøtene har vært legendariske. Vi har produsert, diskutert, drøftet, undersøkt, dybdelest udir.no, tegnet, regnet, lest, regnet igjen, lest igjen, sett på sjakk, ledd så tårene har sprutet, testet nesten hele menyen på Dominos pizza og «ranet» Kiwi for smågodt. Møtene har vart til langt på kveld, og etterpå har Mathmobilen gått på kryss og tvers av byen for å bringe alle hjem. I innspurten har vi, i enkelte tilfeller, jobbet til langt på natt. Vi overlevde med fantastisk stemning og imponerende innsats i teamet. Dere har på hver deres måte vært med på å sette preg på boken. Takk for fabelaktig samarbeid, gleder meg allerede til neste gang! Vibeke
Forord til de voksne Jeg elsker matematikk, og brenner for matematikkformidling. Mitt ønske er at alle skal mestre faget – at alle skal få en sjanse til å mestre matte. Denne bokserien, som dekker 1. – 10. klasses pensum, er skrevet i håp om å gi elever og foresatte et verktøy som gjør matematikken og matteleksene enklere. Dette verktøyet er skrevet for å fungere uansett hvilken bakgrunn du som foresatt har fra tidligere. Er du en av dem som selv slet med matten, eller var du en superregner; denne serien er for begge to og alle imellom. Bli god i matte for 1. – 10. klasse er tredelt. Bokserien er delt inn etter kompetansemålene i skolen. Første bok i serien er for 1. – 4. klasse, bok to er for 5. – 7. klasse, og bok tre er for ungdomsskolen. Mange tror feilaktig at matematikk og tall ikke er viktig, siden «jeg har klart meg fint selv om jeg var dårlig i matte». Til det er min kommentar: For å vedlikeholde demokratiet trenger dets borgere å kunne lese, skrive og regne. Det som kreves av matematikkunnskaper ut 10. klasse, er det nivået som kreves for å dekke regnekompetanse. Utover dette er samfunnsutviklingen mer og mer teknologisk rettet, og kravet til kvantitativ forståelse er større enn noen gang. Til slutt vil jeg si: Den som ikke vet, vet ikke hva han eller hun skulle ha visst for å vite. Jeg elsker matematikk ♡ Klem fra Vibeke
Innhold
Tall 1. og 2. klasse
13
Venstre og høyre, opp og ned, frem og tilbake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
Tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
Sifrene våre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Plassverdisystemet – å dele opp tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Titallsystemet og tallene opp til 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Tiervenner og tiergrupper opp til 100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Tallinjen – å sammenlikne tallstørrelser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Pluss/addisjon ved hjelp av tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
Minus/subtraksjon ved hjelp av tallinjen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
Pluss og minus – plassverdisystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
Å doble / å halvere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Partall og oddetall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
Tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
Tall 3. og 4. klasse
41
Mer om plassverdisystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
Å forstå desimaltall og desimaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
Tideler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
Hundredeler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
Å dele opp tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
Å forstå brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
Mer om brøker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
Regnemetoder – pluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
Regnemetoder – minus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
Avrunding . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
De negative tallene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
Regning med negative tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
Ganging . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
Den lille gangetabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
Slik må du kunne gangetabellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
Deling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
Flere tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
Hvordan angripe tekstoppgaver – problemløsing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
Måling 1. og 2. klasse
79
Lengde og areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
Vekt – størst og minst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Måling 3. og 4. klasse
85
Mer om lengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
Mer om areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
Volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
Vekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
Temperaturer – å forstå et termometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
Å forstå måling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
Geometri 1. og 2. klasse
99
Punkter og linjestykker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Trekanter og firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Sirkler og ellipser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Sammensatte figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Speilsymmetri og symmetrilinjer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Geometriske mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Sylindre og prismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Kjegler og pyramider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Kuler og ellipsoider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
Geometri 3. og 4. klasse
121
Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Tre typer vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Omkrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Areal
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Mer om trekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Mer om firkanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Regulære mangekanter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Speiling og symmetri av sirkelen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Speiling og symmetri av ellipser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Sammensatte flate figurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Mer om geometriske mønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Mer om sylindre og prismer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 Mer om kjegler og pyramider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Mer om kuler og ellipsoider . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Sammensatte romfigurer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Koordinatsystemet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Parallellforskyvning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Penger 1. og 2. klasse
157
Mynter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Sedler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Kjøp og salg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Hoderegning – overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Penger 3. og 4. klasse
167
Mer om sedler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Å telle penger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Mer om kjøp og salg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Mer hoderegning — mer overslag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
Tiden 1. og 2. klasse
177
Minutter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Timer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Dag og natt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
Døgn og uker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Måneder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Året og årstidene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Digital og analog klokke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Klokka – hele og halve timer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
Tiden 3. og 4. klasse
195
Sekunder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Klokka – kvarter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Klokka – ti på og ti over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Klokka – fem på og fem over . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Klokkeregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
Statistikk 1. til 4. klasse
207
Tellestreker og tabeller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Å tegne informasjon – søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Statistikk – å tolke informasjon
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
Temperaturstatistikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Ordbok og oversettelser
218
Register
222
Tall 1. og 2. klasse «Når til og med jeg til slutt fikset matematikken, er det håp for alle.» Jens Stoltenberg, generalsekretær i NATO og tidligere norsk statsminister
Venstre og høyre, opp og ned, frem og tilbake I denne boken trenger du å kunne forskjell på venstre og høyre, opp og ned, samt frem og tilbake. Her kommer en forklaring på det.
VENSTRE OG HØYRE
Å kunne forskjell på venstre og høyre er en av de grunnleggende ferdighetene du trenger. Her er noen metoder for å øve det inn: • Heng et bilde, slik som det ovenfor, på veggen foran do. Da må du se på det hver gang du sitter der og venter på å bli ferdig. Du kan laste ned bildet på www.houseofmath.no/dobilde. • Skaff leketatoveringer med bokstavene V og H , og lag kule tatoveringer på håndbaken. Dersom det er vanskelig å få tak i dem, bruk klovnesminke. Den gjør samme nytten. • Se for deg at du sitter i en bil. Da er rattet på venstre side. Det er en grei huskeregel. 14
OPP OG NED
Når jeg skriver opp, mener jeg mot himmelen. Når jeg skriver oppover, mener jeg mot høyre. Når jeg snakker om ned, mener jeg mot bakken. Når jeg skriver nedover, mener jeg mot venstre.
FREM OG TILBAKE
Når jeg skriver fremover eller frem, mener jeg mot høyre. Når jeg snakker om bakover, mener jeg mot venstre. 15
Tallinjen .
Tallinjen er fantastisk spennende. Den er full av hemmeligheter som du til daglig kanskje ikke tenker over. For eksempel har tallinjen uendelig mange tall, og mellom hvilke som helst to tall finnes det igjen uendelig mange tall. Bare tanken i seg selv kan gjøre en svimmel. Men tallinjen har en fin oppbygning. Hovedsakelig er den delt i to ved tallet 0 . Til venstre for 0 (nedover) har du alle de negative tallene. Til høyre for 0 (oppover) har du alle de positive tallene. Tallinjen består av heltall, desimaltall, brøker, tall som er bokstaver, og tall som skrives ved hjelp av andre tegn. Etter hvert som du kommer oppover i trinnene, skal du lære om de ulike tallfamiliene. Jo mer du vet om de ulike tallfamiliene, desto lettere blir matematikken og regningen som følger. Så hold deg fast, nå begynner en av de mest spennende reisene du skal være med på – reisen gjennom matematikkens verden. 16
I første og andre klasse skal du lære om de hele positive tallene opp til 100. Disse tallene ser ut som de rosa tallene til høyre for 0 på tegningen på forrige side. Altså, de hele positive tallene er de tallene du kjenner til fra tidligere. På side 22 skal vi se nøyere på dem, men her er en tegning som viser deg hvordan de ligger på tallinjen:
TENK PÅ DETTE
Tallene er for matematikken det bokstavene er for språket, altså de grunnleggende byggesteinene. I språket trenger du bokstaver for å lage ord og setninger. I matematikken trenger du tallene for å uttrykke deg og løse problemer. Mestrer du både tall og bokstaver, har du et fantastisk grunnlag for å uttrykke deg presist og gjøre deg forstått. .
TENK PÅ DETTE
Hvor langt kan du telle? Når du teller, er det de positive hele tallene du ramser opp. Her er begynnelsen på dem. Hvor langt kommer du?
1, 2 , 3 , 4, 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11, 12 , 13 , 14, 15 , 16 , 17 , 18 , 19 , 20 , 21, ... . I resten av dette kapittelet utforsker vi de positive hele tallene på en spennende og oversiktlig måte. 17
Sifrene våre: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 og 9 Et siffer er et tall som bare består av ett symbol. Om du tenker etter, vil du se at de eneste tallene på tallinjen vår som har denne egenskapen, er tallene i boksen.
FORMEL
Sifrene i titallsystemet
0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 . Alle tallene på tallinjen er satt sammen av sifrene i den lilla formelboksen. De ti sifrene er altså byggesteinene i tallsystemet vårt. Det kan virke litt rart at akkurat disse ti tallene både kalles for tall og for sifre, men det er ikke rarere enn at du har noen venner med både fornavn og mellomnavn.
18
Det finnes flere tallsystemer enn titallsystemet. For eksempel er datamaskiner og iPad-er bygget opp av totallsystemet. Dette systemet har bare sifrene 0 og 1 som byggeklosser.
TENK PÅ DETTE
Kan du ramse opp noen tall fra og med null til og med hundre, og fortelle hvor mange sifre hvert tall er bygget opp av? Her er noen eksempler
7 består av ett siffer 42 består av to sifre 83 består av to sifre 35 består av to sifre 91 består av to sifre 100 består av tre sifre 53 består av to sifre 41 består av to sifre
12 består av to sifre 55 består av to sifre 0 består av ett siffer 11 består av to sifre 26 består av to sifre 68 består av to sifre 17 består av to sifre 5 består av ett siffer
.
19
Plassverdisystemet – å dele opp tall Et tall i titallsystemet er bygget opp ved å sette sammen sifrene på ulike måter. Oppbyggingen av tallene følger et system som vi kaller plassverdisystemet. Systemet er bygget opp slik at hver plass der du kan sette et siffer, har en plassverdi.
FORMEL
Plassverdisystemet — de tre første plassene • Enerplassen har plassverdien 1 • Tierplassen har plassverdien 10 • Hundrerplassen har plassverdien 100 .
Det finnes mange flere plasser i plassverdisystemet, men i 1. og 2. klasse skal du bare kunne disse tre plassene. Vi skal nå se nærmere på dem.
TENK PÅ DETTE
Hvilke to plasser tror du ligger til venstre for hundrerplassen i et tall? For hver plass du går mot venstre i et tall, vil plassverdien få en ekstra 0 . Dermed vil de to neste plassene til venstre for hundrerplassen være:
100 lagt til én 0 blir 1000
100 lagt til to 0 -er blir 10 000
. 20
Eksempel 1 I tallet 13 står 1 på tierplassen og 3 på enerplassen. Du kan dele opp tallet ved å bruke verdiene fra plassverdisystemet. Det vil si at du har plassverdien like mange ganger som sifferet som står på plassen. Det blir som dette:
13 = 1 tier og 3 enere Altså har du at
13 ↙↘ 10 og 3 Eksempel 2 I tallet 64 står 6 på tierplassen og 4 på enerplassen. Du kan dele opp tallet ved å bruke verdiene fra plassverdisystemet. Det vil si at du har plassverdien like mange ganger som sifferet som står på plassen. Det blir som dette:
64 = 6 tiere og 4 enere Altså har du at
64 ↙↘ 60 og 4 Eksempel 3 I tallet 100 står 1 på hundrerplassen, 0 på tierplassen og 0 på enerplassen. Du kan dele opp tallet ved å bruke verdiene fra plassverdisystemet. Det vil si at du har plassverdien like mange ganger som sifferet som står på plassen. Det blir som dette:
100 = 1 hundrer og 0 tiere og 0 enere Altså har du at
100 ↙ ↓ ↘ 100 og 0 og 0 .