© 2017 Kagge Forlag AS Omslagsdesign: Terese Moe Leiner Omslagsfoto: © www.billybonkers.no Tegninger: Arnt Ove Foss, Hanna Hovdenes, Kristoffer Ulvik Høisæther, Nikolai Bjørnestøl Hansen, Vibeke Gwendoline Fængsrud, Vilde Nyrønning Strøm, William Eitrem Foto på side 285: ©Shark arkitektkontor Layout: House of Math AS Papir: Arctic matt 130 g Boka er satt med 14 punkt Helvetica Neue Light Repro: Løvaas Lito AS Trykk og innbinding: Livonia Print ISBN: 978-82-489-1959-9 Kagge Forlag AS Tordenskiolds gate 2 0160 Oslo www.kagge.no
Takk! Denne bokserien er et produkt av et fremragende redaksjonsteam hos House of Math AS og hos Kagge Forlag AS. Jeg vil spesielt trekke frem, i alfabetisk rekkefølge: Erling Kagge Hanna Margrethe Bendixen Hovdenes Karl Erik Holter Kristoffer Edward Alfonso Huertas Kristoffer Ulvik Høisæther Morten Madshus Nikolai Bjørnestøl Hansen Nina Tandberg Sverre Løyland Truc Mong Vo Vilde Nyrønning Strøm William Eitrem Redaksjonsmøtene har vært legendariske. Vi har produsert, diskutert, drøftet, undersøkt, dybdelest udir.no, tegnet, regnet, lest, regnet igjen, lest igjen, sett på sjakk, ledd så tårene har sprutet, testet nesten hele menyen på Dominos pizza og «ranet» Kiwi for smågodt. Møtene har vart til langt på kveld, og etterpå har Mathmobilen gått på kryss og tvers av byen for å bringe alle hjem. I innspurten har vi, i enkelte tilfeller, jobbet til langt på natt. Vi overlevde med fantastisk stemning og imponerende innsats i teamet. Dere har på hver deres måte vært med på å sette preg på boken. Takk for fabelaktig samarbeid, gleder meg allerede til neste gang! Vibeke
Forord til de voksne Jeg elsker matematikk, og brenner for matematikkformidling. Mitt ønske er at alle skal mestre faget – at alle skal få en sjanse til å mestre matte. Denne bokserien, som dekker 1. – 10. klasses pensum, er skrevet i håp om å gi elever og foresatte et verktøy som gjør matematikken og matteleksene enklere. Dette verktøyet er skrevet for å fungere uansett hvilken bakgrunn du som foresatt har fra tidligere. Er du en av dem som selv slet med matten, eller var du en superregner; denne serien er for begge to og alle imellom. Bli god i matte for 1. – 10. klasse er tredelt. Bokserien er delt inn etter kompetansemålene i skolen. Første bok i serien er for 1. – 4. klasse, bok to er for 5. – 7. klasse, og bok tre er for ungdomsskolen. Mange tror feilaktig at matematikk og tall ikke er viktig, siden «jeg har klart meg fint selv om jeg var dårlig i matte». Til det er min kommentar: For å vedlikeholde demokratiet trenger dets borgere å kunne lese, skrive og regne. Det som kreves av matematikkunnskaper ut 10. klasse, er det nivået som kreves for å dekke regnekompetanse. Utover dette er samfunnsutviklingen mer og mer teknologisk rettet, og kravet til kvantitativ forståelse er større enn noen gang. Til slutt vil jeg si: Den som ikke vet, vet ikke hva han eller hun skulle ha visst for å vite. Jeg elsker matematikk ♡ Klem fra Vibeke
Innhold
Tall
15
Desimaltall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Antall gjeldende sifre og nøyaktighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Kvadratrøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Regneregler for kvadratrøtter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Delelighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Primtall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Primtallfaktorisering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Hva er en potens? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tierpotens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Mer om Standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Enda mer om standardform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 PEMDAS
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Fortegn – tall
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Parenteser med tall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Brøk – utvide og forkorte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Brøk – pluss og minus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Brøk – mer pluss og minus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Brøk – minste felles nevner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
Brøk – gange og dele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Desimaltall til brøk – og tilbake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Fra prosent til brøk og desimal og tilbake . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Regning med prosent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Prosentvis endring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Fra promille til brøk og desimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Fra brøk og desimal til promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Viktige tallmønstre og deres formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 Tallmønstre – geometri og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Mer tallmønstre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Algebra
79
Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av tall og bokstaver . . . . . . 80 Potenser med bokstaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Mer om potenser med bokstaver
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Enda mer om potenser med bokstaver . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Potenser med bokstaver – sammensatte eksempler . . . . . . . . . . 88 Å ledde bokstavuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Å gange en faktor med en parentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Å gange en parentes med en parentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Å faktorisere bokstavuttrykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Første kvadratsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 Andre kvadratsetning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Konjugatsetningen / tredje kvadratsetning . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Å forkorte bokstavuttrykk med stryking . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Stryking – å gange brøker med bokstaver . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Stryking – å dele brøker med bokstaver . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
Likninger og ulikheter
111
Flytte og bytte – bli kvitt tall foran x
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Å bli kvitt tallet under x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Likninger med parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Likninger med brøker og parenteser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Likninger med x i nevner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Potenslikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Å løse likninger grafisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Hva er et likningssystem? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Likninger med to ukjente – grafisk løsning . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Likninger med to ukjente – mer grafisk løsning . . . . . . . . . . . . . 130 Likninger med to ukjente – innsettingsmetoden . . . . . . . . . . . . . 132 Likninger med to ukjente – addisjonsmetoden
. . . . . . . . . . . . . 134
Ulikheter ved regning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 Ulikheter – grafisk løsning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Hvordan angripe tekstoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Formelregning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Funksjoner
145
Hva er en funksjon? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 Derfor trenger du funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Å lage funksjonstabell og tegne grafer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Lineære funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Mer om lineære funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Enda mer om lineære funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 Andregradsfunksjoner
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Proporsjonale funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Omvendt proporsjonale funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 Å lage funksjon fra tekstoppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
Økonomi
167
Personlig økonomi og forbruk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Vekstfaktor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Regning med vekstfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Renter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Rentesrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Kjøp og merverdiavgift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Inntekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 Mer inntekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 Skatt, trekkgrunnlag og lønn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Feriepenger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 Sparing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Lån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 Kredittkort – luksusfellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 Annuitetslån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Serielån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Budsjett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Regnskap . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Valuta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 Geometri
205
π
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
Pi –
Geometri – repetisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 Sirkelen – omkrets og areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Sirkelsektor – areal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 Kule – volum og overflate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Sylinder – volum og overflate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Pyramide – volum og overflate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 Kjegle – volum og overflate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Pytagoras’ setning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Å regne med Pytagoras’ setning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
30°–60°–90°-trekant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 Formlikhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 Det gylne snitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 Sammensatte eksempler 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Sammensatte eksempler 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 Måling
237
Måleenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 Regning med måleenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Mer regning med måleenheter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 Målestokk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Vei, fart og tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 Fartsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248 Massetetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 Konstruksjon
253
Vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Mer vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 Normaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 Halvering og kopiering av vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 Vinklene 90 ◦ , 45 ◦ og 22 , 5 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Vinklene 60 ◦ , 30 ◦ og 15 ◦ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Paralleller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Mer om paralleller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268 Tangent, sekant og korde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Speiling med passer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 Rotasjon med passer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Parallellforskyvning med passer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Større konstruksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 Mer om større konstruksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Å tegne figurer i et koordinatsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Perspektivtegning med to forsvinningspunkter . . . . . . . . . . . . . 284 Tegning i øyehøydeperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 Tegning i fulgeperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 Tegning i froskeperspektiv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Statistikk
293
Undersøkelser og innsamling av data . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Variasjonsbredde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Å lage tabell – frekvenstabell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Å tegne informasjon – søylediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 Å tegne informasjon – linjediagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302 Å tegne informasjon – sektordiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Sentralmål – gjennomsnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 Sentralmål – median . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 Sentralmål – typetall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Sannsynlighet
313
Relativ frekvens og simulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314 Sannsynlighet og utfallsrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316 Sannsynlighet – forsøk med ett trekk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 Sannsynlighet – flere trekk, bestemt rekkefølge . . . . . . . . . . . . . 320 Sannsynlighet – flere trekk, ubestemt rekkefølge . . . . . . . . . . . . 322 Å illustrere sannsynlighet – terningtabell og valgtre . . . . . . . . . . . 324 Kombinatorikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 Sannsynlighet – en oversikt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328 Ordbok, oversettelser og formler
331
Register
344
Tall Matematikk er tallenes grammatikk. Hans Lohberger, østerriksk forfatter
Desimaltall Et desimaltall er et tall med komma. Sifrene bak komma kalles desimaler. Når du har ett siffer bak komma, har du tatt med det vi kaller tideler. Eksempel 1 Desimaltall med ett siffer bak komma har med tideler: .
0, 1
3, 9
34, 7
102 , 3
627 4, 5
Når du har to sifre bak komma, har du tatt med det vi kaller tideler og hundredeler. Som du kanskje husker fra plassverdisystemet, er første plass bak komma tidelsplassen og andre plass bak komma hundredelsplassen. Eksempel 2 Desimaltall med to sifre bak komma har med tideler og hundredeler: .
0 , 01
4, 52
7 1, 7 0
7 32 , 99
947 6 , 07
Hvorfor trenger vi egentlig desimaltallene? Tallinjen er proppet full av tall som ligger tett i tett. Likevel er det slik at mellom to tall kan du alltid finne et nytt tall. Dette kan virke kryptisk. For å kunne skjære inn mellom hvilke som helst to tall på tallinjen trenger du desimaler. Desimaltallene er derfor det verktøyet du bruker for å uttrykke deg så nøyaktig som nødvendig. Se på tegningen:
16
Eksempel 3 Hvilket tall med én desimal ligger mellom 0 , 1 og 0 , 3 ?
.
Av tallinjen på forrige side ser du at 0 , 2 er det eneste tallet med én desimal som ligger mellom 0 , 1 og 0 , 3 . Eksempel 4 Hvilke tall med to desimaler ligger mellom 1, 1 og 1, 2 ?
.
En tallinje vi vise deg at 1, 11 1, 12 1, 13 1, 14 1, 15 1, 16 1, 17 1, 18 og 1, 19 er tallene med to desimaler som ligger mellom 1, 1 og 1, 2 . Eksempel 5 Hvilke tall med tre desimaler ligger mellom 11, 01 og 11, 02 ?
.
En tallinje vi vise deg at 11, 011 11, 012 11, 013 11, 014 11, 015 11, 016 11, 017 11, 018 og 11, 019 er tallene med tre desimaler som ligger mellom 11, 01 og 11, 02 . Eksempel 6 Skriv tallene 8 , 6
.
4, 43
4, 4
4, 4
4, 43
7 , 99 7 , 99
8 , 61 i stigende rekkefølge. 8, 6
8 , 61
TENK PÅ DETTE
Det er viktig å vite at 0 , 1 = 0 , 10 . Men hvorfor er det slik? Når du skriver 0 , 1, skal du tenke på dette som tideler fordi 1-tallet står på tidelsplassen. Når du skriver 0 , 10 , skal du tenke på dette som hundredeler fordi du har tatt med en 0 etter 1-tallet. Dermed har du aktivert 10 1 = 100 , men 0 , 10 hundredelsplassen. Tallene er i verdi like store fordi 10 er mer nøyaktig. . 17
Antall gjeldende sifre og nøyaktighet Antall gjeldende sifre Når det gjelder antall gjeldende sifre, har du to tilfeller du må sjekke: tilfellet der du har null som første siffer, og tilfellet der du ikke har null som første siffer.
FORMEL • Når tallet begynner med 0 , teller du antall sifre fra det første tallet som ikke er 0 . • Når tallet ikke begynner med 0 , teller du alle sifrene i tallet. . Eksempel 1 Her har du en oversikt over ulike antall sifre og hvordan de følger reglene ovenfor (vi forkorter gjeldende siffer til gj.s):
.
1 har 1 gj.s 10 har 2 gj.s 100 har 3 gj.s
1,0 har 2 gj.s 1,00 har 3 gj.s 1,000 har 4 gj.s
0,001 har 1 gj.s 0,0010 har 2 gj.s 0,00100 har 3 gj.s
Eksempel 2 Avstanden mellom deg og idrettshallen er 16,5 km. Fra idrettshallen til kiosken er det 12,1 km. Hvor langt har du syklet når du sykler hjemmefra til kiosken via idrettshallen? Gi svaret med fire gjeldende sifre. Her må du addere de to distansene for å finne hvor langt du har syklet. Da får du 16 , 5 km + 12 , 1 km = 28 , 6 km = 28 , 60 km .
Her må du legge til en null for å få fire gjeldende sifre. 18
Nøyaktighet All måling er litt unøyaktig. Hvor stor unøyaktigheten er, kommer an på hva du måler og hva du måler med. Er det snakk om tiden i et slalåmrenn, er hundredelene svært viktig, men dersom du måler vekten til en venn, klarer du deg med tideler. Skal du for eksempel måle vekten til et tankskip, klarer du deg med antall tusen kilo. Grad av nøyaktighet avhenger altså av hva du holder på med. Det er ofte vanlig å uttrykke nøyaktighet med desimaler. Eksempelvis er 14, 00 mer nøyaktig enn 14, 0 . Men hvorfor er det slik?
0 , 1 har sifre på enerplassen og tidelsplassen. 0 , 10 har tall på enerplassen, tidelsplassen og hundredelsplassen. Selv om tallet på hunderdelsplassen er 0 , så gir det mer informasjon enn 0 , 1, fordi dersom det ikke er noe tall på hundredelsplassen, så kan 0 , 1 . være en avrunding.
FORMEL
Jo flere desimaler du har med i et tall, desto større nøyaktighet.
I Bli god i matte 5.–7. klasse lærte du om avrunding. I avrundingsreglene ligger årsaken til vår forståelse av nøyaktighet. Hvis du skal runde av tallene 0 , 05 0 , 06 0 , 07 0 , 08 0 , 09 0 , 10 0 , 11 0 , 12 0 , 13 og 0 , 14 til én desimal, vil alle bli 0 , 1. Men hvis du velger 0 , 10 , har du bestemt at tallet på hundredelsplassen skal være 0 . Du har valgt ett av tallene ovenfor, så tallet 0 , 10 er mer nøyaktig enn 0 , 1.
TENK PÅ DETTE
Kan du forklare hvorfor
45 , 7 24
er mer nøyaktig enn
45 , 7 2 ?
Siden tallene 45 , 7 15 45 , 7 16 45 , 7 17 45 , 7 18 45 , 7 19 45 , 7 20 45 , 7 21 45 , 7 22 45 , 7 23 og 45 , 7 24 kan rundes av til 45 , 7 2 , er 45 , 7 24 mer nøyaktig fordi det bare er ett av de ti alternativene. . 19
Kvadratrøtter Nå skal du lære om kvadratrøtter, og jeg skal bruke veien om kvadratet til å forklare det. Kvadratet er en firkant der alle sidene er like lange og alle vinklene er 90 ◦ . Arealet av et kvadrat er gitt ved A = s · s. Å gange sammen to tall som er like kalles å kvadrere. Å regne kvadratrot er å kvadrere baklengs. Det kvadreringen gjør, reverserer kvadratroten. Kvadrering og kvadratrot er motsatte regnearter, slik som pluss og minus. Å finne kvadratroten av et tall t vil si: Å finne et tall a som ganget med √ seg selv blir t . Tegnet for kvadratrot ser slik ut: .
FORMEL
Sammenhengen mellom kvadratrot og kvadrering
√
√
t=
a2 =
√ 2 a =a
. Eksempel 1 Kvadrer 2 . Det vil si å opphøye 2 i 2 , altså å gange 2 med seg selv.
22 = 2 · 2 = 4 Finn nå kvadratroten av 4. Da går du baklengs √ √ √ 4 = 2 · 2 = 22 = 2 Når du løser likningen x 2 = 4 får du to løsninger, både 2 og −2 . I matematikken skriver vi dette som ±2 . Her ser du hvorfor −2 også er en løsning: .
(−2) · (−2) = (−2)2 = 4 20
Når du regner kvadratrøtter, må du alltid huske at du får to løsninger. Men hold tunga rett i munnen. Dersom oppgaven ber deg om å finne lengden av en side, er du kun ute etter den positive løsningen. Les oppgaven nøye så du skjønner hva den spør etter. Det gir nemlig ikke mening å snakke om negative lengder! Nå skal du se nærmere på kvadratrøtter og to regneregler for kvadratrot og brøker. Det er veldig lurt å kunne kvadrattallene når du skal regne kvadratrøtter. Årsaken til dette er at kvadratroten forteller deg hvilke to tall som ganget sammen gir kvadrattallet. Altså gir kvadratroten deg lengden til sidene i et kvadrat som har areal lik kvadrattallet. Kvadrattallene har fått navnet sitt fordi de er svaret på arealet til kvadrater med sidelengder som er hele tall.
FORMEL
Kvadrattallene opp til og med 400 (s · s = s2 = A)
12 = 1
6 2 = 36
112 = 121
16 2 = 256
22 = 4
7 2 = 49
12 2 = 144
17 2 = 289
32 = 9
8 2 = 64
13 2 = 169
18 2 = 324
42 = 16
9 2 = 81
142 = 196
19 2 = 361
5 2 = 25
10 2 = 100
15 2 = 225
20 2 = 400
. Dersom du kan kvadrattallene på rams, vil utregningene du skal gjøre på del 1 av eksamen gå mye lettere. Det gir stor trygghet å ha god tallkunnskap og tallkjennskap. Lær deg disse kvadrattallene og vinn ekstra tid på eksamen.
Eksempel 2 Hva er kvadratroten av 144? √ √ √ 144 = 12 · 12 = 12 2 = 12 siden du nå vet at 12 · 12 = 144. . 21
Regneregler for kvadratrøtter Når du skal ta kvadratroten av større tall kan du faktorisere (som betyr å skrive som gangestykke) tallet og ta kvadratroten av faktorene hver for seg. I denne prosessen er det superlurt å lete etter kvadrattall som faktorer. Da blir regningen mye enklere. Se på eksemplene i de grå boksene under.
FORMEL
Kvadratrot av et produkt
√ √ √ a·b = a· b .
Eksempel 1 Finn kvadratroten av 32 √ √ √ √ √ 32 = 16 · 2 = 16 · 2 = 4 2
.
Jeg kunne valgt å faktorisere 32 = 4 · 8 , men det hjelper ikke når jeg skal ta kvadratroten av tallene. 32 = 16 ·2 er en faktorisering med √ et kvadrattall √ og regningen blir dermed lettere. Jeg lar svaret stå som 4 2 , fordi 2 er et helt nøyaktig svar, mens desimaltallene jeg får fra en kalkulator alltid vil være en tilnærming. Eksempel 2 Finn kvadratroten av 50
√
.
50 =
√
25 · 2 =
√
25 ·
√
√ 2=5 2
Her må du først faktorisere 50 , for så å ta kvadratroten av hver faktor. 22
Eksempel 3 Finn kvadratroten av 7 2
√
.
72 =
√
9·8 =
√
9·4·2 =
√ √ √ √ √ 9· 4· 2 =3·2· 2 =6· 2
√ √ √ Først må du faktorisere 7 2 = 9 · 4 · 2 . Du kjenner svaret på 9 og 4. 2 √ blir et uendelig desimaltall, og du lar derfor 2 bli stående i svaret.
FORMEL
Kvadratrot av brøk
√
√ a a =√ b b
Når du skal ta kvadratroten av en brøk, kan du ta kvadratroten av teller og nevner hver for seg. . Jeg kommer til å si det igjen og igjen i denne boken. Du må pugge formlene. Uten dem er du sjanseløs. Ha derfor full kontroll på kvadratroten av et produkt og en brøk. Her kommer noen eksempler. Eksempel 1 Finn kvadratroten av
25 16 .
√ . Eksempel 2 Finn kvadratroten av
361 169 .
√ .
√ 25 25 5 =√ = 16 4 16
√ 361 361 19 =√ = 169 13 169 23