August Geelmuyden
DET
GYLNE SNITT Historien om et magisk tall
© 2013 Kagge Forlag AS Omslagsdesign: Blæst Design | Terese Moe Leiner Omslagsillustrasjon: Leonardo da Vinci Layout: Typeline | Line Monrad-Hansen Papir: 130 gram Munken Pure Boka er satt med Sabon 11/14,5 pkt. Repro: Løvaas Lito AS Trykk og innbinding: Clemenstrykkeriet, Danmark ISBN: 978-82-489-1329-0
Kagge Forlag AS Stortingsg. 12 0161 Oslo www.kagge.no
Innhold Innledning
7
Det gylne snitts historie
9
den guddommelige proporsjon det irrasjonelle forholdet sønn av den gode natur gjenfødelsen
9 12 17 21
Moder jord
25
plantenes hemmelige liv sneglens hus dna-ets gylne løsning mennesket gylne aksjer
25 32 35 38 42
Hva er skjønnhet?
44
et vakkert menneske bak bevisstheten
Kunst billedkunst fotografi
Design
45 47
51 51 60
65
Arkitektur
70
Geometri
81
det gylne rektangel den logaritmiske spiral pentagram P og pP entagon kunsten ĂĽ dekke en flate de fem platonske legemer fraktaler
Matematikk definisjonen et merkelig forhold fibonaccis tallrekke
82 85 90 94 98 103
108 109 111 117
Etterord
125
Vedlegg
127
samling av matematiske forhold de fem platonske legemers kartesiske koordinater de første 50 fibonaccitallene de første 2000 desimalene av φ
127 129 130 131
Noter
133
Kilder
134
bilderekilder 135
Innledning Test følgende: Finn frem et bank- eller kredittkort. Legg kortets langside på oversiden av hånden mellom langfingerens knoke og håndleddet. Passer det? I så fall er sannsynligheten stor for at kortsiden av bankkortet vil passe mellom langfingerens knoke og fingerens neste ledd. Deler du lengden håndledd–knoke på lengden knoke–første fingerledd, får du ofte et tall i nærheten av 1,618. Det samme forholdet fortsetter ut til fingerens ytterste ledd. Menneskekroppen inneholder faktisk så mange tilfeller av dette forholdstallet at man nesten kunne konstruert et menneske ut fra det. Dette tallet har fått navnet det gylne snitt. Hva er så grunnen til at jeg brukte et bankkort som eksempel? Deler du kortets lengde på bredden, får du 1,586, hvilket betyr at bankkortets bredde bare er 1,08 millimeter lengre enn det måtte ha vært for å gi 1,618. Dette er med andre ord et avvik som er nærmest usynlig for det menneskelige øye. Vi kan da si at bankkortet er basert på det gylne snitt.
7
Det gylne snitt har fascinert matematikere, fysikere, kunstnere, filosofer, arkitekter og musikere i flere tusen år. Det dukker opp i alt fra Taj Mahal og Nidarosdomen til Leonardo da Vincis malerier og Apples logo. Hvorfor gjør det det? Hva er det som er så spesielt med tallet 1,618? Da jeg begynte å undersøke fenomenet, oppdaget jeg at flere av de såkalte sannhetene om det gylne snitt måtte forkastes og anses som ønsketenkning og spekulasjon. Noen påstander var fremsatt av religiøse mennesker i den hensikt å argumentere for Guds eksistens. Andre hadde sitt grunnlag i for lengst avlivede myter. Selv om det var mulig å oppdrive artikler og studieoppgaver, fantes det praktisk talt ingen norske bøker viet til fenomenet det gylne snitt. Behovet for en slik bok har de siste årene blitt enda tydeligere, ettersom det gylne snitt stadig blir nevnt i tv-serier, filmer og romaner. Til tross for bokens forsøk på å vise det gylne snitts omfang, er enkelte temaer utelatt, blant annet forekomstene innen musikk og programmering.
Det gylne snitts historie «Fibonacci couldn’t sleep – counted rabbits instead of sheep.» Katherine O’Brien
Tenk deg at det bare fantes to historiebøker om annen verdenskrig, den ene skrevet av en brite, den andre av en nazist. Selv om begge forsøker å skildre den samme krigen, ville nok bøkene fortalt to veldig forskjellige historier. Dette problemet gjør seg også gjeldende i det gylne snitts historie. Det er viktig å huske på at historien kan bli forvrengt av dem som formidler den. Enhver fortelling om det gylne snitt vil være forskjellig. Selv om det gylne snitt finnes i både eldgamle babylonske steintavler og egyptiske statuer, er det vanskelig å si om dette er tilfeldig eller bevisst. Undersøkelser er ofte gjort med en intensjon om enten å påvise eller avlive «myten om det gylne snitt». Det er dermed vanskelig å vite om en påstand har sitt opphav i spekulasjon eller troverdige undersøkelser.
den guddommelige proporsjon
Det var geometriens far, Euklid av Alexandria, som definerte det gylne snitt for første gang. For over 2000 år siden sa han at en linje er delt i det gylne snitt dersom hele linjen står i samme forhold til
9
den store delen, som den store delen står til den lille. Den store delen er da cirka 1,618 ganger større enn den lille.
Selve uttrykket «det gylne snitt», eller Goldener Schnitt, ble først fremsatt i 1835 av Martin Ohm i boken Die reine ElementarMatematik. Både symbolet τ (tau) og φ (phi) blir brukt for å henvise til det gylne snitt. I denne boken vil du bare se φ. I likhet med tallet π (pi) lar tallet seg nemlig ikke skrive eksakt. Du finner en liste over de 2000 første desimalene av φ bakerst i boken. Da renessansen nærmet seg sitt høydepunkt, skulle verdens første bok om det gylne snitt bli skrevet. Boken, som gikk under navnet De divina proportione, ble skrevet av matematikeren Luca Bartolomeo de Pacioli i 1497. Mannen som fikk i oppgave å illustrere verket, var ingen ringere enn kunstneren, vitenskapsmannen og oppfinneren Leonardo da Vinci. Boken går fra å definere det gylne snitt matematisk til å tematisere tredimensjonale legemer, bruk av perspektiv innen kunst, og konstruksjon av alfabetet. Bokens andre del handler nesten utelukkende om den store romerske arkitekten Marcus Vitruvius Pollios tanker rundt bruk av matematikk i arkitektur og menneskekroppens proporsjoner. Her fremsatte Vitruvius blant annet at en ideell menneskekropp passer perfekt inn i både et kvadrat og en sirkel. Dette var en idé som senere ble illustrert av Leonardo da Vinci i hans berømte tegning Den vitruviske mann, mannen som står i en sirkel og et kvadrat, med fire armer og fire ben. Tegningen hevdes å være blant de tydeligste eksemplene på det gylne snitt i kunst og menneskelige proporsjoner. Navlen, som er sirkelens sentrum, deler mannens høyde i det gylne snitt. De horison-
10 det gylne snitt
tale linjene på brystet er plassert i det samme forholdet. De vertikale linjene som markerer skuldrenes plassering, deler avstanden mellom fingertuppene i det gylne snitt. Avstanden mellom de horisontale linjene som avgrenser mannens hals og kjønnsorgan, som er sentrum i det store kvadratet, deles i det gylne snitt av navlen.
Det er imidlertid blitt satt spørsmålstegn ved hvorvidt Leonardo da Vinci brukte det gylne snitt bevisst i Den vitruviske mann. Den horisontale linjen under kvadratet, som er ment å vise proporsjonene i tegningen, inneholder ingen inndelinger i det gylne snitt. Hvorvidt
det gylne snitts historie 11
linjen skal vise alle proporsjonene da Vinci benyttet seg av, eller om den bare skal illustrere de rasjonelle proporsjonene fremsatt av Marcus Vitruvius Pollio, er usikkert. Gjennom hele boken hylles det gylne snitt som «den guddommelige proporsjon». For å forstå hvordan det var mulig å kalle et matematisk forholdstall guddommelig, er vi nødt til å reise enda lenger tilbake i tid, til antikkens Hellas, der det snart skulle begås et merkelig drap.
det irrasjonelle forholdet
På den greske øya Samos ble det cirka 570 år før vår tidsregning født en mann ved navn Pytagoras. Etter at han begynte i lære hos Tales fra Milet, også kalt vitenskapens far, ble Pytagoras mer og mer besatt av å forstå verden i form av tall. Historien forteller at han skal ha sett matematikken i musikk, og at han satte tall på forskjellige toner og intervaller. Etter dette var ikke Pytagoras bare sikker på at alt i verden var tall; han var også sikker på at tallene enten var hele eller et uttrykk for et forhold mellom to hele tall. For ham var ikke tallene punkter på en sammenhengende linje; de var separate vesener.
12 det gylne snitt
Tallet 1,5, eller 3/2, var med andre ord ikke et tall, men et uttrykk for forholdet mellom tallene 3 og 2. Dersom du hadde fortalt Pytagoras om et rektangel med sideforholdet 1: 1,5013, ville han trolig ledd av deg og sagt at du ikke kunne matematikk. Enhver med kjennskap til matematikk, ville han si, vet at 1,5013 ikke er et ekte tall. 1,5013 er et uttrykk for forholdet mellom tallene 10 000 og 15 013. Med denne forståelsen av tall gikk Pytagoras ut i verden for å sette den «i forhold». Hans største oppdagelse kan sies å være at han satte sidene i en rettvinklet trekant i slike tallforhold1. Loven, som i dag går under navnet Pytagoras’ læresetning, sier at kvadratet som kan tegnes på linjen overfor den rette vinkelen har samme areal som kvadratene som kan tegnes på de to andre linjene til sammen2.
Problemet oppstod da en mann ved navn Hippasos av Metapontum sa til Pytagoras at det måtte finnes tall som ikke stod i forhold til hverandre – det som i dag kalles «irrasjonelle tall». Forholdet mellom lengden på diagonalen og lengden på sidene i et kvadrat, fastslo Hippasos, kan verken være et helt tall eller et forhold mellom to hele tall. Da må diagonalen eller lengden på sidene i kvadratet være
det gylne snitts historie 13