Leksehjelp i matematikk by Kagge Forlag

HAVARD TJORA O

LEKSEHJELP I MATEMATIKK Illustrasjoner: Geir Florhaug

© 2014 Kagge Forlag AS Layout og omslagsdesign: Kine Røst Omslagsfoto: © Billybonkers.no Alle tegninger: Geir Florhaug Papir: Arctic matt 130 g Boka er satt med Museo 300 Repro: Løvaas Lito AS Trykk og innbinding: Print Best ISBN: 978-82-489-1537-9

Kagge Forlag AS Stortingsg. 12 0161 Oslo www.kagge.no

INNHOLD Forord Ordliste Titallssystemet Pluss (addisjon)

6 8 10 12

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Med tieroverganger

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Minus (subtraksjon) Med låning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ganging (multiplikasjon) 9-gangen Fingerganging Multiplikasjon med flere siffer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Divisjon med komma

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Flytting og bytting Likninger med to ukjente

20 21 22

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Utvide og forkorte med 10, 100, 1000 osv. Avrunding Negative tall Systematisk løsning gjør jobben lettere Hoderegningsstrategier Likhetstegnet Regnerekkefølge Brøk Faktorisering Algebra Likninger

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Deling (divisjon)

37 38 39 40 41 42 43 44 56 58 67

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75 77

Prosent

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Finne prosenten av et tall

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 87

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Prosentvis avslag og påslag, innføring

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Hvor mye kostet jakka før salget? Utregninger av hva noe kostet før avslag, hvor mange prosent noe er og hva noe kostet etter et avslag Utregninger av hva noe kostet før påslag, hvor mange prosent noe er og hva noe kostet etter et påslag Prosentregning med penger i banken: renter og rentesrente

Rentesrente

89 91 95

Potens

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Tall på standardform

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kvadratrot Koordinatsystemer, funksjoner og grafer Veien om 1 Regne med tid

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

101 102 106 107

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Omgjøring av tid til titallssystemet

101

108 110 111

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vei, fart og tid

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Omgjøringer med vei, fart og tid

Geometri

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Noen begreper å ta med seg

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Omkrets Areal

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Areal av rektangel, trekant, parallellogram, trapes, rombe

Trekanter

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Typer trekanter: stump, spissvinklet, likesidet, likebeint, rettvinklet

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pytagoras’ setning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pytagoras og trekanter med vinklene 90o,60o,30o

Sirkler

121

122

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pi Å finne omkretsen av en sirkel Arealet av en sirkel

113 114 115 115 121

125

126 127 127 129

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Målestokk

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

Konstruksjon

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Konstruere vinkler med 60 o og 90 o Halvere vinkler Bygging av vinkler

132

132 134 136 138 139 140

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Finne midtnormalen Å nedfelle en normal Konstruksjon av en parallell linje

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Formlike figurer Omgjøring mellom enheter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Omgjøring mellom kvadratenheter Omgjøring mellom kubikkenheter Forholdet mellom kubikk og liter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

141 143

148 149 150

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Volum av forskjellige figurer Massetetthet Statistikk og sannsynlighetsregning

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Frekvens, frekvenstabell, prosent og diagrammer Kakediagram/sektordiagram

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

152 155 156

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 157 160 160 162 162

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Gjennomsnitt

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Median, typetall, variasjonsbredden

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sannsynlighetsregning del 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kombinatorikk Multiplikasjonsregel, fakultet, ordnet utvalg med tilbakelegging, ordnet utvalg uten tilbakelegging, uordnet utvalg uten tilbakelegging

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sannsynlighetsregning del 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Multiplikasjonsregelen, addisjonsregelen

Fasit på ØV DEG!-oppgaver

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

163 169 169

170

FORORD Jeg har i lang tid blitt bedt om å skrive denne boka, men har sagt nei. Undervisning er et sammensatt emne, og i altfor mange år har en nesten tatt for gitt at foreldrene skal undervise barna sine når det gjelder leksearbeidet. Som oftest må foreldre trå til der vi mislykkes i skolen. Jeg har seks års utdanning og 15 års yrkeserfaring, men bruker fortsatt tid på å tenke ut veier inn til elever som strever med matematikken. God og gjennomtenkt undervisning krever innsikt og kunnskap om faget, men også kunnskap om didaktikk – ikke minst om hvordan barna tenker. En god undervisningssituasjon krever i tillegg at rollen elev–lærer er etablert, og de færreste barna ser sine foreldre som lærere, de er først og fremst mamma og pappa. Barn har som oftest mindre tålmodighet med sine foreldre enn de har med sine lærere, og lærerne har ofte mer tålmodighet med elevene enn foreldre har med sine barn. Ingen bok eller noe nettsted kan erstatte en utdannet lærer med innsikt i faget sitt og elevene sine. Derfor har jeg i lang tid sagt nei til å skrive denne boka. Når den likevel skrives, er det fordi vi vet at svært mange barn og voksne strever med matematikk. Slik situasjonen er nå, er det fortsatt mange foreldre som ikke har noe annet alternativ enn å prøve å forklare matematikken til barna sine. Problemene med matematikk henger oftest sammen med små misforståelser, eller at en mangler litt innsikt i deler av faget. Disse små manglene gjør at all matematikk framstår som stadig nye formler og regler uten faste holdepunkter, slik at alt flyter. De elevene som sliter med faget, mangler stort sett grunnleggende trygghet i at alt i matematikken bygger på logikk, og at svært mye av matematikken følger de samme prinsippene. Når de blir helt trygge i de fire regneartene (pluss, minus, ganging og deling), vet om alle mulighetene likhetstegnet gir, og har lært seg å systematisere utregningene,

faller gjerne svært mange brikker på plass. Disse hovedområdene er det jeg kaller grunnpakka, for denne pakka ligger til grunn for nesten alle utregninger og prinsipper for å finne løsninger, som vi søker etter i grunnskolen. Mitt håp er at denne boka kan være med på å skape trygghet i møte med faget, og at både elever og foreldre kan legge bort forestillinger om at de ikke kan lære seg matematikk. Et stort hinder for mange er at de må vite hvorfor matematikken er som den er, for å komme seg videre og kunne ta metodene i bruk. Det holder ikke å si at vi kan «flytte og bytte» når det kommer til likninger, de fleste vil vite hvorfor vi flytter og bytter. Så langt det lar seg gjøre, har jeg her prøvd å forklare prinsippene og hva som skjer. Hvis du ikke har behov for forklaringene på hvorfor, kan du hoppe rett til formlene og de siste eksemplene i kapitlene. De går gjerne fortere fram. Til de fleste temaene er det oppgaver, og fasiten finner du bakerst i boka.

Lykke til!

Håvard Tjora juni 2014

I boka har jeg med vilje valgt de mer dagligdagse begrepene i matematikk, som å legge sammen og trekke fra i stedet for å addere og subtrahere. I en forklaringssituasjon bør en luke vekk mest mulig som kan forvirre eller gjøre at barna er nødt til å tenke seg om for å skjønne hva som menes. De aller fleste matematikklærere ønsker likevel å bruke korrekte begreper i matematiske sammenhenger. Nedenfor følger en liten ordliste over ord og begreper vi møter i matematikken.

ORDLISTE Addisjon: Å legge sammen. Når vi adderer to tall, legger vi sammen to tall. Dividend: I et delingsstykke, for eksempel 32 : 16 = 2, er det tallet 32 som er dividend. Dividere: Å dele. Divisor: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 16 divisor. Faktor: Tallene som er med i et gangestykke, kalles faktorer. faktor · faktor = produkt. Kvotient: I delingsstykket 32 : 16 = 2 er tallet 2 kvotient. Ledd: Tallene som er med i regnestykket når vi legger sammen og trekker fra, kaller vi ledd. Likning: Et regnestykke med minst en ukjent. Den ukjente er som oftest kalt X. Multiplikasjon: Ganging.

Origo: Nullpunktet i et koordinatsystem. Produkt: Svaret i et gangestykke. Siffer: 321 er et tall som er satt sammen av tre siffer. Sifrene er enkelttall som er med på å bygge opp et annet tall. Posisjonen til et siffer bestemmer verdien sifferet har. Sirkel: Det samme som en runding. Alle punktene på sirkelen ligger like langt fra sentrum til sirkelen. Skjæringspunkt: Punktet der to grafer krysser hverandre, kalles skjæringspunkt. Subtraksjon: Å trekke fra. Når vi skal trekke fra, sier vi at vi subtraherer. Sum: Svaret i et pluss- eller minusstykke. Tiervenner: Tall som sammen gir tallet 10: 3 og 7, 9 og 1 osv. Vinkelbein og toppunkt: En vinkel har to vinkelbein og et toppunkt. Punktet der vinkelbeina skjærer hverandre eller møtes, kaller vi top�punktet. Sett fra toppunktet har vi høyre og venstre vinkelbein. Vinkelsum: Summen av alle vinklene i en mangekant (trekanter, firkanter, femkanter osv.). Vinkelsummen i en trekant er 180°. Firkanter har vinkelsummen 360°.

TITALLSSYSTEMET Opp gjennom historien har det eksistert mange tallsystemer. Også i dag er det flere forskjellige tallsystemer som er i bruk. Det vanligste er nok det binære tallsystemet, eller totallssystemet, som brukes til å programmere datamaskiner. Vårt eget tallsystem heter titallssystemet og brukes over hele verden. Det fungerer ved at enere, tiere, hundrere osv. har sin bestemte plass i forhold til hverandre. Det letteste er å forklare det med et eksempel: Titallssystemet er bygd opp ved at ulike verdier har sin bestemte plass. La oss si at du skal telle opp hvor mange boller det er i et bakeri. For å lage et bra system, legger du ti og ti boller i hver sin pose. Etter å ha telt opp, kommer du kanskje fram til at du har tre bolleposer med ti i hver, og i tillegg har du fire boller til overs. I titallssystemet skriver vi det slik: 34. Her ser du at 3-tallet står for hvor mange bolleposer (med ti i hver) du har, og 4-tallet står for hvor mange enkeltboller det er til overs. Det viktige er at tierne og enerne har hver sin plass. Titallssystemet er derfor et plassverdisystem. Den plassen sifferet står på, bestemmer verdien til sifferet. I tallet 34 ser du at 3-tallet står til venstre for 4-tallet. Det vil si at 3-tallet hører til tiergruppa.

Hvis du er i et bakeri med svært mange boller, la oss si flere hundre, må du utvide titallssystemet. Da teller du først opp i grupper på ti og ti. Etter hvert kommer du til at du har ti bolleposer med ti i hver. Da har du til sammen 100 boller, og du må opp enda en plass – til det vi kaller hundrerplassen. De hundre bollene som ligger i ti poser, legger du kanskje i en eske. Etter at du har lagt bolleposene der, oppdager du at du har to poser til overs, pluss tre enkeltboller som ikke er nok til å fylle en pose. Da har du en eske med hundre, to poser med ti (til sammen tjue) og tre enkeltboller. Vi skriver det slik: 123, ett hundre og tjuetre.

Det finnes uendelig mange tall, og her er en oversikt over titallssystemet et godt stykke på vei:

PLUSS (addisjon)

Når du har forstått hvordan titallssystemet fungerer, kan du legge sammen kjempestore tall. På matematikkspråket heter det å addere. Den letteste måten er å sette tallene under hverandre. Når du legger sammen tall, er det viktig at du alltid passer på å legge enere sammen med enere og tiere med tiere. Greier du å holde tunga rett i munnen og plassere enere over enere og tiere over tiere, kan du legge sammen veldig store tall, selv om du ikke har regnet så mye før. Vi kan starte litt forsiktig med 12 + 5. Siden det er lettest å skrive tallene under hverandre, setter vi det opp slik: Her ser du at 2-tallet i tallet 12 viser to enere og skal stå på enerplassen. 1-tallet i tallet 12 viser en tier og skal derfor stå på tierplassen. Tallet 5 hører til enerne og skal stå på enerplass. Vi får da 7 enere og 1 tier, altså tallet 17.

Denne måten å legge sammen på gjelder også når vi har veldig store tall. Kan du framgangsmåten, er det enkelt å regne ut for eksempel 1 457 832 + 8 342 156. Når vi setter tallene under hverandre og er nøye med å plassere dem riktig, får vi svaret 9 799 988. Framgangsmåten fungerer fint så lenge sifrene vi legger sammen ikke blir større enn 9. Blir de større, må du kunne litt mer om addisjon. Vi forklarer det i neste avsnitt.

Addisjon med tieroverganger Vi tenker oss at vi teller opp penger etter en bestemt regel. Hver gang du teller opp ti enkroner, skal de veksles til en tikrone. Hvis du har 13 kronestykker, kan du veksle inn ti av kronestykkene og få en tikrone. Tikronen er altså like mye verdt som ti kronestykker. Når du følger denne regelen, blir altså 13 kronestykker etter veksling lik en tikrone og tre kronestykker. Det ser sånn ut:

Vi tenker oss så at du i tillegg til disse 13 kronene får åtte kronestykker til. Da har vi et addisjonsstykke (eller pluss-stykke) som ser slik ut:

Her ender vi opp med to tiere og ett kronestykke, altså 21 kroner. Vi har vekslet ti kronestykker til en tier og har nå ett kronestykke til overs.

Når vi setter opp dette under hverandre, får vi: Legg merke til 1-tallet vi har satt over tieren i 13. Det kalles minnetegn eller mente og minner oss på at vi har vekslet ti kronestykker til en tier. Siden det er en tier, setter vi minnetegnet på tierplassen. Det er altså ti enkroner i en tikrone. Du har sikkert sett at vi har hundrelapper og tusenlapper også. En hundrelapp er like mye verdt som ti tikroner. Dersom du har en kalkulator, kan du prøve å legge sammen 10+10+10+10+10+10+10+10+10+10. Du ser at det blir 100. Vekslingsregelen som gjaldt for kronestykker, gjelder også for tikronene. Får du ti tikroner, kan de straks veksles til en hundrelapp. Så hvis du har 15 tikroner, blir det en hundrelapp og fem tikroner:

Her ser du at 15 tikroner er det samme som en hundrelapp og fem tikroner, altså 150 kroner. I tillegg til hundrelappen og de fem tikronene tenker vi oss nå at du får sju tikroner til. Da ser det slik ut:

Skrevet som et regnestykke får vi: Legg merke til at vi her fikk mer enn ti tiere, så vi måtte veksle til en hundrelapp. Siden det er en hundrelapp, skal minnetegnet stå på hundrerplassen.

MINUS (subtraksjon)

Subtraksjon er det samme som å trekke fra. Når vi trekker fra, tar vi bort noe. Hvis du for eksempel har sju boller og spiser tre, har du fire boller igjen. På samme måte som når vi adderer, setter vi subtraksjonsstykkene under hverandre. Da ser det slik ut: 15

Lån og veksling La oss tenke oss at du har en tier i lomma, og at du skylder en venn 4 kroner. Den eneste måten du kan få gjort opp for deg, er ved å veksle tieren til kronestykker. Da kan du gi fra deg de fire kronene du skylder, og du sitter igjen med seks kronestykker. Vi skriver det som et regnestykke: Her ser du at vi har satt en strek over 1-tallet i 10 og skrevet 10 over enerplassen. Det er fordi vi har vekslet inn tieren og fått ti kronestykker. Streken over tieren viser altså at tieren du hadde, er blitt gjort om til kronestykker. Hvis du hadde hatt to tiere og skyldte en venn 4 kroner, ville regnestykket sett slik ut: Siden du hadde to tiere, men ingen kronestykker, var du nødt til å veksle den ene tieren til krone stykker her også. Derfor har vi satt en strek over tierplassen. Det betyr at du har tatt den ene tieren og vekslet til ti kronestykker. Etter at du har betalt vennen din, har du igjen seks kronestykker og en tier. Hvis du har 220 kroner og skylder vennen din 30 kroner, blir det slik: Her har du ikke nok tiere, så du er nødt til å veksle en hundrelapp i tiere. En hundrelapp kan veksles i ti tiere, derfor setter vi 10 over tierplassen. Den viser at vi har vekslet hundrelappen i ti tiere. Siden du hadde to tiere fra før, har du til sammen tolv tiere. Etter at du har betalt de tre tierne du skyldte vennen din, har du igjen ni tiere, og dem fører vi opp på tierplassen i svaret. Siden du vekslet den ene av de to hundrelappene du hadde, har du bare en hundrelapp igjen.