HÅVARD TJORA MATTEMESTER OVER 200 GØYALE, SPENNENDE OG NYTTIGE MATEMATIKKOPPGAVER FOR HELE FAMILIEN
Tjora_røffly.indd 2
13/03/2018 14:18
© 2018 Kagge Forlag AS Omslag: Trine+Kim designstudio Foto av forfatter: Eirik Berger Tegninger inni: Håvard Tjora Tegning kaniner, side 93: Geir Florhaug Layout: Terese Moe Leiner Papir: Magno natural 140 g Boka er satt med Frutiger roman 10/13 pt. Trykk og innbinding: Livonia Print ISBN: 978-82-489-2162-2
Kagge Forlag AS Tordenskiolds gate 2 0160 Oslo www.kagge.no
Tjora_røffly.indd 1
13/03/2018 14:18
INNHOLD 9 Forord 10 Kodeknekk 12 Napoleons kode 13 Kodehjul 13 Kodehjul, annen variant 14 Vippestang 15 Fibonacci 15 Kaninene 18 Tallrekka 18 Fibonaccis spiral 20 Fibonaccis spiral, del 2 20 Fibonacci og det gylne snitt 22 Fibonacci og den gylne vinkel 23 Den gylne vinkel og plantene … 24 Det gylne snitt 24 Kheopspyramiden 25 Kredittkortet 25 Pentagrammet 26 Michelangelo, «Skapelsen av Adam» 27 Parthenon 28 Forholdstall 28 Treet 29 Flaggstangen 32 Omgjøring mellom enheter 34 Volum (liter) 35 Masse (gram) 36 Omgjøring av enheter i kvadrat 38 Omgjøring av volum 40 Pytagoras` setning 41 Trekanttall 45 Regn ut summen av tallrekker med trekanttall! 47 Sjøfart 47 Bergen til Shetland
1
5
1
5
48 Vikingenes reise til Island 49 Overfarten til Amerika 50 Slavehandelen 52 Taljer og trinser 58 Vei, tid og fart 60 Litt av hvert om tall 60 Tallmagi 61 Eksponenter 62 Sosiale medier 63 Arealet av en sirkel πr2 64 Logisk-matematisk pusling 64 Geita, havresekken og den syngende bjørnen 64 Fjellturen 65 De ni prikkene 65 Hvor gammel? 66 Hvor mye veier det? 66 Far og barn 67 Historisk dato 68 Gåter 70 Tallrekker 70 Stolheisen 72 Terningkastene 72 Kombinasjon av terningkast 74 Kulene i posen 74 Hundegården 76 Tallsystemer 76 Totallsystemet 78 Femtallsystemet 78 Det gamle egyptiske tallsystemet (additivt) 82 Det gamle tallsystemet til mayaene 84 Regn som en romer! 85 Den visuelle gangetabellen 89 FASIT 126 Stikkordregister
FORORD
Da jeg ga ut boka Mattemagi i 2010, var målet å vise at matematikk er veldig mye mer enn bare å løse regnestykker i en bok. Der kunne du lese om tall som «oppfører» seg merkelig, om hvordan du kunne trylle med tall, en del om hvordan vi kan beskrive fenomener rundt oss med matematikk, og noen prinsipper for regning. Mattemagi var ikke en ren aktivitetsbok – men det er denne du nå holder i hånden. Jeg har laget flere oppgaver som «har en mening» – oppgaver der du kan finne ut av noe du kanskje ikke var klar over, ved å regne. For at det skal være lett å komme i gang, er det satt av plass til at du kan skrive, regne og tegne rett inn i boka. Noen av oppgavene gir deg kanskje innsikt i noe du ikke visste fra før, mens andre oppgaver kun er ment som underholdning. Bak i boka er det en fasit, som ved siden av å gi deg svaret, gir deg en forklaring på hvordan vi kom frem til det. Kanskje vil du streve med noe, og synes andre oppgaver er lette. Håpet mitt er at du uansett vil oppleve oppgavene motiverende, og at du har det gøy med matematikken – og kanskje har du blitt litt flinkere til å regne og tenke matematisk? Kanskje har du kommet et steg nærmere å bli en mattemester? Jeg vil benytte anledningen til å takke min bror Åsmund Tjora, som atter en gang har lest korrektur, og kommet med viktige innspill. Familien, for at de enda en gang har gitt meg tid til å skrive. Redaktør Nina Tandberg, for å holde orden og stadig drive boka og meg fremover. Og Kagge Forlag for å ha trua og for sin smittende entusiasme. Til slutt vil jeg også takke Solfryd Larsen og Axel Edén for delingen av sitt arbeid med den visuelle gangetabellen.
God fornøyelse! Håvard Tjora, Longyearbyen 26.02.18
9 Tjora_røffly.indd 12
13/03/2018 14:18
KODEKNEKK For å finne løsningssetningen, må du gjøre oppgavene. Svarene du får viser til en bokstav i alfabetet. A = 1, B = 2, C = 3, D = 4, E = 5, F = 6, G = 7, H = 8, I = 9, J = 10, K = 11, L = 12, M = 13, N = 14, O = 15, P = 16, Q = 17, R = 18, S = 19, T = 20, U = 21, V = 22, W = 23, X = 24, Y = 25, Z = 26, Æ = 27, Ø = 28, Å = 29. Hvis du synes noen av stykkene er litt vanskelige, kan det lønne seg å gjøre noen av oppgavene i boka først. Mange av temaene er behandlet utover i kapitlene. SPØRSMÅL
SVAR
BOKSTAV
11 • 2
3+3•3 Første primtall over 10 Hva blir neste tall? 1, 3, 6,10, …? 91 : 7 X + 7 = 20 Tverrsummen av 23 12 + 22 + 32 Romertallet XX Tverrsummen av 27 Fellesnevneren til 3 og 4 Tenk på et tall, gang det med 2. Legg til 8. Del det du har på 2. Trekk fra tallet du tenkte på … I femtallssystemet skrives dette tallet 10 Hva blir det neste tallet? 20, 18, 16, … Romertallet XIV 100 : X = 20 8 + 12 : 2 - 1 • 1 4 –– 4 Hvis du deler 100 boller i fem poser – hvor mange er det i hver?
10 Tjora_røffly.indd 11
13/03/2018 14:18
SPØRSMÅL
SVAR
BOKSTAV
En fjerdedel av 20 2, 3, 5, 7, 11, … 12 Hvor mange desiliter er 2 liter? 45, 36, 27, 18, …? 4, 5, 7, 10, 14, … 2+1•5+8:2 22 + 42 + X2 = 45 80 : 5 1+2+3+4+5+6 95 : 5 52 - 32 - 22 12 + 22 Tverrsummen av 11 2X - 12 = 12 12 + 22 + 32 + 42 - 52 276 - 15 - 16 - X = 234
Hvor mange liter er 10 dl?
Se fasit side 90.
11
NAPOLEONS KODE Her ser du bolker med bokstaver: For at du skal kunne løse denne koden, må du sette bolkene inn i skjemaet under. Så må du starte på toppen og prøve å finne ut hvordan du skal tyde hva som står der …
KLAR
UDRE
ÅKNE
DEKK
ENNE
EDOK
NERD
NNIU
MARI
!DOG
Se fasit side 92.
12
KODEHJUL Her ser du et kodehjul. Det kan du fint lage selv også, av to pappskiver og en splittbinders. Det du får vite, er at det er en sammenheng mellom de to bokstavhjulene. Klarer du da å knekke koden under?
XL YI GT MYÅ KÅC T VCÅ YE BFXYDYJKYI!
En annen variant er å bytte ut det ene hjulet som har bokstaver med tall. Da kan det se slik ut:
Se fasit side 92.
24|25|5 10|6|4| 25|29|25|9 25|11 2|6|24|25|28|1|12|3|, 2|21|5 10|2|9|29|13|25 4|25|3|24|29|5|27|25|9 29 10|2|1|12|3 … Se fasit side 92.
13
VIPPESTANG Under ser du en vippestang. Siden det ikke er noe i skålene, er det like tungt på begge sider av armene. For at den skal være i balanse, er derfor vippepunktet plassert midt mellom de to skålene.
Hvis den ene skåla har noe som er tyngre enn den andre i seg, må vippepunktet flyttes nærmere det som er tyngst for at stangen fortsatt skal ligge vannrett. Prinsippet er at hvis den tyngste delen er dobbelt så tung som den lette, må den lette ligge dobbelt så langt unna vippepunktet som den tyngste. Så hvor vil du plassere vippepunktet i oppgaven under?
Se fasit side 93.
14
FIBONACCI En av vestens mest berømte matematikere het Leonardo Fibonacci og han levde for rundt 800 år siden. Han plukket opp en tallrekke som var laget av indiske matematikere, og brakte den videre til Europa. Tallrekka fikk dermed hans navn – Fibonaccis tallrekke – en av verdens mest kjente tallrekker.
KANINENE Historien skal ha det til at tallrekken ble oppdaget ved at man tenkte seg følgende: En gutte- og en jentekanin møtes og blir så forelsket som kaniner kan bli. Etter en måneds svermeri, parer de seg. Jenta blir gravid, og etter enda en måned føder hun et nytt gutte- og jentepar. Dette nye paret blir umiddelbart forelsket i hverandre. Etter en måned parer de seg, og den nye jenta blir gravid. En måned etter det igjen, føder hun et nytt par. Tro det eller ei – en gutt og en jente. Og det samme kommer til å gjenta seg. Gang på gang. I det uendelige. Alle parene som har fått et sett med barn, fort setter å pare seg hver måned, og etter en måned føder de nye par. Spørsmålet blir da, om du klarer å tegne opp dette merkelige familietreet? Oppsummert: Ingen dør. Alle nyfødte er gutt og jente. Alle par som har fått barn, fortsetter å føde nye par hver måned. Prøv om du klarer å sette opp familietreet helt til du har fem par. Bruk plassen på neste side til å tegne familietreet. Se fasit side 93.
15 Tjora_røffly.indd 14
13/03/2018 14:18
Her kan du bruke plassen til ĂĽ regne ut oppgaver.
16 Tjora_røffly.indd 13
13/03/2018 14:18
LITT AV HVERT OM TALL Fra side 60.
Når vi jobber med et sammensatt regnestykke, skal ganging og deling gjøres unna først, før pluss og minus. Da får vi: 3 + 2 • 9 - 4 : 2 = 3 + 18 - 2 = 19 4 + 2 - 3 • 5 + 27 : 3 = 6 - 15 + 9 = 0
TALLMAGI Fra side 60.
Fasit 1: 4 Fasit 2: X • 2 Tenk på et tall, og multipliser det med 2 2X + 8 Legg til 8 2X + 8 Del dette på 2. 2 Her kan man for eksempel faktorisere, da får vi: 2(X+4) 2 Når vi får en brøk som ser sånn ut, kan vi forkorte 2 mot 2, og da står vi igjen med X + 4. Så til slutt skulle du trekke fra tallet du tenkte på, altså X. X + 4 – X = 4. Du vil altså alltid ende på 4.
EKSPONENTER Fra side 61.
Først var det 100 bakterier. Etter tjue minutter doblet antallet seg, og vi får 200 bakterier. Etter 40 minutter doblet antallet seg (400), og etter en time har disse doblet seg igjen (800). Dette er selvsagt forutsatt at bakteriene har optimale vekstvilkår, og at ingen dør underveis. Men selv om det ikke skulle bli så mange, gir det oss en god grunn til å være nøye med hånd vasken etter å ha vært på do …
107 Tjora_røffly.indd 106
13/03/2018 14:18
SOSIALE MEDIER Fra side 62.
Første timen er det bare du som har sett filmen, altsa 2°, som er 1. Dette dobler seg etter andre time: 2¹, og igjen til tredje time 2². Slik fortsetter det til det har gått 24 timer – og du vil ende opp på at 2²³ eller 8 388 608 mennesker har sett den på 24 timer.
AREALET AV EN SIRKEL πr 2 Fra side 63.
Omkretsen av en sirkel er 2π r. Når du legger ut sektorene som beskrevet, så vil lengden på rektangelet ditt være π r. Omkretsen er jo alle «ryggene» på sektorene (2π r), og bredden av rektangelet bare er halvparten av ryggene 2π r = πr 2 Høyden på rektangelet er det samme som radiusen i sirkelen, altså r. Arealet av et rektangel, er «lengde ganger bredde», og vi får: π r • r eller π r2. Formelen til en sirkel er π r².
LOGISK-MATEMATISK PUSLING GEITA, HAVRESEKKEN OG DEN SYNGENDE BJØRNEN Fra side 64.
Han må ro over geita først. Så henter han bjørnen. Men når han kommer med bjørnen til geita, må han ta med seg geita tilbake. Når han er tilbake igjen, setter han geita i land, og tar med seg havresekken. Når havresekken og den syngende bjørnen er vel over, ror han siste gang tilbake og henter geita.
108 Tjora_røffly.indd 105
13/03/2018 14:18
FJELLTUREN Fra side 64.
Svaret er ja – du kan faktisk ikke unngå at det skjer(!). Det finnes flere måter å vise det på, men den tydeligste er å vise det med en kurve.
Her ser du et eksempel på hvordan turen kunne se ut. Du begynte ved foten av fjellet klokken 8.00, og er fremme klokken 16.00. Dagen etter begynner du på toppen klokken 8.00, og er fremme ved foten av fjellet klokken 16.00. Der kurvene krysses, er stedet der du er på samme sted til samme tid.
109
DE NI PRIKKENE Fra side 65.
Start
HVOR GAMMEL? Fra side 65.
Denne løses enklest ved en likning. Vi vet at Are er den yngste av de tre, vi kaller hans alder for X. Tore er tre ganger så gammel som han – altså 3X. Line er 15 år eldre enn Are, hun blir da X + 15. Til sammen er de 100, og vi får likningen: Tore + Are + Line = 100 3X + X + (X + 15) 5X + 15 5X 5X 5 X
= 100 = 100 = 100 – 15 85 = 5 = 17
Da får vi: Tore er 3 • 17 = 51 Are er 17, og Line er 17 + 15, altså 32 år
110 1
5
1
5
HVOR MYE VEIER DET? Fra side 66.
Kassen har vi ikke interesse av, så vi kvitter oss med vekten av den med en gang, da har vi (14 - 1) kg = 13 kg leker. Vi vet ikke hvor mange roboter det er, så antall roboter kaller vi X. Vi vet heller ikke hvor mange dukker det er, så de kaller vi Y. Da vet vi at X + Y = 10 Hver robot veier 2 kg, og hver dukke veier 1 kg. Da vet vi at X • 2 + Y • 1 = 13, eller penere: 2X + Y = 13 Siden vi vet at X + Y = 10, så kan vi finne ut hva Y er ved å flytte og bytte: X + Y = 10 Y = 10 – X Nå kan vi sette det nye uttrykket vårt inn i den andre likningen: 2X + Y = 13 2X + 10 – X = 13 X = 13 – 10 X = 3 Det er 3 roboter i esken. Da må det være 7 dukker. La oss sjekke: 3 roboter veier (3 • 2) kg = 6 kg 7 dukker veier (7 • 1) kg = 7 kg. Til sammen veier de 6 + 7 kg = 13 kg
111
FAR OG BARN Fra side 66.
Her lønner det seg å systematisere litt. Min alder er ukjent, den kaller vi X. Min datters alder er også ukjent, den kaller vi Y. Min sønns alder er også ukjent, den kaller vi Z. Men vi vet også at min sønn alltid vil være 6 år yngre enn sin søster, da kan vi si at Z er det samme som Y – 6. Jeg vil alltid være 28 år eldre enn min datter. Da kan vi sette opp likningen med ord: Min datter + 28 år = min alder, med likninger blir det: Y + 28 = X Men vi vet også at min alder + datters alder + sønns alder = 58, og da kan vi sette: X + Y + Z = 58, hvis vi nå dropper Z-en, og heller setter inn Z = Y – 6, så får vi: X + Y + Y – 6 = 58 Nå har vi to likninger med to ukjente. Her er et løsningsforslag: Y + 28 = X X-en er altså det samme som Y + 28. Nå setter jeg dette uttrykket inn i den andre likningen: X + Y +Y – 6 = 58 Y + 28 + Y + Y – 6 = 58 3Y + 22 = 58 3Y = 58 – 22 3Y = 36 3Y = 36 3 3 Y = 12 Nå vet vi at min datters alder er 12. Da kan vi finne ut min alder også, den var jo 28 + Y = X 28 + Y = X 28 + 12 = 40 Siden min datter er 12, viser det seg at jeg er 40. Himmel og hav som tiden går … Min sønn er seks år yngre enn sin søster, altså Y – 6 = Z, da får vi 12 – 6 = 6
112 1
5
1
5
1
5
1
5
HISTORISK DATO Fra side 67.
Datoen er 9. april. 9. april 1940 ble Norge angrepet av Tyskland under andre verdenskrig. Måneden: Denne kan forklares gjennom en likning. Du tenkte på et tall, det er et tilfeldig tall, så det kaller vi X. Så multipliserte du tallet med 2 og la til 8, da får vi: 2X + 8 Etterpå skulle dette divideres med 2 2X + 8 = X + 4 2 Så skulle du trekke fra tallet du tenkte på, altså X : X + 4 – X = 4 Du er nødt til å få tallet fire hver gang. Grunnen til at du kom fram til 9, er at alle tall som multipliseres med 9, får tverrsummen 9.
GÅTER Fra side 68.
Fasit I: Søsteren er seks år eldre enn broren. Når han er åtte, er hun 14. Svært mange tror svaret er 16 … Fasit II: Stian vil vinne igjen. Han kommer til å ta igjen Magnus når de har syklet 900 meter, men siden han sykler litt fortere, vil han sykle forbi han og ta ledelsen de siste hundre meterne. Fasit III: Det finnes mange måter å løse denne oppgaven på. Du kan finne ut hvor langt hver av dem graver for hvert tiende minutt. Guri graver 2 meter : 6 = 1/3 meter hvert tiende minutt. Gunnar graver 1 meter : 6 = 1/6 meter på ti minutter. Etter ti minutter har de gravd (1/3 + 1/6) meter = 1/2 meter. (Forts. på neste side.)
113 Tjora_røffly.indd 116
13/03/2018 14:18
Til sammen skal de grave 4 meter, det er åtte ganger så langt som halv meteren vi så på over, og derfor bruker de åtte ganger så lang tid: 8 • 10 minutter = 80 minutter, eller 1 time og 20 minutter Den kan også løses som en ligning. For hver time har Guri gravd to meter, og Gunnar en meter. Vi vet ikke hvor mange timer de kommer til å grave, så det kaller vi X. Men vi vet at de til sammen skal grave fire meter, da får vi denne likningen: X (2 + 1) = 4 X=4 3 X = 11 3 De graver i 1−¹³ time, som er det samme som 1 time og 20 minutter. Fasit IV: Det finnes flere løsninger for å vise at tenkemåten i oppgaven er feil, for som du sikkert har skjønt, så er det ingen penger som har forsvunnet. De tre kronene du har igjen, har du fortsatt lånt. Hvis du tenker at du skal redusere gjelden din ved å betale tilbake vekslepengene, så må du tenke at de tre kronene du fikk igjen, skal deles på to, altså at du gir tilbake 1,50 kr til hver. Isene kostet 37 kroner, og vi skylder nå 20 – 1,5 = 18,5 til hver. Hvis jeg legger sammen gjelda nå, får jeg 18,5 + 18,5 = 37 kroner. 37 kroner + de tre jeg ga tilbake, blir 40. En annen måte er å tenke at gjeld er negative tall. Jeg skylder hver av gutta 19 kroner + krona jeg har i lomma: -19 + -19 + 1 = -37 -37 er det jeg betalte for isene, altså den gjelden jeg har igjen etter å ha betalt en krone til hver av gutta, og beholdt en selv. Fasit V: Først betalte du 100 kroner, så fikk du igjen 200 kroner. Nå har du tjent 100 kroner. Så betaler du 300 kroner, og selger det for 400 kroner, og du har igjen tjent 100 kroner. Du har til sammen tjent 200 kroner.
114 Tjora_røffly.indd 115
13/03/2018 14:18
TALLREKKER Fra side 70.
a) Det neste tallet er 13. Du legger sammen de to tallene som står foran – her blir det 5 + 8 b) Det neste tallet er 16. Du legger sammen et tall, som øker med en for hver gang. 1 + 1 = 2. 2 + 2 = 4. 4 + 3 = 7. 7 + 4 = 11. 11 + 5 = 16 c) Det neste tallet er 16. Du multipliserer med -2 hver gang. -8 • -2 = 16 d) Det neste tallet er 25. Du øker med en, og kvadrerer (opphøyer i andre) for hvert tall. 1² = 1. 2² = 4. 3² = 9. 4² = 16. 5² = 25 e) Tallet er 41. Mellom hvert tall, er det multiplisert med 3, og trukket fra en. 1 • 3 -1 = 2. 2 • 3 –1 = 5. 5 • 3 -1 = 14. 14 • 3 -1 = 41
115
STOLHEISEN Fra side 70.
Det finnes flere måter å finne svaret på. En av dem er å tegne opp mulig hetene i en tabell. For enkelthets skyld har jeg bare brukt forbokstavene til personene, og satt dem inn i en tabell, rutene representerer setene i stolheisen.
A A A A A A B B B B B B C C C C C C D D D D D D
116
B B C C D D A A C C D D A A B B D D A A B B C C
C D D B B C C D A D A C B D A D A B B C A C A B
D C B D C B D C D A C A D B D A B A C B C A B A
Det finnes 24 måter de kan sitte sammen på. Men det finnes en mye raskere måte å komme frem til dette resultatet på også. Det finnes fire seter der A kan sette seg. For hver gang A velger en plass, er det tre muligheter for for eksempel B. For hver gang B bestemmer seg for en plass, er det bare to muligheter igjen til C, og når C har bestemt seg, er det bare en mulighet igjen for D. Det betyr at det er 4 • 3 • 2 • 1 = 24 muligheter. Dette kan skrives 4!, og uttales «fire fakultet». Hadde det vært plass til fem i heisen, kunne du skrevet 5!, og regnet det ut slik: 5•4•3•2•1
TERNINGKASTENE Fra side 72.
Siden det er seks sider på en terning, er det 1/6 sjanse for at du kaster en sekser. Selv om sekserne ofte er gjevere å få enn firere, er sannsynligheten for å trille en firer akkurat like stor som for å trille en sekser.
KOMBINASJON AV TERNINGKAST Fra side 72.
a)
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,5 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Dette er alle tilfellene du kan trille med to terninger, og det gir til sammen 36 muligheter.
117
b)
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,5 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Det er bare en av de 36 kombinasjonene som gir to seksere. Altså er det 1/36 sjanse for å klare det. 1/36 = 0,0277 ≈ 2,8 % sjanse c)
1,1 2,1 3,1 4,1 5,1 6,1 1,2 2,2 3,2 4,2 5,2 6,2 1,3 2,3 3,3 4,3 5,3 6,3 1,4 2,4 3,4 4,4 5,5 6,4 1,5 2,5 3,5 4,5 5,5 6,5 1,6 2,6 3,6 4,6 5,6 6,6 Alle de kombinasjonene som er uthevet, har en sekser i seg. Det vil si at du har 11/36 sjanse for å få en sekser, når du kaster med to terninger. 11/36 = 0,3055 ≈ 31%
d) Den terningsummen som dukker opp oftest, er 7.
118
KULENE I POSEN Fra side 74.
a) Hver kule har 1/5 sjanse for å bli trukket. Det vil si at det er 1/5 sjanse for at du trekker den blå. Og siden det er fire gule, er det 4/5 sjanse for at du trekker en gul. b) Det at du trekker to kuler, kan du se på som at du først trekker en kule, så en kule til. På den første kula, har du 1/5 sjanse for å trekke en blå. Nå er det fire kuler igjen – det vil si at det er 1/4 sjanse for at kula nummer to er blå. Til sammen gir det 1/5 + 1/4 = 9/20, eller 45% sjanse for at en av de to kulene er den blå.
HUNDEGÅRDEN Fra side 74.
Til denne oppgaven finnes det flere måter å tenke på. Den ene kan være å tenke at det nye gjerdet har skapt fire ganger, som alle er en meter brede. Da kan du regne ut arealet av dem, og legge det sammen. Arealet av to kortsider: (7 • 1) m2 • 2 = 14 m2 Når du skal regne ut arealet av langsidene, må du huske på at du allerede har brukt opp en meter på hver side av dem, se på tegningen.
119 Tjora_røffly.indd 118
13/03/2018 14:18
Da får vi (8 • 1) m2 • 2 = 16 m2 Til sammen er gangene på 30 m2 En annen måte å gjøre det på, er at du finner arealet av hele hundegården fra yttergjerdene, og trekker fra arealet av den indre delen av hundegården. Arealet av hele hundegården, med yttergjerder: 7 m • 10 m = 70 m2 Arealet av indre hundegård: 8 m • 5 m = 40 m2 Arealet av gangene: 70 m2 – 40 m2 = 30 m2
TALLSYSTEMER TOTALLSYSTEMET Fra side 76.
a) 14 inneholder en 8-er, en 4-er, en 2-er, og ingen enere: 1110 b) 51 inneholder en 32, en 16, ingen 8, ingen 4, en 2 og en 1: 110011 c) 328 inneholder en 256, ingen 128, en 64, ingen 32, ingen 16, en 8, ingen 4, ingen 2 og ingen 1: 101001000 d) 1503 inneholder en 1024, ingen 512, en 256, en 128, en 64, ingen 32, en 16, en 8, en 4, en 2 og en 1: 10111011111 e) 462 inneholder en 256, en 128, en 64, ingen 32, ingen 16, en 8, en 4, en 2, og ingen 1: 111001110
FEMTALLSYSTEMET Fra side 78.
a) 14 inneholder to 5-ere og fire 1-ere: 24 b) 51 inneholder to 25-ere, ingen 5-ere, og en 1-er: 201 c) 328 inneholder to 125-ere, tre 25-ere, ingen 5-ere og tre 1-ere: 2303 d) 1503 inneholder to 625-ere, to 125-ere, ingen 25-ere, ingen 5-ere og tre enere: 22003 e) 462 inneholder tre 125-ere, tre 25-ere, to 5-ere og to enere: 3322
120 Tjora_røffly.indd 117
13/03/2018 14:18
DET GAMLE EGYPTISKE TALLSYSTEMET (ADDITIVT) Fra side 78.
a) Her er det en hundrer, to tiere og fire enere: 124, eller
b) Vi har 2322 + 4308 = 6630, eller
c) Vi har 2322 – 433 = 1889, eller
121
DET GAMLE TALLSYSTEMET TIL MAYAENE Fra side 82.
400 20
REGN SOM EN ROMER! Fra side 84.
a) XIV b) LI c) CCCXXVIII d) MDIII e) CDLXII f) 2018 g) 1945 h) 888 i) 1994 j) 2005
122 1
5
1
5
1
5
1
5
DEN VISUELLE GANGETABELLEN Fra side 85.
1-gangen: 2-gangen:
3-gangen: 4-gangen:
123
6-gangen: 7-gangen:
8-gangen:
9-gangen:
5-gangen og 10-gangen tok jeg ikke med. Du kan jo prøve dem ut, sü kan du jo kanskje tenke deg selv hvorfor ‌
1
5
1
5
Tjora_røffly.indd 128
13/03/2018 14:18
STIKKORDREGISTER π r 63, 108
additivt tallsystem 78, 82, 84, 121, 122 arbeid 52–55, 106 areal 63, 102, 105, 119, 120 areal av en sirkel 63, 108 avstand 58, 106 Columbus 48–50, 105 de ni prikkene 65, 110 deling 107 den gylne vinkel 22, 23, 96 den visuelle gangetabellen 85, 123 det gylne snitt 20, 24, 25, 96, 97, 98 egyptisk tallsystem 78, 121 eksponenter 61, 107 ekvator 58, 59, 106 faktorisere 107 fakultet 117 far og barn 66, 112 fart 58, 106 femtallsystemet 78, 120 Fibonacci 15 Fibonacci og den gylne vinkel 22, 96 Fibonacci og det gylne snitt 20, 96 Fibonaccis spiral 18, 20, 94, 95 Fibonaccis tallrekke 15, 18, 20, 94 fjellturen 64, 109 flaggstangen 29, 100 fordobling 61, 107 forholdstall 20, 24, 28, 100 formlike trekanter 100 fot 50, 105 ganging 107 geita, havresekken og den syngende bjørnen 64, 108 gåter 68, 113, 114 historisk dato 67, 113 hundegården 74, 119
hvor gammel? 65, 110 hvor mye veier det? 66, 111 hypotenus 97 Joule 53–55, 106 kaniner 15, 93 katet 24, 97, 100 Kheopspyramiden 24, 97 knop 47–49, 51, 104, 105 kode 10, 12, 13, 90, 92 kodehjul 13, 92 kodeknekk 10, 90 kombinasjon 72, 117, 118 kraft 52–55, 106 kredittkort 25, 97 kube 38 kulene i posen 74, 119 kurve 109 kvadrat 18, 36, 40, 63, 102 kvadratrot 102 logisk-matematisk pusling 64, 108 masse 35, 101 mayaenes tallsystem 82, 122 Michelangelo 26, 99 minus 107 Napoleons kode 13, 92 nautisk mil 47, 104, 105 Newton 53–55, 106 omgjøring av enheter i kvadrat 36, 102 omgjøring mellom enheter 32, 36, 38, 101, 102 omkrets 59, 63, 108 Parthenon 27, 99 pentagram 25, 98 plassverdisystem 76 pluss 107 posisjonsystem 78, 82, 122 Pytagoras` setning 40, 97, 102
126 Tjora_røffly.indd 127
13/03/2018 14:18
radius 108 regn som en romer! 84, 122 romertall 84, 122 sannsynlighet 72, 74, 117, 119 sjøfart 47, 104 slavehandel 50, 105 sosiale medier 62, 108 stolheisen 70, 116 tabell 116 taljer 52, 53, 106 tallmagi 60, 107 tallrekke 18, 45, 46, 70, 94, 103, 115 tallrekker 70, 103, 115 tallsystemer 76, 120 terningkast 72, 117, 118 tid 58, 106 titallsystemet 76, 84, 122 tomme 50, 105 totallsystemet 76, 120 treet 28, 100 trekanttall 41, 44, 45, 103 trinser 52, 54 tverrsum 67 tyngdeakselerasjon 53, 54 vei 52–55, 106 vei, tid og fart 58, 106 vikinger 48 vippestang 14, 93 volum 34, 101, 102
Ekstra side til ĂĽ regne oppgaver.