Vb 2013 nr1 by Uitgeverij Van Gorcum

Tijdschrift voor reken en wiskundeonderwijs Jaargang 33 | nummer 1 | september 2013

TIMSS rapport

Kennis van leerlijnen

Vragen over de Kleutertoets Praktisch:

Tabel aan de wand Magico Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Hoe gaat het met ons rekenonderwijs? www.volgens-bartjens.nl

1 Redactieadres Redactie Volgens Bartjens t.a.v. Cathe Notten Zeeburgerkade 292 1019Hl Amsterdam e-mail: Redactie@volgens-bartjens.nl Naar dit adres kunt u alles opsturen wat met de redactionele inhoud verband houdt. U kunt hier ook boeken ter bespreking aanbieden. Eindredactie Cathe Notten Uitgave, abonnementen en druk Koninklijke Van Gorcum BV, Postbus 43, 9400 AA Assen Tel. (0592) 37 95 55 e-mail: volgensbartjens@vangorcum.nl Abonnementen worden automatisch verlengd tenzij voor 1 augustus een schriftelijke opzegging is ingediend. Advertenties Adverteren? Informeer naar de mogelijkheden bij de afdeling Verkoop Tijdschriften van Koninklijke Van Gorcum: tijdschrift@vangorcum.nl of 0592 379 571. Foto’s: Redactie Volgens Bartjens, Tenzij anders vermeld Omslagfoto: Cathe Notten Abonnementen Abonnee € 41,00 Student € 28,25 Schoolabonnement (2 ex.) € 69,50 Op aanvraag is een collectief abonnement mogelijk. Tel. 0592-379555 www.volgens-bartjens.nl ISSN 1574 3381

Zin in rekenen

REDACTIONEEL

Het tijdschrift Volgens Bartjens is het verenigingsorgaan van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde onderwijs (NVORWO). Volgens Bartjens wordt uitgegeven door de NVORWO en Koninklijke Van Gorcum BV te Assen en verschijnt vijf keer per jaar.

Bovenop de berg Montjuïc in Barcelona staat een imposant paleis, het Palau Nacional. In dit paleis is het Museu Nacional d’Art de Catalunya gevestigd. Het uitzicht is er grandioos en op de trappen is altijd wel wat te beleven. Op de trappen van dit museum waren twee meisjes een spelletje aan het doen, waarvan de regels me niet zomaar duidelijk werden. Ik zag ze elk een aantal keer een wisselend aantal vingers op steken, vervolgens begon er één blij te lachen en die liep dan een aantal traptreden omhoog of omlaag. Dit alles ging in een razend tempo. Ik sprak de (Zuid-Koreaanse) ouders in het Engels aan en vroeg of ze mij de regels van het spel konden uitleggen. Ik begreep dat het als volgt ging: eerst staken beide meisjes (5,5 en 7 jaar!) een zelf gekozen aantal vingers van één hand op daarmee werd een vermenigvuldigsom gemaakt (bijvoorbeeld 3 x 4), dat deden ze nog een keer (bijvoorbeeld 2 x 5) dan werd de tweede uitkomst van de eerste afgehaald. Als dat een positief getal was, mocht degene die het eerst de uitkomst had laten zien (op de vingers) datzelfde aantal treden omhoog. Bij een negatief getal liepen ze naar beneden. Ik mocht een foto maken en nu staan ze op onze voorpagina. Die foto past mooi bij het openingsartikel van Marjolein Drent, Martina Meelissen en Annemiek Punter waarin naar aanleiding van het TIMSS rapport het niveau van rekenen in Nederland wordt besproken. Zuid Korea staat veel hoger in de ranglijsten, maar moeten we ons daar wel mee vergelijken? En waar moeten we onze aandacht op richten als we het niveau van ons rekenonderwijs willen verhogen? Kennis van leerlijnen is in dit verband een hot item. Martie de Pater-Sneep laat zien hoe (toekomstige) leerkrachten greep kunnen krijgen op leerlijnen. Sylke Toll en Hans van Luit bespreken de specifieke kenmerken bij kleuters waarop gelet moet worden om te voorkomen dat hun achterstand te groot wordt. En dan is er de vraag of je zwakke rekenaars altijd maar één strategie moet leren. Marjolijn Peltenburg en Marja van den Heuvel-Panhuizen bespreken de voordelen van een keuze tussen afhalen en aanvullen, ook voor zwakke leerlingen. We besteden ook aandacht aan de Citotoetsen Rekenen-Wiskunde. De toetsen voor groep 3-8 zijn aan vernieuwing toe. Iris Verbruggen, Judith Hollenberg en Jan Janssen bespreken de wijzigingen. Ilse Papenburg en Nienke Lansink geven antwoord op zes veelgestelde vragen over de Citotoets Rekenen voor kleuters. Tot slot: vier jaar lang heeft Julie Menne in Volgens Bartjens onderdelen uit het interactieve klassikale oefenprogramma Met Sprongen Vooruit besproken. In dit nummer staat (voorlopig) het laatste artikel in deze reeks. Uit reacties aan de redactie is gebleken dat lezers zeer positief waren over haar praktische artikelen. Ook wij hebben haar bijdragen bijzonder op prijs gesteld en zullen ervoor zorgen dat u -ook voor praktische lesideeën- het hele jaar weer terecht kunt bij Volgens Bartjens. Cathe Notten, Hoofdredacteur

Lees meer op: www.volgens-bartjens.nl Volgens Volgens Bartjens Bartjens jaargang jaargang 33 2013/2014 33 2013/2014 nr. 1 nr. 1

INHOUD september ARTIKELEN

Rubrieken

Goed, middelmatig of belabberd? 4 Het niveau van rekenen in het Nederlands basisonderwijs Marjolein Drent, Martina Meelissen en Annemiek Punter

Volgens Bartjens Cathe Notten

De leerlijnen de baas Noodzakelijke kennis voor goed reken-wiskundeonderwijs Martie de Pater-Sneep

Vroeger 16 Werkgemeenschap en idealisme Ed de Moor

Goed, middelmatig of belabberd?

8 Wiskunde van de straat 17 Procenten, procenten of procenten Harrie Sormani

Kaal ĂŠn context 12 Vernieuwing van de toetsen RekenenWiskunde Iris Verbruggen, Judith Hollenberg en Jan Janssen 22 Veelgestelde vragen Over de toets Rekenen voor kleuters Ilse Papenburg en Nienke Lansink Kleuters met een rekenachterstand 24 Aandacht voor specifieke kenmerken Sylke Toll en Hans van Luit Met sprongen vooruit in groep 1 en 2 Tabel aan de wand Julie Menne

18 Ei van Columbus De rekenkrant voor kinderen van 10 tot 12 jaar Jos van den Bergh Groetjes van groep 4 Vogels Lia van Diem

Bewijs uit het gerijmde De Cito-toets Jaap van Lakerveld

Spel in de rekenles Magico Anneke Noteboom

De leerlijnen de baas

Kaal ĂŠn context

Afhalen of aanvullen 33 Flexibel aftrekken door zwakke rekenaars Marjolijn Peltenburg en Marja van den Heuvel-Panhuizen

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

In/Uitgelicht 38 Rekenen in de media Peter van den Bremen

Kleuters met een rekenachterstand

Onderzoek

Marjolein Drent, Martina Meelissen en Annemiek Punter

Goed, middelm a

Het niveau van rekenen in het Nederlandse basisond In december 2012 zijn de resultaten bekend geworden van twee internationale trendstudies naar het onderwijsniveau van groep 6 leerlingen in lezen en in de exacte vakken: PIRLS-2011 en TIMSS-2011. PIRLS staat voor Progress in International Reading Literacy Study en TIMSS voor Trends in Mathematics and Science Study. De koppen in de kranten liepen zeer uiteen: het Nederlandse basisonderwijs werd getypeerd als ‘goed’, ‘middelmatig’ of ‘belabberd’. Het beeld dat uit deze studies naar voren is gekomen is echter niet zwart of wit, maar laat zowel sterke als zwakke punten zien. In dit artikel bespreken de Nederlandse onderzoekers de resultaten voor rekenen. Nederlandse groep 6 leerlingen hebben goed gepresteerd op de TIMSS-rekentoets, maar zij behoren niet tot de absolute top. Deze top bestaat uit de Aziatische landen Singapore, Zuid-Korea, Hong Kong, Chinees Taipei en Japan, en de Europese landen Vlaanderen en Noord-Ierland. Nederland behoort tot de groep hier net onder samen met Finland, Engeland, Russische Federatie, Verenigde Staten en Denemarken. De leerlingen uit andere West-Europese landen zoals Duitsland, Noorwegen, Italië en Zweden presteerden aanmerkelijk minder goed dan Nederland. Wat gaat goed? TIMSS loopt al sinds 1995 en tot aan 2007 daalden de rekenprestaties van Nederlandse leerlingen licht. In 2011 is deze daling tot stil-

stand gekomen. Dit geldt ook voor lezen en voor natuuronderwijs is er zelfs sprake van een verbetering in de leerlingprestaties. De TIMSS–toets is gebaseerd op drie inhoudelijke domeinen (Getallen, Geometrische vormen en meten en Gegevensweergave) en drie cognitieve domeinen (Weten, Toepassen en Redeneren). Afbeelding 1 en 2 geven twee voorbeelden van toetsopgaven. Nederlandse leerlingen presteren het beste op het domein Gegevensweergave en hebben zich in de afgelopen vier jaar hierin nog verder weten te verbeteren. Dit is overigens niet heel verrassend omdat in het Nederlandse onderwijs in verhouding met andere landen relatief veel aandacht wordt besteed aan dit domein. Verder blijken de leerlingen het beste te presteren op het cognitieve domein Redeneren. De gemiddelde toetsscore op het domein Weten is het laagst, maar is sinds de TIMSS-meting van 2007 wel weer toegenomen. Het sterkste punt van het Nederlandse onderwijs is het prestatieniveau van de meer rekenzwakke leerlingen. In de toets kunnen vier niveaus worden onderscheiden: het basis-, midden-, hoge en geavan-

TIMSS loopt sinds 1995 en wordt elke 4 jaar herhaald. PIRLS is gestart in 2001 en heeft een looptijd van 5 jaar. Het was in 2011 de eerste keer dat beide projecten samenvielen. Aan PIRLSen TIMSS-2011 hebben wereldwijd meer dan 60 landen deelgenomen. In het voorjaar van 2011 hebben ruim 7000 Nederlandse groep 6 leerlingen of de PIRLS-leestoets of de TIMSS-toets over rekenen en natuuronderwijs gemaakt. Met vragenlijsten voor de leerlingen, hun leerkrachten en schoolleider zijn er verder gegevens verzameld over de onderwijspraktijk in Nederland.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

m atig of belabberd?

sisonderwijs

ceerde niveau. Vrijwel alle leerlingen hebben minimaal het basisniveau gehaald. Voor lezen hebben zelfs alle leerlingen minimaal het basisniveau gehaald. Hierin is Nederland uniek, in geen enkel ander land haalt 100% van de leerlingen het basisniveau in lezen. Tot slot blijkt het merendeel van de leerlingen positief te zijn over hun school. Zowel leerlingen, leerkrachten als schoolleiders ervaren hun school als een veilige leeromgeving. Leerkrachten en schoolleiders komen ook weinig grote knelpunten tegen . De

in Nederland hebben JONGENS meer zelfver足 1. Voorbeeldopgave voor het inhoudsdomein Gegevensweergave, Cognitief domein: Redeneren. Internationaal gemiddeld percentage correct:54%. Percentage correct Nederlandse leerlingen: 74% ]

trouwen ten aanzien VAN hun rekenvaardig足 heden Dan MeISJES.

beroepstevredenheid onder leerkrachten is groot; vrijwel alle leerkrachten vinden dat ze belangrijk werk doen en de ruime meerderheid wil les blijven geven zolang het kan. Uit de oudervragenlijst, die alleen in PIRLS is afgenomen, blijkt dat ook ouders zeer positief zijn over de school van hun zoon of dochter.

2. Voorbeeldopgave op het domein Geometrische vormen en meten, Cognitief domein: Weten. Internationaal gemiddeld percentage correct: 32%. Percentage correct Nederlandse leerlingen: 20%

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Wat kan beter? We zien vijf punten waarop nog wel wat verbeterd kan worden: 1. Nederland heeft sinds 1995 aan alle metingen van TIMSS in groep 6 in het basisonderwijs meegedaan. Dit geldt in totaal voor 17 landen. Als we de trends van deze landen met elkaar vergelijken dan valt op dat een meerderheid van de deelnemende landen de prestaties op het gebied van het rekenen heeft kunnen verbeteren sinds 1995. Engeland en Portugal hebben een

grote sprong vooruit gemaakt, maar zelfs de leerlingen in Singapore, één van de toppresterende landen, wisten hun prestaties nog verder te verbeteren. Nederland hoort echter bij die drie landen waar er sprake is van een achteruitgang ten opzichte van 1995. Het is een lichte daling, maar opmerkelijk in vergelijking met de stijgende lijn van veel andere landen. 2. Als gekeken wordt naar de inhoudsdomeinen, blijkt dat in Nederland relatief weinig aandacht besteed wordt aan het domein ‘Geometrische vormen en meten’ in verhouding met de andere landen. Het is dan ook niet verrassend dat de Nederlandse leerling op dit domein het minst goed presteert. Op dit gebied zou dus nog winst te behalen zijn. 3. Wat verder opvalt bij de prestaties van de Nederlandse leerlingen is dat op elke TIMSS-toets sinds 1995, jongens iets beter presteren op het gebied van rekenen dan de meisjes. Dit geldt zeker niet voor alle andere deelnemende landen. Voor 26 van de 50 landen zijn er in 2011 geen noemenswaardige verschillen gevonden in de prestaties tussen jongens en meisjes. In vier landen, Qatar, Thailand, Oman en Koeweit presteren meisjes beter. Jongens in Nederland hebben ook meer zelfvertrouwen dan de meisjes ten aanzien hun rekenvaardigheden. Omdat de verschillen tussen jongens en meisjes op het gebied van rekenen niet universeel zijn, is het de vraag waarom in Nederland onder 10-jarigen toch verschillen tussen jongen en meisjes naar voren komen. Het is belangrijk om dit te weten, daar de deelname van meisjes in de latere jaren aan de bètavakken en bètaberoepen ook een stuk lager ligt dan bij de jongens. Om een voorbeeld te geven: uit TIMSS-Advanced-2008 onder eindexamenleerlingen, bleek dat slechts 5% van de natuurkundedocenten in het VWO een vrouw was. Dit was van alle deelnemende landen het laagste percentage. 4. Hoewel de houding van de Nederlandse leerlingen licht positief is ten aanzien het rekenonderwijs, geeft slechts een derde van leerlingen aan rekenen heel leuk te vinden. Dit is internationaal gezien laag, slechts drie landen hebben een lager percentage. Leerlingen in top-presterende landen zoals Japan en Zuid-Korea ervaren ook minder plezier in rekenen. In Nederland geven in verhouding met andere

Volgens de experts zijn de leer methoden in Nederland vooral gericht op het verbeteren van de prestaties van de zwakke leerlingen. landen ook veel leerlingen aan minder actief betrokken te zijn bij de les. Dit geldt overigens ook voor andere landen met een hoog prestatieniveau. In Japan bijvoorbeeld geeft een derde van de leerlingen aan zich niet betrokken te voelen bij de rekenlessen. 5. Maar het meest opmerkelijk resultaat van zowel TIMSS als PIRLS, is dat maar weinig leerlingen in Nederland het meest geavanceerde niveau halen. Voor rekenen is dit 5%. Vergelijkbaar presterende landen zoals Engeland en Finland behalen respectievelijk 18 en 12%. In Singapore behaalde 43% van de leerlingen het meest geavanceerde niveau. In Nederland is het percentage leerlingen dat op geavanceerd niveau presteert zowel voor rekenen, natuuronderwijs als lezen in de afgelopen jaren gehalveerd. Leerlingen met meer talent op het gebied van rekenen lijken in de afgelopen jaren minder gestimuleerd te worden om hun rekenvaardigheden verder te ontwikkelen.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Hoe nu verder… Op basis van de resultaten van TIMSS is er met diverse experts in Nederland gesproken. De meeste aandacht in deze gesprekken is gegaan naar het lage percentage leerlingen dat in Nederland het geavanceerde niveau haalt. Dit zijn niet alleen leerlingen die hoogbegaafd zijn, maar ook leerlingen met een talent voor rekenen dan wel lezen of natuuronderwijs. Volgens sommige experts ligt in het Nederlandse onderwijs een sterke nadruk op het verbeteren van de prestaties van de zwakke leerlingen, leerkrachten spannen zich er voor in om elke leerling op een voldoende niveau te brengen. Dit blijkt ook succesvol te zijn. Mogelijk raakt de meer talentvolle leerling hierdoor enigszins ondergesneeuwd, omdat er onvoldoende tijd beschikbaar is om ook uit deze leerlingen het maximale te halen. Een andere mogelijke verklaring is dat de Nederlandse cultuur er voor zorgt dat leerlingen niet gestimuleerd worden om meer uit zich te halen dan nodig, de zogenoemde zesjescultuur. De Nederlandse documentaire ‘Waar een klein land groot in moet worden’ gemaakt in opdracht Platform Bèta Techniek en School aan Zet gaat hier uitgebreid op in1. Het past niet in deze cultuur, om boven het maaiveld uit te steken en te excelleren. Als een leerling een zes of zeven heeft gehaald, dan heeft hij het minimale niveau gehaald en is het niet nodig om de leerling verder uit te dagen met meer of andere leerstof. Deze zesjescultuur is mogelijk zowel bij leerlingen, leraren als ouders aanwezig. Aanbod voor sterke rekenaars Door experts wordt ook aangegeven dat de leerkrachten mogelijk onvoldoende in staat zijn om talentvolle leerlingen te onderwijzen en extra leerstof aan te bieden. De TIMSS-resultaten laten zien dat leerkrachten inderdaad enigszins onzeker zijn over hun mogelijkheden om uitdagende taken te ontwikkelen voor talentvolle leerlingen. Sommige experts vinden zelfs dat leerkrachten in het basisonderwijs een academische opleiding zouden moeten hebben. Er wordt bijvoorbeeld verwezen naar Finland, waar leerkrachten in het basisonderwijs een universitaire opleiding hebben gevolgd. Hierbij moet wel opgemerkt worden dat Finland weliswaar een hoger percentage leerlingen heeft dat voor rekenen presteert op het meest geavanceerde niveau van TIMSS, maar gemiddeld genomen niet beter presteert dan Nederland. Een laatste punt dat verschillende experts noemen zijn de gebruikte leermethoden in Nederland. Volgens de experts zijn ook de leerme-

Het meest opmerkelijk resultaat is dat slechts 5% van de leerlingen in Nederland het meest geavanceerde niveau haalt. thoden vooral gericht op het verbeteren van de prestaties van de zwakke leerlingen. Hoewel er extra oefeningen voor snelle leerlingen worden aangeboden, geven experts aan dat deze oefeningen vaak een herhaling zijn van wat al is geleerd. Het wordt hoogstens op een iets andere manier aangeboden. Talentvolle leerlingen zullen zich niet extra uitgedaagd voelen door deze oefeningen. Tot slot Het Ministerie van OCW zou graag zien dat Nederland tot de Top 5 van de best presterende landen behoort. Het is echter de vraag of we ons onderwijs wel moeten spiegelen aan de onderwijssystemen van de Aziatische landen. De culturele verschillen met deze landen zijn erg groot. Analyses op TIMSSen PIRLS-data laten ook zien dat wat werkt in één land, niet zondermeer hoeft te werken in een ander land. Misschien kunnen we ons daarom voor rekenen beter vergelijken met onze buren Vlaanderen. Wat we in ieder geval kunnen concluderen is dat voor Nederland de meeste winst te halen is uit onze ‘goede’ leerlingen, die met de nodige uitdaging zich kunnen ontwikkelen naar ‘excellente’ leerlingen. De auteurs zijn werkzaam bij de vakgroep onderwijskunde van de universiteit Twente Noot 1. Een korte versie hiervan was in juni 2013 te zien op http://www.youtube.com/ watch?v=yyXiNKgpRQc

De volledige film is te vinden op: http://www. platformexcellentie.nl/zesjescultuur.html

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

LEERLIJNEN

Martie de Pater-Sneep

De leerlijnen d e

Noodzakelijke kennis voor goed reken-wiskundeonder Kennis van leerlijnen is van vitaal belang voor het bieden van adequate hulp. Martie de Pater-Sneep deed onderzoek naar de wensen van leraren ten aanzien van een verbeterde kennis van leerstoflijnen en geeft in dit artikel handvatten om meer greep te krijgen op deze lastige materie. Leerlijnen: waar hebben we het over? Een leerlijn is een samenvoeging van enerzijds de leerstoflijn die aangeeft welke leerstof wordt behandeld en beheerst moet worden per jaargroep, en anderzijds de onderwijslijn die aangeeft op welke manier de leerstof wordt geleerd. Hierin staan didactische aanwijzingen als materialen en modellen, als ook de verschillende hoofdfasen binnen de leerstof centraal. Deze hoofdfasen en hun relatie tot elkaar wordt weergegeven in afbeelding 1.

Hoofdfasen Leerlijn Flexibel toepassen Vlot leren rekenen Ontwikkelen van procedures Begripsvorming

1. Hoofdfasen binnen een leerlijn (protocol ERWD) Elke leerlijn kent daarnaast ook cruciale leermomenten. Dit zijn als het ware eye-openers voor kinderen om een niveauverhoging te kunnen doormaken binnen de leerlijn. Daarbij kan ook een opbouw zichtbaar zijn van concreet naar abstract. De verschillende fasen van niveauverhoging zijn zichtbaar gemaakt in het zogenoemde handelingsmodel (zie afbeelding 2). In het geval van de leerlijn delen, verdelen leerlingen daadwerkelijk voorwerpen (fase ‘doen’). In de volgende fase is deze werkelijkheid afgebeeld als foto of tekening (fase ’voorstellen concreet’). De fase daarna wordt deze afbeelding geschematiseerd (fase‘voorstellen abstract’), waarna hij in de laatste fase plaatsmaakt voor de abstracte notatie, bijvoorbeeld 24 : 6 (fase ‘formeel handelen’). Voor een goed begrip is het van belang bij elke fase te verwoorden wat er gebeurt. Dus zowel van abstract naar concreet als van concreet naar abstract (De PaterSneep & Janson, 2012).

paald rekenonderwerp graag weten ‘wat de leerlijn is’. Men wil dan het liefst een overzicht van een leerlijn in de vorm van een lijstje of cruciale momenten binnen de gekozen leerlijn die ze bijvoorbeeld op hun bureau kunnen neerleggen of in de klassenmap kunnen stop-

2. Handelingsmodel (protocol ERWD)

pen. Methode-uitgevers voldoen aan deze wens door brochures uit te geven met strategieën en leerlijnen binnen de door hen uitgegeven rekenmethode. Daarmee lijkt de vraag van scholen beantwoord. Cruciaal is echter de onderliggende reden waarom het belangrijk is om leerlijnen te kennen.

Leerlijnen geen doel op zich Regelmatig vragen scholen om begeleiding rondom leerlijnen. Ze willen dan van een be-

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

d e baas

eonderwijs

Kennis van leerlijnen is geen doel op zich maar een middel om passend rekenonderwijs te realiseren

Een voorbeeld: Rosalie (groep 6) heeft moeite met de tafels. Sommen als 5 × 3 en 6 × 5 zijn nog steeds niet gememoriseerd. Ze krijgt regelmatig huiswerk mee naar huis en ook op de computer heeft ze al talloze keren geoefend. De leerkracht bespreekt met de IB-er wat ze nu nog kan doen om haar te helpen. De IB-er oppert dat een tafelkaart wellicht uitkomst kan bieden.

Kennis van leerlijnen is geen doel op zich maar een middel om passend rekenonderwijs te kunnen realiseren. Dit gaat verder dan het kunnen nalezen van enkele kernpunten. Het vraagt een doorleefde kennis van leerlijnen zodat deze kennis tijdens de rekenles direct ingezet kan worden. De vraag is of het probleem van Rosalie (zie kader) wordt opgelost door haar een tafelkaart te geven. Zaak is te achterhalen waarom het haar niet lukt de tafels te memoriseren. Wanneer de oorzaak bekend is, kan ook worden bepaald of het thuis maken van tafelsommen en het oefenen op de computer passende hulpactiviteiten zijn. Om het onderliggende probleem van Rosalie te kunnen achterhalen is het nodig een rekengesprek met haar te voeren waarbij kennis van de leerlijn vermenigvuldigen een vereiste is.

Evenwichtige aandacht voor alle leerlijnen Over het geheel genomen krijgen de leerlijnen optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen veel aandacht op scholen. Daarna volgen meten, tijd en geld. In de praktijk blijkt daarnaast dat tabellen/grafieken, breuken, procenten en kommagetallen -zeker in de onderbouw- minder aandacht krijgen. Dit terwijl deze onderwerpen zeker zo belangrijk zijn voor functionele gecijferdheid. De meeste kleuterpakketten besteden tegenwoordig ook aandacht aan deze onderwerpen. Maar ook wanneer er zonder kleuterpakket gewerkt wordt, zijn er volop mogelijkheden om met deze onderdelen aan de gang te gaan. Denk bijvoorbeeld aan het maken van een staafdiagram van het aantal boterhammen dat de leerlingen per dag eten. Of een oriëntatie op kommagetallen wanneer leerlingen de reclamefolders bekijken die in de huishoek liggen. Binnen elk thema zitten wel mogelijkheden verstopt om hier aandacht aan te besteden. Wat moeten leraren weten van een leerlijn Elke leerlijn bevat modellen, strategieën en cruciale leermomenten (De Pater – Sneep, 2012). Met een model kan de kloof tussen een concrete context en de abstracte som worden overbrugt. Een voorbeeld van een model binnen de leerlijn optellen en aftrekken is bijvoorbeeld de getallenlijn en binnen de leerlijn breuken het pizzamodel. De rol van een model wordt goed zichtbaar in het handelingsmodel, waarin de opbouw zichtbaar wordt van het handelen met materiaal, via het werken met modellen naar uiteindelijk de kale som.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Enkele cruciale bouwstenen voor het kunnen toepassen van de rijgstrategie - Splitsingen t/m 10 kunnen maken - Aan kunnen vullen tot een 10-voud (47 + 8 = 47 + 3 +5) - Op kunnen tellen vanaf een 10-voud (50 + 16 —> 50 + 10 —> 60 + 6) - Af kunnen trekken tot een 10-voud (57 – 18 —> 57 – 10 —> 47 – 7 —> 40 – 1) - Weten welk getal je moet splitsen, dus in 47 + 8 weten dat je 8 moet splitsen in 3 en 5 - Sprong van 10 kunnen maken vanaf elk willekeurig getal - Relatie snappen tussen de kralenketting en de getallenlijn - Inzicht in getalopbouw (tientallen en eenheden)

Cruciale leermomen ten zijn bouwstenen binnen een leerlijn die noodzakelijk zijn om de volgende stap te kun nen maken Een strategie is een manier waarop je een som kunt uitrekenen, bijvoorbeeld een staartdeling bij de opgave 3888 : 16 of de strategie één keer minder bij de opgave 9 × 9. Strategie-ontwikkeling kan pas plaatsvinden wanneer de begripsfase goed is afgerond. Deze voorwaardelijke relatie wordt zichtbaar in het model voor hoofdfasen (zie afbeelding 1). Cruciale leermomenten zijn stapjes of bouwstenen binnen een leerlijn die, het woord zegt het al, noodzakelijk zijn om de volgende stap te kunnen maken. Het model voor hoofdfasen maakt zichtbaar dat elke leerlijn bestaat uit vier cruciale fasen: de fase van begripsvorming, het ontwikkelen van strategieën, het vlot leren uitrekenen en het toepassen. Binnen elke fase zijn ook weer cruciale momenten aan te wijzen. Bij het optellen tot 10 bijvoorbeeld, is het cruciaal dat leerlingen heen en terug kunnen tellen vanaf een willekeurig getal zodat ze bij een som als 3 + 2 niet telkens bij 1 beginnen te tellen, maar starten vanaf 3. Ook voor het kunnen toepassen van de rijgstrategie moet een leerling een aantal bouwstenen beheersen. Om passende hulp te geven is het van belang om te weten op welk punt het mis gaat. Stagneert de leerling doordat één van de fasen van het hoofdfasenmodel onvoldoende ontwikkeld is of bepaalde cruciale leermomenten

binnen een fase, gaat het mis bij het vertalen van de context naar de kale som of past het handelingsniveau van de instructie niet bij het handelingsniveau waar de leerling op dat moment zit. Pas wanneer dat bekend is, kan worden bepaald waarmee de leerling geholpen is; met een model, oefeningen rondom begripsvorming, werken aan strategieën, een lager handelingsniveau, etc. Kortom: het hoofdfasenmodel en het handelingsmodel bieden voor elke leerlijn het onderliggende denkkader waarbinnen de strategieën (hoofdfasenmodel) en de modellen (handelingsmodel) een plek hebben. Met deze twee modellen kun je dus meer grip krijgen op leerlijnen en zowel diagnosticeren als hulp geven. Wat betekent bovenstaande voor Rosalie uit het voorbeeld? De leraar constateert dat Rosalie vastloopt in de fase van het vlot rekenen. De hulp die ze krijgt (huiswerk maken en oefenen op de computer) bevindt zich ook in deze fase. De vraag is nu of het probleem wel zit in de fase van het vlot rekenen. Als dit niet het geval is, is de hulp ook niet passend bij wat Rosalie nodig heeft. In een rekengesprek wordt gekeken in hoeverre begripsfase en strategiefase bij Rosalie goed zijn ontwikkeld. Op de vraag of ze een verhaaltje kan bedenken bij de som 5× 3 antwoordt ze: ‘Er zitten 15 kinderen in de klas. De helft van meisjes en de helft van jongens heeft 15’. Bij de som 3 × 2 maakt ze het verhaaltje: ‘In groep 1 zitten 6 kinderen en er zijn 3 jongens en 3 meisjes. Op de vraag of ze een tekening kan maken bij deze som maakt ze de tekening in afbeelding 3 (zie hiervoor ook de artikelen van Ceciel Borghouts over de vertaalcirkel in Volgens Bartjens).

Blader eens door het rekenboek van een (of meer) leerja(a)ren en probeer de vier stappen van het hoofdfasenmodel te herkennen: hoe ziet de begripsfase eruit, aan welke strategieën wordt aandacht besteed, welke opgaven passen bij het vlot leren uitrekenen en welke toepassingsopgaven zie je? Doe hetzelfde voor het handelingsmodel: welke doe- opdrachten zie je, naar welke materialen wordt verwezen, hoe wordt het materiaalgebruik afgebouwd, welke modellen worden er gebruikt en hoe wordt het gebruik hiervan weer afgebouwd? Op deze manier krijg je al meer grip op (een deel van de) leerlijnen voor jouw leerjaar.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

3. Tekening bij de som 3 × 2

Hoewel de uitkomst goed is, kan Rosalie de gegevens uit een som niet omzetten naar een kloppend verhaal of passende tekening. Uit het gehele gesprek blijkt dat Rosalie de begripsfase van het vermenigvuldigen niet goed heeft afgerond, waardoor het aanleren van strategieën bij haar niet landt en ze hierdoor niet toe komt aan het automatiseren en memoriseren van de tafelsommen. Eerst zal met Rosalie dus teruggegaan moeten worden naar begripsvorming rondom vermenigvuldigen (wat is 3 × 2 en waarom is dat niet zomaar hetzelfde als 2 × 3? Hoe zie je dat verschil in een tekening?) en van daaruit strategieën leren doorzien en hanteren. Dit zal ze dan steeds meer verkort leren uitvoeren tot de tafelsommen geautomatiseerd en wellicht gememoriseerd zijn. Tot slot kan ze haar tafelkennis dan leren toepassen bij complexere opgaven.

Greep krijgen op leerlijnen is net als het maken van een puzzel: van losse delen een mooi geheel maken

op deze schriftelijke weergaven, zijn de visuele weergaven vanuit het project ‘Speciaal rekenen’. De Kennisbank rekenen van OU en SLO biedt een volledig overzicht van de leerlijnen met dwarsverbanden en veel voorbeelden uit de nieuwe generatie rekenmethodes. Een nieuwe website rondom leerlijnen is Digilijnrekenen. Deze website biedt op een visuele manier inzicht in de leerlijnen en cruciale leermomenten van o.a. getalbegrip, rekenen t/m 10, 20 en 100 en vermenigvuldigen. De leerlijnen worden geïllustreerd met filmpjes, lessuggesties en achtergrondinformatie. In feite is het grip leren krijgen op leerlijnen net als het maken van een puzzel. Je bekijkt elk puzzelstukje eerst goed om te weten waar het ongeveer in het geheel zou moeten passen. Als alle stukjes goed zijn neergelegd krijg je zicht op de gehele plaat en dat is het uiteindelijke doel van een puzzel; van alle losse delen een mooi geheel maken. Zo is het ook met het zicht krijgen op leerlijnen. Je hebt losse stukjes kennis die je moet leren kennen (cruciale momenten, strategieën, modellen, enzovoort). Wanneer je ze kent, kun je ze gebruiken om toe te werken naar je doel: het geven van passend rekenonderwijs aan alle leerlingen. De foto op pagina 9 is gemaakt door Julie Menne (zie ook haar artikel op pagina 28). De auteur is rekenspecialist en onderwijsadviseur bij Centraal Nederland

Aan de slag met leerlijnen Grip krijgen op leerlijnen was de aanleiding voor dit artikel. Het model voor hoofdfasen en het handelingsmodel bieden een raamwerk dat op elke leerlijn gelegd kan worden en beide modellen kunnen daardoor bijdragen aan meer grip op leerlijnen. Omdat kennis van leerlijnen geen doel op zich is maar een middel om passend rekenonderwijs te kunnen realiseren, kan het heel zinvol zijn om te starten vanuit een praktijkcasus. Bepaal allereerst in welke fase van het hoofdfasenmodel en op welk handelingsniveau de opgaven zitten waar de leerling moeite mee heeft. Breng door middel van een rekengesprek in kaart in hoeverre de verschillende fasen zijn ontwikkeld en op welk handelingsniveau de leerling de opgaven wel kan maken. Al doende krijg je hierdoor steeds meer zicht op leerlijnen. Een andere mogelijkheid is zoals in het kader beschreven, het hoofdfasenmodel (met daarin strategieën) en het handelingsmodel (met daarin modellen) te leren herkennen in een of meer delen van een rekenmethode. Ook zijn er diverse zinvolle bronnen met achtergrondinformatie over leerlijnen beschikbaar. Veel gebruikt zijn de kwaliteitskaarten die ontwikkeld zijn in het kader van ‘School aan zet’. Een goede aanvulling

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Literatuur Groenestein, M., C. Borghouts, & C. Janssen (2011). Protocol Ernstige RekenWiskundeproblemen en Dyscalculie. Van Gorcum (Assen) Pater–Sneep, M. de (2012). Wie kan delen, kan vermenigvuldigen. Volgens Bartjens, 31 (4). Pater–Sneep, M. de & Janson, D. (2012). Vermenigvuldigen: meer dan tafels leren. Pulse primair onderwijs, 4 (4). Borghouts , C. (2011-2012). De Vertaalcirkel. Volgens Bartjens jrg 31 nr. 2, nr 3, nr 4 en nr 5. Raadplegen Speciaal rekenen. (2004). Freudenthal Instituut: Utrecht www.schoolaanzet.nl www.kennisbankrekenen.nl www.digilijnrekenen.nl

Iris Verbruggen, Judith Hollenberg en Jan Janssen

TOETSEN

Kaal én context

Vernieuwing van de toetsen Rekenen-Wiskunde De LOVS-toetsen Rekenen-Wiskunde van Cito zijn al weer acht jaar op de markt. Tijd voor vernieuwing. Waarom er nieuwe toetsen nodig zijn en welke overeenkomsten en verschillen er zijn met de vorige toetsen leest u in dit artikel.

Waarom vernieuwen? De Citotoetsen rekenen-wiskunde worden vernieuwd. Deze grondige herziening is nodig om meerdere redenen. Zo zijn er bijvoorbeeld nogal wat veranderingen in het onderwijsaanbod. Maar ook verschuivingen in de doelgroep, een veranderende belevingswereld van de leerlingen en het slijten van de normen zorgen ervoor dat toetsen om vernieuwing vragen. 1. Veranderend onderwijsaanbod: meer ruimte voor kale opgaven en invoering referentieniveaus Het onderwijsaanbod in Rekenen-Wiskunde anno 2013 is niet meer gelijk aan het onderwijsaanbod van 8 jaar geleden. De afgelopen jaren hebben verschillende ontwikkelingen plaatsgevonden. Denk aan het verschijnen van het protocol ernstige reken-wiskundeproblemen en dyscalculie (ERWD), de publicatie van het rapport ‘Rekenen op de basisschool’ van de Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW) en de invoering van de referentieniveaus. Een belangrijke trend, mede als uitkomst van het KNAW-rapport, is dat er meer aandacht is voor geautomatiseerde rekenkennis in het rekenonderwijs. In de referentieniveaus wordt gesproken over ‘parate kennis’ en ‘functioneel gebruiken’ als componenten van rekenvaardigheid. Om parate kennis te kunnen meten is het van belang het automatiseren een plaats te geven in de toetsen. Om het automatiseren goed in beeld te brengen

Drieslagmodel. Protocol ERWD (2011) is de nieuwe toets Rekenen Basisbewerkingen (zie het gekleurde kader op pagina 13) ontwikkeld. Deze toets bevat kale opgaven die de leerlingen uit het hoofd moeten beantwoorden. In de LVS-toetsen Rekenen-Wiskunde staat het functioneel gebruik voorop. Het drieslagmodel uit het protocol ERWD (2011) laat zien dat bij rekenvaardigheid het (terug)vertalen van bewerkingen en oplossingen naar contexten sterk met elkaar samenhangen. In het model wordt de relatie tussen de verschillende componenten van rekenvaardigheid beschreven. In het onderwijs en dus ook in de toetsen moeten alle componenten aandacht krijgen. De nieuwe LVS-toetsen bevatten daarom zowel kale als contextopgaven waarbij de leerlingen bewerkingen moeten uitvoeren. Bij alle opgaven in de nieuwe LVStoetsen Rekenen-Wiskunde mogen de leerlingen kladpapier gebruiken om tot een oplossing van de opgaven te komen.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Naast de al bestaande mogelijkheid om een categorieënanalyse op de vaardigheid van leerlingen op verschillende rekendomeinen te maken, is er bij de nieuwe toetsen een tweede analyse mogelijk. Met de categorieënanalyse ‘kaal-context’ uit het Computerprogramma LOVS krijgt een leerkracht inzicht in eventuele verschillen in vaardigheid van de leerling bij het oplossen van kale en contextopgaven. In deze analyse houdt de computer rekening met zowel de vaardigheid van de leerling als met de moeilijkheidsgraad van de opgaven. Wanneer de leerling gezien zijn vaardigheid beter of slechter scoort bij kale of contextopgaven, dan geeft het computerprogramma het signaal (zeer) opvallend. Een leerkracht weet zo op welke wijze hij de rekenvaardigheid van de leerling het beste kan stimuleren.

hogere groepen van de nieuwe generatie toetsen een grotere plaats. Doordat de toetsen in de hogere groepen opgaven uit alle vier rekendomeinen bevatten, is een analyse hierop mogelijk. De leerkracht ziet met de categorieënanalyse rekendomeinen uit het Computerprogramma LOVS in één oogopslag of een leerling of een groep relatief zwak scoort op het domein ‘Getallen’, ‘Verhoudingen’, ‘Meten en meetkunde’ of ‘Verbanden’. Dit helpt om te komen tot een evenwichtig aanbod, waarbij de leerling alle rekendomeinen kan ontwikkelen.

Door de invoering van de referentieniveaus Taal en Rekenen is er nog een andere inhoudelijk verschuiving. Het onderdeel Verbanden kwam in de oude toetsen bijvoorbeeld beperkt aan de orde, maar krijgt in de

Onderzoek kaal-context (Hickendorff & Janssen, 2009) Bij rekenvaardigheid gaat het uiteindelijk om het kunnen toepassen van bewerkingen in contextsituaties. Een context is bijna niet mogelijk zonder taal te gebruiken. Cito deed onderzoek om vast te stellen of contextopgaven daadwerkelijk rekenen meten, en geen begrijpend lezen. In het onderzoek maakten leerlingen uit groep 3, 4 en 5 zowel kale als contextopgaven. Vervolgens werd gekeken of het begrijpend leesniveau van de leerlingen en hun thuistaal zorgden voor verschillen in vaardigheid tussen kale en contextopgaven. Uit het onderzoek bleek dat zwakke lezers vaak ook zwakke rekenaars zijn. Leerlingen die zwak zijn in begrijpend lezen, scoren bij rekenen over de gehele linie lager, dus ook bij de kale opgaven. Uit het onderzoek bleek wel dat bij zwakke lezers die thuis geen Nederlands spreken in groep 5 de resultaten bij contextopgaven lager zijn dan bij kale opgaven. Dit onderzoek laat dus zien dat voor het grootste deel van de leerlingen rekenen goed gemeten kan worden met talige opgaven. Er is echter ook een groep leerlingen die in het nadeel is bij de contextopgaven. Voor het toetsen van leerlingen die thuis geen Nederlands spreken, betekenen deze onderzoeksresultaten dat het voor deze leerlingen extra belangrijk is om eventuele verschillen tussen rekenvaardigheid op context en kale opgaven in beeld te brengen.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Rekenen Basisbewerkingen Naast de LVS-toetsen Rekenen-Wiskunde komt ook de toets Rekenen Basisbewerkingen beschikbaar. Bij kale opgaven kunt u onderscheid maken tussen bewerkingen waarbij de leerling echt moet rekenen en bewerkingen waarvan u verwacht dat de leerling de oplossing snel paraat heeft. De digitale toets Rekenen Basisbewerkingen die eind 2013 verschijnt, richt zich op dit laatste type opgaven. Basisbewerkingen worden getoetst met behulp van kale rekensommen die een leerling vlot, goed en handig zonder uitrekenpapier moet kunnen oplossen. In de lagere groepen zijn dit vooral ‘feitjes’, zoals 6 × 8. In de hogere groepen zitten er ook opgaven bij waarbij de leerling een geautomatiseerde som moet combineren met een extra stap, zoals 4 × 99. Van een leerling verwacht u dat hij vlot ziet dat deze opgave lijkt op 4 × 100, zodat hij deze goed uit het hoofd kan oplossen. De toets bevat alleen opgaven die zich beperken tot het doen van één extra stap, omdat anders het werkgeheugen een te grote rol gaat spelen bij het meten van de (geautomatiseerde) rekenvaardigheid. Doordat de leerling bij deze toets geen uitrekenpapier gebruikt, krijgt u zicht op in hoeverre leerlingen deze rekenkennis geautomatiseerd hebben. De toets Rekenen Basisbewerkingen gebruikt u naast de LVS-toetsen en geeft u antwoord op de vraag: Bij welke leerlingen is extra aandacht voor het automatiseren en memoriseren nodig? De toetsen zijn beschikbaar vanaf toetsmoment E3. De laatste afname kan gedaan worden eind groep 8. De computer registreert niet alleen het antwoord maar ook de tijd die de leerling nodig heeft voor het beantwoorden van de vraag. In de rapportage krijgt u zowel informatie over het aantal goede antwoorden van de leerling als over de snelheid. Maakt de leerling de opgaven goed, maar is zijn tempo laag? Dan is dit mogelijk een signaal dat de leerling de opgaven uitrekent en dus onvoldoende geautomatiseerd heeft. Maakt de leerling opgaven in een vlot tempo, maar maakt hij veel fouten? Dan werkt de leerling bij deze opgaven mogelijk onnauwkeurig. U weet dan dat u in uw onderwijsaanbod extra aandacht aan deze component van automatiseren kunt besteden.

2. Veranderende doelgroep: meer aandacht voor leerlingen met extra onderwijsbehoeften Niet alleen de inhoud van het onderwijs is aan veranderingen onderhevig, ook de organisatie van het onderwijs verandert. Er is meer aandacht voor leerlingen met extra onderwijsbehoeften. In het reguliere basisonderwijs zijn steeds meer leerlingen met een specifieke hulpvraag en ook binnen het Speciaal Onderwijs (SO) en Speciaal Basisonderwijs (SBO) is er volop aandacht voor

opbrengstgericht werken. Om voor deze leerlingen het onderwijs af te kunnen stemmen op hun mogelijkheden, is het belangrijk dat de toetsen ook bij deze leerlingen de vaardigheid eerlijk in kaart brengen. De nieuwe toetsen zijn afgestemd op een brede groep leerlingen, ze bieden bijvoorbeeld meer mogelijkheden voor leerlingen met een vertraagde ontwikkeling. Om deze leerlingen goed te kunnen volgen, zijn extra toetsen ontwikkeld. Naast een toets M3 en een toets E3, is er bijvoorbeeld ook een toets M3E3. Deze is niet bedoeld voor een extra toetsmoment, maar is bedoeld om leerlingen die minder groei doormaken dan gemiddeld een toets voor te kunnen leggen die aansluit bij hun niveau. De nieuwe toetsen bieden u dus meer mogelijkheden voor ‘toetsen op maat’. Dit is prettiger voor de leerlingen

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

omdat toetsen zo een succeservaring voor ze is. Bovendien levert het meer betrouwbare scores op. Bij de constructie van opgaven zijn leerkrachten vanuit het speciaal (basis)onderwijs betrokken. Geprobeerd is om zo meer rekening te houden met bijvoorbeeld leerlingen die extra behoefte hebben aan structuur en/of leerlingen met een beperkte aandachtsspanne. Tekeningen bevatten bijvoorbeeld minder details die de leerling af kunnen leiden. Ook is extra gelet op eenduidig taalgebruik en bevatten de toetsen ‘knipmomenten’ om de toets op te kunnen delen in kortere taken. 3. Veranderende belevingswereld: meegaan met de tijd De belevingswereld van leerlingen verandert met de tijd. Twintig jaar geleden was een mobiele telefoon bijvoorbeeld nog een onbekend verschijnsel voor leerlingen, over 10 jaar is een smartphone wellicht al achterhaald. Om eerlijk te kunnen meten mag een leerling niet in de war raken door de context. De context moet dus passen bij de huidige generatie leerlingen. De onderwerpen in de nieuwe toetsen sluiten aan bij de belevingswereld van de leerlingen. 4. Slijten normen: teaching to the test Wanneer een toets langere tijd in gebruik is, slijten de normen. Op basis van een normeringsonderzoek worden vaardigheidsniveaus vastgesteld. Deze vaardigheidsniveaus zijn een hulpmiddel om aan te geven hoe leerlingen scoren ten opzichte van het landelijk gemiddelde. De 20% leerlingen met de hoogste scores in het normeringsonderzoek krijgen bijvoorbeeld een vaardigheidsniveau ‘I’. De ervaring leert dat wanneer een toets een tijd in gebruik is steeds meer leerlingen een hogere vaardigheidsscore krijgen. Er zijn dan bijvoorbeeld geen 20% leerlingen met een score I, maar wel 30%. Eén van de belangrijke redenen voor dit verschijnsel is ‘teaching to the test’, oftewel het onderwijs gaat zich langzaam richten op de toets. Dit gebeurt soms bewust, maar voor een heel groot deel ook onbewust. Opgaven/onderwerpen uit de methode die in de toets voorkomen krijgen in de instructie bijvoorbeeld extra nadruk. Bij een nieuwe toets horen nieuwe normen. Zo heeft u weer een zuiver beeld hoe leerlingen scoren ten opzichte van de landelijke verdeling van de scores. Meten met de nieuwe toetsen De werkwijze en het doel van de nieuwe toetsen zijn gelijk aan het doel van de ‘oude’ toetsen. De toetsen zijn bedoeld om de rekenvaardigheid van leerlingen in kaart te brengen en daarmee het onderwijs optimaal af te kunnen stemmen op de leerlingen. De toetsen brengen niet alleen het niveau van een leerling, maar ook de groei in beeld. Doordat alle toetsen Rekenen-Wiskunde op één vaardigheidsschaal staan, kunt u de resultaten op de toets M3 vergelijken met de resultaten op de toets E3. Hierdoor brengt de toets ontwikkeling in beeld. De normering van de toetsen maakt het mogelijk om (groepen) leerlingen te vergelijken met het landelijk gemiddelde. Naast een signalerende functie bieden de toetsen ook mogelijkheden voor analyse. Zo kan met een categorieënanalyse Rekendomeinen vastgesteld worden of er domeinen binnen het rekenen zijn die om extra aandacht vragen bij een leerling. Net als bij de vorige toetsen heeft de school de keuze tussen een afname op papier en een digitale afname. Tot en met toets E4, taak 1 leest de leerkracht of de computer standaard de opgaven voor. Daar-

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

na lezen de leerlingen zelf de opgaven. Bij afname van de digitale toetsen kunnen leerlingen altijd op het oortje in beeld klikken om de vraag te laten voorlezen. Tijdspad Cito brengt de komende jaren nieuwe toetsen voor zowel Taal als Rekenen uit. De toets Rekenen-Wiskunde voor groep 3 verschijnt eind 2013, zodat deze te gebruiken is vanaf januari 2014. Zowel de papieren als de digitale varianten zijn beschikbaar. Voor groep 4 verschijnt de papieren en digitale toets een jaar later. De jaren daarop volgt elk jaar een toets voor een volgende groep. Zo kunt u de toetsen geleidelijk vanaf groep 3 op uw school invoeren. Aangezien de nieuwe toetsen rapporteren op een nieuwe vaardigheidsschaal, volgt u zo uw leerlingen vanaf groep 3 in een doorgaande lijn. De digitale toets Rekenen Basisbewerkingen is eveneens eind 2013 beschikbaar. De uitgave bevat toetsen voor de groepen 3 tot en met 8. Literatuur Hickendorff, M. & Janssen, J. (2009). De invloed van contexten in rekenopgaven op de prestaties van basisschoolleerlingen. Panamapost, 28 (4), pp. 3-11. Groenestijn, M. van., C. Borghouts en C. Janssen. (2011). Protocol Ernstige Rekenwiskunde-problemen en Dyscalculie. Assen: Van Gorcum. Commissie Meijerink Expertgroep doorlopende leerlijnen taal en rekenen. (2008). Over de drempels met rekenen: consolideren, gebruiken en verdiepen. Enschede: SLO Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen. (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Amsterdam: Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen.

Ed de Moor

Werkgemeenschap en idealisme In mijn vorige column over Kees Boeke en zijn werkplaats opzet van het rekenen wiskundeonderwijs. Bekend was (VB 32/5) had ik nog wat verder willen ingaan op het stre- toen het Engelse Nuffield-project, dat als motto een oud ven van vele onderwijsvernieuwers naar een betere maat- Chinees spreekwoord had gekozen: ‘I hear and I forget, I schappij. Ik dacht aan Rousseau, Pestalozzi, Fröbel en see and I remember, I do and I understand.’ In het Nederzoveel andere idealisten. Nu ik nog even in het Leerboek landse Wiskobasproject van de jaren zeventig zijn hiervan Historische Pedagogiek (1940) van frater Rombouts neus- ook invloeden aan te wijzen. de werd ik herinnerd aan Georg Kerschensteiner (1854 – Er stak echter meer achter het idee van de Arbeitsschule: 1932). Ik haalde zijn boek De komende school (1919) uit de de kinderen moesten opgeleid worden tot goede burgers, kast, dat een aantal opstellen van zijn hand bevat. Ze zijn in het bijzonder tot goede Duitsers. Lichamelijke ontwikvertaald en van commentaar voorzien door dr A. de Vletter, keling door middel van sport was belangrijk, maar ook de geestelijke en esthetische opvoeding mochten niet vereens rector van het Kennemer Lyceum. Kerschensteiner was van huis uit een bèta, gepromo- onachtzaamd worden. Boven alles ging het om karakterveerd in de wiskunde, met grote interesse voor onderwijs vorming, waarmee hij vooral wilskracht en een sociale instelling op het oog had. Kerschensteiner en opvoedkunde vooral in praktische heeft enig succes gehad met zijn scholen zin. Als Reformpedagoog werd hij in in München, maar hij kreeg ook veel kri1918 hoogleraar aan de Universiteit tiek. De emancipatie van de vrouw bleef van München. Hij kreeg het voor elin zijn filosofie beperkt tot opvoeding van kaar om in München zijn zogenaamde de meisjes tot goede moeders. ‘Arbeitsschule’ voor leerlingen vanaf Het streven naar nationalisme riep bij mij 10 jaar van de grond te krijgen. Het een onaangenaam gevoel op. Lijkt die opwoord zegt het al, het gaat om wervoeding tot ideale staatsburgers niet op ken en daarmee bedoelde hij: proeven de ideeën van het nationaalsocialisme doen, timmeren, koken, tuinieren; het dat Duitsland van 1933 tot 1945 beheersechte leven, geen boekenwijsheid. De te? Voor zover ik heb kunnen nagaan noodzaak tot de theorie van rekenen, voegden slechts enkele Reformscholen wiskunde, natuurkunde, biologie zou zich naar het Hitler-regime. Zo kan idedaaruit op natuurlijke wijze ontstaan, zo meende hij. Dit lijkt sterk op het Georg Kerschensteiner (1854 – 1932) alisme wel eens ten kwade keren. Niet zelden zijn fanatieke wereldverbeteraars ‘learning by doing’ principe van de Amerikaanse pedagoog John Dewey (1859-1952), met wie gespeend van elke realiteitszin. hij intensief correspondeerde. Ook onze Jan Ligthart (1859- Maar zonder enig idealisme kom je nergens, zeker in het 1910) had op deze manier zijn lagere school in Den Haag onderwijs. In ons land is het idee van vakonderwijs à la ingericht. De astrofysicus Marcel Minnaert (1893-1970) en Kerschensteiner weer actueel, zeker voor de technische de wis- en natuurkundeleraar Willem Reindersma (1877- vakken. Voor rekenen en wiskunde zie ik dat er voorname1946) vonden inspiratie bij Kerschensteiner. Minnaert liet lijk individueel gewerkt wordt. Van de ene schriftelijke taak ons het prachtige werk De natuurkunde van het vrije veld naar de volgende, van toets naar toets, sommen, sommen (1937) na, drie delen vol praktische natuurkundige expe- en nog eens sommen. rimenten. Reindersma experimenteerde al in 1915 in de Soms voel ik heel erg veel voor een werkgemeenschap in de eerste klas van het Nederlandsch Lyceum in Den Haag geest van de idealisten. met een natuurkundepracticum. Ook in zijn inleidende meetkundecursus moest geknipt, gevouwen, gemeten, en Met dank aan Jacques Dane (Nationaal Onderwijsmuseum), getekend worden om pas daarna tot de meer theoretische die speurwerk deed naar de politieke invloed van Kerschenmeetkunde over te gaan. In de jaren zestig van de vorige steiner eeuw ontstond er opnieuw aandacht voor een empirische

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Procenten, procenten of procenten Harrie Sormani In misschien wel de beste ingezonden brievenrubriek van Nederland woedde in Trouw in juni 2013 een pittige discussie over procenten. Startpunt was een artikel van journalist Maaike van Houten, waarin zij zich zorgen maakte over het aantal mensen, dat meer milieubewust wilde leven. In 15 jaar was dit gestegen van 24% naar 35%. Volgens Maaike een stijging van 11%. Dat was volgens haar een stijging van minder dan 1% per jaar en dat vond zij erg bedroevend. De volgende dagen waren verschillende lezers het niet met haar eens. Henk Tromp stelde dat de toename geen 11% procent was maar ruim 40%. 1% stijging van 24% is 0,24%. Bij een stijging van 11% is dat 11 : 0,24 = 45% en dat is lang niet mis. Met een procentenstrook is het mooi weer te geven (zie tabel 1):

Boven de horizontale streep heb ik de oude procenten gezet en onder de procenten die aangeven met hoeveel het aantal milieubewuste mensen was gestegen. Het is meteen duidelijk dat het gebruik van percentages boven en onder de streep in de tabel tot verwarring leidt. Zo is in de media de laatste jaren terecht het gebruik van de term procentpunten in opkomst geraakt. In ons voorbeeld is het dan dat het aantal milieubewuste mensen met 11 procentpunten gestegen is maar dat de stijging wel 45% bedraagt. Dat is bijna 4% per jaar en dat kan een ieder tot grote tevredenheid stemmen. Een dag later stelde Erik Korthof dat de situatie nog rooskleuriger was. In die 15 jaar was volgens hem het aantal mensen ook nog toegenomen met 10%. Zo waren er bijvoorbeeld 15 jaar geleden 15 miljoen mensen in Neder-

land en nu 16,5 miljoen. In 1998 was 24% van de mensen milieubewust, oftewel 3,6 miljoen mensen. In 2013 was dat 35% van 16,5 miljoen mensen. Dat zijn er 5,6 miljoen. Er zijn in die jaren 2 miljoen milieubewuste mensen bijgekomen. 2 miljoen van 3,6 miljoen mensen, dat is een stijging van ruim 55% (zie tabel 2). In eerste instantie zag Maaike de toestand somber in maar via een juist gebruik van procenten kan ons geloof in de duurzaamheid van de mensen en hun omgeving weer bijgesteld worden. Goed inzichtelijk rekenen blijkt nu belangrijk. Rekenen heeft ook op andere gebieden nut. De wetenschap heeft dit ook bevestigd. In de Volkskrant van 14 juni is te lezen dat mensen die slecht kunnen rekenen vaker hun hypotheek niet meer kunnen betalen en hun huis met veel verlies gedwongen moeten verkopen. De prijs van het huis en de soort van de lening hadden geen significante invloed op het aantal mislukte leningen, de handigheid met rekenen wel. Kortom het is eindelijk evidence based. Rekenen werkt!

Tabel 1

Tabel 2

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

De auteur is docent reken-wiskundedidactiek aan de Pabo Arnhem

Jos van den Bergh Illustraties: Nina Lathouwers

Magic number 10101 Kies een getal dat uit twee cijfers bestaat, dus een getal groter dan 9 en kleiner dan 100; schrijf datzelfde getal nog tweemaal achter elkaar op, zodat je nu een getal van zes cijfers hebt, zoiets als 535353. Deel dit getal door 7, deel de uitkomst door 13, deel die uitkomst door 3 en deel die uitkomst weer door 37; alle delingen gaan netjes op zonder rest en de uiteindelijke uitkomst is het getal waarmee je begonnen bent! Ideaal ook om als goocheltruc, spel of extra oefening (in staartdelen) te doen. Omdat je weet dat alle delingen opgaan, is controle gegarandeerd. Hoe komt het dat dit werkt? Als je 7 x 13 x 3 x 37 uitrekent, komt er 10101 = 10000 + 100 + 1 uit. Dus als je een tweecijferig getal als 79 hiermee vermenigvuldigt, komt er 790000 + 7900 + 79 = 797979, een herhaling van drie keer dezelfde twee cijfers. Om er een goocheltruc van te maken laat je iemand uit het publiek een getal van twee cijfers op een briefje schrij-

ven. Je neemt het briefje in ontvangst en noteert driemaal het gegeven getal op de achterzijde van een bord. Je reikt nu een rekenmachine uit en vraagt nu de proefpersoon zijn getal in te toetsen en te vermenigvuldigen. Eerst met 37, de uitkomst met 13, die uitkomst met 3 en de laatste uitkomst met 7 (of in een andere volgorde, want voor de uitkomst maakt dat niet uit bij vermenigvuldigen). Op dat moment draai je het bord om en ziet het publiek daar de uitkomst van al het rekenwerk staan.

Zoek de moordenaar Cock met C-O-C-K vraagt zich af op welk huisnummer hij de moordenaar kan vinden. Hij heeft een geheime getallenserie gevonden, maar voorlopig kan hij nog niet bedenken welk getal op de plaats van het vraagteken hoort te staan. Weet jij het wel? 3 ➞ 3 4 ➞ 5 8 ➞ 13 10 ➞ 17 15 ➞ ?

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Voegen Mijn badkamer moet opnieuw betegeld worden. Ik heb de keuze uit een groot aantal verschillende formaten tegels, 10 × 10cm, 20 × 20cm, 30 × 30cm, 40 × 40cm, 50 × 50cm of 60 × 60cm. Als ik grotere tegels kies, heb ik vanzelfsprekend minder voegen, of liever gezegd minder centimeters voeg. Nu is de vraag hoe het zit met de hoeveelheid voegsel; hoeveel meter ‘voeg’ krijg je bij de ene of de andere oplossing. Stel dat ik begin met een wand van 3 bij 3 m, dus met een oppervlakte van 9 m2 en ik leg die vol met tegels van 10 × 10 cm, dan heb ik zowel in de lengte als in de breedte 30 tegels nodig, dus 900 tegels. Afgezien van de buitenrand die bij elke oplossing optreedt, zijn er nu 29 horizontale voegen met een lengte van 3m en 29 verticale voegen met een lengte van 3m. De totale lengte voegen is dus 58 × 3 = 174m. Dat is niet weinig! Bij de 20 × 20 tegels is dat getal 28 × 3 = 84 m, dat is al minder dan de helft van 174 m. Naarmate de tegels groter worden, neemt uiteraard ook de totale voeglengte af. Stel ik kies tegels van 30 × 60 cm. Hoeveel meter voeg heb ik dan?

Fiets Stel, je rijdt op je fiets door een pas geverfde strook van ongeveer 10 cm breed. De verf is nog nat. Je rijdt gewoon rechtdoor of er niets aan de hand is, maar doordat je door de verf bent gereden, laat je voorwiel een verfspoortje in een bepaald patroon achter. Wat zie je als je achterom kijkt?

Gemiddelde leeftijd Groep 8 telt dit jaar 27 leerlingen. De gemiddelde leeftijd van groep 8 plus meester Jelle is 12 jaar. Als je de meester niet meetelt, daalt de gemiddelde leeftijd naar 11 jaar. Hoe oud is meester Jelle?

Ook de website van Volgens Bartjens is geheel vernieuwd. Naast het volledige archief met alle artikelen van de afgelopen 10 jaar, vindt u hier extra materiaal bij de artikelen uit dit nummer, werkbladen en rekenspellen om mee aan de slag te gaan in de klas, antwoorden op veelgestelde rekenvragen, het Ei van Columbus (met de antwoorden), de agenda en nog veel meer.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Omgekeerde van een getal (…en nog een heleboel andere moeilijke begrippen!). In dit eitje kunnen leerlingen die niet bang zijn voor wat nieuwe woorden en begrippen op onderzoek in de breukenwereld. De omgekeerde van een getal, ook wel de reciproke van dat getal genoemd, vind je door 1 te delen door dat getal. Dus 1 1 van 8 is de omgekeerde 8 , van 31 is de omgekeerde 31 etc. Als je de omgekeerde als kommagetal schrijft, noemen we dat de decimale ontwikkeling van die breuk en daar kun je wat interessante ontdekkingen aan doen. Soms is die decimale 1 ontwikkeling van een kommagetal namelijk eindig, bijvoorbeeld bij 8 = 0,125 dat drie cijfers achter de komma heeft. 1 1 Soms is er sprake van een repeterende breuk, zoals bij 3 = 0,33333… en bij 7 = 0,142857142857… waarbij de cijferreeks 142857 van 6 cijfers zich blijft herhalen. Die cijferreeks 142857 heet het repetendum van de breuk. Het is ook nog mo1 gelijk dat de herhaling van een reeks cijfers pas verderop in de rij decimalen begint, bijvoorbeeld bij 0,0416666… = 24 met een repetendum van één cijfer (6) vanaf de vierde decimaal. In het Excel-blad reciproke.xlsx op de website van VB kun je een getal invullen voor de noemer van een breuk (je kunt teller ook voor de teller een getal invullen, maar die staat standaard op 1). De breuk noemer wordt dan van links naar rechts uitgerekend en ook de lengte van het repetendum is eenvoudig af te lezen. Met dit stukje gereedschap zijn de volgende vragen eenvoudig te beantwoorden. • Van welke getallen kleiner dan 10 hebben de omgekeerden een repetendum? • Hoe zit het met de omgekeerden van de getallen kleiner dan 20, 30, 50, 100? Je zult ontdekken dat er maar 15 getallen kleiner dan 100 zijn waarvan de omgekeerde niet repeteert. Het zijn de getallen die bestaan uit machten van 2 en van 5. De meeste getallen hebben dus een repeterende breuk als omgekeerde. Het is erg leuk om wat te spelen met het Excel-blad, omdat je er veel aardige ontdekkingen mee kunt doen. Voer bij1 voorbeeld eens de breuk 2013 in, dan zie je dat die breuk een repetendum met een lengte van maar liefst 60 heeft (dat heeft iets te maken met 2013 = 3 x 11 x 61). Hoe lang kan het repetendum van een breuk zijn? Welke breuken hebben een langst mogelijk repetendum?

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

100 zilverstukken Kop te besteden Tekst

Joep ontvangt 100 zilverstukken van zijn baas met de opdracht om op de markt 100 dieren te gaan kopen; een koe kost 15 zilverstukken, een kip 0,25 zilverstuk en een varken 1 zilverstuk. Joep moet van elke diersoort er minstens één kopen. Kan Joep precies 100 dieren kopen met zijn 100 zilverstukken? Hoe? O ja, hij moet al zijn geld op maken.

Jarig De antwoorden van de puzzels van het Ei van Columbus zijn te vinden

Mijn dochter is geboren op mijn 30e verjaardag. Dit jaar is het voor de zevende keer dat onze beide leeftijden priemgetallen zijn. Hoe oud wordt mijn dochter? Totdat ik 100 ben komt dit bijzondere verschijnsel in totaal 13 keer voor. Als ik een jaar jonger was geweest bij haar geboorte hadden we zo’n feestje maar één keer kunnen vieren, wanneer?

op de website. www.Volgens-Bartjens.nl

Dozen De drie bovenstaande combinaties van grote, middelgrote en kleine dozen wegen elk 18 kilogram. Wat wegen de dozen afzonderlijk?

Zeshoeken Het beeldmerk van het Ei van Columbus is bedacht door Leo Faes. Hij was de afgelopen 20 jaar de vaste illustrator van het Ei.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Deze figuur is opgebouwd uit gelijkzijdige driehoeken. Hoeveel regelmatige zeshoeken kun je er in ontdekken? Eén regelmatige zeshoek is al getekend.

Ilse Papenburg en Nienke Lansink

toetsen

Veelgestelde vragen De toets Rekenen voor kleuters

Er zijn verschillende manieren om de ontwikkeling van kleuters goed te volgen. Peilingsactiviteiten en toetsen leveren informatie, evenals observaties door de leerkracht. Het systematisch bijhouden van de ontwikkeling in een volgsysteem is belangrijk om de vinger goed aan de pols te kunnen houden. Veel scholen kiezen voor het afnemen van de toets Rekenen voor kleuters. Deze toets roept echter wel vragen en soms zelfs emoties op bij leerkrachten. In dit artikel vindt u antwoorden op enkele veelgestelde vragen over deze toets. B

Oefenopgave groep 1. â&#x20AC;&#x2DC;Hier zie je een aantal plaatjes. Waar zit het kind bovenaan in het wandrek? Zet een streep onder dat plaatje.â&#x20AC;&#x2122; Is een toets op het platte vlak wel geschikt voor kleuters? Ja. Uit pilots blijkt dat de opgaven in de toets Rekenen voor kleuters geschikt zijn om in beeld te brengen welke leerlingen vaardiger en welke leerlingen minder vaardig zijn op het gebied van voorbereidend rekenen. Leerlingen die met concrete materialen meer kunnen dan andere leerlingen, zullen over het algemeen ook op papier laten zien dat ze vaardiger zijn. De toets brengt verschillen tussen leerlingen in beeld en helpt de leerkracht het onderwijs af te stemmen op de leerlingen. Het afnemen van een toets met concrete materialen zou erg tijdrovend zijn. De toets Rekenen voor kleuters is bedoeld als signaleringsinstrument dat u kunt gebruiken naast uw eigen observaties en een eventueel volgsysteem. Bij opvallende scores die u verrassen is het aan te raden om aanvullende informatie te verzamelen. Dit kan bijvoorbeeld door gebruik te maken van concrete

materialen, zoals bij de controleopdrachten in het hulpboek Rekenen voor kleuters1. Onderwijs aan jonge kinderen zou echter bij voorkeur niet op het platte vlak moeten gebeuren. Werkbladen toetsen vooral wat kinderen al weten; ze leren er niet van. Concrete materialen en activiteiten zijn zeker voor jonge kinderen onmisbaar bij het ontwikkelen van rekengerelateerde vaardigheden. Moeten de leerlingen de stof uit de toets echt allemaal beheersen? Nee. De toets is een vaardigheidstoets, geen beheersingstoets. Een vaardigheidstoets is bedoeld om in kaart te brengen welke leerlingen meer aandacht nodig hebben, maar ook welke leerlingen wat extraâ&#x20AC;&#x2122;s aankunnen. Om deze reden bevat de toets zowel opgaven die wat gemakkelijker, als opgaven die wat moeilijker zijn dan wat de gemiddelde leerling beheerst. Dit is te vergelijken met verspringen in een zandbak: als de bak maar een halve meter lang is en het kind springt eroverheen, dan weet je niet hoeveel verder een kind kan springen. Wil je weten hoever het kind kan springen, dan maak je een langere bak. De meeste kinderen zullen het einde van de bak niet halen, dat is ook niet de bedoeling, maar zo weet je wel wat alle leerlingen kunnen.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

De basis voor de toetsen zijn de tussendoelen van het Tal-team (1999, 2004) en de vernieuwde rekendoelen van SLO (2011) die de rekenontwikkelingslijn van kinderen van 2 tot 7 jaar in beeld brengen voor de domeinen getalbegrip, meten en meetkunde. Aan de hand van deze doelen zijn opgaven gemaakt die bij een grote groep leerlingen zijn uitgeprobeerd. Zo zijn opgaven geselecteerd van gemiddeld niveau, maar ook opgaven die wat makkelijker of moeilijker zijn dan het verwachte gemiddelde niveau van de leerlingen. Wat doe ik met leerlingen die nog onvoldoende Nederlands spreken? Een leerkracht bepaalt naar eigen inzicht wanneer een leerling mee kan doen met de toetsing. Als globale richtlijn geldt dat een leerling een toets kan maken wanneer hij twee jaar in Nederland is. Dit is echter niet meer dan een richtlijn. Er zijn immers vele factoren, zoals bijvoorbeeld het opleidingsniveau van de ouders en of er thuis ook Nederlands wordt gesproken, die bepalen hoe snel een leerling het Nederlands voldoende beheerst om de toets te kunnen maken. Alleen de school kan inschatten wanneer het zinvol is om de leerling de toets te laten maken. Ik zie dagelijks wat mijn leerlingen kunnen. Waarom zou ik de toets afnemen? Observaties van leerkrachten zijn onmisbaar om een goed beeld te krijgen van wat een leerling kan en wat hij nog moet leren. Bij een groot deel van de leerlingen levert een toets dan ook geen verrassende informatie op. Er is echter ook een klein deel van de leerlingen die op de toets lager of hoger scoort dan verwacht. Een kind dat verbaal sterk is, kan bijvoorbeeld de indruk wekken dat het zich ook op andere terreinen goed ontwikkelt. Vooraf weet een leerkracht niet welke leerlingen anders zullen scoren dan verwacht, daarom is het advies bij alle leerlingen de toets als signaleringsinstrument af te nemen. Bij leerlingen waarbij de toetsscores niet passen bij de verwachtingen kan een leerkracht de toetsuitslag nader bekijken. Kan de leerling misschien toch meer aan dan gedacht? Of heeft de leerling extra aandacht voor specifieke onderdelen nodig? Hoe kan ik de toetsresultaten gebruiken om te kijken naar groei? De ontwikkeling (groei) die een kind doormaakt, is precies waar het om gaat én waar het om hoort te gaan! De ontwikkeling van een kind kan met de kleutertoetsen op twee manieren worden geïnterpreteerd: - Als de leerkracht wil weten of het kind ten opzichte van zichzelf is gegroeid, kijkt ze naar de vaardigheidsscores. Een stijgende lijn geeft groei weer, een vlakke lijn geeft een stagnatie in de groei weer, een dalende lijn geeft een achteruitgang weer. - Wil de leerkracht weten hoe het kind zich ontwikkelt ten opzichte van leeftijdsgenootjes, dan kijkt ze naar de vaardigheidsniveaus. Aan de ene kant geeft dat informatie over wat een specifieke vaardigheidsscore betekent (is een vaardigheidsscore van bijvoorbeeld 45 een hoge, gemiddelde of lage score). Aan de andere kant kan de leerkracht zien of het kind zich even snel ontwikkelt als vergelijkbare kinderen. De niveau-indelingen A t/m E (en I t/m V) bieden dus een interpretatiekader. En dat is ook alles wat het is: een interpretatiekader en niets meer of minder.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Wat weegt het meest? De inspectie rekent scholen af op het niveau van kinderen, niet op wat zij geleerd hebben. Waarom wordt er niet meer rekening gehouden met de vaardigheidsgroei van kinderen? De inspectie maakt gebruik van vier indicatoren om zicht krijgen op de mate waarin het onderwijs aandacht heeft voor de voortgang in de ontwikkeling van jonge kinderen. Voor een toelichting op de inhoud en de onderbouwing van deze indicatoren is de inspectie de aangewezen instantie2. Cito merkt echter dat er veel misverstanden over zijn. De inspectie vraagt bij de leerlingen van groep 1 en 2 niet naar een minimale (gemiddelde) vaardigheidsscore voor een leerling of een groep leerlingen. Zij vraagt wel om in de gehele kleuterperiode minimaal één keer een toets op het gebied van Taal en Rekenen af te nemen. Het meermaals toetsen van leerlingen is geen vereiste van inspectie, maar is veelal een schoolafspraak die gemaakt is op directie of bestuursniveau. De auteurs zijn werkzaam bij Cito Noten 1. Het hulpboek Rekenen voor kleuters is een uitgave van Cito. 2. http://www.onderwijsinspectie.nl/actueel/ nieuwsbrieven/details/Toezicht+op+het+onder wijs+aan+jonge+kinderen.html

KLeuterwiskunde

Sylke Toll en Hans van Luit

Kleuters met een r Aandacht voor specifieke kenmerken

Als problemen in de rekenontwikkeling bij kleuters vroeg opgemerkt worden, is er vaak nog genoeg tijd om de achterstand in te lopen. In dit artikel bespreken de auteurs vier kenmerken die zij signaleren bij kleuters met een rekenachterstand en laten zij met voorbeelden zien hoe leerkrachten deze problemen kunnen aanpakken. Het vroeg signaleren en aanpakken van achterstanden in het (voorbereidend) rekenen staat hoog op de agenda van veel scholen, maar ook op het prioriteitenlijstje van de onderwijsinspectie en het ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap. Wanneer een leerkracht extra aandacht en instructie wil bieden aan kleuters met een achterstand in getalbegrip, waar dient de leerkracht dan op te letten en rekening mee te houden? In dit artikel gaan de auteurs in op vier kenmerken waardoor kleuters met een rekenachterstand gekenmerkt worden en bieden voorbeelden van good practice hoe met deze kenmerken omgegaan kan worden. Binnen de kleuterklassen is er steeds meer aandacht voor voorbereidende rekenvaardigheid. Deze vaardigheid wordt ook wel getalbegrip of kleuterrekenen genoemd. Uit onderzoek blijkt dat het ontwikkelen van vaardigheden zoals het tellen van objecten, het overzien van hoeveelheden en het begrijpen van getalsymbolen in de kleuterperiode van groot belang is om de basisvaardigheden die vanaf groep 3 worden aangeboden onder de knie te krijgen (Jordan, Glutting, & Ramineni, 2010). Onderzoek laat bovendien zien dat op basis van het kleuterrekenniveau voorspeld kan worden welke kinderen rekenproblemen zullen ontwikkelen in de latere jaren van de basisschool (Stock, Desoete, & Roeyers, 2010). Het is daarom van groot

belang dat in de kleuterklas aandacht wordt besteed aan dergelijke vaardigheden. Methodisch materiaal De laatste jaren zijn er steeds meer (voorlopers van) rekenmethoden op de markt gekomen die in groep 1 en 2 (systematisch) kunnen worden ingezet. Een methode kan de leerkracht veel houvast bieden om kleuters activiteiten aan te bieden op het gebied van tellen, classificeren en sorteren. Voor de meeste kinderen bieden deze activiteiten voldoende ondersteuning en uitdaging om de, van nature aanwezige, interesse in getallen en ‘rekenen’ te stimuleren. Helaas profiteert niet iedere kleuter van dit reguliere aanbod, terwijl wel van ieder kind verwacht wordt dat het een scala aan minimumdoelen behaald heeft voordat het de overstap naar het formele rekenen in groep 3 maakt (SLO, 2010). Aan de leerkracht de uitdaging om er voor te zorgen dat ieder kind, terwijl dit niet voor ieder kind vanzelfsprekend is, de benodigde vaardigheden beheerst aan het einde van groep 2. Dit vergt vaak differentiatie, wat gepaard gaat met tijd en inspanning. Juist bij de kinderen die een achterstand hebben in ‘rekenen’, zal de leerkracht ook nog eens aandacht moeten hebben voor specifieke kenmerken van deze doelgroep. Hieronder zullen vier van deze kenmerken besproken worden: - geringe beheersing van rekentaalbegrippen - beperkt werkgeheugen - problemen met ‘mapping’ - profijt van direct instructie Per kenmerk zullen we een aantal voorbeelden beschrijven waarin op een goede manier met de kenmerken wordt omgegaan (good practices). Geringe beheersing van rekentaalbegrippen Specifieke taal is erg belangrijk voor het leren rekenen. Hierbij gaat het om hoeveelheidswoorden zoals meer, minder en grootste, maar ook om spatiële aanduidingen die een positie aangeven, woorden

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

n rekenachterstand

zoals voor, achter, tussen en onder. Kinderen met een rekenachterstand beheersen deze begrippen vaak minder goed. Het is daarom van belang dat de concepten eerst verduidelijkt worden voor de kinderen aan de hand van alledaagse voorbeelden (sta je vóór of achter de tafel?), voordat ze worden betrokken op rekenen (de vijf komt achter de vier). Er kan bijvoorbeeld voor gekozen worden om met de kinderen verstoppertje te spelen. De kinderen worden uitgedaagd om dat wat verstopt is (bijvoorbeeld een knuffel) niet aan te wijzen, maar om te vertellen wáár deze verstopt is. Is hij onder de tafel of ligt (of staat) hij tussen de puzzelkast en de speelhoek? Pas later worden de concepten in verband gebracht met getallen en hoeveelheden, bijvoorbeeld door het leggen van een getallenpad. Welk getal ligt vooraan? En welk getal komt daarachter? Op deze manier leren de kinderen de tastbare begrippen van het verstoppertje spelen te koppelen aan de getallenrij. Beperkt (werk)geheugen Veel kinderen met een rekenachterstand zijn minder goed in het onthouden van kennis of het verfrissen van opgeslagen informatie ten behoeve van nieuwere, meer relevante kennis. In de kleuterklas zal dit opvallen doordat een kind moeite heeft met het onthouden van de kleuren, de lichaamsdelen of de dagen van de week. Omdat tijdens het uitvoeren van rekengerelateerde activiteiten continu een beroep gedaan wordt op het werkgeheugen van een kind (‘Tel eens van 2 tot 12 met telkens één overslaan’), kan het raadzaam zijn om regelmatig te oefenen met geheugenspelletjes die kunnen bijdragen aan het vergroten van de capaciteit van het werkgeheugen. Voorbeelden van dergelijke spelletjes zijn Memory of Ik ga op reis en ik neem mee. Ook kan het helpen om tijdens het uitvoeren van rekentaken het werkgeheugen van het kind te ontlasten, zodat dit niet voor belemmering zorgt en het kind zich optimaal kan richten op het doel van de taak. Dit kan door het aanbieden van materiaal als hulpmiddel, maar ook door het verminderen van het aantal tussenstappen

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

in een taak. Ga er als leerkracht vooral niet vanuit dat kinderen alle voorgaande stappen hebben onthouden. Een voorbeeld: Linde is een toren aan het bouwen van blokken. Een uitgelezen mogelijkheid om het hoeveelheidsbegrip van Linde te stimuleren: ‘Hoeveel blokken heeft jouw toren?’ Linde telt de blokken en komt uit op vier blokken. Ze gaat weer verder met bouwen. Het lukt haar met veel inspanning om één groot blok op de toren te leggen zonder dat deze omvalt. ‘Wat knap! Je hebt er nog één blok opgezet. Hoeveel blokken zijn er nu?’. Door de inspanning die Linde heeft geleverd is ze allang weer vergeten dat er eerder vier blokken stonden en ze begint dus weer van voor af aan met tellen. Op zich niets mis mee natuurlijk, maar wanneer Linde was herinnerd aan de vier blokken die er al stonden (‘Net waren er vier blokken, en je hebt er één blok bijgedaan. Hoeveel blokken zijn er nu?’), was ze uitgedaagd om na te denken over de relatie tussen vier en vijf blokken.

Problemen met ‘mapping’ Om een volledig begrip van een getal te ontwikkelen, dat nodig is om bewerkingen zoals optellen en aftrekken te kunnen uitvoeren, is het nodig dat een kind alle aspecten van een getal kent, maar ook in staat is deze verschillende getalrepresentaties aan elkaar te koppelen. In het model (zie afbeelding ) staan vier getalrepresentaties en hun onderlinge relaties weergegeven: de telwoorden (het verbale aspect), materiële hoeveelheden, zoals vingers en blokken (het con-

Verbaal getalsaspect

Concreet getalsaspect

Abstract getalsaspect

Semi-‐concreet getalsaspect

1. Het mapping-model: de relatie tussen de vier getalaspecten

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

crete aspect), afbeeldingen van hoeveelheden of de dobbelsteen- of turfstructuur (het semi-concrete aspect) en de getalsymbolen (het abstracte aspect). Voor kleuters met een achterstand in voorbereidend rekenen is het niet vanzelfsprekend dat wanneer zij een aantal van zes blokken kunnen tellen en het getalsymbool zes kunnen benoemen, dat het getalsymbool 6 een waarde van zes weergeeft. Deze relatie is daarom in onderstaand model met een stippelpijl aangegeven. Doordat het deze kinderen meer moeite kost om het ‘mappen’ van hoeveelheden aan symbolen onder de knie te krijgen, ervaren zij ook meer problemen met het doorzien van de relatie tussen getallen. De plaats van getallen in de getallenrij is voor hen niet per definitie een vanzelfsprekende volgorde, omdat ze deze niet als vanzelfsprekend koppelen aan de getalwaardes. Het veelvuldig aanbieden van taken waarbij deze link aan bod komt is daarom noodzakelijk. De turfstructuur en/of de dobbelsteenstructuur (het semi-concrete getalaspect) dient daarbij als een tussenstap tussen de tastbare werkelijkheid van de concrete objecten en de symbolische abstractie van de getalsymbolen. Voor een leerkracht ligt hier een belangrijke taak. Hoe laat je kinderen de relatie tussen hoeveelheden (een aantal objecten) en de getalsymbolen inzien? Dit kan bijvoorbeeld met een ‘cijfermuur’. Dit is een plastic hoes met allemaal vakjes met in de bovenste rij kaartjes met getalsymbolen, in de rij met vakjes daaronder zitten kaartjes met de dobbelsteenstructuren. In de rijen daaronder kunnen verschillende verzamelingen gedaan worden die qua aantal corresponderen met het getal in die kolom. Bijvoorbeeld knikkers of seizoensgebonden materialen zoals kastanjes. Een ander manier is het laten sorteren van speelgoed in bakken. Op iedere bak staat een getal (met eventueel daarnaast een afbeelding van het bijbehorende aantal stippen). De kinderen wordt gevraagd het speelgoed zo te sorteren dat het aantal spullen in de bak klopt met het getal wat op de bak staat. Profijt van directe instructie Van zwakke rekenaars in de groepen 3 en hoger is bekend dat zij het meeste baat hebben bij directe instructie (Kroesbergen & Van Luit, 2003), waarbij de leerkracht een belangrijke rol inneemt, de opdracht voor het kind weet te structureren en het kind adequate oplossingsstrategieën aanreikt. Ook voor kleuters met een rekenachterstand blijkt dit vaak het type instructie te zijn, waarvan ze het meest profiteren. Het is daarom van belang dat deze kleuters oplossingsstrategieën krijgen aangereikt die ze in het vervolg zelfstandig kunnen inzetten. Voorbeelden van instructie die een leerkracht kan inzetten tijdens de uitleg van rekenactiviteiten zijn (1) het structureren van de te tellen objecten door ze in een rij te leggen, (2) het aanreiken van een telstrategie, bijvoorbeeld door objecten één voor één weg te schuiven tijdens het tellen, of (3) het naast elkaar leggen van spullen die op grootte vergeleken worden. Uiteraard zijn er nog veel meer voorbeelden te bedenken die onder directe instructie vallen. Centraal hierbij is de rol van de leerkracht. In plaats van dat het kind eigen strategieën ontwikkeld, wat vaak lastig is voor deze doelgroep, begeleidt de leerkracht het kind door vragen te stellen, door de taak in stappen te verdelen of door een strategie te modelleren.

uitstekend in staat zijn om rekening te houden met bovenstaande kenmerken bij het afstemmen van de hulp aan kleuters met een achterstand, kan het handzaam zijn om hierbij gebruik te maken van een programma dat speciaal voor deze doelgroep kleuters is ontwikkeld. Op weg naar rekenen (Van Luit & Toll, 2013) is zo’n remediërend programma voor kleuterrekenen. In het programma is rekening gehouden met de bovenomschreven kenmerken en is in een grootschalig onderzoek effectief (evidence-based) gebleken. In samenwerking met een groot aantal professionals uit het werkveld is het programma na het onderzoek aangepast tot een programma dat uitkomst biedt om op rekengebied te differentiëren binnen het kleuterrekenonderwijs. Meer informatie over het programma is te vinden op: www.graviant.nl. De auteurs zijn werkzaam bij de afdeling Orthopedagogiek van de Universiteit Utrecht. Het programma Op weg naar rekenen is tot stand gekomen met een subsidie van het ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap in het kader van het actieprogramma Onderwijs Bewijs. Literatuur Jordan, N. C., Glutting, G., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and Individual Differences, 20, 82–88. Kroesbergen, E. H., & Van Luit, J. E. H. (2003). Mathematics interventions for children with special educational needs. Remedial and Special Education, 24, 97-114. SLO (2010). Rekenontwikkeling van het jonge kind: De doelen. Geraadpleegd op http://www.slo.nl/primair/themas/jongekind/doelen/ Stock, P., Desoete, A., & Roeyers, H. (2010). Detecting children with arithmetic disabilities from kindergarten: Evidence from a 3-year longitudinal study on the role of preparatory arithmetic abilities. Journal of Learning Disabilities, 43, 250-268. Van Luit, J. E. H., & Toll, S. W. M. (2013) Op weg naar rekenen. Een remediërend programma voor kleuterrekenen. Doetinchem: Graviant.

Gesteld kan worden dat we bij kleuters met een achterstand in voorbereidende rekenvaardigheid vaak te maken hebben met één of meer van de vier bovengenoemde kenmerken. Hoewel veel leerkrachten

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

® Julie Menne

Tabel aan de wand

in groep 1 en 2

Julie Menne heeft vier jaar een vaste rubriek gehad in Volgens Bartjens waarin ze iedereen liet kennismaken met spellen en activiteiten voor groep 1/2, 3/4 en 5/6. Een pilot voor de cursus voor groep 7/8 gaat dit schooljaar (2013-2014) van start. We eindigen deze rubriek met een interactieve, klassikale oefenles voor groep 1 en 2. Tabel aan de wand1 Inhoudelijk doel: opzeggen van de telrij; aantallen tellen, ordenen, redelijk schatten, vergelijken op meer, minder en gelijk en verkort tellen; erbij en eraf van 1 of 2 en splitsingen; getalsymbolen herkennen en koppelen aan hoeveelheden; systematisch en overzichtelijk werken; invullen en aflezen van een staafgrafiek. Tijdens de les komen de drie niveaus voor het tellen in groep 1 en 2 aan de orde, te weten: (1) context gebonden tellen, (2) object gebonden tellen en (3) puur tellen. Doel van het spel: winkelvoorraad weergeven in een staafgrafiek Materiaal en voorbereiding: In dit voorbeeld is het thema ‘Winkel’. Het materiaal dat bij dit thema kan worden gebruikt zijn de mini’s van de eerste mini’s-spaaractie van Albert Heijn. Het aantal soorten mini’s moet net zo groot zijn als het aantal kinderen in de groep. De aantallen per soort variëren van 2 tot en met 12. Van één soort zijn

er zelfs 13. Verder zijn nodig: een kleed tegen het wegrollen van de mini’s, net zoveel knijpkaarten2 als kinderen, een pictogram van elke soort mini, minstens net zoveel kubus blokjes als mini’s, een staafgrafiek met net zoveel staven als kinderen3 en stiften. Zie afbeelding 1. De mini’s uit de winkel ‘Wat hebben we allemaal in de winkel?’ vraagt de leerkracht. Enthousiast schieten alle vingers omhoog. ‘Chips,’ antwoordt Jon. ‘IJsjes,’ zegt Zoë. ‘Pannenkoeken,’ zegt Caithlyn. ‘Wat nog meer?’ ‘IJsjes,’ zegt Stanley. ‘Ja, die noemde Zoë net al. Probeer iets te noemen dat nog niet is gezegd.’ Als iedereen zijn best heeft gedaan iets te noemen dat nog niet is geweest, laat de leerkracht de boodschappentas zien. ‘Ik heb de winkelvoorraad even in een boodschappentas gedaan, dan kunnen we kijken of we nog iets vergeten hebben op te noemen.’ Ze tilt de tas op en keert hem leeg op de tafel. ‘Wow, dat zijn er veel,’ reageert Mats. ‘Ziet iemand een artikel dat we nog niet hebben opgenoemd?’ vraagt de leerkracht. ‘Tomaten,’ antwoordt Stanley. ‘Ja, deze rode balletjes stellen tomaten voor en vallen goed op in de berg boodschappen.’

2. Om de beurt een knijpkaart kiezen ‘Hoeveel tomaten?’ ‘Hoeveel tomaten zouden er zijn?’ Ook nu steken de kinderen weer fanatiek hun vinger in de lucht. Maar de leerkracht geeft geen beurten. In plaats daarvan mogen de kinderen een knijpkaart kiezen. Er zijn twee soorten knijpkaarten: met getalbeelden en met getalsymbolen. Zie afbeelding 2.

Interventies bij

1. Benodigd materiaal ‘Tabel aan de wand’

3. Op een knijpkaart kun je met een knijper je schatting aangeven Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

6. Zijn er meer bananen of meer doosjes met raketijsjes? geert de leerkracht verschrikt. Daar trappen de kinderen niet in. ‘Het gaat tot twaalf, hoor juf,’ zegt Tom. ‘Oh, gelukkig. Dan moet elf er ook op staan want dat is eentje minder. Zet allemaal je knijper op elf.’

4. Handig tellen door het maken van groepjes vooraf Op de knijpkaarten geven de kinderen met een knijper aan hoeveel ze denken dat het is. Thijs weet niet zo goed wat hij moet doen. ‘Hoeveel denk jij, Thijs?’ Hij steekt vier vingers op. ‘Waar moet jouw knijper dan worden gezet?’ Thijs wijst ‘vier’ aan op zijn knijpkaart met turfbeelden. De juf telt hardop na of het klopt: ‘Nul, één, twee, drie, vier,’ en wijst tegelijkertijd de bijbehorende vakjes met aantallen aan. ‘Heel goed, zet je knijper maar op vier.’ Zie afbeelding 3. Als iedereen zijn schatting heeft geknijperd, worden de tomaten bij elkaar gezocht. Puck telt en raakt een beetje in de war. ‘Hoe tel je dit handig?’ vraagt de leerkracht zich af. Nika heeft een idee. Ze maakt groepjes van twee en eentje van drie en telt: ‘2-4-6-8-11, dus 11 tomaten.’ Zie afbeelding 4. ‘Dan zijn het maar liefst elf tomaten. Dat past nooit op je knijpkaart,’ rea-

5a. Uitkiezen van een pictogram

Picto kiezen, knijperen en controleren De kinderen willen niet alleen van de tomaten weten hoeveel het er zijn. Ze willen weten hoeveel er van alles is. De leerkracht legt daarom de pictogrammen van de boodschappen op tafel. Om de beurt kiezen de kinderen een pictogram uit en geven op hun knijpkaart aan hoeveel ze denken dat ervan zijn. Dan zoeken de kinderen deze artikelen bij elkaar en controleren of ze het goed hadden. De knijpkaart wordt aan het werkelijke aantal aangepast. Zie afbeelding 5a t/m d. Wat is meer? Cas komt naar de leerkracht en zegt dat hij de meeste heeft. Hij heeft de doosjes met raketijsjes bij elkaar gezocht. Het aantal past niet eens op zijn knijpkaart. ‘Hoeveel heb je dan?’ vraagt de leerkracht. ‘Dertien,’ is zijn antwoord. De leerkracht vraagt zich hardop af of dat

5b. Zoeken nadat schatting is gemaakt

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

het meeste is dat er ligt. Ze legt de doosjes in een rij naast de bananen. ‘De rij met bananen is langer dus dat moeten er wel meer zijn,’ concludeert ze. Daar zijn de kinderen het echter niet mee eens. Larissa moest de bananen zoeken en heeft ‘tien’ op haar knijpkaart staan. Ze telt het nog even na. En ja hoor, het zijn er slechts tien. Zie afbeelding 6. De leerkracht is overtuigd. Op de vraag hoe dit kan, luidt de verklaring dat één banaan ‘gewoon’ langer is dan één doosje raketjes. De bananen halen de raketjes in. Ze gaan sneller, maar zijn met minder! Met blokjes weergeven ‘Toch vind ik het niet erg overzichtelijk,’ zegt de leerkracht. ‘We hebben de hele winkelvoorraad uitgezocht en nu zie ik niet makkelijk waar we het meeste van hebben. Hoe kunnen we dat makkelijker zien?’ Natuurlijk kunnen ze de knijpkaarten naast elkaar leggen maar de leerkracht wil ze nog voor andere spelletjes gebruiken. Nika stelt voor om alles in groepjes van twee te leggen. Dit lost echter het onderlinge verschil in lengte niet op. Besloten wordt om het eens met kubus blokjes te proberen. Voor elk

5c. Komt de schatting overeen?

5d. Aangepast aan werkelijk aantal

ren hebben zoveel mogelijk de kruisen in de kleur van het artikel gezet. Dat maakt het nog overzichtelijker. Zie afbeelding 9.

7. De winkelvoorraad in blokjes artikel wordt een blokje neergelegd. Zie afbeelding 7. Van blokjes naar tabel ‘Dit is al beter maar nu is er nog iets. Vanmiddag moeten alle stoelen op de tafels en dan kan dit niet zo blijven staan. Voor de winkel is het wel belangrijk dat we precies weten wat we hebben. Zouden we op deze tabel de aantallen kunnen aangeven?’ De leerkracht toont een tabel met staven van ieder twaalf hokjes. ‘Zullen we onderaan de pictogrammen plakken en voor elk blokje een kruisje zetten?’ Dit lijkt de kinderen een goed idee. Ayden mag beginnen. Hij plakt zijn picto met de shampoo fles onder de eerste staaf en legt zijn blokjes op de tabel. De leerkracht doet voor hoe

je een kruis zet en dan vult hij de staaf verder in. Als hij klaar is, leest hij af dat er dus acht flessen shampoo in de winkel zijn. Zie afbeelding 8a, b en c. De hele winkelvoorraad wordt op deze manier in kaart gebracht. Cas tekent er voor zijn dertiende raketdoosje een extra hokje bij. ‘Je gaat als een raket,’ complimenteert de leerkracht hem. Hester merkt op dat je niet je blokjes op de tabel hoeft te leggen. Op je knijpkaart kun je ook zien tot hoever je moet kruisen. Ze schuift de knijper een vakje hoger dan het echte aantal. ‘Dan weet ik waar ik moet stoppen.’ Tabel van de winkelvoorraad De tabel is af. De leerkracht hangt ‘m aan de wand. Wat is-ie mooi! De kinde-

De tabel is weliswaar klaar maar de les nog niet. De leerkracht stelt allerlei vragen over de tabel. Hierbij komt de 5- en 10-structuur op de staven ook ter sprake. Als je hiervan gebruik maakt, kun je eenvoudig bepalen hoeveel je ergens van hebt. Dit is met name handig bij de staven in het midden van de tabel. De weg naar de getalsymbolen is daar langer. De vragen die ze stelt, luiden: • Waarvan hebben we er vier, twaalf, negen, …. ? Wijs eens aan. Hoe kun je dat aflezen zonder één voor één te tellen? • Waarvan hebben we het meest? Waarvan het minst? Waarvan evenveel? Hoeveel zijn dat er? • Hoeveel sinaasappels hebben we? Waarvan hebben we meer dan van de sinaasappels? Hoeveel meer? En waarvan minder? Hoeveel minder? • Welke aantallen komen niet voor? Hebben we ook ergens maar één van? Jurre vindt dat ze eigenlijk maar één brood hebben. Op tafel liggen immers twee halve broden en dat is samen één. Afgesproken wordt dat het in dit geval toch voor twee geldt, omdat ze als mini apart verpakt zaten. De les wordt afgesloten met raadsels als: ‘Ik zie, ik zie wat jij niet ziet: we hebben er vijf en nog één van. Wat is het?’ En: ‘Rara, waar denk ik aan: het is twee minder dan tien? Wat is het?’ Ook bedenkt de leerkracht schuilnamen voor een artikel, bijvoorbeeld: vijf

Invullen van de tabel

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

9. De winkelvoorraad in een tabel

en vijf en één. Dit kunnen de pizza’s zijn. Tot slot bedenken de kinderen in tweetallen dergelijke raadsels voor elkaar. Hierbij mogen ze de knijpkaarten gebruiken. Het aantal waaraan ze denken knijperen ze en leggen ze onder hun stoel. Het dient als geheugensteuntje en ter controle.

Tabel aan de wand als rekenroutine Tabel aan de wand is een rekenroutine. In dit artikel is het uitgewerkt voor het thema ‘Winkel’. Het kan echter bij elk willekeurig thema de genoemde doelen dienen. Vandaar de naam ‘rekenroutine’. Gebruik de spullen van de thematafel en voer de les uit op eenzelfde wijze als in het voorbeeld is gedaan. Vergeet daarbij niet om de tabel ook te bespreken. Wanneer kinderen dit een aantal keer hebben doorlopen, kan gekozen worden voor een hogere instap, namelijk zonder spullen van de thematafel rechtstreeks een staafgrafiek invullen. Dit komt de leerstof ten goede en past bij gangbare thema’s als vakantie, kunst en sprookjes. In staafgrafieken wordt aangegeven naar welke vakantieland ze zijn geweest, welk kunstvoorwerp ze het mooiste vinden en wat hun favoriete sprookje is. Ook bij alledaagse activiteiten of belangrijke gebeurtenissen doet ‘Tabel aan de wand’ dienst als rekenroutine.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Inventariseer bijvoorbeeld wat de kinderen hebben meegebracht aan eten en drinken of stem met welk vervoersmiddel ze het liefst op schoolreis gaan. Met dank aan basisschool de Boomgaard te Utrecht. De namen van de kinderen zijn gefingeerd. De auteur is ontwikkelaar van het programma Met Sprongen Vooruit en directeur van het Menne Instituut. De foto’s zijn gemaakt door de auteur. Noten: 1. Tabel aan de wand maakt deel uit van de cursus Met Sprongen Vooruit. Aanmelden voor deze cursus kan via www. metsprongenvooruit.nl. 2.

De knijpkaarten maken deel uit van de kist Rekenmaterialen 5-minutenspelletjes groep 1&2, die verkrijgbaar is via www.metsprongenvooruit.nl.

3. De staafgrafiek is een download op: http://www.menne-instituut.nl/ lesmateriaal/groupId/1. Print het op A3 papier en bevestig de delen zo aan elkaar dat je het gewenste aantal staven overhoudt.

Hoofdkop

Vogels Subkop

Lia van Diem

Elke dinsdag gaat een deel van de groep de klas uit. Deze kinderen worden in de wandelgangen ‘wijze uilen’ genoemd. De groep achterblijvers keek de wijze uilen de eerste keer met lede ogen na. Maar dat is allang niet meer zo. Tijdens dat uurtje ga ik met de rest van de groep lekker rekenen. De kinderen kijken er echt naar uit. Laatst pakte ik bij het begin van zo’n rekenles het voorleesboek. Daar zit een kaartje in om aan te geven waar ik ben gebleven. Ik liet het dichte boek van de zijkant zien en wilde weten of ik voor, op of over de helft ben. Dat vonden de kinderen toch nog lastig om te bedenken. Uiteindelijk kwamen we eruit: over de helft. Ik vertelde dat ik op bladzijde 93 was. Nu mochten de kinderen raden hoeveel bladzijde het boek heeft. Lasse zei dat het er 284 zouden zijn. Dat vonden de meeste wel heel veel. Dinus dacht aan 170. ‘Als er 170 bladzijdes zijn welke bladzijde is dan de helft?’ vroeg ik. Roos keek moeilijk en zei dat ze dat niet kon uitrekenen. Wel een stukje. ‘Nou, laat maar horen dat stukje,’zei ik. Ik schreef mee op het bord. ‘De helft van 100 is 50, en dan… weet ik het niet meer.’ Ze werd meteen geholpen door Cas die de helft van 70 zo wist. Dat ging voor de meeste kinderen nog wel wat snel, dus hielp ik om de stukken wat kleiner te maken. Van de 70 pakten we eerst 50. Daarvan kent iedereen de helft. ‘Ja, dat is 25!’ zei Dilano blij. ‘Klopt.’ ‘Oh en dan heb je er nog 20 over en de helft daarvan

is 10. ‘ reageerde Margot. Melisa telde het zaakje bij elkaar en we kwamen aan 85. Ik zag allemaal tevreden gezichten. Ik keek nog even hoeveel pagina’s het voorleesboek heeft. Dat zijn er 150. ‘Op welke bladzijde ben ik als ik op de helft zou zijn?’ Makkie! zie je de groep denken en dat wordt vakkundig door ze uitgerekend. Ze helpen elkaar daarbij goed. Nu mogen ze hun eigen leesboek pakken. Eerst kijken ze op welke bladzijde ze zijn, dan raden ze hoeveel Marjolijn Brouwer bladzijdes het boek heeft. je zo een kaartje dat bij het jouwe Ze moeten uitrekenen hoeveel bladzijden ze nog moeten. En als past, dan ruil je het om met je andere laatste zoeken ze het midden van het kaartje. Je legt de som op je tafel en boek. Dat zeggen ze tegen hun schou- gaat nieuwe kaartjes halen. dermaatje. Die moet nu uitrekenen Het is net een markt vanaf het mohoeveel bladzijdes er in het boek zit- ment dat het spel begint. Veel vraag en aanbod. De kinderen vinden het ten. Dat ziet er leuk uit. heerlijk. Ze mogen spelen totdat de Het uur is nog niet om en Timo wijst wijze uilen binnen komen. Die zien naar de kast en vraagt of ze ‘dat spel- nog net het staartje van het spel. Dat letje’ mogen doen. Ik heb daar twee hebben ze net gemist. Je ziet ze dentafelsomspellen staan. Deze keer wil ken: ‘Jammer!’ Maar het zijn wijze hij niet kwartetten, maar het andere uilen en ze gunnen het de achterblijspel. ‘Oké! Kom maar één voor één vers. En de achterblijvers? Die hebben naar voren en haal uit elke doos een geen last van jaloersheid. Die voelen kaartje.’ Op het ene kaartje staat een zich dan misschien geen wijze uilen, keersom zonder antwoord. Op het maar zeker wel geluksvogels! andere kaartje staat een uitkomst. Als iedereen twee kaartjes heeft mogen ze De auteur is leerkracht op basisschool de bij elkaar gaan vragen naar de goede Stappen in Tilburg som of uitkomst bij hun kaartjes. Vind

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Rekenen Marjolijn Peltenburg en Marja van den Heuvel-Panhuizen tot 100

Afhalen of aanvullen Flexibel aftrekken door zwakke rekenaars

Wie denkt dat zwakke rekenaars niet in staat zijn om flexibel te rekenen heeft het mis. Onderzoek naar het aftrekken tot 100 laat zien dat zwakke rekenaars het wel degelijk in hun mars hebben om – afhankelijk van de eigenschappen van opgaven – flexibel te wisselen tussen oplossingsaanpakken. Aftrekken tot 100 via afhalen of aanvullen Er kan een tweedeling worden gemaakt in oplossingsaanpakken voor het aftrekken tot 100: afhalen en aanvullen. Een kleinschalige inventarisatie (Peltenburg, Van den HeuvelPanhuizen & Robitzsch, 2012) onder leerkrachten in het speciaal basisonderwijs laat zien dat de meeste van de ondervraagde leerkrachten alleen instructie geeft in het afhalen en niet in het aanvullen. Bij de afhaalaanpak leren kinderen een aftrekopgave zoals 49 – 12 op te lossen door 12 van 49 af te halen. Zie afbeelding 1.

1. Voorbeeld van de afhaalaanpak bij de opgave 49 – 12 Bij de aanvulaanpak leren kinderen om bij 62 – 58 aan te vullen vanaf 58 tot 62 is bereikt. Zie afbeelding 2.

Invloed van opgavenkenmerken op oplossingsaanpak 1. Getallen in de opgave Of leerlingen bij het oplossen van een aftrekopgave kiezen voor een afhaal- of aanvulaanpak is – los van de invloed van het onderwijs – afhankelijk van kenmerken van de opgave. Een eerste kenmerk betreft de getallen in de opgave. Verschillende studies (De Smedt, Torbeyns, Stassens, Ghesquière & Verschaffel, 2010 en Menne, 2003) laten zien dat aftrekopgaven met een klein verschil tussen de getallen, zoals 62 – 58, de aanvulaanpak kunnen uitlokken. Aanvullen kan bij zo’n ‘klein-verschilopgave’ een snelle en eenvoudige aanpak zijn (58 + 2 = 60; 60 + 2 = 62; dus het antwoord is 4), terwijl de afhaalprocedure in dit geval meer en ook meer foutgevoelige stappen vereist (62 – 50 = 12; 12 – 2 = 10; 10 – 6 = 4). 2. Kaal of context? Behalve de getallen in de opgave is ook van invloed of de opgave als kale som of in een context wordt gepresenteerd. Onderzoek (De Smedt et al., 2010) laat zien dat kale opgaven nauwelijks aansporen tot het gebruik van de aanvulaanpak. Contextopgaven daarentegen kunnen zowel het gebruik van de afhaal- als de aanvulaanpak stimuleren. Wat leerlingen zullen doen is sterk afhankelijk van de vraag die bij de context hoort (Van den Heuvel-Panhuizen, 2005). Zo zal een contextopgave waarin gevraagd wordt hoeveel er nog moet worden gespaard eerder het aanvullen uitlokken dan een contextopgave die vraagt naar wat er nog over is. Deze laatste context zal eerder aanzetten tot afhalen. Onderzoek bij zwakke rekenaars Bij zwak presterende leerlingen in het speciaal basisonderwijs zijn we nagegaan of de leerlingen zich laten leiden door opgavenkenmerken bij het oplossen van aftrekopgaven tot 100. Daartoe hebben we een toetsinstrument ontwikkeld met 15 aftrekopgaven met verschillende opgavenkenmerken: opgaven met een klein verschil, opgaven met een groot verschil, kale opgaven en contextopgaven. De 56 deelnemende leerlingen waren 8 tot 12 jaar oud en rekenden in hun klas op niveau eind groep 4. De kinderen maakten de toets individueel en we vroegen hen na het uitrekenen van elke opgave hoe ze hadden gerekend.

2. Voorbeeld van de aanvulaanpak bij opgave 62 – 58 ]

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Resultaten De resultaten waren verrassend! Hoewel het merendeel van de leerlingen in het onderzoek geen instructie had gehad in het aanvullen, maakten de leerlingen spontaan gebruik van deze aanpak en konden zij flexibel wisselen tussen de afhaal- en aanvulaanpak – rekening houdend met opgavenkenmerken. Zo zagen we bij de albumopgave (afbeelding 3) dat 49 van de 56 leerlingen de aanvulaanpak gebruikten. Het kleine verschil tussen de getallen én de context die vraagt naar hoeveel plaatjes nog in het album passen, hebben deze leerlingen er vermoedelijk toe gezet om aan te vullen in plaats van af te halen.

En wat doen de leerlingen als de context wel uitnodigt tot aanvullen, maar de getallen verder uit elkaar liggen, zoals in de treinopgave (afbeelding 5)? Bij deze opgave zagen we dat 39 leerlingen zich lieten leiden door de context en een aanvulaanpak gebruikten; 17 leerlingen gebruikten een afhaalaanpak.

5. Treinopgave. ‘De treinreis duurt 51 minuten. De trein heeft al 39 minuten gereden. Hoeveel minuten duurt de reis nog?’

3. Albumopgave. De bijbehorende tekst luidt: ‘In het album is plaats voor 51 kaarten 49 zitten er al in. Hoeveel kunnen er nog bij?’ Net als bij de albumopgave liggen bij de portemonnee opgave (afbeelding 4) de getallen (29 en 31) dichtbij elkaar, maar zet de context aan tot afhalen (hoeveel over?). De resultaten bleken dan ook anders dan bij de albumopgave: 23 leerlingen hadden afgehaald en 33 leerlingen aangevuld.

4. Portemonnee opgave. De bijbehorende tekst luidt: ‘Moeder heeft 31 euro. Ze betaalt 29 euro voor de boodschappen. Hoeveel euro heeft zij over?’

Opgaven waarbij de leerlingen het vaakst de afhaalaanpak gebruikten, bleken de kale opgaven te zijn. Toch zagen we ook hier in de oplossingsaanpakken van de leerlingen de invloed van de getallen duidelijk terug. Zo werd bij de kale opgave 71 – 69 (afbeelding 6) door 9 van de 56 leerlingen een aanvulaanpak gebruikt.

6. Een kale opgave waarbij de getallen dichtbij elkaar in de telrij liggen Succesvol oplossen van aftrekopgaven met de aanvulaanpak Behalve dat de leerlingen in ons onderzoek lieten zien dat zij gebruik kunnen maken van de aanvulaanpak en deze flexibel kunnen inzetten, bleken zij ook nog eens erg succesvol in het aanvullen. Het percentage correct beantwoorde opgaven bij het aanvullen lag ruim boven dat bij het afhalen. Dit resultaat maakt duidelijk dat het gebruik van de aanvulaanpak ertoe kan bijdragen dat leerlingen aftrekopgaven succesvol oplossen. Onderzoeksresultaten om te gebruiken in uw onderwijs Hoewel ons onderzoek kleinschalig van karakter is, heeft het belangrijke aanwijzingen opgeleverd over wat zwakke rekenaars in hun mars hebben. We hebben gezien dat zij zich laten leiden door opgavenkenmerken bij het kiezen van een passende oplossingsaanpak. Maar wat betekent deze opbrengst voor het onderwijs, of misschien wel voor uw onderwijspraktijk? Wij denken dat het slim kiezen van opgaven met bepaalde kenmerken leerlingen de mogelijkheid biedt om te laten zien wat ze kunnen. Neem bijvoorbeeld de vier opgaven gepresenteerd in dit artikel (afbeelding 3, 4, 5 en 6. Deze zijn in PDF formaat te vinden op de website van Volgens Bartjens). Hoe zouden uw leerlingen deze opgaven oplossen? Gaan ze afhalen of aanvullen?

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Aan u de uitdaging om uw leerlingen te vragen hoe ze rekenen bij het oplossen van deze opgaven. Komt dit overeen met uw verwachtingen? Wij zijn benieuwd en horen graag over uw ervaringen! Contact: m.peltenburg@hsmarnix.nl en m.vandenheuvel-panhuizen@uu.nl Marjolijn Peltenburg is docent reken-wiskundedidactiek op de Marnix Academie in Utrecht. Marja van den Heuvel-Panhuizen is hoogleraar reken-wiskundedidactiek aan het Freudenthal Instituut van de Faculteit Bètawetenschappen en de Faculteit Sociale Wetenschappen van de Universiteit Utrecht. Noten 1. Peltenburg, M., Van den Heuvel-Panhuizen, M. & Robitzsch, A. (2012). Special education students’ use of indirect addition in solving subtraction problems up to 100 - A proof of the didactical potential of an ignored procedure. Educational Studies in Mathematics, 79(3), 351–369. 2. De Smedt, B., Torbeyns, J., Stassens, N., Ghesquière, P., & Verschaffel, L. (2010). Frequency, efficiency and flexibility of indirect addition in two learning environments. Learning and Instruction, 20, 205–215. 3. Menne, J. (2003). Bijna-verdwijnsommen. De inverse relatie tussen optellen en aftrekken. Willem Bartjens, 22(5), 28–30. 4. Van den Heuvel-Panhuizen, M. (2005). The role of contexts in assessment problems in mathematics. For the Learning of Mathematics, 25(2), 2–23.

uit het

Lees meer op: www.volgens-bartjens.nl

gerijmde

Bewijs

De Citotoets Jaap van Lakerveld (bewerkingen, meten, tijd, geld, breuken, procenten en verhoudingen)

Rekenen is essentieel in het leven Je becijfert de tijd die je toe is gemeten Wat je nodig hebt om te wonen, te eten, Met wie je het leven zou willen delen. Procenten vertellen de kans op een breuk Verhoudingen zijn soms maar eventjes leuk En de slotsom is al bij voorbaat gegeven. Het komt er dus in het leven op aan Of wij de CITO toets kunnen doorstaan.

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

MAGICO Beschrijving van Magico

Magico vindt haar oorsprong bij de Inka’s. De Inka’s gebruikten voor hun ‘rekenen’ witte en rode bonen en werkten hiermee op rekenstenen of rekenplanken met kuiltjes waar de bonen in werden gelegd: een witte boon stond voor één en een rode boon voor vijf. Zo konden ze met minder bonen grotere aantallen/getallen weergeven. Een getal als 8 werd dan gesymboliseerd via: . Het spel Magico bouwt hierop voort. Er zijn twee varianten: Magico 4 en Magico 9.

Magico 4 Magico 4 bestaat uit een speelplank met vier kuiltjes (zie afbeelding 1), rode en blauwe kralen en 64 opdrachtkaarten, oplopend in vier niveaus van moeilijkheid: A: Star; B: Superstar; C: Topstar en D: Megastar. Op een opdrachtkaart staat aangegeven hoeveel het totaal aan kralen

in de twee kuiltjes per rij, kolom of diagonaal moet zijn. Hierbij wordt een hoeveelheid van 5 in één kuiltje neergelegd met één blauwe kraal (6 leg je met één blauwe en één rode kraal).

De bedoeling is dat de kralen in de bakjes zo verdeeld worden dat de aantallen overeenkomen met de getallen bij de rijen, de kolommen en de diagonalen. De som van de kralen uit het voorbeeld moet in de bovenste rij 6 zijn en in de linker kolom 12. We weten dat in het bakje rechts boven het totaal ‘3’ is. De speler moet uitzoeken hoeveel kralen en van welke kleur, er dan in de overige drie bakjes moeten liggen om alles kloppend te krijgen. Hoe een kind te werk zal gaan, is erg afhankelijk van zijn niveau. Er zijn kinderen, die eerst gewoon gaan proberen. Ze hebben nog niet in de

1. Dit kaartje heeft niveau 2 (2 sterren, Superstar)

Anneke Noteboom

gaten dat de rijen en kolommen met elkaar samenhangen. Ook hebben ze nog niet in de gaten dat je het tweede aantal kunt berekenen, als je één aantal weet (in het geval van het voorbeeld: in twee bakjes moet samen 6 (horizontaal) liggen, in één bakje ligt al drie, dus dan moeten in het andere 6 – 3 = .. of 3 + .. = 6 kralen liggen. De linkerkolom lijkt meer oplossingen te hebben (als ze samen maar 12 zijn) maar dat is schijn, want de ‘3’ rechtsboven bepaalt ook al wat er links boven moet liggen. Kortom, er valt zowel te redeneren als te tellen en te rekenen. Ook zijn er meer en minder abstracte en handige strategieën om tot een oplossing te komen. De kaarten van hoger niveau bevatten grotere getallen. Kinderen moeten daarbij dus meer rekenen en echt tellen wordt onhandig. Ook moeten ze meer gebruik maken van het tellen met

2. Magico 9

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

vijven. Voor elke situatie is slechts één oplossing. De oplossingen staan ook in de handleiding die bij het spel wordt geleverd.

Magico 9 De spelregels van Magico 9 komen overeen met die van Magico 4, maar het rekenen, denken en redeneren is totaal verschillend. Bij Magico 9 kun je niet meteen berekenen hoeveel er in de overige kuiltjes moet liggen. Zie bijvoorbeeld de situatie in afbeelding 2. Van de middelste kolom is slechts één aantal bekend: 4. We weten dat er in de drie kuiltjes samen 7 moet liggen. In de twee lege kuiltjes moet dus samen 3 liggen. Daarvoor zijn meer mogelijkheden. De speler zal dus ook bij de andere rijen en de andere aantallen moeten kijken. Dit lokt allerlei ‘als dit, dan dat’ redeneringen uit: ‘als hier 2 ligt, dan ligt daar één en blijft er voor die andere vakjes nog 5 over. Maar dat kan niet want…’. Of: ‘Dat kan alleen als….’. Magico 9 heeft eveneens vier niveaus, maar dan 20 opdrachtkaarten per niveau. Ook hier werken de moeilijkere niveaus met grotere getallen.

Magico en rekenen-wiskunde Magico doet een beroep op verschillende rekenen denkvaardigheden. Welke vaardigheden bij kinderen worden aangesproken, hangt af van het niveau van de kinderen. Als ze het splitsen en rekenen onder 10/20 goed onder de knie hebben en de inverse relatie tussen optellen en aftrekken door hebben, dan is Magico 4 niet zo’n uitdaging. De moeilijkere niveaus kunnen misschien nog wel oefening opleveren maar dagen niet meer uit tot verkennen en onderzoeken. Voor veel kinderen in groep 3 en begin groep 4 sluit Magico 4 precies aan bij het niveau en de vaardigheden waarmee ze in de klas bezig zijn. Er worden geen bewerkingstekens en formele sommentaal gebruikt, maar er wordt wel een beroep gedaan op: • De koppeling van aantallen en ge-

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

tallen • H et inzicht dat bij het veranderen van deelgroepjes, het totaal niet verandert • Begrijpen van de relatie tussen optellen, samenvoegen, aftrekken, splitsen en aanvullen en automatiseren van de splitsingen • Inzicht in en praktisch toepassen van de vijfstructuur • Toepassen van verschillende handige strategieën om hoeveelheden op verschillende manieren samen te stellen • Redeneren over hoeveelheden Juist doordat de kinderen de aantallen kunnen manipuleren door kralen te verleggen is dit spel veel toegankelijker dan wanneer alleen getallen gebruikt zouden worden. Magico 9 bouwt op deze inzichten en vaardigheden voort, maar doet daarnaast ook een beroep op het strategisch denken en logisch redeneren, zoals hierboven is beschreven. Dit is ook voor kinderen in groep 4 en 5 een zeer zinvol spel.

Verrijkingsmateriaal Kleuters met een ontwikkelingsvoorsprong worden niet zo uitgedaagd door telactiviteiten van hun klasgenootjes. Zowel Magico 4 als 9 zijn voor deze kinderen wel uitdagend en passen bij hun niveau. De spellen zijn zelfstandig te spelen en te controleren. Er wordt niet formeel gerekend en het toenemen van moeilijkheidsgraad geeft de kans om op eigen niveau bezig te zijn. En juist het redeneren is iets wat deze kinderen uitdaagt. Het advies is dan ook om af en toe een gesprekje aan te gaan over hun werken met Magico, zodat ze leren na te denken over hun eigen denken en handelen. Vragen die daarbij bijvoorbeeld zinvol zijn: • Heb je ontdekt wat handige en minder handige manieren zijn om naar een oplossing te werken? Vertel eens. • Hoe weet je zeker of je oplossing klopt? Is er maar één oplossing? • Ga je nu anders te werk dan toen je begon met de eerste kaart? Wat

doe je nu anders? • N eem eens een kaartje en leg uit hoe je die oplost. Wat doe je dan en hoe weet je of iets goed of niet goed is? Welke tip zou je een klasgenootje geven als hij er niet uitkomt? • Laat de kinderen ook eens opdrachtkaarten zelf ontwikkelen en elkaar laten oplossen. Waar moet je dan aan denken bij het bedenken? Zijn er meer oplossingen mogelijk? Wat zou er gebeuren als ze een ontwerp maken met een speelplank van vijf bij vijf kuiltjes? Of kun je zo’n spel ook bedenken met een rechthoek: bijvoorbeeld 3 x 2 kuiltjes?

Iets voor de rekenles? Magico is van mooi, duurzaam materiaal gemaakt en daardoor niet goedkoop. Doordat het in meer groepen een zinvol spel is, kan het wel door veel kinderen gespeeld worden. Ook kan men er wellicht voor kiezen éénmaal een spel te kopen en daarnaast een speelbord te maken met getekende cirkels die de kuiltjes vervangen en platte fiches in twee kleuren voor de kralen. Zo kunnen meer kinderen tegelijk met de opdrachtkaarten van Magico aan de slag. We vinden Magico een goede aanvulling voor de rekenles. Het ondersteunt elementair getalbegrip en rekenen in groep 2 en 3 en Magico 9 daagt ook kleuters met een ontwikkelingsvoorsprong uit tot logisch denken en redeneren.

Gegevens Materiaal: Magico 4 en Magico 9 Doelgroep: vanaf groep 2 Aantal spelers: 1 Duur: flexibel Uitgeverij: Bekius Schoolmaterialen Prijs: Magico 4: ± 39,95; Magico 9: ± 44,95 Te koop via: www.schoolmaterialen.nl .

Lees meer op: www.volgens-bartjens.nl

IN/UITGELICHT 38

Rekenen-wiskunde artikelen in kranten en tijdschriften Sterke rekenaars uitdagen Laan, Marloes van der, e.a. JSW 6 febr. 2013

Actief Rekenen in groep 7 Lit, Sabine JSW 10 , juni 2013

Twee oud LIO-studenten deden onderzoek naar de leerbehoeften van sterke rekenaars binnen de groep. Daarvoor werd op twee scholen een doelgroep geselecteerd. Voor het onderzoek werd een enquête uitgevoerd en er zijn rekengesprekken met de doelgroep-leerlingen gehouden. Hieruit kwam onder andere naar voren dat het voor leerkrachten van groot belang is instructiemomenten te creëren voor de sterke rekenaars. Ook lijkt het van belang om keuzevrijheid te bieden voor deze doelgroep: 70% van hen wil het liefst zelf bepalen wat zij kunnen doen na de (gecompacte) reguliere taken. De voornaamste aanbevelingen zijn: Ga in gesprek met sterke rekenaars en vraag wat ze nodig hebben, zodat je daar als leerkracht meer inzicht in krijgt Stel hoge doelen en duidelijke eisen • Ga in op het denkproces en laat de leerlingen kritisch denken ( waarom is dat zo ?) • Bied structureel instructie. De leerlingen kunnen de geselecteerde taken die horen bij de methode vrijwel zelfstandig uitvoeren. Geef bij een hoger niveau extra instructie. Plan ook voor deze leerlingen dagelijks vijf minuten instructie in • Geef regelmatig feedback • Evalueer wekelijks met de leerlingen en stel daarbij reflectieve vragen • Laat de leerlingen zo nu en dan zelf kiezen wat zij willen doen met betrekking tot de plustaken • Laat de leerlingen bij het uitvoeren van de verrijkingsstof regelmatig samenwerken. Laat ze zelf kiezen of ze dat in groepjes of in tweetallen willen doen • Zorg voor een afgestemd, uitdagend, gevarieerd en aantrekkelijk leerstofaanbod, zoals opdrachten die aansluiten bij de belevingswereld; open, betekenisvolle en complexe opdrachten waarbij leerlingen creatief moeten denken en onderzoeken Het is van groot belang voor deze leerlingen om te zorgen voor een leeromgeving waarin ze daadwerkelijk worden uitgedaagd tot het oplossen van complexe problemen.

Leerlingen van groep 7 en 8 laten desgevraagd weten dat ze graag op een meer speelse manier zouden willen rekenen. Ook de aandacht die de laatste jaren is ontstaan voor coöperatieve werkvormen en meervoudige intelligentie nodigt leerkrachten uit om hun werkvormen in de rekenles meer te variëren. ‘Actief met rekenen en wiskunde’ (Coutinho, 2013) bevat ruim zestig activiteiten vanaf groep 1 van het basisonderwijs tot en met de klassen 1 en 2 van het voortgezet onderwijs en het middelbaar beroepsonderwijs. Bij deze activiteiten gaan leerlingen actief aan de slag met rekenen en wiskunde, onder andere door ze meer te laten samenwerken en door ze iets zelf te laten uitzoeken, maken of tekenen. In dit artikel worden twee van deze activiteiten beschreven, beide gericht op groep 7. De ene les is een voorbeeld van een activiteit waarin samenwerken meerwaarde heeft. Het gaat er in deze les om leerlingen te stimuleren handig gebruik te maken van eigenschappen van bewerkingen. Doel is om te ontdekken, dat wanneer je in een vermenigvuldiging één van de factoren halveert of tien keer zo klein maakt, het product ook wordt gehalveerd of tien keer zo klein wordt. In de andere les gaan leerlingen in viertallen aan de slag met lege theedoosjes. Ze meten de lengte, breedte en hoogte op en berekenen daarop de inhoud. Alle maten mogen worden afgerond op hele centimeters. Bij de bespreking besteedt de juf uiteraard ook aandacht aan de manieren van samenwerken. Daarna mag elke leerling een bouwplaat (met plakrandjes!) maken. Tot slot controleren ze of hun bouwplaat klopt. Een mooie combinatie van samenwerkend leren, meetkundig inzicht en….plezier in wiskunde! Peter van den Bremen

Volgens Bartjens jaargang 33 2013/2014 nr. 1

Nieuw verschenen bij 50 lesideeën voor de onderbouw Linda Willemsen In het onderwijs ben je als leerkracht altijd op zoek naar ideeën om de lessen op een leuke manier uit te voeren. Dit boek bevat 50 lesideeën, om op een speelse manier kennis en vaardigheden in de onderbouw aan te bieden. Door deze ideeën in je les toe te passen vergroot je de motivatie van de leerlingen en hierdoor ook het leerrendement.

€ 24,95 2013 | 176 p. | 1e druk ISBN 978 90 232 5078 4

Het boek begint met algemene informatie over het leren. Hierbij komen vragen aan bod als: ‘Hoe leren kinderen?’ ‘Wat is het nut van feedback?’ en ‘Wat voor invloed hebben emoties op het leren?’. Daarna worden 50 uitdagende lesideeën uitgebreid beschreven, die je direct kunt toepassen in de praktijk. Je kunt ze gebruiken tijdens je instructie, maar ook om de interactie of samenwerking tussen leerlingen en leerkracht te vergroten.

'Vijftig lesideeën in de onderbouw’ is geschreven voor de leerkracht, die van elke les een feestje wil maken. Dit inspirerend boek bevat een schat aan voorbeeldlessen waarmee je kennis op een leuke en effectieve manier kan overdragen. Leren is nog nooit zo leuk geweest! Linda Willemsen (1989) werkt als leerkracht in het basisonderwijs. Haar doel is om kinderen te enthousiasmeren voor de lesstof, zodat ze de kennis snel eigen maken. Al vanaf de pabo is ze bezig met het ontwerpen van creatieve lessen en werkvormen. Veel van haar ideeën zijn terug te vinden op de website www.klasvanjuflinda.nl. Hier vind je ook gratis materiaal bij het boek, zoals leskaartjes.

Meer informatie of online bestellen: www.vangorcum.nl of bel o592 37 95 56

Koninklijke Van Gorcum BV Postbus 43 • 9400 AA Assen [e] verkoop@vangorcum.nl

www.vangorcum.nl/nieuwsbrief altijd op de hoogte van de nieuwste uitgaven

Jongens & Meisjes Zoek de verschillen?!

Vooraanstaande onderzoekers als Louis Tavecchio, Jelle Jolles, Carolien Gravesteijn en René Diekstra geven op een laagdrempelige manier belangrijke inzichten weer waar uiteenlopende groepen en beroepen hun voordeel mee kunnen doen. Zoals professionals in de jeugd(gezondheids)zorg die ouders ondersteunen bij de opvoeding van hun kinderen. En zoals (aankomende) leerkrachten die altijd weer bezig zijn een goed evenwicht te vinden tussen onderwijs aan en opvoeding van kinderen op hun school.

Meer informatie of online bestellen: www.vangorcum.nl

€ 19,95

Carolien Gravesteijn, René Diekstra 2013 | 152 p. | 1e druk ISBN: 9789023250951

Nieuw verschenen bij Hoogbegaafde kinderen met stoornissen Wat leerkrachten en ouders moeten weten Ben Daeter

Hoogbegaafde kinderen kunnen ook stoornissen hebben. Het is voor leerkrachten en ouders van groot belang dat zij hiervan op de hoogte zijn. Maar al te vaak verbloemt de hoogbegaafdheid een stoornis, met als gevolg dat er niet voldoende aandacht aan wordt besteed.

€ 29,95 2013 | 180 p. | 1e druk ISBN 978 90 232 5127 9

Leerkrachten basisonderwijs, en ouders, zijn niet de aangewezen personen om stoornissen te behandelen. Zij kunnen wel een belangrijke rol spelen door te verwijzen

Meer informatie of online bestellen: www.vangorcum.nl of bel o592 37 95 56

naar deskundigen. Ouders en leerkrachten kunnen samenwerken door met elkaar in gesprek te gaan over mogelijk afwijkend gedrag. Dit boek belicht de meest voorkomende stoornissen in het basisonderwijs en legt uit wat de mogelijke relatie is met hoogbegaafdheid. Het helpt zo leerkrachten en ouders om beter inzicht te krijgen in mogelijke stoornissen bij hoogbegaafdheid.

Koninklijke Van Gorcum BV Postbus 43 • 9400 AA Assen [e] verkoop@vangorcum.nl

www.vangorcum.nl/nieuwsbrief altijd op de hoogte van de nieuwste uitgaven

Nieuw verschenen bij De begeleiding van hoogbegaafde kinderen James T. Webb, Edward R. Amend, Janet L. Gore, Arlene R. DeVries

Ouders die ontdekken dat hun kind hoogbegaafd is, zijn niet altijd blij en trots. Ze voelen zich soms voor een zware taak gesteld. Dit boek biedt talloze suggesties om hoogbegaafde kinderen te helpen om een goed zelfbeeld te ontwikkelen.

€ 39,95 2013 | 352 p. | herziene editie ISBN 978 90 232 5126 2

Professionals als leerkrachten, leerlingbegeleiders en pedagogen kunnen ook bijdragen aan een gezond zelfrespect en voldoende zelfvertrouwen van hoogbegaafde kinderen. Ze krijgen door dit boek meer inzicht in het gevoelsleven en de gedachtenwereld van hoogbegaafde kinderen.

Meer informatie of online bestellen: www.vangorcum.nl of bel o592 37 95 56

De begeleiding van hoogbegaafde kinderen is het meest complete boek over het opvoeden van hoogbegaafde kinderen. Het zet de lezer aan tot nadenken en vermijdt de valkuil van ogenschijnlijk eenvoudige oplossingen die hooguit voor korte tijd werken. Omdat het om een zeer heterogene groep kinderen gaat, zullen hun opvoeding en begeleiding altijd maatwerk vragen. Daarvoor geeft dit boek een schat aan praktische tips en adviezen.

Koninklijke Van Gorcum BV Postbus 43 • 9400 AA Assen [e] verkoop@vangorcum.nl

www.vangorcum.nl/nieuwsbrief altijd op de hoogte van de nieuwste uitgaven