Volgens bartjens by Uitgeverij Van Gorcum

Jaargang 37 / Nummer 5

de toekomst van het reken-wiskunde onderwijs

Tijdschrift voor rekenen wiskundeonderwijs

geleid heruitvinden conceptuele doelen fact checking

ÂŠ 2018 Koninklijke Van Gorcum

Redactioneel De toekomst Cathe Notten Hoofdredacteur Volgens Bartjens

In Nederland hebben wij een eigenaardige scheiding tussen rekenen (basisschool) en wiskunde (voortgezet onderwijs en verder). Daarin zijn we vrij uniek. De meeste landen gebruiken een versie van het woord ‘mathematica’ en onder deze term vallen zowel de wiskunde als het rekenwerk. Rekenen is lange tijd een zeer nuttige activiteit geweest, maar je kunt je afvragen hoe noodzakelijk het is om nog steeds zoveel tijd (6 jaar!) aan bewerkingen te besteden als er overal apparaten zijn die dat veel sneller en beter kunnen dan wij. In de laatste decennia van de vorige eeuw werd in het basisonderwijs ‘rekenen-wiskunde’ geïntroduceerd. In dit vak zou niet langer alleen aandacht zijn voor het pure rekenen, maar ook voor de wiskunde die eraan ten grondslag ligt. Maar in de praktijk bleef de nadruk iggen op het pure rekenen en de laatste tijd zien we zelfs weer pleidooien om helemaal terug te gaan naar dat pure rekenen, het cijferen. Dat is een eigenaardige keuze. Leren op school moet altijd gericht zijn op wat de samenleving van mensen vraagt. Je leert voor het leven, niet voor de school. Je komt buiten namelijk nooit een staartdeling tegen. De wiskunde dringt zich aan ons op in grafieken, tabellen, krantenkoppen, vraagstukken en problematische situaties. Daar moeten we kinderen op voorbereiden.

Wat wij onder toekomstbestendig rekenen-wiskunde verstaan is niet zo nieuw. Professor Hans Freudenthal (1905-1990) omschreef wiskunde als een menselijke activiteit. En het leren van wiskunde wordt dan een activiteit waarbij je regelmaat en structuur leert herkennen, welke schema’s en modellen je dan kunt gebruiken, waarbij je leert redeneren en hoe je getalrelaties en formeel rekenwerk kunt inzetten. Freudenthal streefde naar onderwijs waarbij leraren hun leerlingen begeleiden bij het ‘heruitvinden’ van wiskundige regels en patronen, van schema’s en modellen. Hij noemde dit guided reinvention, vertaald als ‘geleid heruitvinden’. Frans van Galen en Annette Markusse houden een pleidooi voor dit geleide heruit-

vinden in hun openingsartikel Inzicht ontwikkelen. Het reken-wiskundeonderwijs van de toekomst is gebaat bij Conceptuele doelen betogen Geeke Bruin-Muurling & Ronald Keijzer. Getallen en grafieken hebben in de huidige wereld een status van gezag en daarom is het nuttig als je deze schijnbaar objectieve gegevens op waarde weet te schatten. Zoals Hans van Maanen in zijn zeer lezenswaardige boek Goochelen met getallen (Boom, 2009) betoogt gaat er achter elk getal een wereld van keuzes schuil. Het gereedschap dat je nodig hebt om die getallen te controleren en te lijf te gaan kunnen we kinderen al vroeg aanreiken laten Geeke BruinMuurling, Marike Verschoor & Marc van Zanten zien in hun artikel Klopt dit eigenlijk wel? over fact checking in het basisonderwijs. Daarnaast is er het artikel Het Go-lab van Joep van der Graaf, Casper de Jong en Ton de Jong, waarin het onderzoekend leren van wiskunde met online labs besproken wordt. En in Leren representeren laten Anneke Harmsen, Anne Vermijs en Marianne van den Hurk de resultaten van onderzoek zien naar de rekenrepresentaties bij probleemoplossen in de brugklas.

En dan is er in dit nummer voor het laatst een Ei van Columbus van de hand van Jos van den Bergh. Na 18 jaar en 1361 ‘eitjes’ geeft hij het stokje over. Wij, het bestuur van de NVORWO en de redactie van Volgens Bartjens, willen Jos ook op deze plaats heel erg hartelijk bedanken. Elke 2 maanden bedacht hij weer nieuwe mooie opgaven waar veel kinderen en hun leerkrachten plezier aan beleefd hebben. De toewijding en de creativiteit waarmee hij dat gedaan heeft waarderen we enorm en we zullen de samenwerking zeker missen. Maar de aandacht voor zelf puzzelen op reken-wiskundeproblemen blijft! Vanaf volgend schooljaar zal het Ei van Columbus gemaakt worden door een collectief en er wellicht iets anders uit gaan zien. Ik wens iedereen een hele fijne zomervakantie toe. www.volgens-bartjens.nl

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5

Colofon © 2018 Koninklijke Van Gorcum, Assen Alle auteursrechten ten aanzien van de inhoud van deze uitgave worden uitdrukkelijk voorbehouden. Volgens Bartjens is het verenigingsorgaan van de Nederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskundeonderwijs (NVORWO). Het wordt uitgegeven door de NVORWO en Koninklijke Van Gorcum BV te Assen en verschijnt vijf keer per jaar.

Inhoud 2 4

Van de redactie Cathe Notten

Inzicht ontwikkelen Een pleidooi voor geleid heruitvinden Frans van Galen & Annette Markusse

Redactieadres Redactie Volgens Bartjens t.a.v. Cathe Notten, Zeeburgerkade 292, 1019 HL Amsterdam redactie@volgensbartjens.nl Naar dit adres kunt u alles opsturen wat met de redactionele inhoud verband houdt. U kunt hier ook boeken ter bespreking aanbieden.

27 28 9 10

Advertenties Neem contact op met Ray Aronds van Recent BV: ray@recent.nl, T (020) 3308998, Postbus 17229, 1001 JE Amsterdam

Groetjes van groep 4 Een, twee, boem! Lia van Diem

Abonnementen Abonnee € 42,00 Student € 28,95 Schoolabonnement (2 ex.) € 71,50 Op aanvraag is een collectief abonnement mogelijk. T (0592) 37 95 55

De rekenkrant voor kinderen van 10 tot 12 jaar voor de laatste keer bedacht en gemaakt door: Jos van den Bergh Illustraties: Nina Lathouwers

Klopt dit wel? Reken-wiskundige factchecking in het basisonderwijs Geeke Bruin-Muurling, Marike Verschoor & Marc van Zanten

Kleine Kinderen worden groot 78 keer naar de tandarts Marije Bakker

Het Go-lab Onderzoekend leren van wiskunde met online labs Joep van der Graaf, Casper de Jong & Ton de Jong

Doelen voor het reken-wiskundeonderwijs van de toekomst Geeke Bruin-Muurling & Ronald Keijzer

32 15

Het Ei van Columbus

Conceptuele doelen

Foto’s Marije Bakker en Archief Volgens Bartjens, tenzij anders vermeld. Met dank aan de Meester Neuteboomschool in Stadskanaal. Vormgeving In Ontwerp, bureau voor vormgeving, Assen

18 22

Eindredactie Cathe Notten Uitgave, abonnementen en druk Koninklijke Van Gorcum BV, Postbus 43, 9400 AA Assen, T (0592) 37 95 55 Een abonnement wordt automatisch verlengd, tenzij een schriftelijke opzegging is ingediend bij afdeling Klanten service van Koninklijke Van Gorcum: klantenservice@ vangorcum.nl.

Bewijs uit het gerijmde Verdichten Jaap van Lakerveld

Ik ga op reis en neem mee... Rekenen-wiskunde in de vakantie! Anneke Noteboom

www.volgens-bartjens.nl ISSN 1574 3381

36 37 38

Leren representeren Rekenrepresentaties bij probleem oplossen in de brugklas Anneke Harmsen, Anne Vermijs & Marianne van den Hurk

Volgens Bartjens Ontwikkeling en Onderzoek Ronald Keijzer

NVORWO Nieuws uit de vereniging Francis Meester

Spel in de rekenles Resolf Anneke Noteboom

wiskundig denken en redeneren

Inzicht ontwikkelen een pleidooi voor geleid heruitvinden In de veranderende maatschappij lijkt er meer behoefte te zijn aan mensen die zelf hebben leren denken tijdens hun rekenwiskundeonderwijs dan aan mensen die alleen maar kunnen reproduceren. Inzicht in rekenen-wiskunde komt meestal niet vanzelf maar wordt verworven door te leren problemen op te lossen. De auteurs houden een pleidooi voor Guided Reinvention, ofwel Geleid Heruitvinden, een aanpak die Hans Freudenthal in de jaren 80-90 van de vorige eeuw gebruikte.

Tekst Frans van Galen en Annette Markusse Frans van Galen is ontwikkelaar/onderzoeker bij het Freudenthal Instituut, Universiteit van Utrecht. Annette Markusse opleidingsdocent aan de Ipabo

Computers en andere apparaten nemen het traditionele rekenwerk steeds meer van ons over, maar de maatschappij vraagt wel dat we flexibel om kunnen gaan met kwantitatieve informatie. Dat betekent dat het nog belangrijker wordt dat leerlingen in de reken-wiskundelessen inzicht ontwikkelen. In dit artikel gaan we in op de vraag hoe zulk inzicht het beste ontstaat. Met voordoen en laten nadoen stimuleren we geen wiskundig inzicht, dat zal duidelijk zijn, maar hoe doen we dat dan wel? Professor Hans Freudenthal was de drijvende kracht achter de vernieuwing van het rekenonderwijs in de jaren 80 en 90 en hij introduceerde de term ‘geleid heruitvinden’. We lichten toe wat met die woorden bedoeld wordt aan de hand van concrete voorbeelden.

problemen oplossen als een wiskundige Geleid heruitvinden, of in het Engels guided reinvention, is een kernbegrip in de boeken en artikelen van Freudenthal (onder andere Freudenthal, 1991). Hoewel Freudenthal duidelijk zijn stempel heeft gezet op het Nederlandse rekenonderwijs is ‘geleid heruitvinden’ nooit een algemeen bekende term geworden. Dat komt waarschijnlijk omdat hij en anderen er vooral over geschreven hebben in wetenschappelijke, Engelstalige literatuur. In onze ogen komen in ‘geleid heruitvinden’ alle kenmerken van realistisch reken-wiskundeonderwijs samen. We hebben het dan over onderwijs: • vanuit betekenisvolle contextsituaties, • waarin leerlingen samen op onderzoek gaan, • waarin modellen het ontwikkelen van wiskundig begrip ondersteunen, • waarin leerlijnen niet los staan van elkaar maar verweven zijn.

Hoe ontwikkelen leerlingen het beste wiskundig inzicht? Freudenthal was vrij radicaal in zijn opvattingen daarover: leerlingen moeten die wiskunde als het ware zelf heruitvinden. We moeten niet proberen om de kennis die wiskundigen in de loop van vele eeuwen ontwikkeld hebben, kant en klaar aan leerlingen over te dragen, want die wiskundige kennis is daarvoor veel te abstract. In plaats daarvan moeten we ervoor zorgen dat leerlingen zichzelf min of meer als wiskundigen gaan gedragen. Wiskundigen proberen problemen op te lossen en ontwikkelen al doende een gereedschapskist van ideeën. Op een vergelijkbare manier kunnen leerlingen via het oplossen van problemen en gesprekken daarover, zelf ook een gereedschapskist van wiskundige ideeën verwerven. Het woord ‘geleid’ in ‘geleid heruitvinden’ is cruciaal, want leerlingen hebben in hun leerproces natuurlijk van alle kanten steun nodig. Steun van de leerkracht, maar ook van hun schoolboek, want het startpunt is steeds een probleem dat tot nadenken uitnodigt. In dit artikel bespreken we een voorbeeld van geleid heruitvinden. Belangrijk is om daarbij voor ogen te houden dat we in dit artikel geen volledige leergang kunnen beschrijven, maar moeten volstaan met een beschrijving van een losse les. Daarmee doen we het idee van geleid heruitvinden in feite te kort, want Freudenthal doelde op processen van veel langere adem. We hebben dit voorbeeld ook gebruikt in het boek ‘Rekenen met verhoudingen op de basisschool’ (van Galen & Markusse, 2018), een boek voor het onderwijs op de Pabo.

de ideeën waarop grafieken zijn gebaseerd Opgaven over grafieken vormen over het algemeen geen struikelblok in het onderwijs, maar we vragen ons af in hoeverre leerlingen echt inzicht ontwikkelen in de onderliggende principes. Als we leerlingen vragen om zelf een grafiek te tekenen, blijken ze namelijk vaak plaatjes te tekenen die weinig zinvol zijn. Een voorbeeld is de grafiek in afbeelding 1. We gaven leerlingen van groep 7 de lengte van een meisje - Mara - bij haar geboorte en op haar verjaardagen van 1 tot 6 jaar, en we vroegen hen om een grafiek te tekenen van de groei van Mara. Afbeelding 1 laat de grafiek zien die Ger tekende.

Leerlingen ontwikkelen zelf wiskundige ideeën via het oplossen van problemen en de gesprekken daarover.

Is de grafiek van Ger fout? Tot op zekere hoogte niet, want de lengtes uit de opgave - 56 cm, 74 cm, 88cm, enzovoort - zijn er inderdaad in terug te lezen. Het basisidee bij grafieken is echter dat ze verhoudingen weergeven en dat beseft Ger nog niet.

1. De groeigrafiek die Ger tekende

Op basis van het plaatje van Ger kun je niet echt iets zeggen over hoe Mara groeide, want de verticale schaal begint met stappen van 10 en gaat dan opeens over naar stappen van 20. Dat betekent dat de staven niet in verhouding zijn. Ook de afstanden op de tijd-as zijn niet gelijk. Leerlingen die kozen voor een lijngrafiek, deden vaak hetzelfde. Wanneer we de twee assen verhoudingsgewijs maken, krijgen we grafieken als in afbeelding 2. Daarin is te zien dat Mara van 0 to 1 jaar bijna anderhalf keer zo lang werd en veel meer groeide dan in de jaren daarna.

140

120

100

We moeten in feite blij zijn dat leerlingen zulke grafieken tekenen, want ze kunnen het startpunt zijn van discussies waardoor leerlingen gaan beseffen waarom een schaalverdeling met gelijke stappen zin heeft. Opgaven in de rekenboeken rond grafieken gaan meestal over het interpreteren van kant en klare grafieken en dan komt het belang van verhoudingsgewijs afbeelden niet aan de orde. Als we dus de onderliggende principes van grafieken aan de orde willen stellen, zullen we leerlingen moeten vragen om zelf een grafiek te tekenen, inclusief de indeling van de assen.

de groei van een zonnebloem De zonnebloem-opgave van afbeelding 3 roept als vanzelf heel wezenlijke discussies op. De leerkracht kan aan het verhaal een persoonlijke draai geven, maar de kern is dat een aantal keren de lengte van een zonnebloem gemeten is, echter niet elke week. De opdracht aan de leerlingen is: teken een grafiek die laat zien hoe de zonnebloem groeide. We hebben het probleem vaker gebruikt en steeds leverde dat een vergelijkbare serie van tekeningen op, en daardoor ook vergelijkbare discussies. De grafieken van afbeelding 4 komen uit groep 7 van leerkracht Jaap Leeuwin.

0 0

Leeftijd

2. Groeigrafieken met correcte verhoudingen

Het woord ‘geleid’ in ‘geleid heruitvinden’ is cruciaal, want leerlingen hebben in hun leerproces natuurlijk van alle kanten steun nodig. Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5 © 2018 Koninklijke Van Gorcum

Foto: Martin van Soest

na ... weken

lengte in cm

169

253

254

3. De groei van een zonnebloem

Ook bij dit probleem maken een paar leerlingen een onregelmatige centimeter-as, waaronder Abel, zie afbeelding 4. De echte discussie gaat echter over de tijd-as. Abel heeft de verschillende meetmomenten gewoon naast elkaar gezet, zonder ruimte te laten voor de tussenliggende momenten. Maikel en Linde daarentegen hebben van de tijd-as wel een echte schaal gemaakt. In het gesprek over die grafieken blijkt hoe mooi je daar kunt zien hoe

de groei verlopen is. Eerst gaat het langzaam - in 4 weken is de plant 17 cm gegroeid - en daarna gaat het opeens een tijd heel snel - van week 5 tot week 9 is ook 4 weken, maar in die tijd groeide de plant 130 cm! Bij Maikel zie je dat heel direct aan het feit dat de lijn na week 5 opeens veel steiler loopt, maar in de grafiek van Linde kun je als het ware ook zoâ&#x20AC;&#x2122;n lijn trekken langs de hoeken van de staven.

4. Zonnebloemgrafieken van Abel (links), Maikel (midden) en Linde (rechts)

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5 ÂŠ 2018 Koninklijke Van Gorcum

Het is de vakkennis van de leerkracht die ervoor zorgt dat de gesprekken een duidelijk doel hebben en tot een duidelijke opbrengst leiden.

Een andere vraag die in zo’n les aan de orde moet komen is of je ook iets kunt zeggen over bijvoorbeeld week 7. In die week is de zonnebloem niet opgemeten, maar volgens de lijn in de grafiek van Maikel zou de zonnebloem in week 7 ongeveer 100 cm zijn geweest. Mag je dat inderdaad zeggen? Een van de leerlingen in een andere klas gaf het mooie antwoord dat je natuurlijk niet echt kunt weten hoe lang de zonnebloem toen was, maar dat punt op de lijn was wel ‘de best mogelijke gok’.

gesprekken Het zal duidelijk zijn dat veel afhangt van de gesprekken die de leerkracht voert met de klas. Van het maken van een grafiek op zich, leren kinderen niet zo veel. Het gaat om de discussies die daarop volgen: wat kun je allemaal aflezen in een bepaalde grafiek, en waarom kunnen we uit de ene grafiek meer aflezen dan uit een andere? Het zijn zulke discussies die bij de leerlingen tot ‘heruitvinden’ leiden. Zo’n ontdekking is bijvoorbeeld: als de lengte-as en de tijd-as de verhoudingen goed weergeven, geeft de steilte van de lijn aan hoe snel de zonnebloem groeit. De leerkracht moet in zulke gesprekken vooral gespreksleider zijn; de ideeën komen van de leerlingen zelf. Het moet in zo’n gesprek ook niet direct gaan om de beste grafiek, of meer algemeen, om de beste oplossing van een probleem, want in dat geval had de leerkracht zelf wel met die oplossing kunnen komen. Het gaat uiteindelijk niet om de oplossingen voor dit ene probleem, het gaat om de wiskunde erachter. Zulke gesprekken eisen veel vakkennis van de leerkracht. Ze moet precies weten welke wiskundige ideeën ze aan bod wil laten komen en ze moet de redeneringen van leerlingen daar steeds aan kunnen koppelen. Het zijn gesprekken waar ruim tijd voor moet worden uitgetrokken. Daarbij is het helemaal niet nodig dat het werk van alle leerlingen, of van alle groepjes leerlingen, aan de orde komt. De leerkracht kiest een paar voorbeelden waarvan ze hoopt dat die de juiste discussies zullen oproepen. Vaak zal die discussie worden opgeroepen door de verschillen die leerlingen opmerken. Het is de vakkennis van de leerkracht die ervoor zorgt dat de gesprekken een duidelijk doel hebben en tot een duidelijke opbrengst leiden. Freudenthal spreekt heel nadrukkelijk niet van ‘heruitvinden’, maar van ‘geleid heruitvinden’.

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5

het hele reken-wiskundeonderwijs Deze korte beschrijving van het onderwerp grafieken is slechts bedoeld als een voorbeeld. Het principe van geleid heruitvinden is toepasbaar bij ieder rekenonderwerp. Een paar andere voorbeelden: • Je kunt de uitkomst van 6 × 8 vinden vanuit 5 × 8, en de uitkomst van 9 × 8 vanuit 10 × 8, enzovoort. Dit kunnen kinderen ontdekken door samen vermenigvuldigsituaties te verkennen. • Wanneer leerlingen voorwerpen opmeten met een gegeven strook, ontstaat vanzelf de behoefte aan verfijning van die maat. De kinderen kunnen ontdekken dat je preciezer kunt meten door de strook te vouwen. Maar hoe noem je dan zo’n stukje? Het vouwen van de strook leidt tot gesprekken over breuken. • Kommagetallen zijn tiendelige breuken. Door tiendelige breuken te vergelijken met gewone breuken gaan leerlingen begrijpen wat de voordelen zijn van het rekenen met kommagetallen (van Galen en Oosterwaal, 2004). • Modellen als de procentenstrook en de verhoudingstabel bieden leerlingen de mogelijkheid om inzicht in rekenprocedures te ontwikkelen, en daar flexibel mee om te gaan. Zo’n model is als het ware een tussenstap bij het proces van heruitvinden. • Het berekenen van oppervlakte via ‘lengte × breedte’ is voor veel leerlingen een onbegrepen procedure. Dat zal het niet zijn als we leerlingen de kans geven om zelf uit te vinden hoe je oppervlaktes kunt berekenen (noot 1 en van Galen en Oosterwaal, 2010). leerlingen leren nadenken Hoeveel ruimte moeten we leerlingen geven om zelf hun ideeën te vormen? Als Freudenthal nog geleefd zou hebben, zou hij venijnige artikelen schrijven tegen degenen die ‘directe instructie’ propageren of, zoals Paul Kirschner, ‘volledig begeleide instructie’(noot 2). Met Kirschner zou Freudenthal het overigens eens zijn dat de leerlingen begeleiding nodig hebben in hun leerproces; hij heeft dan ook altijd over ‘guided reinvention’ en ‘begeleid heruitvinden’ gesproken. In die begeleiding speelt de leerkracht de belangrijkste rol, want het is de leerkracht die een rekenprobleem introduceert en zorgt dat de leerlingen © 2018 Koninklijke Van Gorcum

Het belang van zelfstandig nadenken wordt alleen maar groter nu veel routinewerk door computers en apparaten wordt overgenomen.

Geleid heruitvinden in de praktijk. Tips en aandachtpunten Bied echte problemen aan en voer regelmatig met de hele klas een gesprek, gericht op het ontwikkelen van wiskundig inzicht. Dat klinkt mooi, maar hoe doe je dat? Hoe kun je je les zó vormgeven dat er veel ruimte is voor heruitvinden en discussie? Hier volgt een aantal suggesties: • Kies een aansprekend probleem dat op verschillende manieren kan worden aangepakt en dat iets te bieden heeft voor zowel de sterke als de zwakke rekenaars. • Laat de kinderen het probleem eerst verkennen voordat ze op zoek gaan naar een oplossing. Voer een gesprek over de context en zorg dat de kinderen zich kunnen inleven in het probleem. Zorg dat alle kinderen kunnen instappen. • Geef de kinderen eerst denktijd en een uitrekenblaadje voordat je mogelijke oplossingen van het probleem bespreekt. Je loopt anders het risico dat alleen de snelle en vaardige rekenaars actief mee kunnen doen in de discussie. • Wissel klassikale momenten af met groepswerk of individuele opdrachten. Variatie in werkvormen houdt iedereen actief. • Wees terughoudend in het geven van antwoorden. Leg het denkwerk steeds bij de kinderen neer.

nadenken en discussiëren over manieren om dat probleem op te lossen, en vandaaruit over de onderliggende wiskunde. Uiteindelijk zijn het de leerlingen zelf die nieuwe ideeën moeten vormen, voortbouwend op wat ze al weten. ‘Begeleid heruitvinden’ is geen kant en klaar recept voor reken-wiskundeonderwijs. Steeds weer is het een uitdaging om de juiste balans te vinden tussen ruimte geven en sturen. Het biedt echter een heldere leidraad voor de vormgeving van rekenwiskundeonderwijs, omdat het leidt tot vragen als: • Wat weten de leerlingen al, en welk nieuw idee moeten ze zich eigen maken? • Hoe zorg ik ervoor dat een leerling dat idee niet klakkeloos overneemt van een ander - de leerkracht, of een leerling - maar zelf nadenkt? Als er iets duidelijk is over de maatschappij van morgen, dan is het dat routinewerk door computers en apparaten zal worden overgenomen. Het belang van zelfstandig nadenken wordt daar alleen maar groter door.

• Geef een hint als je merkt dat het denkwerk stagneert en kinderen dreigen af te haken, maar let erop dat je niet teveel weggeeft. • Stel veel vragen. Laat kinderen zelf vertellen hoe ze hebben gedacht. Vraag door op reacties van leerlingen. Leg steeds de nadruk op het oplossingsproces. • Laat kinderen reageren op elkaars ideeën en strategieën. Zet leerlingen aan tot reflectie op hun eigen oplossingsgedrag en dat van anderen. Realiseer je dat dit het echte leermoment van de les is, dus neem er de tijd voor. • Laat kinderen ervaren dat foute antwoorden ook interessant zijn om te bespreken. • Zorg ervoor dat de discussie niet teveel uitwaaiert. Houd de rode draad vast en vat zo nu en dan samen wat besproken is. • Werk aan een veilig klassenklimaat waarin leerlingen zich vrij voelen om te reageren en vragen te stellen. • Geef zelf het goede voorbeeld en toon oprechte belangstelling in het denkwerk van anderen. Laat zien dat je er zelf plezier in hebt. • Bied een tweede probleem aan waarin de kinderen de gelegenheid krijgen om het geleerde toe te passen. Dit kan in dezelfde les of in een aansluitende les. Wees niet bang voor herhaling. Het gaat erom dat de kinderen zich ervan bewust worden dat ze wat geleerd hebben. Laat ze verwoorden waarom het de tweede keer beter ging.

literatuur Freudenthal, H. (1991). Revisiting mathematics education: China lectures (Vol. 9). Springer. van Galen en Oosterwaal (2004). In de voetsporen van Simon Stevin; kommagetallen heruitvinden. Willem Bartjens jrg. 23, nr. 5, p. 16-19. van Galen en Oosterwaal (2010). ‘Lengte keer breedte’ als eigen ontdekking; Een lessenserie over het berekenen van oppervlakte. Volgens Bartjens, jrg. 30, nr. 1, p. 8-11. Galen, F. van & Markusse, M. Rekenen met verhoudingen op de basisschool. Groningen-Amstedam: Noordhoff Uitgevers, 2018. Noten 1. https://www.leraar24.nl/geleidheruitvinden-oppervlakte-meten/ 2. https://teachinghow2s.com/?dl=fullyguided-instruction-dutch

Groetjes van groep 4

Een, twee, boem!

Lia van Diem Leerkracht op basisschool de Stappen in Tilburg

Illustratie: Marjolijn Brouwer

Vier zwakke rekenaars gaan met mij mee. We gaan oefenen met getallen. Elise, Sam, Tess en Kato zitten om de tafel. ‘We gaan een spelletje doen,’ vertel ik. ‘Zo meteen gaan we samen tellen. Jullie noemen daarvoor om de beurt het volgende getal. Maar let op: een getal waar een 3 in zit mag je niet zeggen. In plaats daarvan zeg je BOEM. De volgende zegt het volgende getal. In je hoofd moet je dus wel meetellen.’ We spelen een oefenrondje waarbij ik ervoor zorg dat ik als eerste Boem moet zeggen. Ik tel ook hardop mee. De gezichten kijken blij gespannen als we voor het echt gaan. Het tempo ligt laag en voor Tess is dit toch nog een hele uitdaging. Na een paar rondjes gaan we het moeilijker maken. Alle getallen waar een 5 en/of een 2 in voorkomet mogen niet genoemd worden. Sam zit te stuiteren op zijn stoel. Hij vindt het echt heel leuk. Kato moet bijna hardop meetellen anders raakt ze de draad kwijt. En het blijkt voor alle vier moeilijk als we bij de twintig komen. Er moet dan zo vaak boem gezegd worden dat ze allemaal bijna de tel kwijtraken. Als Elise het goed doet prijs ik haar dan ook de hemel in. Een grote glimlach is mijn beloning. Kato wil het liefst één, twee, boem spelen met ‘af zijn’ erbij. Dat doen we ook een rondje. Ze wint niet, maar blijft wel enthousiast meedoen. Goed van haar.

gooien ze nog een keer en tellen dat weer bij die zeven die in hun schrift staat. Hetzelfde doet het andere groepje met hun dobbelsteen. Het groepje dat het eerst bij de vijftig is heeft gewonnen. Voor Elise is het wel prettig dat een dobbelsteen ogen heeft. Ze telt steeds verder terwijl ze de ogen een voor een aanwijst. Tess gebruikt haar vingers en die van Elise. Dat is ook slim. Kato telt ook steeds verder, maar die noemt steeds eerst het getal dat al in haar schrift staat. Dertien erbij drie wordt dan dertien, veertien, vijftien. ‘Hoeveel is drie erbij drie,’ vraag ik haar. Na even nadenken weet ze dat het zes is. ‘Zie je wel’ zegt haar maatje Sam ‘het moet echt zestien zijn. Dat had ik al opgeschreven.’ Ik leg Kato waarom ze vanaf dertien moet doortellen. Dat helpt haar wel. Beide teams spelen om te winnen, maar ook om goed te tellen. De strijd gaat dan ook gelijk op. Groepje Elise/Tess is vlak bij de vijftig. Groepje Sam/Kato ook. Ze gooien en tellen één, twee, BOEM Elise en Tess hebben net gewonnen. Maar ze zijn wat mij betreft allemaal kampioenen!

Tot slot krijgen twee kinderen een dobbelsteen. Ze gooien daar om de beurt mee en tellen steeds wat ze gooien bij elkaar op. Ze moeten dat doen tot ze bij de vijftig zijn. Ze mogen alleen de uitkomst op schrijven. Bijvoorbeeld Elise gooit vier. Dan mag Tess gooien en die gooit drie. Elise en Tess tellen dan vier en drie bij elkaar op en schrijven de uitkomst in hun schrift. Dan Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5 © 2018 Koninklijke Van Gorcum

wiskundig denken en redeneren

Conceptuele doelen doelen voor het reken-wiskundeonderwijs van de toekomst In een themanummer rond de wiskunde in het rekenwiskundeonderwijs mag een artikel over doelen niet ontbreken. De auteurs gaan in op de vraag welke doelen nu en in de nabije toekomst van belang zijn. Tekst Geeke Bruin-Muurling & Ronald Keijzer Geeke Bruin-Muurling is zelfstandig vakdidacticus Ronald Keijzer is als lector rekenen-wiskunde verbonden aan Hogeschool iPabo

Met de steeds verdere ontwikkeling van ICT verandert de aard van reken-wiskundige vaardigheden waarop bij het maatschappelijk functioneren een beroep wordt gedaan. Het leren voor die toekomst is gebaat bij het stellen van conceptuele doelen. Er zijn verschillende technieken om zelf conceptuele doelen te formuleren. In dit artikel laten we zien wat dit voor soort doelen zijn, wat de voordelen zijn van het zelf formuleren van conceptuele

doelen en laten we zien hoe je dat als leerkracht zelf kunt doen.

nieuwe doelen voor het rekenwiskundeonderwijs De maatschappij verandert snel en het onderwijs verandert mee. De 21st century skills beschrijven vaardigheden die leerlingen voor de toekomst moeten verwerven. Deze 21e eeuwse vaardigheden hebben vooral betrekking op vaardigheden over de verschillende vakken heen, zoals samenwerken, digitale geletterdheid en kritisch denken. Minder aandacht is er voor veranderende doelen in de specifieke vakken. Dat geldt met name voor het vak rekenen-wiskunde. Digitalisering vraagt om andere reken-wiskundekennis en -vaardigheden dan nu in het curriculum zitten. Ook het vakgebied zelf verandert door verregaande digitalisering. Computers nemen veel van het werk over. Vrijwel iedereen heeft inmiddels continu de beschikking over apparaten die voor hen kunnen rekenen. Programma’s als Excel maken het mogelijk om ingewikkelde wiskundige technieken te gebruiken. Getallen, grafieken, analyses komen we inmiddels dagelijks tegen. Dat roept de vraag op wat je moet kunnen om die reken-apparaten te gebruiken, te bepalen welke input ze nodig hebben en om resultaten te interpreteren. Dat is een vraag waarop met name het reken-wiskundeonderwijs de komende tijd een antwoord moet geven. In ieder geval tekent de trend zich af dat meer conceptueel begrip nodig is en dat het onderwijs zich daarnaast in de toekomst op iets andere inhouden zal moeten richten dan nu het geval is.

conceptuele doelen Aandacht voor conceptuele doelen is niet nieuw. Het reken-wiskundeonderwijs heeft een lange traditie van het ‘met begrip’ leren. Er zijn leraren die denken dat begrip vanzelf komt als je een procedure maar goed inslijpt, maar veel leraren hebben een afkeer van het aanleren van ‘trucjes’, omdat ze zien dat deze trucs door leerlingen weliswaar goed nagedaan worden maar dat ze eigenlijk niet weten wat ze doen. Deze leerlingen weten dan in toepassingssituaties (bijvoorbeeld bij een citotoets) niet wanneer ze een bepaalde bewerking moeten gebruiken en wat dat voor gevolgen heeft. In het huidige reken-wiskundeonderwijs zien we dat er vee l aan doelen gewerkt wordt die uitsluitend gericht zijn op het goed kunnen uitvoeren van bepaalde bewerkingen. De methodetoetsen worden goed gemaakt omdat er alleen naar het uitvoeren van de aangeleerde procedures wordt gekeken maar bij een onafhankelijke toets,

Digitalisering vraagt om andere reken-wiskundekennis en vaardigheden dan nu in het curriculum zitten

zoals de Cito reken-wiskundetoetsen, presteren de kinderen veel minder goed. Om deze opgaven goed te kunnen maken moeten de leerlingen ook weten in welke situatie zij voor een bepaalde bewerking moeten kiezen en wat er dan gebeurt en moeten zij ook kunnen controleren of hun antwoord klopt. Dat vraagt om begrip. Begrip van de bewerking, de getallen in de bewerking en of het antwoord kan kloppen bij deze bewerking. Niet alle bewerkingen zijn daarvoor even geschikt. Bijvoorbeeld het cijferen kunnen kinderen beheersen zonder te begrijpen wat ze doen. Kolomsgewijs delen is een mooi voorbeeld van het rekenen met begrip (afbeelding 1). Daarin vinden leerlingen een opbouw naar de meest efficiënte vorm via begrip van de onderliggende principes zoals het delen als herhaald aftrekken met kleine of grote happen, begrip van de structuur van het tientallig stelsel, de distributieve eigenschap vertaald naar delen, en gerelateerde sommen als (in dit voorbeeld) 2 x 34, 20 x 34 en 200 x 34.

In de situatie waarin computers veel van het rekenwerk overnemen, zal in de dagelijkse praktijk niet vaak een som als 4964 : 34 handmatig worden uitgerekend. Toch blijft eigen rekenvaardigheid nodig, maar dan met andere doelen voor ogen. Eigen vaardigheid is bijvoorbeeld nodig bij het verkennen van mooie getalrelaties en het rekenen met deze mooie afgeronde getallen, het

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5

schatten. Daarnaast is begrip van bewerkingen en onderliggende principes nodig om een authentiek probleem te vertalen naar een berekening in een computer. Dergelijk begrip kan voortkomen uit eigen vaardigheid, maar het vraagt dan wel om een aanpak die gericht is op het ontdekken van die conceptuele aspecten. Een voorbeeld is het rekenen met verhoudingen. Doe je dit zonder rekenmachine dan maak je daarbij gebruik van mooie getalrelaties. Je rekent bijvoorbeeld de prijs van 800 ml om naar de prijs voor 1 liter via 200 ml. Met de rekenmachine is daarentegen verdergaand begrip nodig van factoren. In dit geval reken je de prijs voor 800 ml om naar de prijs voor 1 liter door in de rekenmachine te delen door de factor 0,8 (Bruin-Muurling, Verschoor, & Aartsen, 2018). Tot slot moet je betekenis kunnen geven aan de getallen die uit een berekening van een computer komen. Bijvoorbeeld: hoe zinvol is het om percentages te rapporteren in een onderzoek met minder dan 50 deelnemers. Hiervoor moet je een goed begrip van percentages en significantie hebben.

het nut van conceptuele doelen benoemen Bijna elke reken-wiskundemethode vermeldt bij iedere les het doel van de les. Verder zijn de 1F- en 1S-doelen uitgewerkt als leerdoelen voor de hele basisschool. Als al dat werk al gedaan is, kun je je afvragen of het nog nodig is om zelf doelen te © 2018 Koninklijke Van Gorcum

1. kolomsgewijs delen en de staartdeling in hun meest efficiënte vorm

benoemen voor een bepaald onderwerp of voor een specifieke les. Dat is zeker het geval want deze zelfbepaalde doelen geven meer diepgang en betekenis aan wat er geleerd gaat worden:

• onderliggende structuren Conceptuele doelen die zich richten op onderliggende structuren, worden typisch bereikt door het opdoen van ervaring met die onderliggende structuur. Zo komen leerlingen het wisselen van eenheden op verschillende momenten tegen. Bijvoorbeeld: o Bij het tientallig stelsel als je 30 + 40 ziet als 3 tientallen + 4 tientallen = 7 tientallen. o Bij de liniaal waarop zowel centimeters als millimeters zijn aangegeven. o Bij het koppelen van procenten aan een rekenfactor die we schrijven als een kommagetal waarbij 100% gelijk is aan 1. Elk van deze ervaringen draagt bij aan het begrip van die maatwisselingen, maar dat vraagt wel om expliciete benoeming van die verbanden. Juist dit soort doelen, die gaan over de onderliggende structuren komen nu minder naar voren in lesdoelen per les. Zeker ook omdat deze onderliggende structuren over het algemeen meerdere domeinen met

elkaar verbinden en de traditionele doelen per leerstofgebied of domein zijn geformuleerd.

• goede lesvoorbereiding Het zelf doordenken van doelen vormt een goede voorbereiding op het lesgeven. Het zorgt ervoor dat je de doelen meer in detail doordenkt, dan de meer globale doelen die gesteld worden door bijvoorbeeld de methode. Een doel als ‘je leert rekenen met lengtematen’ of iets specifieker ‘je leert cm omzetten in mm’ geeft nog geen specifiek houvast in wat je nodig hebt om dit te kunnen. Het doordenken van conceptuele doelen geeft dit antwoord wél. Je weet dan beter wat je in de les met leerlingen zou kunnen bespreken. Weten wat belangrijke concepten zijn bij het onderwerp zorgt er bovendien voor dat je in de antwoorden en opmerkingen van leerlingen kansen ziet om gericht aan een specifiek inzicht te werken. • professionalisering Het doordenken van leerdoelen draagt bij aan je vakdidactische en vakinhoudelijke ontwikkeling. De doordenking zorgt ervoor dat je een onderwerp van meerdere kanten bekijkt en dat je daardoor je eigen kennis van het onderwerp ve t.

Het benoemen en uitwerken van conceptuele doelen kan op veel verschillende manieren. Dit is afhankelijk van het gekozen onderwerp, eigen voorkeuren en het doel waar je je conceptuele doelen aan koppelt. We laten twee technieken zien die wij zelf gebruiken voor het formuleren van conceptuele doelen.

zelf aan de slag Het benoemen en uitwerken van conceptuele doelen kan op heel veel verschillende manieren. Dit is afhankelijk van het gekozen onderwerp, eigen voorkeuren en het doel waarmee je dat doet. We laten twee technieken zien die wij zelf gebruiken voor het formuleren van conceptuele doelen. Voorbeeld 1: inzicht in delen

Stap 1. Hoe komen leerlingen met dit fenomeen in aanraking? Kinderen komen regelmatig in aanraking met het fenomeen delen. Dat gebeurt bijvoorbeeld als het gaat om uitdelen, opdelen of als het delen naar voren komt als verhouding. • Het uitdelen (of verdelen) is het fenomeen waar kinderen in het algemeen het eerst kennis mee maken. Je doet dat bijvoorbeeld als je een handvol snoepjes verdeelt over 4 kinderen. Je geeft ieder kind eerst één snoepje, en dan nog één en nog één, net zo lang tot alles op is. • Opdelen doe je wellicht ook bij het ronddelen van traktaties, al ga je dan iets anders te werk. Dan bepaal je vooraf hoeveel iedereen krijgt en ga je na hoeveel kinderen je dan van het bedachte aantal traktaties kan voorzien. Maar eenvoudiger is een voorbeeld als: Ik heb 15 tennisballen. Er gaan 3 tennisballen in een koker. Hoeveel kokers kan ik vullen? Verhoudingen komen kinderen onder andere • tegen als mengverhoudingen. Denk daarbij aan recepten voor bijvoorbeeld pannenkoeken, waarbij voor drie personen nodig is: 250 gram bloem, 500 ml melk, 2 grote eieren en een snufje zout. De bewerking delen komt bij verhoudingen in zicht bij de vraag hoeveel van deze ingrediënten er nodig zijn per persoon.

Het doordenken van conceptuele doelen geeft antwoord op de vraag wat leerlingen nodig hebben om een specifiek rekendoel te kunnen bereiken. relaties ontstaan, bijvoorbeeld dat een getal gedeeld door zichzelf altijd 1 oplevert en verder ontdekken ze dat delingen niet altijd op gaan en het delen onder andere kan leiden tot breuken. Experimenteren met het fenomeen delen leidt zo tot tal van inzichten die we kort kunnen samenvatten als het inzicht dat je berekeningen in bepaalde gevallen efficiënt kunt uitvoeren door gebruik te maken van getalrelaties en eigenschappen van het delen (Oonk, Keijzer, Lit, Barth, Den Engelsen, Lek en Van Waveren Hogervorst, 2015, p.105). Meer algemeen kan een zogenaamde fenomenologische beschouwing van bewerkingen (nagaan welke verschijningsvormen de bewerking heeft) leiden tot inzicht in de bewerking. Of nog algemener: een dergelijke fenomenologische beschouwing in een wiskundig aspect vormt het startpunt voor het verwerven van inzicht en het verwerven van inzicht is aldus een conceptueel doel. Voorbeeld 2. denken in de oplossing Het uitgangspunt voor de tweede methode is dat elk vakgebied een manier is om tegen (een deel van) de wereld aan te kijken, om deze te begrijpen en te verrijken. Dat betekent dat veel technieken, kennis, vaardigheden en constructen zijn ontstaan uit het oplossen van een probleem. Bij deze methode benaderen we een reken-wiskundeonderwerp vanuit dat perspectief.

Stap 1. Kies een onderwerp en bedenk een reden waarom deze wiskunde zou kunnen zijn ontstaan. In ons voorbeeld gaan we uit van het metriek stelsel. Dit is ontstaan als oplossing voor de situatie die we daarvoor kenden: elke stad had zijn eigen maten (afbeelding 2):

Stap 2. Wat zijn de belangrijkste inzichten die leerlingen verwerven? Wanneer kinderen contexten voor het delen nader verkennen, ervaren ze dat deze bewerking distributief is. Dat betekent dat als je een (groot) getal deelt, dat je dat getal naar believen mag splitsen. 253 : 23 mag je bijvoorbeeld uitrekenen door 230 : 3 uit te rekenen en daar 23 : 23 bij op te tellen. Als kinderen al wat ervaring hebben met het uitrekenen van delingen, zien ze ook andere eigenschappen van deze bewerking. Ze zien bijvoorbeeld dat delen de inverse bewerking is van het vermenigvuldigen, want je weet dat 28 : 4 het antwoord 7 oplevert, omdat je weet dat 4 x 7 gelijk is aan 28. Al doende ontdekken kinderen dat er bij het delen mooie getal-

2. Elke stad zijn eigen maten (bron: Rekenposter metriek stelsel)

3. Oplossingen metriek stelsel (bron: Rekenposter metriek stelsel)

Stap 2. Wat was precies het probleem? In dit voorbeeld zijn er twee problemen. Er was geen standaard: de Amsterdamse el was niet even lang als de Rotterdams el. En het omrekenen van de ene maat naar de andere was lastig. Dit kennen we nog steeds bij de Amerikaanse maten inches, feet en yards.

Stap 3. Hoe wordt dat opgelost? Het metriek stelsel lost beide problemen op. Het is een standaardisering van vijf grootheden en bijbehorende eenheden (afbeelding 3A). Deze standaard wordt bewaakt op verschillende plaatsen in de wereld en zorgt ervoor dat iedereen dezelfde meter gebruikt. Daarnaast is er een systeem van voorvoegsels geïntroduceerd om kleinere en grotere hoeveelheden ook in een passende eenheid te kunnen noteren (afbeelding 3B). Stap 4. Wat valt hier te begrijpen? Bij het introduceren van het probleem dat moet worden opgelost moeten leerlingen verschil-

lende dingen begrijpen. Ten eerste gaat het om het begrip van wat een ‘eenheid’ is. Dat dit een maat is waarmee je bijvoorbeeld lengte uit kunt drukken, en dat 5 cm betekent dat de eenheid van (1) cm precies 5 keer in die lengte past. Leerlingen moeten begrijpen dat er bij een bepaalde grootheid bepaalde eenheden horen: lengte meet je in meters, massa in grammen. Tot slot moet een leerling begrijpen dat je verschillende eenheden kunt gebruiken om eenzelfde grootheid te meten. De lengte van bijvoorbeeld je bureau kun je meten in bijvoorbeeld centimeter of meter, maar ook in inches. Je kunt altijd wisselen tussen die eenheden volgens de vaste verhouding die geldt tussen die eenheden. Ook het begrijpen dat het metriek stelsel een oplossing is voor de oude situatie is een conceptueel doel op zich. Bij het introduceren van een standaard is er nu voor gekozen dat bij elke grootheid één basiseenheid hoort. De meter hoort bij lengte. Inch, yard en feet zijn daarin niet meer opgenomen.

De eenheden van het metriek stelsel kunnen worden samengesteld zoals bij km/u en m2. Die eenheden moeten altijd kloppen met de berekening die je hebt gedaan. Wil je snelheid uitrekenen in m/s dan moet je een lengte gemeten in meter delen door een tijd gemeten in seconde. De eenheid geeft daarmee aan welke berekening moet worden gedaan. Bij het introduceren van de voorvoegsels spelen de volgende inzichten. Wanneer een eenheid niet precies genoeg is kun je óf werken met kommagetallen óf een kleinere eenheid kiezen. Bij een dergelijke maatverfijning gaat het telkens om een factor 10. Kun je bijvoorbeeld niet precies meten in meters, dan verdeel je 1 meter in 10 kleinere eenheden van elk 1 dm. Een tweede inzicht is dat de voorvoegsels bij alle eenheden dezelfde betekenis hebben. Bij kilogram en kilometer heeft ‘kilo’ dezelfde betekenis. Dat betekent dat ook de onderlinge relaties hetzelfde zijn. Een meter is 100 keer zo groot als een centimeter net zoals een liter 100 keer zo groot is als een centiliter. Leerlingen leren waarom de keuze voor voorvoegsels het rekenen tussen eenheden makkelijker maakt en hoe dit verder samenhangt met het metriek stelsel. Tot slot moeten leerlingen begrijpen dat wanneer een eenheid tien keer zo klein wordt, er tien keer zoveel van die eenheid in

Bewijs uit het gerijmde

Jaap van Lakerveld

de te meten hoeveelheid passen. Dus ga je van cm naar mm, dan wordt je eenheid 10 keer zo klein, terwijl het getal voor de eenheid 10 keer zo groot wordt.

conclusie Conceptuele doelen worden steeds belangrijker nu computers een deel van ons rekenwerk overnemen. Het heeft meerwaarde om deze conceptuele doelen als leerkracht ook zelf te doordenken. Reken-wiskunde methodes geven vaak een doelbeschrijving per les, maar een aanvulling daarop is nuttig. Onderliggende structuren kunnen daarbij herkend worden en met leerlingen expliciet gemaakt worden. Een uitwerking in conceptuele doelen helpt daarnaast om de kansen om aan dergelijke doelen te werken te herkennen in de antwoorden en vragen van leerlingen. Tot slot kan het regelmatig doordenken van conceptuele doelen bijdragen aan de eigen inhoudelijke en vakdidactische professionalisering. In de twee voorbeelden die we hebben gegeven, ging het om: wiskunde als fenomeen en wiskunde als oplossing. Door jezelf een aantal vragen te stellen die tot conceptuele doelen leiden kun je de kinderen helpen in hun wiskundige ontwikkeling, met het oog op de toekomst.

Referenties Bruin-Muurling, G., Verschoor, M., & Aartsen, A. (2018). Vandaag beginnen. Volgens Bartjens, 37(4), 22-25. Oonk, W., Keijzer, R., Lit, S., Barth, F., Den Engelsen, M., Lek, A. en Van Waveren Hogervorst, C., (2015). Rekenen - wiskunde in de praktijk: Kerninzichten. Noordhoff uitgevers.

Verdichten Je weet, je kunt het op je vingers natellen Maar rekenmeesters denken dat het gaat Om rekenen waar bij je dat juist laat Maar wel het rekenen kunt navertellen

Illustratie: Marjolijn Brouwer

Dat zou het rekenen kunnen versnellen Geen vingers, geen knokkels en geen tenen Geen armen, kootjes, ellebogen, benen Gewoon de rekenhandeling afpellen En die daarna in woorden goed onthouden Zodat je later als je dat weer moet Precies weet hoe je dat dan doet Geen ongeveer, misrekening of fraude

En dan, maar dat zijn eerst nog vergezichten, Volgt poëzie, de handeling gaat zich verdichten!

rekentip

Ik ga op reis en neem mee…. rekenen-wiskunde in de vakantie!

Tekst Anneke Noteboom

Deze pagina is voor alle kinderen en hun ouders, opa’s en oma’s, tantes en ooms, neven en nichten, vrienden en vriendinnen... Straks is het zomervakantie. Even geen school, even geen rekenles, even geen huiswerk! Dan is er lekker veel tijd om spelletjes te spelen. Anneke Noteboom, de spellenspecialist van Volgens Bartjens, geeft wat tips voor leuke spelletjes waarbij de kinderen al hun kennis kunnen gebruiken. In de tabel op pagina 17 kun je onder andere zien voor welk leerjaar het spel geschikt is en aan welke reken-wiskundedomeinen spelenderwijs wordt gewerkt. Veel speelplezier!

Aantal spelers

Speelduur ± in minuten

Prijs ± € 22,00





2-4

10-15

€ 15,00





10-15

€ 10,00



2-4

10-15

€ 12,00

2. Speed Cups 3. Speed Cups 2, uitbreiding 4. Vlotte geesten



Groep 8

vrij

Groep 7

Groep 3

Groep 6

Groep 2



Groep 5

Groep 1





Groep 4

Logisch denken/ Redeneren

Spelgegevens



1. Drie kleine biggetjes

Getallen

Betreft leerstof uit1:



Meetkunde

Naam spel

Bewerkingen

Rekendomein:

5. Dobble





2-5

€ 15,00

6. Swish





vrij

€ 15,00





10-20

€ 23,00

Blokus Duo

8. SET!





€ 10,00

9. Quarto





€ 20,00





2-4

€ 13,00



2-5

€ 15,00

10. Da Vinci Code



11. Pak de zak



12. Qwixx





2-5

10-15

€ 9,00

13. The Game





2-5

€ 9,50



20-30

€ 15,00



3-5

€ 10,00

14. Patchwork 15. Koehandel

 



Alle bovengenoemde spellen zijn leverbaar en te verkrijgen in goede spellenzaken en via www.wizz-spel.nl 1. Een ‘+’ geeft aan dat dit spel op dat moment geschikt is voor kinderen met een voorsprong op de rekenleerstof in het leerjaar

Ei van Columbus Tekst Jos van den Bergh Illustraties Nina Lathouwers

Dertig In een lettersom stelt elke letter een cijfer voor. Gelijke letters zijn gelijke cijfers, verschillende letters zijn verschillende cijfers. Kun je reconstrueren welke optelling hier heeft gestaan?

Toelatings examen

ZES ZEVEN ZEVEN T I EN + DERT I G

en Lyceum 1965, dus om Uit het toelatingsexam n: in de brugklas te kome hebben leeftijden, C, en Drie mensen, A, B 2, 3 en 4. Over 6 die zich verhouden als jaar. Hoe jaar zijn ze samen 108 oud zijn ze nu?

En nog eentje uit dat examen:

70 117 420 Vereenvoudig en tel op: 105 + 468 + 525 =

Blokkenbouwsel Van een blokkenbouw sel dat bestaat uit 6 blokken is het vo oren zijaanzicht gegeven.

Met dank aan Met dank aan Junior Wiskunde Olympiade, Rekenbeter en Pythagoras

Hoeveel meer Harm en Joep doen allebei mee met puzzelwedstrijd. Iedere keer als Harm 2 puzzels heeft opgelost, heeft Joep er 3 opgelost. Aan het eind hebben de jongens samen 30 puzzels opgelost. Hoeveel problemen heeft Joep meer opgelost dan Harm?

Kun jij de plattegrond maken? Je hoeft alleen nog ma ar de hoogtegetallen in te vullen.

Vierkanten op elkaar gelegd. Kiki heeft 3 vierkanten zijden met Het eerste vierkant heeft t tweede vierkant een lengte van 1 cm. He gte van 2 cm en één heeft zijden met een len in het midden van het hoekpunt bevindt zich n rde vierkant heeft zijde eerste vierkant. Het de dt vin be en één hoekpunt met een lengte van 3 cm het tweede vierkant. zich in het midden van

akte van deze

Wat is de totale oppervl figuur?

Toverstokjes Pepijn heeft een hoeveelheid geld en 3 toverstokjes di e hij elk maar één keer mag gebr ui ke n. Toverstokje A telt 1 euro op bij he t be drag. Toverstokje B trekt 1 eu ro af van het bedrag. Tovers to kj e C verdubbelt het bedrag. Wat is het hoogste bedrag dat Pepijn kan verkrijgen als hij aanvankelijk 10 euro heeft?

Meisjes in de kring

Getallenmuur In de getallenmuur hieronder moet elk getal de som zijn van de twee getallen die er direct onder liggen. Je mag alleen positieve hele getallen invullen. Je wilt de muur invullen zodat er zoveel mogelijk oneven getallen in staan.

Een groep meisjes staat in een kring. Nora is het vijfde meisje links van Laura en het zevende meisje rechts van Laura. Hoeveel meisjes staan er in de kring?

Wat is het grootste aantal oneven getallen dat je kan invullen?

Ei van Columbus

Geld weggeven

Bruiloftsfeest

er van haar drie Evelien heeft 35 euro. Ied geeft ieder van haar zussen heeft 7 euro. Ze s. Nu hebben alle vier zussen een aantal euroâ&#x20AC;&#x2122; zusjes evenveel. vrijgevige Evelien ieder Hoeveel euro heeft deze n? van haar zussen gegeve

Van de gasten (mannen, vrouwen en kinderen) op een bruiloftsfeest was 1 deel kind. Van de volwassen bruilofts8 gasten was 37 deel man. Hoeveelste deel van de bruiloftsgasten was vrouw?

Stickers Mijn leraar heeft een doos met rode, witte en blauwe stickers. Op dit moment zitten er nog minstens 100 stickers in. Ik mag zonder te kijken een aantal stickers pakken. Ik wil er in elk geval drie van dezelfde kleur. Hoeveel stickers moet ik daarvoor minstens pakken?

Vierkantje leggen Op dit spijkerbord bestaande uit 16 spijkertjes ga je met een elastiekje zo veel mogelijk verschillende vierkanten leggen. Hoeveel mogelijkheden zijn er?

Leeftijden Vier kinderen allemaal jonger dan 20 jaar hebben allen een verschillende leeftijd. Het product van hun leeftijden is het kwadraat van de leeftijd van vader (2025). Hoe oud is ieder?

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5 ÂŠ 2018 Koninklijke Van Gorcum

Doomsday mber altijd s, 10 oktober en 12 dece stu gu au 8 i, jun 6 ril, ap 4 schrijft: 4-4, 6-6, 8-8, Binnen één jaar vallen je dat? Als je de data zo st Wi . ek we de n va g , 7-11, 11-7 en op dezelfde da onthouden. Ook 5-9, 9-5 te r jke eli kk ma ge g no kalender. 10-10 en 12-12 zijn ze de week. Kijk maar op de n va g da ze de op n lle ri va ensdag. Met deze 10 de laatste dag van februa t is dit jaar dus een wo Da d. em no ge ay sd om ij hoort. Deze dag wordt do den welke weekdag erb vin g da e elk n va t vlo je referentiedata kun Welke dag van de week

valt dit jaar 1-12?

Willie Wortel, een rekenfenomeen In 1982 nodigde ik rekenfenomeen Wim Klein, alias Willie Wortel, uit op mijn toenmalige school. Niet alleen om de middelbare scholieren kennis te laten maken met het allersnelste menselijke hoofdrekenwonder van de twintigste eeuw, maar ook om in het Guinness Book of Records te laten optekenen dat op die dag Willie Wortel het wereldrecord worteltrekken verbeterde: hij trok in 2 minuten en 36 seconden de 26e machtswortel van een getal dat uit 116 cijfers bestond: 19.576.363.171.112.170.684.998.269.194.283.586.054. 153.242.153.574.629.327.480.953.471.418.925.007.834. 080.769.580.211.064.286.599.237.091.802.822.337.569. Dit was Ei nummer 1361, het allerlaatste eitje in deze rubriek van mijn hand. Gelukkig gaat een groepje enthousiaste rekenliefhebbers dit werk voortzetten. Ik wens hen er natuurlijk heel erg veel succes mee.

Wereldrecord worteltrekken op het Thomas More College te Oudenbosch op 22 april 1982. < https://www.hpdetijd.nl/2012-12-04/wimklein-de-laatste-menselijke-computer/>

wiskundig denken en redeneren

Klopt dit wel? reken-wiskundige factchecking in het basisonderwijs Kun je zonder meer geloven wat er in de kranten staat? En hoe zit dat met getallen en andere wiskundige informatie die in berichten staan? Kunnen we leerlingen in het basisonderwijs al beter voorbereiden op de digitale maatschappij waarin nepnieuws een steeds grotere rol speelt? In dit artikel delen de auteurs de resultaten van een verkennend onderzoek dat ze naar aanleiding van deze vragen uitvoerden. Tekst Marc van Zanten, Geeke Bruin-Muurling en Marike Verschoor Marc van Zanten is ontwikkelaar en onderzoeker rekenenwiskunde bij SLO en de Universiteit Utrecht. Geeke Bruin-Muurling is ontwikkelaar en auteur bij Educatieve Dienstverlening Bruin-Muurling. Marike Verschoor is zelfstandig ontwikkelaar rekenen-wiskunde.

1. Vier koppen in het nieuws. Kloppen ze of niet?1

Nepnieuws is de laatste tijd een hot item. Vooral digitaal verspreidt nepnieuws zich razendsnel. Maar ook in traditionele kranten zien we steeds vaker onjuiste berichten. Het blijkt vaak erg lastig om waarheid te onderscheiden van berichtgeving met fouten, verzinsels of misleiding. In veel nieuwsberichten worden getallen genoemd of staan andere wiskundige gegevens, zoals grafieken en ook daarbij komt het voor dat de getalsmatige informatie niet klopt. In afbeelding 1 staan een paar nieuwskoppen van de laatste tijd. Wat denk je? Kloppen ze of niet? Je merkt waarschijnlijk wel: het is nog niet zo eenvoudig om waarheid en verzinsel van elkaar te onderscheiden. Tegelijk wordt dit veel belangrijker dan het vroeger was. Immers, tegenwoordig kan iedereen dankzij internet en social media heel makkelijk informatie – juist of onjuist –

verspreiden. Er zit ook veel minder controle op berichtgeving dan vroeger (afbeelding 2). In het project ‘Reken-wiskundige factchecking in het basisonderwijs’ denken we na over wat leerlingen zouden moeten leren om beter voorbereid te zijn op de digitale maatschappij waarin nepnieuws een steeds grotere rol speelt. Vooral willen we werken aan de vraag wat het basisonderwijs hier al aan kan bijdragen. In dit artikel delen we de resultaten van een verkennend onderzoek dat we in het kader van dit project uitvoerden.

2. Vroeger zat er veel meer controle op berichtgeving

kwantitatieve informatie vaardigheden In Nederland zijn we het er wel over eens dat het belangrijk is dat kinderen een stevige basis krijgen om op te groeien tot zelfstandige en weerbare burgers in de digitale samenleving. Mede daarom zijn in de zogenoemde 21e eeuwse vaardigheden informatievaardigheden en kritisch denken opgenomen (afbeelding 3). Informatievaardigheden omvatten het scherp kunnen formuleren en analyseren van informatie uit bronnen, het op basis hiervan kritisch en systematisch zoeken, selecteren, verwerken, gebruiken

Het kunnen beoordelen van getalsmatige informatie doet een beroep op de gecijferdheid van de lezer: kan een vermeld getal eigenlijk wel kloppen? en verwijzen van relevante informatie en deze op bruikbaarheid en betrouwbaarheid beoordelen en evalueren. In de context van 21e eeuwse vaardigheden gaat het hierbij vaak om digitale bronnen2. Kritisch denken is gedefinieerd als het vermogen om zelfstandig te komen tot weloverwogen en beargumenteerde afwegingen, oordelen en beslissingen3. Omdat er in zoveel berichtgeving sprake is van getallen, hebben informatievaardigheden en kritisch denken ook betrekking op het kunnen beoordelen van getalsmatige informatie. Dat doet een beroep op de gecijferdheid van de lezer: kan een vermeld getal eigenlijk wel kloppen? Of: klopt de informatie die bij een grafiek staat vermeld wel met de gegevens uit de grafiek zelf? Dit soort vragen stellen kinderen zich niet uit zichzelf. Sterker nog, toen we aan een groep 8 de vraag stelden ‘klopt dit wel’ bij een nieuwsbericht dat jaarlijks een half miljard mensen zouden overlijden aan malaria (afbeelding 9), was de eerste reactie: ‘Het staat in de krant hoor. Die mensen liegen heus niet!’ Maar bij een gecijferd lezer die weet dat er momenteel in totaal zo’n 7 miljard mensen op aarde zijn, gaan waarschijnlijk wel alarmbelletjes af bij zo’n extreem groot getal. In het bericht moest niet een half miljard staan, maar een half miljoen (wat in dit verband natuurlijk nog steeds een enorme hoeveelheid is).

3. Bron: SLO

rekenwiskundige red flags Nepberichten kunnen op verschillende manieren worden herkend. Als een bericht bijvoorbeeld krom is verwoord, zoals vaak bij phishing mails

het geval is, gaat er zo’n alarmbelletje af, of – in het Engels – gaat er een red flag wapperen. Dat gebeurt als een bericht niet strookt met je eigen ervaringen. Je intuïtie, het samenspel van je levenservaring en de kennis die je hebt opgedaan, waarschuwt je dan dat er misschien iets niet in de haak is. De red flag is een belangrijke aanzet om kritisch te gaan lezen. Zo’n kromme verwoording vormt al een red flag, maar er zijn er meer en veel red flags zijn rekenwiskundig van aard. Neem bijvoorbeeld een uitspraak als ‘In Nederland krijgen 183.586 kinderen elke dag een lolly.’ Het aantal kinderen is hier extreem precies aangegeven. Alleen het CBS levert zulke precieze getallen, maar niet over zulke onderwerpen. Zo’n extreem precies getal kan fungeren als red flag. Dat is ook het geval bij een heel brede of absoluut geformuleerde uitspraak, zoals ‘Alle kinderen houden niet van spinazie.’ Een andere red flag is wanneer een uitspraak een heftige reactie uitlokt, wat media vaak proberen om de aandacht van de lezer te trekken. Wat te denken van ‘Kinderen hoeven nog maar één keer per week hun tanden te poetsen’? Ook het gebruik van cijfers die overduidelijk oud zijn kan opvallen, zoals bij ‘Kinderen besteden gemiddeld een dubbeltje van elke gulden zakgeld aan snoepgoed.’

Een verhaal apart zijn grafieken en statistische gegevens. Een grafiek kan een vertekend beeld van de werkelijkheid geven, bijvoorbeeld door de keuze van de schaal van een of beide assen, of door een as niet bij 0 te laten beginnen. Daarvan zie je een voorbeeld in afbeelding 4, afkomstig uit een reclame voor een makelaarskantoor. De rechterstaaf is drie keer zo hoog als de linker waardoor het op het eerste gezicht lijkt of de rechterstaaf ook drie keer zoveel waard is. Maar als je goed naar de as kijkt, zie je dat dat helemaal niet het

4. Bron: Prisma Makelaars Hengelo

5. Een toevallig verband. Bron: http://www. tylervigen.com/spuriouscorrelations

geval is. Vaak wordt de schaal van de as bewust zo gekozen dat verschillen goed zichtbaar zijn, maar dat kan dus ook misleidend werken.

Bij nieuwsberichten op grond van statistisch onderzoek kan het voorkomen dat er aan een bepaalde samenhang onterecht een oorzaak wordt toegeschreven. Als bijvoorbeeld mensen die op skivakantie veel drinken minder skiongelukken hebben dan de wintersporters die ’s avonds niet uitgaan, wil dat niet zeggen dat mensen die veel drinken beter skiën. Het kan immers ook zo zijn dat de groep die veel drinkt, ook veel minder skiet en dáárdoor minder ongelukken heeft. Maar het kan ook voorkomen dat een (schijnbare) samenhang berust op puur toeval en daarom niets betekent, zoals in de grafiek in afbeelding 5. Het gaat hierbij om het doorzien van het verschil tussen correlatie en causaliteit. Er kan een samenhang bestaan tussen verschijnselen (correlatie) maar dat zegt nog niets over de oorzakelijke relatie (causaliteit).

Wat ook kan vertekenen is de kwaliteit van de steekproef die is genomen. Een specifieke steekproef kan leiden tot heel andere antwoorden dan wanneer een andere steekproef was gebruikt. Vraag je alleen klanten bij de groenteafdeling naar de hoeveelheid groente die ze eten, dan zal daar waarschijnlijk een ander patroon uit naar voren komen dan wanneer je diezelfde vraag stelt aan klanten die de groenteafdeling voorbij lopen. Wat verder ook kan uitmaken voor de antwoorden die mensen geven is of er een open vraag is gesteld of dat er uit bepaalde antwoordalternatieven moest worden gekozen. Vraag je bijvoorbeeld aan kinderen of ze graag zaterdags huiswerk maken, dan geven ze waarschijnlijk andere antwoorden dan wanneer ze moeten kiezen of ze op zaterdag liever huiswerk maken of naar school gaan (afbeelding 6).

6. Een kop die niet klopt bij de grafiek

Reken-wiskundige red flags • Een getal is extreem precies • Getallen zijn extreem breed of absoluut geldend • Een getal of verhouding lokt een heftige reactie uit • De aangehaalde cijfers zijn oud • De schaal van een grafiekas valt op • Er is sprake van een opvallende oorzaakgevolg relatie • Er is sprake van een specifieke steekproef • Er is sprake van specifieke antwoordalternatieven

hebben basisschoolleerlingen al red flags? We vroegen ons af of wat het basisonderwijs bij kan dragen om leerlingen beter te wapenen tegen nepnieuws. Daarvoor hebben we eerst gekeken in hoeverre basisschoolleerlingen al beschikken over rekenwiskundige red flags. Hiervoor hebben we een exploratief onderzoek uitgevoerd, waaraan ruim 2200 leerlingen van 34 scholen mee hebben gewerkt. Deze leerlingen, uit groep 3 tot en met 8, kregen situaties en nieuwsberichten (zie de afbeeldingen 7 tot en met 10) voorgelegd, met getallen en grafieken. Steeds moesten de leerlingen kiezen tussen ‘waar’ of ‘niet waar’ en hun keuze toelichten. Om te kijken in hoeverre leeftijd uitmaakt, legden we dezelfde situaties voor aan groep 3 en 4, aan groep 5 en 6, en aan groep 7 en 8. Sommige van de situaties die we gebruikten kloppen, sommige niet, en in sommige gevallen kan dat afhangen van de gevolgde redenatie. Voor alle situaties geldt dat ze red flags kunnen doen wapperen. Hieronder laten we zien hoe de leerlingen reageerden aan de hand van een aantal van deze situaties.

kop ‘De meeste kinderen van 10 jaar doen graag boodschappen op zaterdag’, maar in de tekst was te lezen dat het ging om de vraag of ze op zaterdag liever boodschappen zouden doen of liever naar de tandarts zouden gaan. Een ruime meerderheid van de leerlingen koos bij deze situatie voor ‘niet waar’, in groep 6 (70 procent) méér dan in groep 5 (61 procent). Uit de toelichting die leerlingen erbij schreven bleek dat deze keuze soms was gebaseerd op de genoemde antwoordalternatieven in het bericht, maar niet altijd. Het kwam ook voor dat leerlingen opschreven dat het bericht volgens hun niet waar was omdat ze er zelf niet van houden om boodschappen te doen op zaterdag (of sowieso niet). Dit redeneren vanuit het eigen referentiekader kwam bij meerdere situaties voor en in alle groepen. In deze gevallen ging geen rekenwiskundige red flag wapperen, maar een algemene: het gestelde klopte niet met de eigen ervaringen. Daarbij kwam het overigens ook voor dat op grond van eigen ervaringen een niet kloppende conclusie werd getrokken.

misleidende weergave Aan de leerlingen in groep 3 en 4 legden we onder andere een situatie voor met een misleidende weergave, waarin een jongen zegt dat hij meer ballen heeft dan een andere jongen, terwijl dat niet klopt – het zijn minder ballen, maar de ballen zijn wel groter (afbeelding 7). In zowel groep 3 als groep 4 koos een ruime meerderheid van de leerlingen correct voor ‘niet waar’. In groep 3 was dat 60 procent en in groep 4 nog meer, namelijk 71 procent. De meeste leerlingen lieten zich dus niet misleiden door de gekozen weergave en in beide groepen wisten leerlingen goed onder woorden te brengen dat het alleen maar líjkt alsof de bovenste jongen meer ballen heeft.

bepaalde antwoordalternatieven We probeerden ook uit of bij de leerlingen red flags optreden bij het gebruik van bepaalde antwoordalternatieven bij (verzonnen) onderzoek. Aan de groepen 5 en 6 legden we een situatie voor waarbij dat precies terug te vinden was in tekst (afbeelding 8). Van een nieuwsbericht luidde de

8. Een situatie voor groep 5 en 6

7. Een situatie voor groep 3 en 4

Aan de groepen 7 en 8 lieten we alleen een grafiek zien met een berichtkop erbij (afbeelding 9). De kop was ‘80% van de kinderen wil graag huiswerk maken op zaterdagochtend’ en alleen aan de grafiek was te zien dat het ging om de keuze om op zaterdag huiswerk te maken of naar school te gaan. Deze situatie bleek duidelijk moeilijker in te schatten, al waren de leerlingen ouder. Zowel in groep 7 als in groep 8 koos ongeveer de helft van de leerlingen voor ‘waar’ en de helft van de leerlingen voor ‘niet waar’.

9. Een situatie voor groep 7 en 8

10. Een situatie voor groep 7 en 8

extreem groot getal Bij de laatste situatie die we hier laten zien ging het om een extreem groot getal. Hiervoor gebruikten we het eerder genoemde artikel waarin wordt gesteld dat er jaarlijks ruim een half miljard mensen aan malaria zou overlijden (afbeelding 10). Dit was een van de weinige situaties waar de meerderheid van de leerlingen koos voor het foute antwoordalternatief. Slechts 38 procent van de groep 7 leerlingen koos voor het correcte ‘niet waar’. In groep 8 was dat iets meer, maar nog steeds een minderheid, namelijk 45 procent. De toelichtingen die deze leerlingen gaven waren grofweg in drie categorieën in te delen. In de eerste plaats waren er opmerkingen in de trant van ‘het staat in de krant, dus het zal wel waar zijn’. Zulke reacties kwamen ook voor bij andere situaties die in de vorm van een bericht waren gegoten, maar daarbij ging het wel steeds om een relatief kleine groep leerlingen. Ten tweede waren er reacties waarin globaal werd geredeneerd, zoals ‘dat is wel heel erg veel’. En ten slotte waren er opmerkingen

waarin meer precies werd geredeneerd en de leerling duidelijk beschikte over de referentie dat de wereldbevolking ruim 7 miljard bedraagt. Een voorbeeld daarvan is ‘dan zou in 14 jaar jaar geen mens meer leven’. Een ander voorbeeld is te zien in afbeelding 10.

conclusie Er zijn duidelijke verschillen te zien tussen de reacties die leerlingen geven op de voorgelegde situaties, zowel kwantitatief als kwalitatief. Sommige situaties worden door meer leerlingen doorzien dan andere. Sommige leerlingen lijken ervan uit te gaan dat als iets in een nieuwsbericht staat, het waarschijnlijk of zelfs zeker ook waar is. Anderen redeneren sterk vanuit hun eigen referentiekader. Dat kan in bepaalde situaties fungeren als red flag, maar afhankelijk van kennis en ervaring kan dit er natuurlijk ook voor zorgen dat bepaalde situaties juist níet worden doorzien. Maar bij alle voorgelegde situaties, in alle groepen, zijn er ook leerlingen die in hun reactie laten zien dat er bij hen duidelijke red flags wapperen. Bij alle voorbeelden in dit artikel is dat het geval. Dit betekent naar ons idee dat er voldoende aanknopingspunten zijn voor het onderwijs. Alleen al in de uitwisseling van redenaties kunnen kinderen veel van elkaar leren. Leerlingen die nu nog niet of minder beschikken over red flags dan anderen, moeten volgens ons de kans krijgen om deze ook te ontwikkelen. Dan kunnen ook zij op den duur gaan beschikken over kwantitatieve informatievaardigheid en in die zin gecijferd worden. De volgende stap in het project ‘Rekenwiskundige factchecking in het basisonderwijs’ is dat we verder nadenken hoe dit in het basisonderwijs goed kan worden gestimuleerd en welke leermiddelen leraren hierbij behulpzaam kunnen zijn. Wordt vervolgd!

Noten 1 Nummer 1 is niet waar, 2 klopt, 3 is niet waar, 4 is waar. 2 http://curriculumvandetoekomst.slo. nl/21e-eeuwse-vaardigheden/digitalegeletterdheid/informatievaardigheden 3 http://curriculumvandetoekomst.slo. nl/21e-eeuwse-vaardigheden/kritischdenken

Met dank aan Corinne Harten voor het ontwerpen en vormgeven van de situaties.

Kleine kinderen Vroeger 78 keer naar de tandarts worden groot Marije Ed deBakker Moor

‘Mam, weet je, ik ben al 12 keer naar de tandarts geweest en Iris 6 keer. Dat klopt toch?’ We zitten in de auto. Ik ben benieuwd wat er achter deze vraag zit en vraag Suzanne om uitleg. ‘Nou, we gaan 2 keer per jaar naar de tandarts. Ik ben 6 en Iris is 3. Dus dan ben ik al 12 keer naar de tandarts geweest en Iris 6 keer. Grappig!’ Ik kijk met een glimlach achterom. Suzanne heeft een nicht van 9, Elaine. Zou ze ook kunnen beredeneren hoe vaak zij naar de tandarts is geweest? Het feit dat Iris 3 jaar is, zij 6 en Elaine 9 houdt haar al een tijdje bezig, dat vindt ze magisch. Dus ik vraag het haar. Het kraakt even op de achterbank. Dan zegt ze triomfantelijk ‘18 keer!’ Dat ging best vlot, hoe ver zou ze kunnen gaan? ‘Suzanne, papa is net 40 geworden, weet je ook hoe vaak hij dan naar de tandarts is geweest?’ Haar reactie: ‘Ja, daaag, dat is voor grote mensen, dat is veel te veel.’ Ik laat het even zo en we rijden verder. Even later klinkt het van de achterbank: ’80 keer mama, papa is al 80 keer naar de tandarts geweest!’ Ik kijk verbaasd achterom: ‘echt waar, zo vaak? Hoe weet je dat nou toch?’ En dat kan ze haarfijn uitleggen. ‘Omdat 4 en 4 samen 8 is. En dan is 40 en 40 samen 80. Makkie. Goeie hè, mam’.’ Ik knik bevestigend. ‘Ok, als je dat zo goed weet, weet je dan ook hoe vaak ik al naar de tandarts ben geweest? Ik word bijna 40, maar ik ben het nog niet.’ Er twinkelen lichtjes in haar ogen. Ik hoor haar hersens kraken en ik zie haar lippen bewegen terwijl ze nadenkt (ze telt twee terug!). Dan komt het verlossende woord: ’78 keer’, zegt ze vol trots. Gelukkig telt ze alle keren dat ik tussendoor terug moest komen niet mee… Een tijdje later zijn we ’s ochtends op de fiets op weg naar school. Het is donker. In onze wijk hebben steeds meer kinderen lichtsnoeren in hun wielen. Suzanne wil dat ook wel. Het lijkt haar heel veilig als alle kinderen van die lichtsnoeren in hun fiets hebben. ‘Nou,’ zeg ik, ‘ik weet niet of de winkel zoveel lichtsnoeren heeft’. Suzanne denkt van wel. Zij heeft er maar twee nodig. Want ze heeft maar twee wielen.’ ‘Maar als je hele klas dat wil, zijn het wel veel wielen, toch?’ werp ik tegen. ‘Nou’, zegt ze, ‘drie kinderen in mijn klas hebben al lichtsnoeren, dus het lukt vast.’ Ik vraag haar of ze er dan achter kan komen hoeveel lichtsnoeren er dan nodig zijn voor de rest van de klas. ‘Mama, dat ga ik echt niet uitrekenen hoor, dat is veel te veel’. Hoeveel kinderen zitten er in jouw klas? Dat weet ze wel; ‘in groep 3a zitten 22 kinderen, dus dat ga ik echt niet uitrekenen’. ‘Dat kan jij wel’, verzeker ik haar, ‘denk maar aan die fietsen. Stel je voor dat al die fietsen op een rijtje staan, hoeveel wielen zijn dat dan? Ze begint hardop te tellen ‘2,4,6,8,10,12’ Ik onderbreek haar bij 12. ’12 wielen, hoeveel fietsen waren dat?’ Ze telt opnieuw, nu langzamer, ze houdt de tel bij. ‘6 fietsen. Dus 6 fietsen is al 12 pakjes. Zo veel liggen er echt niet in de winkel. Maar vast wel twee hoor, mam, zullen we vanmiddag even kijken?’

wiskundig denken en redeneren

Het Go-Lab onderzoekend leren van wiskunde met online labs Kinderen hebben van nature een nieuwsgierige en onderzoekende houding. Bij deze houding sluit de methode van onderzoekend en ontwerpend leren perfect aan. Onderzoekend leren in de context van wiskunde biedt daarnaast een uitstekende mogelijkheid om verschillende 21e-eeuwse vaardigheden op te doen. De auteurs van dit artikel houden een warm pleidooi voor het onderzoekend leren en hoe dit goed ingezet kan worden in de reken-wiskundelessen. Jonge kinderen ontdekken veel door dingen zelf uit te proberen. Alledaagse voorbeelden hiervan zijn: het spelen met geometrische vormen of het tellen van schijnbaar willekeurige objecten. Op deze manier kunnen kinderen zelf vaardigheden oefenen, zoals vragen stellen, experimenten bedenken, maar ook meten en rekenen. Bovendien kunnen ze -als hun onderzoeks- of ontwerpproces goed in elkaar zit- zelfstandig kennis op doen. 21e-eeuwse vaardigheden als zelfregulering en probleem oplossen zijn dan ook goed te onderwijzen in combinatie met wiskunde. We laten dit zien met behulp van een online platform.

onderzoekend leren Het online Go-Lab platform (zie het kader op pagina 29 voor meer informatie over Go-Lab), biedt leerkrachten op eenvoudige wijze de mogelijkheid om de methode van onderzoekend leren toe te passen. In leeromgevingen gemaakt met het Go-Lab platform is de cyclus van onderzoekend leren toegepast (Pedaste et al., 2015). Deze cyclus bestaat uit vijf stappen: 1. oriëntatie: het onderwerp wordt geïntroduceerd 2. conceptualisatie: in deze fase worden de gebruikte concepten uitgelegd en wordt er nagedacht over een onderzoeksvraag en een hypothese 3. onderzoek: er wordt een experiment opgezet en uitgevoerd 4. conclusie: de uitkomst van het experiment wordt bestudeerd en er wordt een conclusie getrokken 5. discussie: in deze fase wordt verdieping aangeboden. Ook ontwerpend leren (hier: zelf een ontwerp opstellen en testen) kan gemakkelijk toegepast worden met deze Go-Lab leeromgevingen. Door zelf een onderzoek op te zetten en uit te voeren of zelf een ontwerp op te stellen en te testen, doet de leerling belangrijke vaardigheden op, van creatief

denken tot probleem oplossen. Bovendien kan de leerling als het proces goed wordt uitgevoerd zelfstandig kennis opdoen, bijvoorbeeld over krachten en wanneer die in balans zijn of over de eigenschappen van een ontwerp, zoals de omtrek van een tweedimensionaal figuur. Onderzoekend leren is effectief in het bijbrengen van vakinhoudelijke kennis en traint daarnaast belangrijke vaardigheden, zoals redeneervaardigheid en probleemoplossen (Lazonder & Harmsen, 2016).

Om het leerproces tijdens het onderzoekend leren te sturen, zijn er in het Go-Lab platform meerdere applicaties (kleine online programma’s die leerlingen helpen bij het onderzoekend leren) beschikbaar. Deze apps geven sturing en het blijkt dat kinderen vaardiger worden en meer kennis opdoen als er sturing is tijdens het onderzoekend leren dan wanneer deze sturing ontbreekt (Lazonder & Harmsen, 2016). Door zelf applicaties te kiezen bepaalt de leerkracht hoe de Go-Lab leeromgeving eruit komt te zien. In andere woorden, de leerkracht kiest welke applicaties gebruikt worden en welke instructie wordt aangeboden om het onderzoekend leren zo goed mogelijk te ondersteunen. Een voorbeeld is leerlingen helpen met het opstellen van hypotheses, zie de Hypothese Tool in afbeelding 1. In de hypothese tool worden variabelen aangeboden aan de leerlingen. Omdat deze variabelen expliciet worden geïntroduceerd helpt dit de leerlingen bij het opzetten van een goed experiment (Van der Graaf, Segers, & Verhoeven, 2015). Naast applicaties om onderzoekend leren

1. De Hypothese Tool

Tekst Joep van der Graaf, Casper de Jong en Ton de Jong Joep van der Graaf is post-doc onderzoeker aan de Universiteit Twente en werkt op meerdere projecten over onderzoekend leren. Casper de Jong is docent op een middelbare school en werkt als trainer/coach aan de Universiteit Twente. Ton de Jong is hoogleraar aan de Universiteit Twente en leidt de afdeling instructietechnologie.

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5

te ondersteunen, zijn er ook andere applicaties beschikbaar, bijvoorbeeld de Quest Tool om kennis te testen en om vragenlijsten te maken, of de Conceptmapper Tool om leerlingen een eigen mindmap te laten creëren. Het Go-Lab project De website van Go-Lab (www.golabz.eu) biedt leraren alle materialen om een eigen online leeromgeving te maken. Op de website zijn momenteel meer dan 500 labs te vinden en maar dan 40 apps. Met de Go-Lab auteursomgeving (www.graasp.eu) kan een leraar labs combineren met apps en ander multimediamateriaal om zo een eigen leeromgeving te maken. Daarnaast kun je op de website leeromgevingen die al gemaakt zijn door andere leraren gemakkelijk vinden, gebruiken en aanpassen. Hierbij staat het onderzoekend en ontwerpend leren steeds centraal. Leerlingen kunnen via een eenvoudig door de leraar te maken directe link de gemaakte of aanpaste leeromgeving bereiken. Alle voorbeelden in dit artikel van mogelijke onderwerpen zijn in het Nederlands beschikbaar op de Go-Lab website. Naast de ondersteunende apps voor leerlingen zijn er ook tools beschikbaar die de leerkracht helpen bij het visualiseren van het leerproces van de leerling. Het Go-Lab platform is ontwikkeld in door de Europese Unie betaalde projecten met vele partners verspreid over de Europese landen. In Nederland is de Universiteit Twente de partner en zij coördineert deze projecten. In het project zijn partners constant bezig de materialen en ondersteuning uit te breiden en te optimaliseren. Aan de hand van het basisschoolcurriculum worden labs toegevoegd. Dit betekent dat de leerkrachten toegang hebben tot up-todate en van toepassing zijnde materialen.

wiskunde onderwijs Om wiskunde te onderwijzen zijn er vele experimenten mogelijk waarmee de kinderen aan de slag kunnen. Hieronder geven we twee voorbeelden van wiskunde-onderwerpen, die in een online leeromgeving aan bod kunnen komen, namelijk het berekenen van oppervlaktes en omtrek, en krachten in balans. Er zijn uitgewerkt versies online te vinden, die direct in de klas te gebruiken zijn, zie https://www.golabz.eu/ils/bouw-eentuinhuis-voor-stephen-en-marie.

In het online lab Area Builder (afbeelding 2), kunnen leerlingen zelf tweedimensionale figuren maken. Aan de hand van deze figuren kunnen ze de oppervlakte en omtrek berekenen. Hoe de vorm bepaalt wat de omtrek is, staat in dit lab centraal. Een leeromgeving met de Area Builder zou er als volgt uit kunnen zien. Eerst is er een kennismaking met het onderwerp dat aansluit bij de belevingswereld van de leerlingen; denk aan hoe ver het is om een rondje te lopen om een voetbalveld. Door een bekende context te bieden verhoog je de leerwinst van de leerlingen (Boaler, 1993). Deze kennismaking zou natuurlijk ook buiten de online leeromgeving plaats kunnen vinden. Na de kennismaking volgt er voor de leerling een fase met voorspellen. De leerlingen worden hier uitgedaagd om na te denken over de relatie tussen de vorm, de oppervlakte en de omtrek van een figuur. Vervolgens kunnen ze in de onderzoeksfase het lab gebruiken om hun voorspellingen te onderzoeken. De leerlingen controleren hun voorspelling door het lab te gebruiken en zien wat de oppervlakte en omtrek is van bepaalde figuren. Bovendien is in het lab ook een uitleg verwerkt, zodat de kinderen begrijpen hoe de omtrek berekend wordt. Tot slot is er een conclusie- en een discussiefase. In de conclusiefase geeft de leerling aan wat de uitkomst was van het onderzoek. In andere woorden, de leerling geeft aan wat hij/zij heeft geleerd. Dit kan ook gekoppeld worden aan de voorspelling: ‘Klopt jouw voorspelling met wat je hebt gezien

2. Het Area Builder lab

Onderzoekend leren is effectief in het bijbrengen van vakinhoudelijke kennis

Onderzoekend leren traint belangrijke vaardigheden, zoals redeneren en probleemoplossen in het lab?’. Tijdens de discussiefase ga je daarna verder in op wat de leerlingen ontdekt en geleerd hebben en kunnen zij hun gegevens uitwisselen met andere leerlingen. Wat de leerlingen geleerd hebben over omtrek berekenen kan tijdens de nabespreking ook gekoppeld worden aan andere onderwerpen, zoals het berekenen van de omtrek van driedimensionale figuren of het verder oefenen van vermenigvuldigen. Ook kan de koppeling gemaakt worden naar andere manieren van onderzoeken. Dit is voor de leraar het ideale moment om aan leerlingen die daaraan toe zijn verdieping aan te bieden. Een ander voorbeeld is onderzoek doen met krachten in een balans. Het online lab, Balancing Act, is een visualisatie van een balansbalk (zie

afbeelding 3). De leerlingen beginnen met voorspellen; dus welke variabelen bepalen wanneer de balk in balans is (dit zijn afstand tot het middelpunt en het gewicht). Vervolgens kunnen ze tijdens de onderzoeksfase deze voorspellingen testen door experimenten op te zetten met verschillende afstanden en verschillende gewichten. Om echt te kunnen leren van deze experimenten is het belangrijk dat leerlingen steeds maar één variabele aanpassen. Dit is een strategie, waar veel kinderen nog moeite mee hebben, maar die ze wel kunnen toepassen met de juiste ondersteuning (Van der Graaf, et al., 2015). Als het gewicht bijvoorbeeld wordt aangepast, zou de afstand gelijk moeten blijven. Zo laten de resultaten van het experiment zien wat het effect van gewicht is op de balans. De Experiment Ontwerp Tool (zie afbeelding 4) kan gebruikt worden om deze onderzoeksstrategie te ondersteunen. Deze tool helpt de leerlingen bij te houden wat ze willen onderzoeken, hoe ze het willen onderzoeken, en wat de resultaten zijn. Tot slot concluderen de leerlingen hopelijk dat zowel gewicht als afstand tot het middelpunt de balans bepalen. Na deze ontdekking kan de leeromgeving nog verder ingaan op de onderliggende natuurkunde en kan er eventueel geoefend worden met vermenigvuldigen, want kracht is immers massa maal afstand.

ict vaardigheden Leerlingen oefenen ook hun ICT-vaardigheden en deze maken weer deel uit van de 21e-eeuwse vaardigheden. Deze 21e-eeuwse vaardigheden zijn steeds vaker nodig in het onderwijs en zeker ook in latere carrières. Door het gebruik van online

3. Het Balancing Act lab

4. De Experiment Ontwerp Tool

leeromgevingen, oefenen leerlingen met digitale representaties en het visualiseren van resultaten. Digitale representaties worden gebruikt bij online leren, dit betekent dat objecten en fenomenen zijn gevisualiseerd en/of verwoord om het digitaal aan te bieden. Op deze manier leren leerlingen hoe dagelijkse objecten en fenomenen in een abstractere weergave eruit kunnen zien en opent vervolgens de weg naar het werken (en denken) in schema’s en modellen. Deze worden vaak gebruikt om wiskundige, maar ook natuurkundige principes weer te geven en uit te leggen.

5. Het model voor 21e eeuwse vaardigheden zoals het is ontwikkeld door SLO en Kennisnet.

conclusie Concluderend kan gesteld worden dat 21e-eeuwse vaardigheden en wiskunde goed te combineren zijn in de gratis online leeromgeving van www.golabz.eu. De 21e-eeuwse vaardigheden, die op deze manier aan bod komen, zijn kritisch denken, creatief denken, probleem oplossen, ICT-vaardigheden, zelfregulering en computational thinking, zie afbeelding 5.

Door het gebruik van de online leeromgeving werken de leerlingen met de cyclus van onderzoekend leren, wat aansluit bij de nieuwsgierige houding van jonge kinderen. Er zijn meerdere wiskunde labs beschikbaar voor de basisschool en voor de middelbare school. Daarnaast zijn er verschillende applicaties beschikbaar om het proces van de leerling te ondersteunen. Ook zijn er applicaties beschikbaar voor de leerkracht om inzicht te krijgen in hoe de leerlingen leren, denk aan hoe goed ze het doen, hoeveel tijd ze nodig hebben, etc. Tot slot, kan de leerkracht zelf bepalen welke tekst, video’s en plaatjes worden aangeboden als instructie. Kortom, de leerkracht kan zelf bepalen hoe de les eruitziet in de Go-Lab online leeromgeving.

Mocht u na het lezen interesse hebben in het gebruik van Go-Lab, neem dan contact op met Joep van der Graaf, j.vandergraaf@utwente.nl.

Referenties Boaler, J. (1993). The role of contexts in the mathematics classroom: Do they make mathematics more “real”? For the Learning of Mathematics, 13, 12-17. Pedaste, M., Mäeots, M., Siiman, L.A., De Jong, T., Van Riesen, S.A.N., Kamp, E.T., … Tsourlidaki, E. (2015). Phases of inquiry-based learning: definitions and the inquiry cycle. Education Research Review, 14, 47-61. Van der Graaf, J., Segers, E., & Verhoeven, L. (2015). Scientific reasoning abilities in kindergarten: dynamic assessment of the control of variables strategy. Instructional Science, 43, 381-400.

Meer informatie https://www.golabz.eu/ https://www.golabz.eu/ils/bouw-eentuinhuis-voor-stephen-en-marie https://www.graasp.eu j.vandergraaf@utwente.nl

rekenen en tekenen

Leren representeren rekenrepresentaties bij probleemoplossen in de brugklas In het basisonderwijs gaat veel rekentijd naar het oefenen van procedures (sommen maken). Maar onbegrepen procedures kunnen door leerlingen niet op de juiste momenten toegepast worden om reken-wiskundeproblemen op te lossen. Ook in veel methodes en lessen in de brugklas lijkt de nadruk te liggen op het oefenen van bewerkingen en te weinig op probleemoplossen bij open rekenproblemen. Maar ook het probleemoplossen zou geoefend moeten worden. Zowel in het basisonderwijs als in het voortgezet onderwijs wordt hier niet voldoende tijd aan besteed. De auteurs van dit artikel beschouwen het representeren van een rekenprobleem als een belangrijk onderdeel in het oplossingsproces. Zij analyseerden welke representaties leerlingen in de brugklas maken en welke representaties het vaakst leiden tot een goed antwoord.

Tekst Anneke Harmsen, Anne Vermijs, Marianne van den Hurk Het onderzoek is uitgevoerd vanuit de Radboud Universiteit Nijmegen Contactpersoon: Marianne van den Hurk: m.vandenhurk@pwo.ru.nl

Leerlingen lossen op diverse momenten in hun schoolloopbaan vraagstukken op bij bijvoorbeeld filosofie, rekenen, wiskunde, economie en natuurkundige vakken. Doordat het onderwijs meer nadruk legt op bewerkingen (Van Streun, 2014), is het goed om in kaart te brengen hoe leerlingen rekenproblemen oplossen. Want, wanneer het centrale probleem niet wordt begrepen, kan een leerling niet de juiste oplosstrategie kiezen voor de uitwerking van het probleem. Er bestaan verschillende stappenplannen voor het oplossen van vraagstukken. Wij zien het representeren van het probleem als een van de belangrijkste stappen binnen het probleemoplossen (Boonen, 2014 en 2015).

representaties Het representeren van een probleem kan op verschillende manieren. Er wordt daarbij niet altijd één manier gebruikt om een oplossing te vinden. Er kunnen combinaties worden gehanteerd. Bijvoorbeeld: voor een deel van de opgave wordt een verhoudingstabel gebruikt. Met de uitkomst uit de tabel wordt de opgave vervolgens via formules verder opgelost. Representaties kunnen ook getekend worden. Vooral visueelschematische representaties zoals in afbeelding 1 zijn geschikt omdat zij het coherente beeld weer van het probleem weergeven, doordat ook relaties tussen oplossingsrelevante informatie worden opgenomen in het schema (Boonen, 2015). © 2018 Koninklijke Van Gorcum

Afbeelding 1

Er zijn verschillende onderzoeken uitgevoerd op het gebied van verschillen in probleemrepresentatie, bijvoorbeeld: verschillen tussen hoe Chinese en Amerikaanse leerlingen problemen oplossen, verschillen in oplossen tussen beginners en experts en verschillen tussen leerlingen die goed zijn in probleemoplossen en leerlingen die er minder goed in zijn. Uit vergelijkend onderzoek van Cai en Hwang (2002) bleek dat Chinese en Amerikaanse leerlingen een verschillende oplosstrategie prefereren. Chinese leerlingen kiezen bij het oplossen van wiskundeproblemen vaker voor abstracte strategieën en symbolische representaties, terwijl Amerikaanse leerlingen een voorkeur hebben voor concrete visuele strategieën en het tekenen van picturale representaties. Amerikaanse leerlingen hadden hiermee een licht voordeel vergeleken met Chinese leerlingen wanneer de probleemsituaties een concrete inhoud hadden. Volgens Dreyfus en Eisenberg (1996) zijn concrete visuele strategieën meer toegankelijk voor leerlingen, echter zijn ze wel meer context- of taakgebonden wat het denken van leerlingen limiteert. Ze kunnen de toegepaste representatie niet zomaar in een andere situatie toepassen.

wat is effectief? Naar de oorzaken van de verschillen tussen Chinezen en Amerikanen is geen onderzoek gedaan. Opvallend is wel dat Chinese leerlingen significant hoger scoorden op process-constrained problemen en Amerikaanse leerlingen significant hoger scoorden op process-open problemen. Het verschil is dat bij process-constrained problemen, de oplossing kan worden gevonden door het toepassen van een standaard algoritme. Leerlingen moeten alleen het juiste algoritme weten te vinden.

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5

Bij process-open problemen zit de oplossing niet in het vinden van een algoritme, de probleemsituatie moet worden geëxploreerd en begrepen om het te kunnen oplossen Uit verschillende onderzoeken blijkt ook dat probleemrepresentaties maken anders wordt aangepakt door experts dan door beginners (Schoenfeld, 1992; Pate & Miller, 2011). Beginners zijn vooral gericht op de eindoplossing, terwijl experts meer tijd steken in het analyseren van de informatie en inzicht verkrijgen in het probleem. Ook vinden beginners het vaak lastiger om hun strategiekeuze bij de representatie van het probleem, aan te passen op de complexiteit van de probleemsituatie (De Jong & Ferguson-Hessler, 1993). Onderzoek geeft aan dat leerlingen die goed zijn in probleemoplossen, meer aandacht besteden aan procedurele en situationele kennis dan leerlingen die minder goed zijn in probleem oplossen. Leerlingen die moeite hebben met probleemoplossen, lijken daarentegen meer aandacht te besteden aan declaratieve kennis zoals formules (De Jong & Ferguson-Hessler, 1993). Leerlingen die moeite hebben met probleemoplossen geven daarnaast vaker aan “alles is duidelijk” dan leerlingen die geen moeite hebben met probleemoplossen, wat aangeeft dat kennis over eigen kunnen ook minder goed is dan bij leerlingen die goed zijn in probleemoplossen. Maar wat doen leerlingen nu precies als ze een rekenprobleem representeren? Meer inzicht is nodig in wat leerlingen doen en wanneer het effectief is. In deze studie staan de volgende vragen centraal: a. Welke representaties maken leerlingen bij het oplossen van een probleem? b. Leidt een bepaalde representatie vaker tot een goede oplossing?

een zelfgeconstrueerde rekentoets 173 leerlingen uit de brugklas mavo/havo van vier scholen in het regulier voortgezet onderwijs hebben zes toetsvragen gemaakt van een zelfgeconstrueerde rekentoets. Opgaven zijn gebaseerd op vragen van de wiskunde-olympiade en uit de studie van Cai en Hwang (2002). De rekenvragen moesten in meerdere stappen worden uitgevoerd om tot het antwoord te komen. Een voorbeeld van een opgave is:

‘Het eerste figuur heeft 8 witte punten en 1 zwarte punt. De derde figuur heeft e 16 witte punten en 9 zwarte punten. Hoeveel witte stippen heeft het 8 figuur? Leg in stappen uit hoe je aan je antwoord komt.’

Er waren maximaal 6 punten per toets te behalen; Een goede oplossing kreeg een punt, een foute oplossing kreeg 0 punten. De representaties van de leerlingen zijn in vijf categorieën gecategoriseerd: 1. Tekening; wanneer er een realistisch of abstract figuur met eventueel getallen erin of erom was getekend 2. Schema; wanneer twee variabelen met een bepaalde verhouding tot elkaar stapsgewijs werden bewerkt (in bijvoorbeeld een verhoudingstabel) waarbij elke stap de verhoudingen gelijk liet. 3. Rekenkundig; wanneer leerlingen alleen met abstracte formules, of deze formules beschrijven in woorden, uitgewerkt hebben. 4. Combinatie; vier mogelijke combinaties: (1) zowel getekend als een schema gebruikt of (2) een getekende en rekenkundige uitwerking, of (3) een schematische en rekenkundige uitwerking of (4) zowel getekende, schematische als rekenkundige uitwerking. 5. Geen representatie; wanneer er geen stappen uitgewerkt waren, maar wel een eindantwoord was opgeschreven.

resultaten In Tabel 1 is te zien of en welke representaties gemaakt zijn. Representatie Tekening Schematisch Rekenkundig Combinatie Geen Totaal

Aantal representaties (percentage) 92 (8.9%) 105 (10.2%) 482 (46.4%) 137 (13.2%) 221 (21.3%)

1038 (100 %)

Tabel 1. Frequentie en percentage per representatie per toetsvraag (zes per leerling) voor 173 leerlingen

In afbeelding 2 zijn twee voorbeelden van representaties bij verschillende opgaven te zien met behulp van een tekening.

2. Voorbeelden van tekeningen bij representatie

In afbeelding 3 gebruikten leerlingen een schematische representatie om een probleem op te lossen. 3. Schematische representatie

Voorbeelden van rekenkundige representatie zijn te zien in afbeelding 4. 4. Rekenkundige representatie

Een combinatie van representaties werd ook gebruikt om de problemen op te lossen. De meeste combinaties waren de schematische en rekenkundige representatie, maar ook de combinatie tekening en rekenkundig werd gebruikt. Dit is te zien in afbeelding 5.

5. Combinaties van representaties

(tekening en rekenkundig)

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5 ÂŠ 2018 Koninklijke Van Gorcum

In tabel 2 is te zien dat een combinatie van representaties het meest leidt tot goede oplossingen (59%), gevolgd door schematiseren (35,5%). Tekenen leidt tot het percentage minst goede antwoorden (6,5%), gevolgd door geen representatie (10%).

Tabel 2. Percentage met aantal correct opgeloste opgaven weergegeven per representatie voor alle vragen uit de toets.

Tekenen Schematiseren Rekenkundig Combinatie Geen representatie

Vraag 1 Vraag 2 Vraag 3 Vraag 4 Vraag 5 Vraag 6 12% 8% 13% 6% 0% 0% 52% 36% 40% 40% 36% 11% 40% 18% 24% 42% 27% 27% 64% 57% 86% 47% 23% 80% 21% 5% 14% 24% 9% 9%

conclusie Leerlingen losten de opgaven op met verschillende representaties. De rekenkundige representatie werd het meest gebruikt gevolgd door een oplossing zonder representatie. De oplosstrategieën lijken op de ‘kick and rush’-strategie uit het onderzoek van De Jong en Ferguson-Hessler (1993). Met een korte (onvolledige) analyse kiezen leerlingen een formule en gaan rekenen. Niettemin is het diepgaand begrijpen van het probleem belangrijk om het uitrekenen vorm te geven (Boonen, 2015). Hierdoor zal de ‘kick and rush’-manier niet altijd leiden tot goede antwoorden, aangezien het probleem niet volledig is geconstateerd en geanalyseerd. Dat lijkt ondersteund te worden door het lage percentage goede antwoorden dat bij de representatie rekenkundig oplossen (29,6%) en geen representatie (10,5%) gegeven werd. Zonder representatie is de kans groot dat relevante informatie uit de rekenopgave onvoldoende wordt opgemerkt of verloren gaat tijdens het onthouden. Dat kan veroorzaakt worden door overbelasting van het geheugen. Wanneer we informatie moeten ophalen uit het geheugen, moeten manipuleren en weer moeten opslaan zijn er veel processen tegelijk bezig. Het werkgeheugen dat deze processen coördineert door te vergelijken, berekenen en beredeneren, kan dat soms niet aan omdat de geheugencapaciteit van ons werkgeheugen klein is. Ook kan het gebeuren dat updating, het verwijderen van oude en vervangen door nieuwe informatie, niet meer goed plaatsvindt waardoor er met verkeerde getallen wordt verder gerekend. Daarnaast leidde de representatie tekenen tot weinig goede oplossingen (6,5%). Tekeningen geven slechts enkele woorden weer uit de probleemvraag en leiden daarom niet tot een coherent beeld voor de eindoplossing. Schematiseren en een combinatie van rekenrepresentaties leidden het vaakst tot een juiste oplossing van het probleem. Wellicht doordat deze representaties meer structuur in het probleem aanbrachten, waardoor een plan kan worden gemaakt voor het oplossen. Het probleem werd beter geanalyseerd en gerepresenteerd, alvorens er een antwoord berekend werd. Leerlingen die goed zijn in probleemoplossen besteden meer

Totaal 6,5% 35,8% 29,6% 59,5% 10,5%

aandacht aan procedurele en situationele kennis dan leerlingen die minder goed zijn in probleem oplossen. Ze monitoren tussendoor beter of hun aanpak nog past bij hun oplossingsplan en zullen daardoor sneller aanpassingen doen wanneer ze merken dat er iets misgaat (De Jong & FergusonHessler, 1993).

implicaties Er lijkt in veel methodes en lessen in de brugklas nadruk te liggen op oefenen en weinig op probleemoplossen bij open rekenproblemen, terwijl oefening hierin wel belangrijk is. Docenten kunnen probleemoplossen stimuleren door open problemen toe te voegen aan de les. Daarbij stellen ze gericht vragen naar de betekenis van (de getallen in) het probleem en leggen ze de link naar de oplossingen van de leerlingen. Ze laten expliciet zien hoe een probleem goed op te lossen is aan de hand van goede voorbeelden en laten de leerlingen ontdekken waar misconcepties toe kunnen leiden. door bijvoorbeeld hardop te denken. Docenten kunnen tijdens de instructie bewust variëren met meerdere representaties zoals tekeningen of schema’s om te laten zien hoe het probleem in elkaar zit. Door steeds gericht vragen te stellen naar het verband tussen de tekening/het schema en het probleem leren de leerlingen hoe zij zelf adequate representaties en schema’s kunnen maken. Vervolgens kunnen ze dan met een uitwerking van formules tot het antwoord komen. Het maken van representaties moet worden aangeleerd. Wanneer een school open problemen toevoegt zonder dat basisvaardigheden bij leerlingen geautomatiseerd zijn, kan er gecompenseerd worden met bijvoorbeeld een rekenmachine of een formuleblad. Maar ook dat vraagt om begeleiding door de leraren. Zij zullen de leerlingen moeten leren hoe je kunt werken met de ondersteuning van rekenmachine of formuleblad.

Referenties Boonen, A.J.H. (2014). Begrijpen, verbeelden en berekenen. Visuele representaties ondersteunen bij rekenopgaven. Volgens Bartjens, 33, 3, 25-27 Boonen, A.J.H. (2015). Comprehend, Visualize & Calculate. Solving mathematical word problems in contemporary math education. Amsterdam: Academisch Proefschrift van Vrije Universiteit Amsterdam Boonen, A.J.H. (2015). Het is geen rekenles, we leren tekenen! Visualiseren tijdens het oplossen van talige rekenproblemen. Tijdschrift voor remedial teaching, 4, 16-19 Cai, J., & Hwang, S. (2002). Generalized and generative thinking in US and Chinese students’ mathematical problem solving and problem posing. Journal of Mathematical behaviour, 21, 401-421. Jong, T. de, & Ferguson-Hessler, M. (1993). Probleemoplossen, leren en onderwijzen in exacte vakken: een voorbeeld uit de natuurkunde. Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 18(3), 149-162. Pate, M.L., & Miller, G.M. (2011). Effects of regulatory self-questioning on secondarylevel student’s problem-solving performance. Journal of Agricultural Education, 52, 72-84. doi: 10.5032/jae.2011.01072. Schoenfeld, A.H. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition, and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.), Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning (pp. 334-370). New York: MacMillan Streun, A. van (2014). Onderwijzen en toetsen van wiskundige denkactiviteiten. Implementatie examenprogramma’s havo-vwo 2015. Enschede: SLO Nationaal expertisecentrum leerplanontwikkeling

Volgens Bartjens

Ronald Keijzer

ontwikkeling en onderzoek

v o lg

Bij ieder nummer van Volgens Bartjens verschijnen twee artikelen op de site onder de vlag van ‘Volgens Bartjens – Ontwikkeling en Onderzoek’. Deze twee artikelen bieden achtergronden en verdieping bij het reken-wiskundeonderwijs. Bij dit nummer gaat het om een artikel waarin vakintegratie verkend wordt vanuit een vakdidactisch perspectief en een verslag van de in januari gehouden Panama-conferentie. In haar artikel biedt Daphne Rijborz een doordenking van de vakintegratie van de vakken aardrijkskunde en rekenen-wiskunde. Ze kiest daarbij drie perspectieven namelijk het maatschappelijk belang van het doordenken van deze integratie, het leren van leerlingen op de basisschool en het leren van studenten aan de lerarenopleiding basisonderwijs. Haar studie is een zgn. Delphistudie, waarin afwegingen worden voorgelegd aan

je n s .n l ens-bar t

experts om tot weloverwogen keuzen te komen. Het tweede artikel bij dit nummer van Volgens Bartjens is van de hand van Ronald Keijzer, MarieJosé Bunck en Anneke van Gool. Zij versloegen de afgelopen Panama-conferentie met het thema ‘Rekenen een hele kunst’. Zij schetsen in dit verslag de stand van zaken bij het denken over rekenenwiskunde in de basisschool en in het opleidingsonderwijs. Zij laten zien dat de discussie tijdens de conferentie zich richt op het onderwijs van de toekomst, maar ook op het evalueren van de kwaliteit van het onderwijs en het meenemen van onderzoeksresultaten in het overdenken van onderwijs. De artikelen van Volgens Bartjens – Ontwikkeling en Onderzoek zijn kosteloos beschikbaar via de site van Volgens Bartjens. Ga daarvoor naar www.volgens-bartjens.nl en kies vervolgens in de rechterbalk voor ‘Ontwikkeling en Onderzoek’ en ‘artikelen’.

Welke reken-wiskundemethode kies je? het grote volgens bartjens rekenmethode-onderzoek In het najaar van 2018 wil Volgens Bartjens de nieuwe reken-wiskundemethodes bespreken. Dat doen we met een team van deskundigen, waaronder wiskundigen, en onderwijskundigen, zowel onderzoekers als mensen uit de praktijk. We vinden het belangrijk dat het een team is met mensen uit verschillende disciplines om een weloverwogen oordeel te kunnen geven. Een wiskundige kijkt bijvoorbeeld anders naar een rekenmethode dan een onderwijskundige. Een leerkracht kijkt weer heel anders: hoe praktisch is de methode, hoe goed is ermee te werken? Om ook deze kant goed te belichten zoeken we: © 2018 Koninklijke Van Gorcum

1. Leerkrachten die willen meewerken aan de bespreking van de verschillende methodes. 2. Leerkrachten die ons willen laten weten wat zij echt belangrijk vinden in een reken-wiskunde methode.

Wij hopen dat velen van u willen reageren via: redactie@volgens-bartjens.nl

Volgens Bartjens jaargang 37, 2017/2018, mei, nummer 5

nvorwo nieuws

Van het bestuur…

Douwe Jan Douwes, bestuurslid NVORWO

Omdat Francis Meester, zoals ze in de vorige Volgens Bartjens al schreef, na 6 april is teruggetreden als voorzitter en het bestuur de keuze voor een nieuwe voorzitter nog niet heeft gemaakt, schrijf ik deze column voor één keer namens het bestuur. Francis heeft drie jaar lang vele uren ingezet om de NVORWO verder te professionaliseren en een rol van betekenis te laten zijn in het reken-wiskundeonderwijs. Francis, bedankt!

‘Meneer, waarom moeten we dit leren?’ is de titel van het laatste hoofdstuk van Wiskundigen mogen niet huilen door Gerardo Soto y Koelemeijer1. Deze vraag zal velen die reken-wiskundeonderwijs verzorgen bekend in de oren klinken. Ook ik mag regelmatig een poging wagen de vraag te beantwoorden aan mijn (pabo)studenten, wanneer de leerstof buiten de basisschoolstof lijkt te vallen.

Wat er, vanaf groep 1 in de basisschool tot in klas 6 van het vwo, tot de leerstof moet behoren, is dit jaar onderwerp van discussie in het ontwikkelteam rekenen-wiskunde in Curriculum.nu. Het ontwikkelteam heeft in zijn eerste tussenproduct een visie op het reken-wiskundeonderwijs beschreven, waarop tijdens de studiedag op 6 april jl. door de leden overwegend positief is gereageerd. Veel van de visie van de NVORWO is herkenbaar in het tussenproduct. Ik denk dat het bovendien goed is dat het ontwikkelteam zich niet beperkt heeft tot alleen een visie op de inhoud van het vakgebied, maar zich ook heeft uitgesproken over de samenhang tussen verschillende vakgebieden en over de combinatie tussen begrip en toepassing van reken-wiskunde. In zijn hoofdstuk moet Soto y Koelemeijer zijn lezers teleurstellen. Het lukt hem niet een adequaat antwoord te geven op de titelvraag. Of het ontwikkelteam in de volgende tussenproducten met antwoorden kan komen, zullen we moeten afwachten. De NVORWO zal ook voor die tussenproducten feedbackmomenten organiseren waarop u uw inbreng kunt hebben.

Om een bijdrage te leveren aan de ontwikkeling van het reken-wiskundeonderwijs hebben we op de studiedag in verschillende mooie workshops een aantal aspecten verder uitgediept. De deelnemers konden kennisnemen van de projecten ‘Praktisch Rekenen’ en ‘Flexmaat’, van mogelijkheden op het gebied van ict in de rekenles, van kunst in de meet- en meetkundelessen en van een andere focus in de rekenles. In iedere workshop werd duidelijk welke uitdagende mogelijkheden het reken-wiskundeonderwijs te bieden heeft. Op de website van de NVORWO worden alle presentaties verzameld, voor wie ze nog eens terug wil lezen. Ik sluit af met de laatste zinnen van Soto y Koelemeijer: ‘Voor wie zich echt in de wiskunde verdiept, gaat er een wereld open. Haar geschiedenis kent vele prachtige verhalen.’ Ik wens u een prachtige zomer met mooie verhalen. Douwe Jan Douwes, bestuurslid NVORWO

Noot Soto y Koelemeijer, G. (2015). Wiskundigen mogen niet huilen. Amsterdam: Amsterdam University Press B.V.

Spel in de Resolf rekenles (60) Anneke Noteboom

Resolf is een spel voor de echte puzzelaar die van rekenen en redeneren houdt. De puzzels variëren van eenvoudig tot zeer moeilijk, puzzels die zelfs tot ver in de middelbare school een uitdaging kunnen zijn. De opdrachten vragen om doorzettingsvermogen van de puzzelaar en om wiskundig redeneren met verschillende strategieën. Ze zijn vooral ook geschikt voor de sterke rekenaar!

Gegevens Materiaal: Resolf Uitgever: Resolf (www.resolf.nl) Doelgroep: vanaf groep 3 Aantal spelers: 1 Duur: vrij Kosten speelbord: €39,95 Afbeelding 1

resolf

‘Resolf’ bestaat uit een speelbord, drie beschrijfbare vierkantjes en zes beschrijfbare rondjes. Verder is er een bewaarzakje en een uitwisbare stift. Daarnaast heeft Resolf een groot aantal opdrachtkaarten (met oplossingen) die te downloaden zijn via internet. Resolf kan ook online gespeeld worden en sinds kort is er ook een app.

uitleg

Het ontwerp van Resolf bestaat uit een graaf. Een graaf bestaat uit knooppunten die verbonden zijn met lijnen. Knooppunten kunnen samen met lijnen een omsloten veld vormen (zie afbeelding 2). Van dit principe maakt de auteur, Rolf Doets gebruik bij zijn puzzels: hij geeft veldwaarden voor de omsloten gebieden en speelwaarden voor de knooppunten.

2. Voorbeeld van een puzzelopdracht

39 hun schijfjes neerleggen en steeds weer anders plaatsen tot de puzzel is opgelost. De oplossingen zijn ook te vinden op de site. In de onlineversie op de site en in de app kunnen de schijfjes digitaal verschoven worden. Spelers kunnen ook hints vragen.

voorbeeld

‘resolf’ en rekenenwiskunde

Afbeelding 3

Bij deze puzzel moet de speler de getallen 1 tot en met 6 zo op de knopen leggen, dat de veldwaarden kloppen, waarbij het gaat om vermenigvuldigen. De speler kan lukraak proberen óf nadenken over de relaties tussen de getallen en de grootte van de producten: - 30 heeft vier knopen en moet het product zijn van 4 getallen. 5x6 is al 30. Voeg je 1 toe (5x6x1) dan blijft het 30, maar dan moet er nog een getal bij. Dus 5 en 6 kunnen nooit bij hetzelfde veld geplaatst worden.

De speler moet de speelwaarden zo op het speelbord plaatsen, dat de veldwaarden kloppen, waarbij een wiskundige bewerking gevolgd moet worden. In afbeelding 2 zijn de drie veldwaarden gegeven: 18, 19 en 17. Ook de speelwaarden zijn bekend: 0,3,5,6,8 en 9. Het type bewerking dat gebruikt moet worden is hier optellen (+). De speler moet de speelwaarden nu zo op het speelbord leggen, dat alle drie de veldwaarden kloppen. De puzzelopdrachten staan in een pdf op internet (http://www.resolf.nl/ Exercises). De opdrachten verschillen in moeilijkheidsgraad. De speler noteert met de stift de veldwaarden en speelwaarden op de witte stenen. De veldwaarden plaatst hij in de velden. Het is nu aan de speler om te bepalen op welke knopen welke getallen moeten komen, zodat de puzzel klopt. Dit kan door trial and error, maar ook door meer strategisch te spelen en

vooraf te kijken welke speelwaarden wel of niet op bepaalde knopen kunnen liggen. Zo zie je dat 17 gemaakt moet worden met vier getallen. Dat kunnen nooit 8 en 9 zijn, want die zijn samen al 17. Voeg je daar 0 bij, dan moet er nog een getal bij en dat kan niet. Al redenerend kan een speler dus speelwaarden voor bepaalde plaatsen uitsluiten. Hoewel het bij deze puzzel om optellen gaat, is de speler ook bezig met aftrekken (aanvullen) en maakt hij gebruik van de inverserelatie tussen optellen en aftrekken. Op de site van Resolf (www.resolf.nl) staan niet alleen opdrachten met optellen en vermenigvuldigen en hele getallen, maar ook opdrachten waarin met negatieve getallen, decimale getallen en breuken gerekend kan worden. De auteur heeft ook puzzels ontworpen waarin met het metriek stelsel geoefend kan worden. Op het fysieke speelbord (zie afbeelding 1) kunnen de spelers

In Resolf gaat het om formeel rekenen en redeneren. De speler moet met zes gegeven getallen op basis van bepaalde condities opdrachten oplossen. Voor de basisschool betreft dat vooral optellen, aftrekken en vermenigvuldigen en delen met hele getallen, breuken en decimale getallen. Omdat de speler met gegeven getallen een doelgetal moet kunnen maken, worden ook inverse relaties tussen bewerkingen aan de orde gesteld: tussen optellen en aftrekken en tussen vermenigvuldigen en delen. Leerlingen leren flexibel rekenen en redeneren over de bewerkingen: waarom kunnen bepaalde oplossingen niet en hoe kun je het handig aanpakken. Een speler die het spel vaker speelt, zal zeker meer strategisch gaan redeneren. Er zijn ook opdrachtkaarten waarbij het metriek stelsel geoefend kan worden, maar het is de vraag of dit spel zich daar nu echt voor leent. Waar het zich wel heel goed voor leent is, dat kinderen zelf puzzels voor elkaar maken. Hoe doe je dat dan en wanneer is een puzzel makkelijk of moeilijk? Is er maar één oplossing? Door met de kinderen over dergelijke puzzels oplossen en ontwerpen te praten, wordt het leerrendement zeker groter.

resolf iets voor de rekenles?

Resolf biedt opdrachten voor leerlingen vanaf groep 3. Zeker ook voor jonge slimme rekenaars kunnen de moeilijker opdrachten een uitdaging zijn! Het zijn puzzels die de kinderen zo even tussendoor kunnen doen, ofwel op het speelbord, ofwel online of via de app. De digitale versies hints en zijn zelfcontrolerend. Als leerlingen puzzels voor elkaar maken op kaarten, kunnen die ook weer door klasgenoten opgelost worden.

Geheel vernieuwd

Digitaal handelingsprotocol begaafdheid Het complete systeem voor het begeleiden van begaafde kinderen in groep 1-8 Alle leerlingen op uw school verdienen zorg en aandacht. Passend onderwijs strekt zich dus ook uit tot de begaafde leerlingen. Dat is niet altijd even gemakkelijk. Hoe herkent u die leerlingen en wat hebben ze dan precies nodig? Hoe kunt u tegemoet komen aan wat die leerling nodig heeft binnen de grenzen van inclusief onderwijs?

Met het Digitaal handelingsprotocol begaafdheid (DHH) identiďŹ ceert en begeleidt u begaafde leerlingen uit groep 1 tot en met 8 van het basisonderwijs. Bijna 2000 scholen maken al gebruik van dit online protocol met instrumenten die u op handelingsgerichte wijze helpen om begaafde leerlingen niet alleen te herkennen maar ook goed te begeleiden. DHH gaat uit van een educatief partnerschap tussen ouders en school.

Weten hoe DHH werkt? Kijk op www.dhh-po.nl ÂŠ 2018 Koninklijke Van Gorcum