Bloques 1 al 3 by profesora_Magali

BLOQUE I

REALIZAS OPERACIONES ARITMÉTICAS Y ALGEBRAICAS

ALGEBRA INTERMEDIA I

Bloque I

REALIZAS OPERACIONES ARITMÉTICAS Y ALGEBRAICAS

En la vida diaria te encuentras con actividades que involucran operaciones con diferentes cantidades, y no siempre esas cantidades son números enteros. Así un carpintero o albañil en su trabajo utiliza cintas métricas en las que toma mediciones como ¼ de pulgada para un corte, utiliza maderas de ¾ ó ½ pulgada de espesor, en el mercado compramos ¼ de jamón o ½ kilo de queso, multiplicamos por los costos y cantidades correspondientes, sumamos o restamos este tipo de números. En matemáticas le llamamos operaciones con números racionales. En sentido amplio se llama número racional o fracción común a todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero. Desempeños a demostrar:  Jerarquiza operaciones numéricas al realizarlas  Realiza operaciones aritméticas, siguiendo el orden jerárquico al efectuarlas  Representa relaciones numéricas y algebraicas entre los elementos de diversas situaciones  Identifica las operaciones de suma, resta, multiplicación de polinomios de una variable.  Ejecuta sumas, restas y multiplicaciones con polinomios de una variable.  Emplea productos notables para determinar y expresar el resultado de multiplicaciones de binomios. Competencias a desarrollar: • • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean. Formula y resuelve problemas matemáticos aplicando diferentes enfoques. Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemáticas. Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Objeto de aprendizaje NÚMEROS RACIONALES

Inicio de clase

En el salón de Lupita, por ser semana de inicio de clases decidieron preparar una ensalada de frutas. La maestra tutora les pidió comprar los siguientes ingredientes: Plátanos: 1 ½ kg, uvas: ¾ kg, ciruelas: 0.75 kg, peras: 1.25 kg, manzanas: 1 ¼ kg, naranjas: 2.50 kg, piña: ¾ kg, duraznos: 0.80 kg, melón: 2.40 kg y sandía: 2 ¼ kg. ¿Cuántos kilogramos de fruta se comprará? Participa con tus compañeros de equipo para realizar la siguiente actividad:

1. Expresa en números fraccionarios las cantidades dadas en decimales y en fracciones mixtas.

2. Una vez que todas las cantidades estén en fracciones, agrúpalas de acuerdo a su denominador, y realiza la suma de las fracciones con denominador común.

3. ¿Cuál es la cantidad total de fruta que se tiene que comprar, expresada en fracción?

ALGEBRA INTERMEDIA I

4. La maestra tutora decidió aportar 1/5 parte de la fruta que se va a comprar, ¿Con cuántos kilos ayudará? ¿Cuánto dinero le corresponde pagar a la maestra si en total se gastará en fruta 260 pesos?

5. Una vez preparada toda la fruta se repartió en doce cacerolas, 4 de ellas eran de vidrio y las otras de plástico. ¿Qué fracción de la fruta total está en cacerola de vidrio?

7. Participa activamente en la resolución de los ejercicios propuestos por el maestro para el desarrollo de la competencia, involucrando operaciones aritméticas, haciendo énfasis en las operaciones con fracciones.

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E01: Operaciones básicas aritméticas Nombre: ______________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve los siguientes problemas y ejercicios, sobre operaciones básicas con fracciones.

Operaciones de suma y resta: 1. La rondalla de la escuela entrenó 4 1/3 de horas el lunes, 3 ¼ de horas el martes, 2 ¼ de horas el jueves y el viernes se me olvidó cuánto tiempo, pero en total entrenó 12 horas. ¿Cuántas horas entrenó el viernes? _________________ 2. Jacinto pidió a Don Tomás permiso para visitar a su novia Lolita, y le concedieron solamente 15 horas a la semana. Jacinto la visitó las siguientes horas en diferentes días de la semana: 3 ½, 4 2/3, 12/5, y 4 ½ de horas. Al término de la semana Don Tomás regañó a su hija por no cumplir con el horario, ¿con cuánto tiempo se pasaron?

3. 1/2 + 2/5 + 1/4 =

4. 4 ½ - 2 ¼ =

3+ 2 4 + −2 5 3 =

Operaciones de multiplicación y división: 1.- El tinaco de agua potable que se encuentra en la unidad deportiva tiene capacidad para almacenar 320 litros de agua. Si está lleno hasta 5/8 de su capacidad y se estima que cada usuario toma 4/3 de litro de agua, ¿para cuantas personas se espera que alcance el agua?

4 3 5 4

2. 2( )( )

2 4( ) 3 3. 2 5

ALGEBRA INTERMEDIA I

4. Un fraccionamiento cuenta con un depósito de reserva de agua con una capacidad de almacenamiento de 5,000 m3, sólo que en este momento tiene 2/5 de su capacidad. Se tienen programado dos recargas: una de 1/4 de la capacidad del depósito y otra de 1/8. ¿Con cuánta cantidad de agua se quedará el depósito si se sabe que en la semana se utilizará 1/5 de la capacidad del tanque?

2 3 + 7( ) 5 = 5.2 1+ 5 Operaciones mixtas con y sin paréntesis: 1. Empecé mi entrenamiento para bajar de peso, pero me recomendaron aumentar gradualmente el recorrido sobre la pista, así que el primer día corrí 4 vueltas, el segundo día 4 1/5 de vueltas, tres días seguidos solamente 4 ¾ de vueltas, el sexto día 5 vueltas y el séptimo día le agregué 7/4 de vuelta más que el segundo día. ¿Cuántas vueltas di la primera semana?

2. Además del ejercicio diario me recomendaron comer sano. En el desayuno tomar ¾ de taza leche descremada, ¼ de tasa de frijoles molidos, ½ kg de pera, 1/6 de kg de queso Oaxaca, ¾ de bolillo sin migajón, durante tres días a la semana. Los cuatro días restantes, ¾ kg de fresas, ¾ de taza de leche descremada, ½ bolillo sin migajón, 1/5 de taza de frijoles molidos, 6/5 kg de manzana, y 1/3 kg de queso Oaxaca. ¿Cuántos kilogramos de fruta necesito comprar a la semana? ¿Cuánto pagaré en bolillos al mes (cuatro semanas) si cada bolillo cuesta 2 pesos? Si compro dos kilogramos de queso Oaxaca, ¿cuántos gramos me quedarán al finalizar la semana? ¿Para cuántos días alcanzará un galón (4 litros) de leche descremada si cada taza equivale a 1/3 de litro?

1 3

1 5

1 4

3.- 2  − ( + ) 4.- {3 – [2 + 5(3 – 5) + (-2) – 6]}

5.-

3 1 − 2 4 4 3

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E02: Integrador operaciones con fracciones Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, realiza correctamente las siguientes operaciones con números fraccionarios, no utilices la calculadora. Ejercicio 1.

5 2 1 − ×  = 12  6 2 

1 1 3  × + = 2 4 8

−3  2 1 ÷ −  = 9  6 3

 7 − 1  25 = ÷  + 3 2  −9

 5 2 −5 = × ÷  −8 3 6

1 5  6 2 8 × − − + 3 4  10 4  15

3 5 2 5  − + ÷ 8 4 7 4

− 41 7 10 + + = 3 − 5 15

3 6 +5− = 4 9

Desarrollo y solución

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LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev01: Operaciones aritméticas con fracciones

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque I

Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 20%) Criterios de desempeño 1. Presenta en tiempo establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E01: Operaciones básicas aritméticas A. Resuelve correctamente las operaciones de suma y resta B. Resuelve correctamente las operaciones de multiplicación y división C. Resuelve correctamente las operaciones mixtas con y sin paréntesis 4. Al menos 8 de las operaciones del ejercicio E02: Integrador de operaciones con fracciones se resolvieron correctamente

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

SÍ

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Objeto de aprendizaje EXPRESIONES ALGEBRAICAS 1. Realiza una investigación en bibliografía básica o copias de direcciones electrónicas que contengan las leyes de los exponentes. Sugerencias de fuentes de información: • http://es.wikipedia.org/wiki/Potenciaci%C3%B3n • http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/exponentes-leyes.html • http://yachay.stormpages.com/04ent/e4p.htm

E03: Leyes de los exponentes Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: De acuerdo a la investigación realizada, elabora un esquema que muestre las leyes de los exponentes, incluye un ejemplo concreto y en las siguientes oraciones anota si es verdadero o falso según corresponda. 1. Al multiplicar dos potencias de igual base, el resultado es la misma base y se suman los exponentes _____________. 2. Al multiplicar dos potencias de diferente base, el resultado es la base menor y se restan los exponentes _____________. 3. Todo número elevado a la cero potencia tiene como resultado la unidad__________.

35 2 4. 3 = 3 3

___________.

5. Si a − m =

1 1 , significa entonces que 4 − m = ____________. m a − 4m

6. Si a − m =

23 1 1 = 2 −2 = 2 ____________. , significa entonces que 5 m 2 2 a

7. (43)2 = 43 + 2 = 45 ____________. 8. (42)-3= 1 42 9.

1 42

1 42 ___________.

a3 = a 3−3 = 0 _____________. 3 a

10. 32 + 32 = 34 _____________.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Fecha: ___/_____/201___

E04: Simplificación de expresiones racionales Nombre: ______________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Simplifica las siguientes expresiones aplicando correctamente las leyes de los exponentes.

Regla de la multiplicación 1. (3)5(3)3 2. (x)2 (x)4 (x)3 3. (2xy) (3x2 y3)(y)3 4. (2/5)2 (2/5)3 5. (2/3) 2 (3/2)-3

Regla de la división 26 1. 3 2 4x5 y 2. 2x 4 y 2

3 x 3 yz −2 3. 9x 6 y 4

27 x 3 y 2 4. 81x 6 y 3 Regla de la potencia 1. (52)3 2. (a 2b 4)2 3. (2x2 y-2z)4

3x 2

5. (22)1/2

ALGEBRA INTERMEDIA I

Reglas combinadas 1.- (3a3b-2)(a2b4)2 2.- (2x3)(3x2y3) / (4xy5) 3.- (3x3)2 (2x4y3) / (9x3y2) 4.- (23b4)3 (2a2b3) 5.- (1/2)2 (1/2)3 / (1/2)4

Notación científica El primer intento de representar números demasiados grandes fue emprendido por el matemático y filósofo griego Arquímedes, descrito en su obra. El contador de Arena en el siglo III a. C. Ideó un sistema de representación numérica para estimar cuántos granos de arena existían en el universo. El número estimado por él era de 1063 granos 1. La notación científica es una manera rápida de representar un número, utilizando potencias de base diez. 1. La distancia entre el planeta Saturno y Neptuno es de 3074.9 x 106 km. Si una nave espacial viaja de un planeta a otro a una velocidad de 18.9 x 104 km, ¿en cuánto tiempo llegará? Posteriormente la nave espacial decide viajar de Saturno al planeta Tierra a la misma velocidad, tardando 67.71 x 102 horas, ¿cuál es la distancia entre el planeta Tierra y Saturno?

(0.00035)(500,000) 0.00005

(0.0025)(1,000000) 0.005

(0.0002)(40,000000) (0.2)(200,000) 4.

http://es.wikipedia.org/wiki/Notaci%C3%B3n_cient%C3%ADfica

ALGEBRA INTERMEDIA I

E05: Integrador leyes de los exponentes 2 Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para manejar las leyes de los exponentes, simplifica las siguientes expresiones algebraicas. Ejercicio 2

x y = xz − 2

2a 3 b + 3a 3 b =

(2a 2 bc 4 ) 3 =

( x 2 y −5 x 3 ) 2 =

( x 3 y 8 ) −4 =

(3 x 2 y −2 ) −2 =

 x 3 y −4 z  xy 5 z 2 7.   xy 4 z − 2  x 2 y 3 z 2  

  = 

x4 y5z2 = x 2 y 4 z −2

 2 x −3 9.  2  xy

Desarrollo y solución

−3

  

−2

Gabriel Huesca Aguilar, Álgebra Intermedia I, Editado por Colegio de Bachilleres de B.C. , 2007, páginas 20 y 21.

ALGEBRA INTERMEDIA I

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev02: Operaciones con expresiones algebraicas

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque I

Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios de desempeño 1. Presenta en tiempo establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E03: Leyes de los exponentes 4. Presenta el ejercicio E04: Simplificación de expresiones racionales A. Utiliza correctamente la regla de la multiplicación B. Utiliza correctamente la regla de la división C. Utiliza correctamente la regla de la potencia D. Utiliza correctamente las reglas en ejercicios mixtos E. Utiliza correctamente notación científica 5. Al menos 8 de los ejercicios de la actividad E05: Integrador de leyes de los exponentes se simplificaron correctamente

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

SÍ

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En la carpintería

Don Luis, el carpintero, desea construir un mueble para estantería, el cual es indispensable que tenga dos áreas cuadradas, donde el cuadrado mayor mida por lado, una unidad menor que el doble del largo del cuadrado menor. El área total del mueble será de 121 pies cuadrados.

Realiza las siguientes actividades: 1. Plantea la forma de calcular el área del cuadrado mayor. Resuelve y simplifica la expresión resultante. 2. Plantea la forma de calcular el área del cuadrado menor. 3. Plantea la forma de calcular el área de cada uno de los rectángulos. Resuelve y simplifica las expresiones resultantes. 4. Suma todas las expresiones resultantes, del cuadrado mayor, del cuadrado menor y de los rectángulos y simplifica de la forma Ax2 + Bx + C = 0. 5. La suma de las áreas de las cuatro secciones es de 121 pies. Iguala la expresión obtenida en el paso anterior a este número. 6. Realiza la multiplicación de las áreas de otra manera, llegando a la misma expresión del área total.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Fecha: ___/_____/201___

E06: Los productos notables Nombre: _____________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Realiza una investigación acerca de los productos algebraicos que se utilizan con mayor frecuencia y el proceso o reglas para que se desarrollen fácilmente. En una ficha bibliográfica elabora un algoritmo donde presentes los pasos para desarrollar cada producto notable, ejemplificándolo con un caso específico. Una vez realizada tu investigación contesta las siguientes preguntas, seleccionando de la columna de la derecha la opción de la respuesta correcta y anótala en el paréntesis correspondiente: 1. Ciertos productos de binomios ocurren tan frecuentemente que se debe aprender a reconocerlos, por eso se les llama: ( )

a) x2 +2xy + y2 b) Factores notables

2. Un binomio (x+4) al cuadrado en su forma de trinomio puede representarse como: ( )

c) x3 – 3x2y + 3xy2 – y3

3. El trinomio a2 – 2bc + b2, es resultado de:

d) (x + y)(x – y)

(

)

4. (x – y)3, en su expresión más simplificada puede representarse como: ( )

e) Productos notables f)

Una diferencia de cuadrados es resultado del producto: ( )

x3 + 3x2y - 3xy2 – y3

g) (- x + y)(x - y)

6. Un trinomio cuadrado perfecto es resultado de: ( )

h) (a - b)2

7. El resultado del producto (x – a)(x – 3) es: (

x2 – 3x – ax + 3ª

x2 + xy + y2

)

k) (x + a)2

ALGEBRA INTERMEDIA I

E07: Productos notables Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: En binas de trabajo comparte con tu compañero el algoritmo para desarrollar productos notables y participa activamente en la transformación de los siguientes ejercicios.

Binomios al cuadrado 1. El espacio para mi escritorio, que tiene forma de cuadrado, es muy pequeño. Por lo que he decidido aumentarle seis pies a cada lado, y de esta manera el área se cuadruplica. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular las dimensiones que actualmente tiene el espacio para mi escritorio.

2. Un rectángulo tiene de longitud 7 centímetros más de lo que mide su lado menor. Si al rectángulo deseamos convertirlo en cuadrado, aumentándole unidades al lado menor, de manera que el área sea de 484 cm2, ¿cuál será la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular las dimensiones del rectángulo anterior?

3. (2x + 3)2

4. (4a + 2b)(4a + 2b)

2 2  x − 2  3

5. 

6. (x – 5)2

7. (a + 3b)(a + 3b)

 1 8.  a − b   2

ALGEBRA INTERMEDIA I

Binomios al cubo 1. Una empresa determina que el costo de producción de “x” artículos es de (45 + 2x)3. Desarrolla este producto.

5. Un contenedor tiene forma cúbica de lado 2x + 4, ¿cuál es la expresión que determina su volumen? Desarrolla su producto. 3. (7x – 2)3

4. (x – 5)3

5. (2a + 3)3

6. (a – b)3

Binomios conjugados 1. Arturo tiene “x” cantidad de años, de tal manera que si le agregamos dos años a su edad y luego a su misma edad le restamos dos años, el producto es 140 años. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular la edad que tiene Arturo.

2. (2x – 3)(2x + 3)

6. (4x2 + 5)(4x2 – 5)

 5  5 2 x − 2 x  x 2 + 2 x   4  4

4. 

5. (3 – 4x)(3 + 4x)

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Binomios con término común

1. Pedro tiene un terreno de hortalizas cuya longitud mide el doble que lo ancho, pero tiene pensado aumentar la longitud en 40 m y al ancho 6 m, de esta manera el área será doble. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular las dimensiones del nuevo terreno.

2. El local comercial de Leonardo tiene actualmente las siguientes dimensiones: 2x de largo y “x + 1” de ancho. Como el espacio es insuficiente decide agregarle 4 metros más al lado largo y 8 metros al lado ancho y de esta forma el área será 5 veces mayor. Determina la expresión algebraica del tipo Ax2 + Bx + C = 0, que ayudaría a calcular las dimensiones del nuevo terreno.

3. Un terreno cuadrado mide a metros de lado. Debido a que al predio se le construyó barda, su frente disminuyó d metros y su fondo b metros. Determina la nueva área del terreno.

4. (3z – 4) (3z + 2)

5. (2x + 2) (3x + 2)

6. (3x – 2) (5x – 3)

7. (x2 + y) (x2 + 2y)

ALGEBRA INTERMEDIA I

E08: Integrador productos notables 3 Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para desarrollar productos notables, transforma correctamente los siguientes ejercicios. 2

3 2

1. (4ab + 6xy ) a+1

2. (x

+ yb-2)2

2 2

3. (3x -5y ) a+1

4. (x

- 4xa-2)2

5. (5a + 10b)(5a - 10b) 2

6. (7x - 12y )(7x + 12y ) 7. (x + 4)

8. (5x + 2y)

4 3

9. (2x y + 4m) 10. (3a - 7xy )

11. (x + 5)(x + 3) 12. (a + 9)(a - 6) 13. (y - 12)(y - 7) 3

14. (4x + 15)(4x + 5) a+1

15. (5y

+ 4)(5ya+1 - 14)

Productos notables, Ejercicios, s/a, http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/ejercipn.htm (acceso 24 de junio de 2011).

ALGEBRA INTERMEDIA I

ESCALA DE VALORES

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev03: Productos notables

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque I

Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios

Excelente Bueno Suficiente Deficiente

1. Presenta en tiempo establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E06: Los productos notables y muestra los pasos necesarios para transformar los productos notables. 4. Presenta el ejercicio E07: Productos notables A. Transforma los binomios al cuadrado B. Transforma los binomios al cubo C. Transforma los binomios conjugados D. Transforma los binomios con termino común 5. Al menos 12 ejercicios de la actividad E08: Integrador productos notables se desarrollan correctamente

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

ALGEBRA INTERMEDIA I

RÚBRICA DE EVALUACIÓN

Datos de Identificación: Alumno

Grupo

Evidencia

Ev04: Proyecto integrador del bloque

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque I

Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa

Criterios de la rúbrica (valor máximo 10%) Criterio

Problema

Excelente (5)

Se trata de un problema de la vida real, de actualidad, fácil de entender, muestra fácilmente los datos, el planteamiento, solución e interpretación del resultado de forma sencilla.

La información tiene estructura adecuada, explica claramente el Presentación problema y la solución, utiliza la creatividad y los que la leen opinan que es muy buena.

Tiempo de entrega

El día que se pide

Bueno(4)

Suficiente(3)

Deficiente

Se trata de un Se trata de un problema de la vida problema que Sólo presenta real, muestra el problema, muestra fácilmente los datos, el fácilmente los el planteamiento, datos, el planteamiento e solución planteamiento, y la solución interpretación del e solución resultado. interpretación del resultado.

Presenta La información tiene Presenta el información, estructura adecuada, problema y la explica el explica el problema y solución, y los problema y la la solución, y los que que la leen solución, y los que la leen opinan que es opinan que la leen opinan que buena. no es buena. es regular.

Al siguiente día

Dos días después

Una semana después

Puntos

ALGEBRA INTERMEDIA I

BLOQUE II APLICAS CASOS DE FACTORIZACIÓN Y RESUELVES ECUACIONES RACIONALES

ALGEBRA INTERMEDIA I

Bloque II

APLICAS CASOS DE FACTORIZACIÓN Y RESUELVES ECUACIONES RACIONALES

En nuestra vida diaria encontramos situaciones cuyos datos son parcialmente conocidos, con estas cantidades podemos realizar operaciones básicas que te permiten conocer el valor de las mismas, aplicando técnicas como la factorización y solución de ecuaciones que te ayudará a resolver problemas tales como cálculo de edades, áreas de polígonos, volúmenes, salarios, etc.

Desempeños a demostrar:  Comprende las diferentes técnicas de factorización, tales como factor común, agrupación de términos, trinomios cuadrados perfectos, no perfectos y diferencia de cuadrados.  Formula expresiones en forma de producto, utilizando técnicas de factorización.  Escribe expresiones racionales en forma simplificada utilizando factorización.  Usa diferentes técnicas para resolver ecuaciones lineales en una variable.  Identifica el modelo algebraico de una ecuación cuadrática con una variable.  Comprende los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas con una variable, completa e incompleta Competencias a desarrollar: • • • • •

ALGEBRA INTERMEDIA I

Objeto de aprendizaje FACTORIZACIÓN

Dimensiones del terreno

En el nuevo fraccionamiento de la zona, Elena compró un terreno de forma rectangular cuya área es de 160 m2, le indicaron los vendedores que su terreno tiene de fondo el doble del frente más 4 metros, y que necesita cercarlo lo más pronto posible. ¿Cómo podrá calcular las dimensiones del terreno? Actividad. Participa en una lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el caso anterior y contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Qué busca encontrar el problema?

2. ¿Qué datos proporciona el problema?

3. ¿Cómo puedes expresar en forma algebraica los datos que proporciona el problema (frente y fondo)?

4. ¿Cómo se relacionan los datos del problema?

5. ¿Qué necesitas saber para resolver el problema?

ALGEBRA INTERMEDIA I

6. Elabora una reflexión acerca de la importancia de conocer diferentes métodos de factorización para resolver problemas de la vida cotidiana.

Actividad de aprendizaje 1. En equipo de 3 personas analiza los diferentes métodos de factorización que recuerde cada uno, utiliza la bibliografía básica para despejar dudas y las ligas propuestas en caso necesario. Sugerencias de fuentes de información:   

http://es.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/factorizacion/factorizacion_polinomios.htm http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/factorizacion.PDF  http://ejercicioscasosdefactorizacion.blogspot.com/  http://www.youtube.com/watch?v=x01aAZ8sPiU

Fecha: ___/_____/201___

E09: Casos de factorización

Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Una vez realizada tu investigación realiza fichas sobre los tipos de factorización que existen. Guíate en el ejemplo dado. Nombre del caso: Factor común. Fórmula (si existe):

ax2 + bx = x (ax + b)

Algoritmo o pasos para transformarlo

Expresión algebraica (ejemplo)

Sacar el factor común es extraer la literal común de 4x3 + 8x2 – 12x = 4x (x2 + 2x – 3) un binomio o polinomio, con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes

Nombre del caso: Fórmula (si existe): Algoritmo o pasos para transformarlo

Expresión algebraica (ejemplo)

ALGEBRA INTERMEDIA I

Elige un compañero para trabajar en pares e intercambia tus ejercicios seleccionados previamente para que después realices una actividad de coevaluación y enseguida reforzar la competencia con los siguientes ejercicios. Fecha: ___/_____/201___ E10: Factor común y Agrupación de términos Nombre: _________________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación resuelve los siguientes ejercicios de factorización, utilizando el método de factor común y agrupación de términos. 2

1. 2x + 6x 2

2. 3x - 9x 3

3. 2x + 8x 4

4. 5x + 6x

2 2 1 4 x − x 3 6 4

6. 9x + 6x – 3x 3

7. 4x + 16x – 8x

8. 6ax – 18bx + 36cx 2

9. abc – 2a bc + a bc

10. (x – 1)(x+3) – (x – 1)(x – 4)

11. ax + bx – ay – by 2

12. 5x - 6y – 2y + 10x 2

13. 4x + 2x – 4y – 2y 2

14. a + ab – 2b + 2a – 2b

ALGEBRA INTERMEDIA I

E11: Diferencia de cuadrados

Fecha: ___/_____/201___

Nombre: ________________________________________ Grupo: _________ Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación realiza los siguientes ejercicios de factorización, utilizando el método de diferencia de cuadrados. 2

1. x – 25 2

2. 4x – 49 2

3. x – 36y 4

4. x – 9y

1 2 4 x − 9 16 2 4

6. 4 – 9a b 2

7. 16x – 144

4 2 1 4 x − y 49 4 2

9. 36 – 81a 2 2

10. 25a x – 121a 11.

1 2 4 4 x − y 9 25 4 6

12. 36 – 9x y

13. 5 - x 4

14. 81a – 49a

ALGEBRA INTERMEDIA I

E12: Polinomios de la forma ax2+bx+c Fecha: ___/_____/201___ Nombre: _____________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y a continuación realiza los siguientes ejercicios de factorización, utilizando el método de polinomios de segundo grado. 1. x2 – 14x + 49 2. x2 – 16x + 64 3. x2 – 17x + 70 4. x2 – 9x + 20 5. x2 + 13x + 42 6. x2 – 3x - 40 7. x2 – 2xy – 8y2 8. 36x2 – 36x + 9 9. 81x2 – 54x + 9 10. 2x2 – 4x - 16 11. 3x2 – 19x + 20 12. 6x2 + 7x - 20 13. 400 + 40y + y2 14. z2 + 18z + 81 15. -8x + 16 + x2

ALGEBRA INTERMEDIA I

E13: Integrador factorización de polinomios Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, simplifica correctamente las siguientes expresiones, aplicando el caso o los casos de factorización que sean necesarios. Ejercicio 1.

x 2 + 11x + 18 x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 9 2 x 2 + 8x + 6

3 x 2 − 48 = x 2 + 8 x + 16

x 2 − 36 = 4 x 2 − 16 x − 48

2 x 2 + 4 x − 30 = x 2 + 9 x + 20

x 2 − 12 x + 20 = 5 x 2 + 25 x − 70

3 x 2 − 192 = 3 x 2 + 12 x − 96

6 x 2 − 24 x − 126 = 2 x 2 − 10 x − 28

5 x + 45 = x + 5 x − 36

Desarrollo y solución

ALGEBRA INTERMEDIA I

LISTA DE COTEJO Datos de Identificación Alumno Grupo Evidencia

Ev06: Expresiones algebraicas factorizables

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque II

Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios de desempeño

SÍ

1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E09: Casos de factorización 4. Presenta el ejercicio E10: Factor común y los ejercicios intercambiados con su compañero de coevaluación. 5. Presenta el ejercicio E11: Binomios al cuadrado y los ejercicios intercambiados con su compañero de coevaluación. 6. Presenta el ejercicio E12: Polinomios de la forma ax2+bx+c y los ejercicios intercambiados con su compañero de coevaluación. 7. Al menos 8 de los ejercicios de la Actividad E13: Integradora: Factorización de polinomios presentan el procedimiento adecuado para la simplificación.

Coevaluación realizada por: _________________________________________________

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

ALGEBRA INTERMEDIA I

Objeto de aprendizaje ECUACIONES LINEALES RACIONALES

En la zapatería

Adriana compró unos zapatos y le quedaba la mitad de lo que tenía menos $30, al prestar 2/3 de lo que le quedaba se dio cuenta que tenia $260. ¿Cuánto tenía en un principio?

Actividad Participa en la lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el anterior caso presentado y contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Qué se pretende encontrar el problema?

2. ¿Qué datos proporciona?

3. ¿Cómo puedes expresar en forma algebraica los datos que proporciona el problema (costo de los zapatos, lo que prestó y lo que le quedó después de prestar)?

4. ¿Cómo se relacionan los datos?

5. ¿Qué necesitas saber para resolverlo?

6. Elabora una reflexión acerca de la importancia de conocer diferentes métodos para resolver ecuaciones lineales para resolver problemas de la vida cotidiana.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Analiza la siguiente lectura: -

¡No entiendo por qué tenemos que aprender a resolver ecuaciones! Exclamaba Arturo después de terminada la clase de matemáticas. - ¡Ni que tuviéramos necesidad de hacerlo! Lo secundaba Tobías. Sin que ambos se dieran cuenta, Cecilia los había escuchado. Se acerca a ellos con una cara muy afligida.

- Muchachos, ayúdenme, necesito repartir estos calendarios y si no lo hago pronto perderé mi trabajo, pero además debo entregar otras agendas. – No te preocupes, nosotros llevaremos los calendarios-, contestó Arturo, -¿qué tan difícil puede ser? -Realmente no, solamente sigan las instrucciones escritas en el papel, y entréguenlos tal como se indica, muchas gracias muchachos. Se despidió Cecilia al momento que les dejaba los calendarios y les escribía las instrucciones. “Entregar los 310 calendarios de la siguiente manera: Al local “A” se le darán 20 menos que al local “B” y 40 más que al local “C”, de no hacerlo así estaré despedida” ¡Bonita cosa!, ¿y ahora qué hacemos?, preguntó angustiado Tobías; -¡pues que más! A pensar y resolver este acertijo. -Primero los datos disponibles, tres locales, A, B, C. –Recuerdo que el profesor dijo que hay que utilizar una variable-, se esforzaba Arturo por pensar en un procedimiento. -Le llamaremos “x” al local “B”, de esta manera, si el local “A” debe tener 20 calendarios menos que el local B, entonces el local “A” tendrá x – 20. –Tobías también hacia su esfuerzo-Y entonces el local “C” tendrá 40 calendarios menos que lo que le corresponden al local “A”, es decir, le entregaremos (x – 20) – 40 calendarios. –Concluyó diciendo Arturo. Tomando papel y lápiz, hicieron las operaciones necesarias, ya solo les quedaban algunos minutos para hacer las entregas. -Tobías, ¿qué vas a hacer una vez que entreguemos los calendarios?, -No lo sé, pero te aseguro que no pienso preocuparme por saber para que me sirve resolver ecuaciones de matemáticas.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Actividad Contesta las siguientes preguntas y sigue el procedimiento indicado. 1. ¿Cuáles son los datos que intervienen en el problema que tratan de resolver Arturo y Tobías?

2. Si al Local “B” se le asignó la variable “x”, entonces, de acuerdo a las condiciones del problema, ¿Qué expresión le corresponde a: Local “A” ______________ Local “C” ______________ 3. Plantea la ecuación que ayudará a resolver este problema (igualando a la suma total de calendarios).

4. Resuelve la ecuación lineal resultante. ¿Qué valor le corresponde a “x”?

5. Tobías y Arturo entregaron 70 calendarios en el local “C”. ¿Hicieron lo correcto?

ALGEBRA INTERMEDIA I

E14: Ecuaciones lineales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y resuelve correctamente las siguientes ecuaciones lineales.

DE “ESTAMPITAS” Coeficientes enteros: 1. Entre Lupita y María lograron juntar 152 estampitas. María, que siempre ha sido más activa, pudo aportar 22 estampitas más que su amiga. ¿Cuántas estampitas juntó Lupita? 2. 2(x – 2) = 3(2x + 6) 3. 5(4x – 1) – 2(5x – 5) = 20(x + 1) 4. 3(x + 2) + (x – (- 3)) + 4 = 29 5. Mario, Artemio y José decidieron también juntar estampitas, ellos lograron obtener 325. Mario juntó 80 estampitas más que Artemio y José 25 estampitas menos que Artemio. ¿Cuántas juntó cada quien? 6. x + 3(x – 1) = 6 – 4(2x + 3) 7. 2(3x – 1) = - 4(x + 2)

8. De las 90 estampitas que tiene Artemio, algunas son de deportistas, otras de paisajes y algunas más son de animales exóticos. Las de deportistas son 20 más que las de animales y las de paisajes 16 menos que las de deportistas. ¿Cuántas son de cada una? 9. (4 – x) – (x – 5) = 4(x - 3)

10. Don Serafín les regaló 300 estampitas de paisajes a Mario, Artemio y José y las repartió de modo que Artemio tenga el doble que Mario y José el triple que Mario. ¿Cuántas estampitas tiene Mario?

ALGEBRA INTERMEDIA I

E15: Ecuaciones lineales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Escucha con atención las indicaciones de tu maestro, realiza las intervenciones que te ayuden a entender sus instrucciones y resuelve correctamente las siguientes ecuaciones lineales.

DE “EDADES” Coeficientes fraccionarios: 1. Raúl tiene 21 años y su padre 52. ¿En cuántos años la edad de Raúl será la mitad de la que su padre? 2.

11x 9 x 10 + = 18 18 3

5x 1 + = −(-(2x 2 x ++ 55)) 12 6

4. La edad de Pedro es 3/4 partes de la edad de Jorge, pero dentro de 4 años será 5/6 partes de esa misma edad. ¿Cuántos años tiene Jorge? 5.

1 1 2 3  x + = − − x  3 5 3 5 

x 2 7 + = 2 3 6

7. La suma de las edades de Ana y Graciela es 65 años. Dentro de 10 años la edad de Graciela será 5/12 de la de Ana. ¿Cuál es la edad de cada una? (Sugerencia: llama “x” a la edad de Ana y “65 – x” a la edad de Graciela). 8. 3 x −

9. 4 −

2x x 7 = − 5 10 4

10 x + 1 16 x + 3 = 4x − 6 4

10. Una persona tiene los ¾ de la edad de su hermana. Dentro de un número de años igual a la edad actual del mayor, la suma de ambas edades será 75 años. ¿Cuántas años tiene cada una?

ALGEBRA INTERMEDIA I

E16: Ecuaciones lineales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Reúnete con tu equipo, lee con atención los siguientes problemas y resuélvanlos. Algunos están relacionados entre sí, por lo que tienen que trabajar colaborativamente, resolviendo cada uno en el orden establecido.

Aplicaciones:

“RECABANDO FONDOS” El grupo 501 de la capacitación de Contabilidad tiene 52 alumnos. Ahí el número de mujeres excede en diez a la mitad del número de hombres. Determina la cantidad de hombres y mujeres en el grupo. Para recabar fondos para su graduación, los hombres decidieron vender 3 camisetas cada uno. De la totalidad de camisetas, las blancas son 8 menos que las de color. ¿Cuántas son de cada una?

Por las camisetas blancas cobraron 50 pesos y por las de color 60 pesos. El total recabado deciden dividirlo en tres partes, de modo que la parte mayor sea 240 pesos más que la cantidad menor y la cantidad intermedia 200 pesos menos que la cantidad mayor. ¿A cuánto equivale la cantidad mayor? El jefe de grupo, que hizo la división de las cantidades expresó: “Si la cantidad mayor la divido entre 100, será exactamente mi edad”, ¿cuántos años tiene?

Las mujeres por su parte deciden vender boletos para una rifa. No todos los 60 boletos se vendieron. Si a la totalidad de boletos vendidos se le restaran 15 se tendría el doble de los boletos no vendidos, ¿cuánto dinero se recabó si cada boleto cuesta 20 pesos?

Finalmente hombres y mujeres decidieron vender pasteles horneados por ellos mismos. Las mujeres vendieron 4 veces el número de pasteles que vendieron los hombres. Si las mujeres hubieran vendido 15 pasteles menos y los hombres 21 pasteles más, ambos hubieran vendido la misma cantidad de pasteles, ¿cuántos pasteles vendieron cada uno?

ALGEBRA INTERMEDIA I

E17: Integrador ecuaciones lineales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones lineales fraccionarias, resuelve correctamente las siguientes ecuaciones lineales. Ejercicio 1.

x −8 = 0 3

4x 7x + =3 3 6

2 x + 5 3x − 8 = 3 4

x − y 2x + y = 12 5

3y + 5 3 = 6y − 4 4

2 1 − =0 y +4 y −3

2x − 5 5 = 4x + 4 3

x − 2 3x + 2 + =3 4 6

x 2x + 4 − =0 12 5

Desarrollo y solución

ALGEBRA INTERMEDIA I

ESCALA DE VALORES

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev07: Ecuaciones Lineales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque ll

Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios

Excelente Bueno Suficiente Deficiente

1. Presenta el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta evidencia del análisis realizado acerca del caso de Adriana. 4. Presenta el ejercicio E14: Las ecuaciones lineales con coeficientes enteros. 5. Presenta el ejercicio E15: Ecuaciones lineales con coeficientes fraccionarios. 6. Presenta el ejercicio E16: Ecuaciones lineales: Aplicaciones 7. Presenta el ejercicio E17: Integrador Ecuaciones Lineales

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

ALGEBRA INTERMEDIA I

Objeto de aprendizaje ECUACIONES CUADRÁTICAS

E18: Solución de ecuaciones cuadráticas Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Elabora un reporte donde presente los pasos para resolver ecuaciones cuadráticas en sus diferentes formas ejemplificándolo con un caso particular. Sugerencias de fuentes de información:  http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_segundo_grado  http://members.fortunecity.com/ceugev/cuadratic.html  http://www.sapiensman.com/matematicas/matematicas44.htm  http://espanol.answers.yahoo.com/question/index?qid=20090127184501AACiXYz Una vez estudiado los procedimientos de factorización resuelve los problemas planteados en el bloque I, E07.- Productos Notables, ya expresados en su forma Ax2 + Bx + C = 0.

1. El espacio para mi escritorio, que tiene forma de cuadrado, es muy pequeño. Por lo que he decidido aumentarle seis pies a cada lado, y de esta manera el área se cuadruplica. Calcula las dimensiones que actualmente tiene el espacio para mi escritorio. 2. Un rectángulo tiene de longitud 7 centímetros más de lo que mide su lado menor. Si al rectángulo deseamos convertirlo en cuadrado, aumentándole unidades al lado menor, de manera que el área sea de 484 cm2, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo anterior? 3. Pedro tiene un terreno de hortalizas cuya longitud mide el doble que lo ancho, pero tiene pensado aumentar la longitud en 40 m y al ancho 6 m, de esta manera el área será doble. Determina las dimensiones del nuevo terreno. 4. El local comercial de Leonardo tiene actualmente las siguientes dimensiones: 2x de largo y “x + 1” de ancho. Como el espacio es insuficiente decide agregarle 4 metros más al lado largo y 8 metros al lado ancho y de esta forma el área será 5 veces mayor. Calcula las dimensiones del nuevo terreno.

ALGEBRA INTERMEDIA I

E19: Ecuaciones cuadráticas Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve las ecuaciones cuadráticas propuestas por el maestro. De Números 1. La suma de dos números es 29 y su producto es 204. ¿Cuáles son los números? Sugerencia: como x + y = 29 y (x)(y) = 204, para resolver con una sola variable se despeja “y” de la primera ecuación y se sustituye su valor en la segunda ecuación: (x)(29 – x) = 204. 2. Dos números son consecutivos y su producto es igual a su suma más 19. Sugerencia: Si un número es “x”, su consecutivo es (x + 1) 3. La diferencia entre el cuadrado de un número positivo y 7 veces ese número es igual a 18. ¿A qué número nos referimos? De Terrenos 4. El área de un terreno rectangular es 96 m2 y la suma del lado largo y el lado ancho es 20 m. (Misma sugerencia que el ejercicio 1). 5. A un terreno cuadrado se le aumentará 6 m por lado y entonces el área será cuatro veces mayor, ¿cuál es la longitud del lado original? 6. Calcula las dimensiones de un terreno rectangular cuya área es 30 hectáreas y su perímetro 22 hectáreas. (Sugerencia: recuerda que el perímetro es 2x + 2y = 22, y de aquí se despeja “y” para sustituir en la ecuación del área). Ecuaciones cuadráticas mediante factorización 7. 2x2 = 22x – 60 8. 2x2 - 30x = 3500 9. 6x2 = - 7x + 3 10. (6 + 2x)(10 + 2x) – 60 = 36 Ecuaciones cuadráticas mediante fórmula general 11. 12x2 - 11x + 2 = 0 12. 6x2 = 2 - x 13. 3 −

5 2 = 2 x x

ALGEBRA INTERMEDIA I

E20: Integrador de ecuaciones cuadrรกticas Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, resuelve correctamente las siguientes ecuaciones cuadrรกticas.

1) x2 = 81 2) 14x2 - 28 = 0 3) (x + 6)(x - 6) = 13 4) (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 5) (x + 11)(x - 11) = 23 6) x2 = 7x 2 7) 21x + 100 = - 5

8) 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 2 2 9) (x - 3) - (2x + 5) = - 16

10) (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1) 2 11) x + 12x + 35 = 0

12) x2 - 3x + 2 = 0 2 13) x + 4x =285

14) 5x(x - 1) - 2(2x2 - 7x) = - 8

ALGEBRA INTERMEDIA I

LISTA DE COTEJO Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev08: Ecuaciones cuadráticas

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque II

Aplicas casos de factorización y resuelves ecuaciones racionales

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E18: Solución de ecuaciones cuadráticas 4. Presenta el ejercicio E19: Ecuaciones cuadráticas 5. Al menos 12 de las ecuaciones del ejercicio E20: Integrador de ecuaciones cuadráticas.

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

SÍ

ALGEBRA INTERMEDIA I

Fecha: ___/_____/201___

E21: Producto integrador del bloque Nombre: _____________________________________

Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje logrado en el Bloque II, diseña un problema de la vida cotidiana que puedas resolver, aplicando las competencias y desempeños desarrollados.

Problema seleccionado:

¿Por qué es importante o interesante el problema propuesto?

Datos relevantes

Planteamiento y solución

Respuesta a la pregunta:

Para terminar de evidenciar tu aprendizaje, prepara la exposición del problema ante el grupo o entrega un reporte al maestro como evidencia integradora

ALGEBRA INTERMEDIA I

RÚBRICA DE EVALUACIÓN

Datos de Identificación: Alumno

Grupo

Evidencia

Ev09: Proyecto integrador del bloque

Asignatura

Algebra Intermedia I

Bloque I

Realizas operaciones aritméticas y algebraicas.

Evalúa

Criterios de la rúbrica (valor máximo 15%) Criterio

Problema E21.-

Presentación

Tiempo de entrega

Excelente (5)

Se trata de un problema de la vida real, de actualidad, fácil de entender, muestra fácilmente los datos, el planteamiento, solución e interpretación del resultado de forma sencilla. La información tiene estructura adecuada, explica claramente el problema y la solución, utiliza la creatividad y los que la leen opinan que es muy buena.

El día que se pide

Bueno(4)

Suficiente(3)

Deficiente

Se trata de un Se trata de un problema de la problema que vida real, muestra Sólo presenta muestra fácilmente fácilmente los el problema, los datos, el datos, el el planteamiento, planteamiento, planteamiento solución e solución e y la solución. interpretación del interpretación del resultado. resultado.

La información Presenta Presenta el tiene estructura información, explica problema y la adecuada, explica el problema y la solución, y los el problema y la solución, y los que que la leen solución, y los que la leen opinan que opinan que la leen opinan que es regular. no es buena. es buena.

Al siguiente día

Dos días después

Una semana después

Puntos

ALGEBRA INTERMEDIA I

BLOQUE III SIMPLIFICAS, REALIZAS OPERACIONES, RACIONALIZAS Y RESUELVES ECUACIONES CON RADICALES

ALGEBRA INTERMEDIA I

Bloque III

SIMPLIFICAS, REALIZAS OPERACIONES, RACIONALIZAS Y RESUELVES ECUACIONES CON RADICALES

En este bloque desarrollarás la competencia en el uso de los radicales y expresiones con exponentes fraccionarios para resolver problemáticas que se presentan en la vida cotidiana, tales como: conocer las medidas de edificios, terrenos, cualquier tipo de polígono, la temperatura de diversos materiales, las distancias a recorrer para llegar a determinado destino, y toda aquellas situaciones que involucre operaciones con radicales.

Desempeños a demostrar:  Aplica las leyes de radicales en la simplificación de expresiones con radicales.  Transforma una expresión con radicales en una expresión con exponentes fraccionarios y viceversa.  Racionaliza expresiones con radicales en el denominador.  Resuelve ecuaciones con radicales y discrimina los resultados.  Resuelve problemas con radicales. Competencias a desarrollar: • • • •

Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos y algebraicos, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Objeto de aprendizaje EXPRESIONES RADICALES

Plano ilegible

Un hacendado decide poner en orden las escrituras de uno de sus terrenos agrícolas, el cual tiene forma triangular, pero se da cuenta que sólo una de las dimensiones está legible. Los notarios le sugieren, para rapidez en el trámite, no medir físicamente el terreno sino utilizar los datos que si están legibles. En el plano se observan los siguientes datos; 8 km de longitud de uno de los lados, el perímetro es de 28 km y un área total de 35.49 km2.

Actividad Participa en una lluvia de ideas acerca de los procedimientos para solucionar el caso anterior y contesta las siguientes preguntas. 1. ¿Conoces alguna manera de encontrar la dimensión de los lados faltantes? 2. ¿Conoces la fórmula de Herón y para qué sirve? 3. ¿Cómo puedes calcular el valor de una semisuma? 4. Elabora una reflexión acerca de la importancia de conocer diferentes métodos para resolver problemas de la vida cotidiana como este. Nota: Este ejercicio se resolverá completamente al finalizar el bloque, una vez que adquieras la competencia en resolución y manejo de radicales. Organiza un equipo de 2 ó 3 personas para que utilizando la bibliografía que te proporciona el maestro donde contiene la explicación de las leyes de los radicales, analices y comprendas su definición y aplicación discutiendo cada una de ellas con tu equipo de trabajo.

ALGEBRA INTERMEDIA I

Sugerencias de fuentes de información: • http://www.galeon.com/student_star/expyrad02.htm • http://html.rincondelvago.com/radicales-y-raices.html • http://www.scribd.com/doc/26893493/PROGRAMA-DE-MEJORAMIENTO-GUIA-10RADICALES-Y-EXPONENTES-RACIONALES-MATHTYPE

E22: Las leyes de los radicales Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Después de haber realizado tu investigación acerca de las leyes de los radicales, analízalas en un ambiente de colaboración y respeto con tus compañeros de equipo y contesta lo que se te pide.

Con la expresión

ab = n a n b , se implicaría que si tenemos la expresión

200 sería

equivalente a: 2. ¿Cuál ley de los radicales se utilizó en la simplificación del siguiente radical:

3. La expresión

2 4

25 5 = 2 2

2 = 6 2 , ¿es falsa o verdadera?

75 al utilizar leyes de los radicales nos permite obtener la expresión 3

4. La expresión ¿cierto o falso?

4 3

5. ¿Cuál expresión es equivalente a 2 ,

6. La expresión

23 o

24 ?

4 3 = 4, ¿es falsa o verdadera? 1

7.- ¿Cómo puedes expresar la operación (4 2 )(9 2 ) , como operaciones con radicales?

ALGEBRA INTERMEDIA I

E23: Simplificaci贸n de expresiones radicales Nombre: ______________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Simplifica cada una de las siguientes expresiones, utilizando leyes de los radicales. 1.

125

192

x4 y6 z2

x5 y3 z

10.

80 x 5 y 12 z 3

ALGEBRA INTERMEDIA I

1. Realiza una investigación en bibliografía básica o copias de direcciones electrónicas que contengan las operaciones básicas con radicales. Sugerencias de fuentes de información: • http://platea.pntic.mec.es/anunezca/ayudas/operaciones_raices/operaciones.htm • http://www.scribd.com/doc/26893493/PROGRAMA-DE-MEJORAMIENTO-GUIA-10RADICALES-Y-EXPONENTES-RACIONALES-MATHTYPE • http://www.vadenumeros.es/cuarto/operaciones-con-radicales.htm • http://azul2.bnct.ipn.mx/algebra/definiciones%20basicas.PDF

E24: Operaciones con expresiones radicales Nombre: _________________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios sobre operaciones básicas con radicales simplificando a su mínima expresión.

Suma y resta de expresiones radicales 1. Un barco que se encontraba en la coordenada (4,4) se desplazó hasta la coordenada (-2, 6), que utilizando la fórmula de distancia entre dos puntos

d = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 ,

calculó

como

distancia d =

40 . Posteriormente se desplazó el doble del recorrido anterior y finalmente 3 10 . ¿Cuál es el recorrido total del barco? (No utilices calculadora). 2. 5 3 − 3 + 6 3

3. 4 3 + 2 3 + 5 − 5 5 − 4 5

3 3 3 4. 108 + 3 32 − 8

5. 2 72 − 3 50 + 6 18

ALGEBRA INTERMEDIA I

Producto de expresiones radicales

(

1. 2 5 4(4-3 − 3 55

)

2. (2 3 -4) (2 3 – 2)

3. ( 3 – 2 )( 3 – 2)

División simple de expresiones radicales 75 1.3 450 72 2.3.-

x4 y6

4.-

16 x 6 y3 3

5.-

4x8 32 x 5

Operaciones mixtas con expresiones radicales 1.

18 x 3 x 5 2x 4 45 x 3 5x 9

98 x 3 y x 5 y 3 2y4 48a 7 27 a 5

108a 6 75a 5 a

ALGEBRA INTERMEDIA I

Ev25: Integrador operaciones con radicales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar tu aprendizaje, realiza correctamente las siguientes operaciones con expresiones radicales y simplifica a su mínima expresión. 1.

5 8 − 3 2 + 5 + 5 32 − 4 5

5 2 + 2 2 − 4 8 + 50

2 x 2 y 4 − 3 xy 2 2 + 5 8 x 2 y 4

16 + 3 2 − 3 128

4 x 2 y + 25 xy 2 − x 2 y + 2 16 xy 2

72 2

3x 4 75 x 6

10.

24 x 5 3x 2

27 2 6

50 x 3 20 x 5 5x 4 52

ALGEBRA INTERMEDIA I

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev11: Operaciones con expresiones radicales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque III

Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 15%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E22: Las leyes de los radicales. 4. Presenta el ejercicio E23: Simplificaciones de expresiones radicales 5. Presenta el ejercicio E24: Las operaciones con expresiones radicales. A. Resuelve correctamente operaciones de suma y resta B. Resuelve correctamente operaciones de multiplicación C. Resuelve correctamente operaciones de división simple D. Resuelve correctamente operaciones combinadas 6. Al menos 8 de los ejercicios de EC25: Integrador de operaciones con radicales.

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

SÍ

ALGEBRA INTERMEDIA I

E26: Racionalización de expresiones radicales Nombre: ______________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Analiza la información que se te proporciona a continuación y resuelve los ejercicios que te proporciona el maestro. Racionalizar una expresión fraccionaria es eliminar las expresiones radicales del denominador. Vamos a estudiar dos casos 1. Un monomio en el radical del denominador Para eliminarlo multiplicamos numerador y denominador por el radical, tal manera que el radical del denominador se convierta en una potencia perfecta.

a a. b a b a b = = = b b b b b2

5 2 2a b) Racionaliza a a) Racionaliza

Cuando el numerador y el denominador se multiplican por una expresión radical, en realidad se está multiplicando por la unidad convertida en una fracción a nuestra conveniencia que anula el radical del denominador.

a a (.3 b 2 ) a 3 b 2 a 3 b 2 = . = = 3 3 b b 3 b (3 b 2 ) b3 2

a) Racionaliza a) Racionaliza

x4 x x3

2. Racionalización cuando el denominador de una expresión racional es un binomio que contiene un radical. Multiplicamos numerador y denominador por la expresión conjugada del denominador. El conjugado de un binomio es un binomio que tiene los mismos términos, pero con el signo del segundo término cambiado.

2 2( a + b ) 2( a + b ) 2 a +2 b = = = 2 2 a−b a − b ( a − b )( a + b ) ( a ) − ( b ) 1.

3 x+ 5

x 3 −5

ALGEBRA INTERMEDIA I

E27: Integrador de la racionalización de expresiones radicales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___

Grupo: ________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para racionalizar expresiones funcionarios radicales transforma correctamente las siguientes expresiones. Ejercicio

8 5

93 3 3 9

18 x 6x

3 1− 3

27 x 5 y 12 4 x 2 y 14

53 2 x 3 5x

3 1− 3

Desarrollo y solución

2 x x + 5y 2 xy − xy x− y

ALGEBRA INTERMEDIA I

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

Ev12: Racionalización de radicales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque III

Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa Criterios de desempeño (valor máximo 10%) Criterios de desempeño 1. Presenta en el día establecido 2. Respeta las reglas de orden y limpieza en cada ejercicio 3. Presenta el ejercicio E26: Racionalización de expresiones radicales A. Racionaliza correctamente radicales con monomios en el B. Racionaliza correctamente radicales con binomios en el 4. Al menos 8 de los ejercicios de E27: Integrador de la racionalización de expresiones con radicales.

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

SÍ

ALGEBRA INTERMEDIA I

Construyendo pirámides

Ana y Santiago están realizando una maqueta de una pirámide de base cuadrada. La condición impuesta es que mida 17 pulgadas de apotema y 16 pulgadas de base. El problema es que no saben la medida de la arista y la altura que debe tener la pirámide para realizar el trazo completo. Buscando en sus apuntes obtuvieron la fórmula para encontrar la apotema que es a = y b = base

h 2 + b 2 , siendo h = altura Actividad: 1. Sustituye los valores conocidos en la fórmula. ____________________ Como el dato desconocido está dentro de la raíz, entonces tienes una ecuación con radicales, por lo que: 2. Elimina la raíz, elevando al cuadrado ambos miembros de la ecuación. _______________________________

3. Despeja la variable “h2”. ___________________ 4. Finalmente, para encontrar el valor de la variable h (la altura de la pirámide), obtén su raíz. ___________________ Santiago investigó también la fórmula para obtener la arista de la pirámide la cual es:

b a = w −  2

Donde a = apotema, b = base y w = arista de la pirámide. 5. De la misma manera como resolviste la ecuación anterior para encontrar la altura de la pirámide, resuelve la ecuación para encontrar la arista. Realiza una investigación en bibliografía básica o direcciones electrónicas que contenga el procedimiento para resolver ecuaciones con radicales.

ALGEBRA INTERMEDIA I

E28: Las ecuaciones radicales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Elabora un esquema que muestre el procedimiento correcto para resolver una ecuación con radicales y contesta lo siguiente:

1. Si

a = 16, ¿qué procedimiento debes seguir para conocer el valor de a?

2. Si

x + 4 = 8 , ¿cuál es tu paso inicial?

3. Si x + x + 5 = 5 , ¿consideras necesario despejar una de las raíces al otro miembro de la ecuación?, ¿por qué?, ¿cuál es la regla para elevar un binomio al cuadrado?

4. ¿Qué procedimiento utilizarías para resolver, teniendo en ambos miembros una raíz?

x+2 =

x + 19 , 2

¿cuál es el valor de la variable “x”?

5. Una ecuación de tipo 3 x 2 = 15 , ¿la puedes resolver como ecuación radical?, ¿qué valor le corresponde a la variable x?

ALGEBRA INTERMEDIA I

E29: Integrador ecuaciones radicales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales resuelve correctamente las siguientes ecuaciones. Ejercicio Desarrollo y solución 1.

x =4 3

x + 5 = 14

4 x −3= 5

2 x −2 =2 4

x = 4 x − 12

x = 15 − 2 x

4x − x + 3 = 0

2x − x = 4

9. 3 x − 8 x + 16 = 0

10.

2x + 3 − x + 1 = 1

ALGEBRA INTERMEDIA I

LISTA DE COTEJO

Datos de Identificación: Alumno Grupo Evidencia

EV13: Ecuaciones radicales

Asignatura

Álgebra Intermedia I

Bloque III

Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evaluación: ________ Observaciones y comentarios:

Sí

ALGEBRA INTERMEDIA I

LA FÓRMULA DE HERÓN

La fórmula de Herón es una herramienta muy útil para el cálculo de áreas de triángulos si conocemos las dimensiones de sus tres lados, sin necesidad de conocer la altura del triángulo. La fórmula de Herón se puede establecer mediante la ecuación

s ( s − a )( s − b)( s − c) , donde el valor de

a+b+c , que significa la semisuma del perímetro; 2

a, b, c son las dimensiones de cada uno de los lados de un triángulo. Esta fórmula como otras más que se utiliza en la ciencia, son ecuaciones o expresiones radicales, que tienen diversas aplicaciones.

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales y comprender su aplicación, contesta las siguientes preguntas y completa la tabla mostrada. Regresando a la situación didáctica de inicio: a) ¿Qué perímetro tiene el terreno del agricultor?

b) ¿Cuál es el valor de la semisuma “s”?

c) ¿Cuál es la ecuación para calcular el área, si sustituyes los datos conocidos?

1. Considerando la expresión

A = s ( s − a )( s − b)( s − c)

ALGEBRA INTERMEDIA I

Encuentra el área de cada terreno con las condiciones establecidas en la tabla.

a+b+c 2

Área

a) En qué condiciones se tiene un terreno con mayor área?

b) De acuerdo al problema del agricultor, ¿cuáles son las dimensiones del terreno triangular cuya área es de 35.49 km2?

c) Utiliza la fórmula de Herón, sustituyendo los datos: A = 35.49, a = 8, b = 9, s = 14 (que se tienen en el plano del terreno del agricultor), y encuentra el valor de “c”.

d) ¿Qué observas?, corresponde a lo previsto en la tabla.

ALGEBRA INTERMEDIA I

E30: Aplicación de ecuaciones radicales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales resuelve los siguientes ejercicios. Aplicaciones de ecuaciones con radicales: a) La velocidad del sonido “v” medida en pies por segundo a través del aire de temperatura “t” grados centígrados está dado por v =

1087 273 + t , si la velocidad del sonido del 16.52

aire se registra como 1126.3 pies/seg, ¿a qué temperatura se registró?

b) La longitud de la apotema de un polígono regular se puede calcular mediante la fórmula

a = r2 −

l2 , donde “r” es el radio del polígono regular y “l” la longitud de su lado. Si el 4

radio del polígono regular es 4cm y la apotema mide su lado.

12 cm, determina la longitud de

c) Una forma de calcular el radio de un cilindro conocido su volumen, es a través de la expresión r =

V . Determina el valor de la altura si el radio es de 1.78 cm y el πh

volumen 50 cm3..

d) Para obtener el período de oscilación de un péndulo se aplica la relación T = 2π

L . g

Calcula la longitud de un péndulo, si el período de oscilación es de 1.4 segundos, y éste se encuentra localizado en un planeta donde la gravedad es de 8 m/s2

ALGEBRA INTERMEDIA I

E31: Aplicación de ecuaciones radicales Nombre: _____________________________________

Fecha: ___/_____/201___ Grupo: _________

Instrucciones: Con el objeto de evidenciar la competencia para resolver ecuaciones radicales y comprender su aplicación, reúnete con tu equipo de trabajo y realiza la siguiente actividad. a) Analiza las siguientes expresiones que contienen radicales, son fórmulas que se aplican en Física o Matemáticas por lo que tienen aplicaciones prácticas. b) Selecciona 5 de ellas y construye una situación para cada una donde la variable o dato faltante se encuentre dentro del radical. c) Elabora un esquema o dibujo que explique la situación planteada. d) Una vez obtenida la ecuación radical, resuélvela aplicando los conocimientos aprendidos. e)

Elabora un documento para entregarlo a tu profesor con las conclusiones correspondientes, y de ser posible, presentar una exposición ante el grupo.

1. Para calcular la altura de las caras de una pirámide regular se utiliza la expresión a = h 2 + a1 , siendo “h” la altura de una pirámide y a1 la longitud de la apotema del polígono regular que forma la base. 2

2. Para calcular la altura de las caras de una pirámide regular se

b2 utiliza la expresión a = l − , siendo “l” la longitud de la arista 4 2

lateral y “b” la longitud de la arista de la base.

3. La longitud de la apotema de un poliedro regular se puede calcular con la fórmula

R 2 − r 2 , donde “R” es el radio del poliedro y “r” el radio del polígono que forma la

cara.

4. En una elipse el semieje menor se determina con la expresión b = semieje mayor, c = semieje focal.

a 2 − c 2 donde a =

ALGEBRA INTERMEDIA I

5. Para calcular el producto de una progresión geométrica se utiliza la fórmula

P = (a1 a n ) n , considerando que a1 es el primer término, y an es el último término de la progresión.

6. Si se quiere calcular el radio de una circunferencia que circunscribe a un polígono regular

l2 se utiliza la expresión r = a − , en donde “a” es la apotema y “l” es la longitud del 4 2

lado del polígono inscrito.

7. Para encontrar cualquiera de los catetos de un triángulo rectángulo, se utiliza el teorema de Pitágoras a =

h 2 − b 2 , siendo “h” la hipotenusa y los catetos “a” y “b”.

8. La resultante “R” de las fuerzas suma componentes Rx, (suma de fuerzas horizontales) y Ry (suma de fuerzas verticales), mediante la expresión R =

9. En un gas ideal diatómico de masa molecular

Rx + R y 2

M y una temperatura absoluta T, la

1.4 RT rapidez del sonido “v”, está dada por v = M . 10. La relación entre el ángulo de inclinación de una carretera (peralteα), la velocidad del móvil (v) y el radio de curvatura (R) está dado por v = tg = tangente del ángulo.

Rg (tgα ) siendo g = 9.8 m/s2 y

ALGEBRA INTERMEDIA I

RÚBRICA DE EVALUACIÓN

Alumno

Asignatura Álgebra Intermedia I

Grupo

Evidencia

Bloque III

EV14 Proyecto integrador del bloque

Simplificas, realizas operaciones, racionalizas y resuelves ecuaciones con radicales.

Evalúa

Criterios de la rúbrica (valor máximo 10%) Criterio

Ejercicio E30

Ejercicio E31: Problemas

Excelente (5)

Bueno(4)

Contestó correctamente los cuatro ejercicios de ecuación con radicales, anotando el procedimiento para resolver la ecuación.

Contestó correctamente tres de los cuatro ejercicios de ecuación con radicales, anotando el procedimiento para resolver la ecuación.

Resolvió correctamente los 5 ejercicios, anotando el procedimiento y presentando un esquema o dibujo para su interpretación.

Suficiente(3)

Deficiente

Contestó correctamente Contestó dos de los cuatro solamente uno ejercicios de ecuación de los cuatro con radicales, anotando ejercicios de el procedimiento para ecuación con resolver la ecuación. radicales.

Resolvió correctamente Resolvió correctamente 3 a 4 de los 5 2 los 5 ejercicios, Solo presenta ejercicios, anotando el anotando el un problema procedimiento y procedimiento y resuelto, el presentando un presentando un planteamiento y esquema o dibujo para esquema o dibujo para la solución. su interpretación. su interpretación.

Presentación

La información tiene estructura adecuada, explica claramente los problemas y la solución, utiliza la creatividad y su presentación tiene limpieza, orden y claridad.

La información tiene Presenta los Presenta información, estructura adecuada, problemas con explica escuetamente los explica los problemas y poca claridad y problemas y la solución, la solución, a la la solución, falta claridad y limpieza a presentación le falta falta limpieza y la presentación. claridad. orden.

Tiempo de entrega

El día que se pide

Al siguiente día

Dos días después

Una semana después

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