Ikonerne

Ikonerne

I Danmark fylder grundbogen stadig en del i matematikundervisningen (Mogensen, 2011), og elever, der altid har gået i en dansk skole, kan derfor også blive udfordret, hvis de introduceres til en mere undersøgelsesorienteret matematikundervisning (Wedege m.fl., 2006). Undervisning, der struktureres efter opgaver, som er ordnet i en bestemt rækkefølge i matematikbogen, kan karakteriseres som en opgavediskurs, fordi sprog, kommunikation og aktiviteter indgår i en sammenhæng (Niss, 2007). Klassiske matematikopgaver har ofte en lukket struktur, som fører til ét rigtigt svar, og opgaverne giver sjældent eleverne mulighed for selv at formulere spørgsmål (ibid.). Fremgangsmåden, eller metoden til at løse opgaven, introduceres af læreren, mens det er elevernes opgave at anvende den. Læreren spørger eleverne om løsningen på opgaverne, eleverne responderer, og læreren giver typisk en kort vurdering af svarets rigtighed. Læreren positioneres som den, der altid kender svaret, og som spørger med det formål at afklare, om eleven også kender det. Denne kommunikationsform er beskrevet af Sinclair & Coulthard (1976) som Initiativ-Respons-Feedback (IRF).

Når undervisningen lægger op til, at eleverne selv skal undersøge flere ting, så kan diskursen betegnes som ”undersøgende” eller, i nogle tilfælde, ”problembehandlende”, og det betyder, at eleverne i højere grad (som i eksempelfortællingen) forventes at ”finde et regnestykke” i en tekst, og at de faglige aktiviteter bevæger sig fra det rutineprægede over mod det eksperimenterende. Eleverne afprøver forskellige strategier i deres undersøgelse, og det betyder, at der skabes mulighed for, at eleverne indgår i dialoger om deres strategier både med hinanden og med læreren. Læreren kan nu stille mere autentiske spørgsmål med det formål at afdække, hvilke tanker eleven har gjort sig i forhold til en problemstilling, og eleverne kan forklare deres fremgangsmåder for hinanden og forholde sig vurderende til, hvilken fremgangsmåde der er mest hensigtsmæssig.

Distinktionen mellem en lærebogsstyret og en undersøgelsesbaseret undervisning betyder ikke, at undervisningen er enten det ene eller det andet. I praksis kan forskellen mellem de to diskurser være udflydende, ligesom elementer fra kommunikationsformen IRF fx kan bruges som udgangspunkt for en undersøgende samtale (Herheim & Johnsen-Høines, 2016). Men distinktionen mellem de to diskurser giver et indblik i, at der knytter sig forskellige forventninger til, hvordan eleverne agerer, og hvorfor det udfordrer eleverne, hvis de ikke kender de relevante spilleregler.

Netop for at tilgodese det dobbelte læringsaspekt, nemlig at lære matematik og at lære, hvilken lærerrolle, kommunikation og aktiviteter, der knytter sig til forskellige undervisningsformer, har vi udviklet et undervisningsmateriale, hvor alle faglige aktiviteter er kategoriseret med udgangspunkt i teorien om sprogspil.Vi har tilføjet en titel og et ikon til hver enkelt kategori for at hjælpe eleverne med at danne sig forestillinger om kategoriernes indhold:

Problembehandling

Træning

Samfundsmatematik

Samtale

Spil De 5 kategorier kan have fælles lighedspunkter. Det kan fx tænkes, at de strategiske overvejelser, man gør sig i bestræbelserne for at vinde et spil, kan være problembehandlende. På den anden side er der i spilkategorien typisk eksplicitte ”spilleregler”, som skal følges, ligesom der er en bedre mulighed for at klare sig godt, hvis man finder frem til en ”vinderstrategi”. Der knytter sig dermed et forholdsvis specifikt ordforråd til spilkategorien.

Vi har tilføjet en kort beskrivelse til hver kategori, som sammen med titel og ikon har til hensigt at introducere eleverne til de enkelte sprogspil og gøre dem bevidste om de tilknyttede forskelle. I en rapporterende artikel fra en samarbejdsskole, der har afprøvet undervisningsmaterialet, fortæller eleverne om deres oplevelse af skiftet til en dansk skole til journalisten fra tidsskriftet Folkeskolen. Her forklarer en elev noget om forskellen:

”Mellemtrinseleverne i V3 fortæller også, at skolen er anderledes i Danmark end der, hvor de kommer fra. Der talte læreren mere og stod ved tavlen. Achmed forklarer, at ved problembehandling løser man et problem. ”Vi finder ud af, hvordan vi skal arbejde - ligesom en detektiv gør,” siger han” (Lauritsen, 2018).

Achmed bruger ordet ”detektiv” som analogi til ikonet for problembehandling, som er et forstørrelsesglas. Selvom Achmeds forståelse af problembehandling iflg. Wittgensteins teori knytter sig til hans erfaringer med at arbejde problembehandlende, så har henvisningen til detektivens arbejdsform hjulpet ham på vej.

Når vi har valgt ”problembehandling” som kategori, skyldes det, at problembehandling udgør en af de 6 kompetencer i matematik, der indgår som færdigheds- og vidensmål i Fælles Mål. Samtidig viste vores empiri et behov for at lære at arbejde med et matematisk problem, som ikke kan løses rutinemæssigt. Omvendt blev der i lærerinterviewene fortalt om et generelt behov for at eleverne kunne få mulighed for at arbejde med udprægede rutineopgaver. Dette giver eleverne tryghed i at arbejde konsoliderende med mulighed for at automatisere og forfine deres færdigheder, og derfor blev ”træning” den næste kategori.

Fagformålet Stk. 3 for matematik lyder: ”Faget matematik skal medvirke til, at eleverne oplever og erkender matematikkens rolle i en historisk, kulturel og samfundsmæssig sammenhæng, og at eleverne kan forholde sig vurderende til matematikkens anvendelse med henblik på at tage ansvar og øve indflydelse i et demokratisk fællesskab”. Med udgangspunkt i dette navngav vi den tredje kategori ”Samfundsmatematik”. At få indsigt i, hvilke spilleregler der gælder og at øve sig i at bruge matematikken til at forholde sig vurderende i samfundsmæssige spørgsmål, er afgørende for elevernes handlemuligheder senere i livet, og samtidig giver det samfundsmæssige aspekt mulighed for at aktivere både elevernes og deres forældres forforståelse.

”Flere af eleverne har talt med deres forældre om skat. De byder ivrigt ind. Pernille Olsen siger, at det koster omkring 80.000 kroner for en elev i skolen i Danmark. Hvorfor mon det? ”Fordi man skal betale for alle lærerne,” siger en pige. ”Skolen køber bøgerne, tavlen, borde og stole,” supplerer to drenge. (Lauritsen, 2018).

Samfundsmatematik indeholder en forventning om, at eleverne deltager i drøftelser i klassen. Her forholder eleverne sig kritisk til samfundsrelaterede spørgsmål, som de tager stilling til, argumenterer om og har en holdning til. Samtalerne kan enten finde sted i klassen med deltagelse af læreren eller i grupper af elever med eller uden deltagelse af en lærer, men der er typisk forskel på det indholdsmæssige plan på en samfundsrelateret meningsudveksling og den samtale, der foregår, når elever samarbejder om at løse en matematikopgave, hvor der fokuseres på at afkode opgaven og finde frem til en egnet strategi eller metode til at løse den. Kategorien ”Samtale” er derfor udpeget som et sprogspil, der fokuserer på forskellige samtaleformer i matematikundervisningen.

Kategorien ”Spil” giver oplagte muligheder for at arbejde med matematiske repræsentationer. Repræsentationerne - og forbindelsen mellem dem - kan hjælpe eleverne med at danne konkrete og mentale billeder af matematikken, som er en forudsætning for at opbygge en robust begrebsforstå-