las Operaciones

se transforma a partir de ellos. Es decir, cómo es posible movilizar las propiedades de los números en cálculos y, recíprocamente, cómo los conocimientos sobre las operaciones nos permiten profundizar la comprensión sobre los números.

En cuanto a la denominación que reciben las diferentes posiciones en la notación numérica (unidades, decenas, centenas, etc.), son introducidas no para insistir en un vocabulario específico, sino en su significado en términos de comprensión de la organización del número, de la relación que guardan entre sí las diferentes posiciones y con los cálculos. De la misma manera que, en las otras situaciones que remiten al análisis de las escrituras numéricas para los problemas en los que se recurre a la denominación de las diferentes posiciones, no se apunta a proponer ejercicios estereotipados de decodificación, sino a brindar oportunidades para que los alumnos y las alumnas puedan extraer información sobre el número a partir de una reflexión sobre su organización.

Acerca del aprendizaje y la enseñanza de las Operaciones

El trabajo con las operaciones con números naturales en la educación primaria involucra la resolución de una diversidad de problemas en los que estas son herramientas de resolución. Al mismo tiempo, implica la construcción y apropiación de diferentes estrategias de cálculo, tanto para obtener resultados exactos como aproximados.

Se trata de que progresivamente las y los alumnos reconozcan una amplia variedad de problemas como constitutivos del sentido de cada operación; es decir que puedan identificar y seleccionar, entre sus conocimientos disponibles, cuál es la herramienta pertinente y que, a partir de poner en juego esos procedimientos, también, puedan confrontarlos y hacerlos avanzar. De manera paralela, se trata de que puedan disponer de diferentes recursos de cálculo que les permitan escoger cuál resulta conveniente emplear, ya sea porque los números que intervienen lo ameritan (por ejemplo, si los datos del problema requieren operar con “números redondos”, quizá, sea conveniente acudir al repertorio de resultados que tengan memorizados o emplear alguna estrategia de cálculo mental, en lugar de aplicar un algoritmo) o porque la respuesta del problema lo requiere (por ejemplo, en los casos en que basta con realizar un cálculo estimativo).

Con frecuencia, desde la enseñanza, se ha propiciado una cierta asociación entre las palabras claves que están en el enunciado del problema y la operación que lo resuelve (por ejemplo, si dice “total”, “agregamos” o “ganamos”, se resuelve mediante una suma o si dice “quitar”, con una resta. Del mismo modo, se asocia la multiplicación con situaciones en las que se repite una misma cantidad y la división con enunciados en los que aparece el término repartir, entre otros). Sabemos, gracias a numerosos trabajos que se han ocupado al respecto, que estas vinculaciones directas pueden dar lugar a diversos tipos de errores, ya que las operaciones que resuelven un problema dependen de las relaciones entre las cantidades que están involucradas y no de la asociación directa con una palabra o acción. Muchos son los ejemplos que se pueden proponer para sostener esta afirmación, por ejemplo: “En una caja, agregué 345 bolillas. Ahora, hay 1.058, ¿cuántas había antes?”. O también, “Mariano repartió 450 bolillas entre sus amigos de la escuela y 368 entre sus amigos del club. ¿Cuántas bolillas repartió?”. Seguramente, ustedes coincidirán con nosotros en que el primer problema no se resuelve con una resta, por más que refiera a “quitar” elementos y que el segundo no se resuelve mediante la división, más allá de que haga referencia a repartos. Esto hace que sea necesario en-

frentar a los alumnos a la resolución de una importante variedad de problemas para que puedan reconocer las relaciones que presentan entre los datos, distinguir similitudes y diferencias, y para poder asociarlos a una determinada operación.

A la par de los problemas, se propone el estudio de diferentes estrategias de cálculo exacto y aproximado. Esta tarea involucra la construcción progresiva de un repertorio de resultados memorizados, de estrategias diversas para arribar a un resultado (procedimientos de cálculo mental) y del estudio y apropiación de técnicas de cálculo (cálculo algorítmico), de tal manera que de acuerdo con los números involucrados o con el tipo de respuesta requerida (exacta o aproximada) se pueda seleccionar cuál resulta más conveniente. Del mismo modo, la articulación entre esos diferentes procedimientos permite que uno pueda estar al servicio del otro como herramienta de control (por ejemplo, el cálculo estimativo puede ser de gran utilidad para determinar la pertinencia de un resultado obtenido mediante el algoritmo).

Hacemos mención, asimismo, al uso de la calculadora como instrumento no solo para obtener y verificar resultados, sino también, para plantear determinados problemas. Por ejemplo: Escribir en el visor el número 5.324. Lograr que en el visor aparezca el número 0 luego de realizar 4 operaciones. Las operaciones deben aplicarse sobre las cifras siguiendo el orden de la serie numérica: lograr que, en un comienzo, el 2 se transforme en 0, luego el 3, el 4 y, por último, el 5. Registrar en una hoja las sucesivas operaciones que hay que realizar antes de operar la calculadora.

A través de este problema, intentamos que los alumnos puedan hacer un análisis del valor posicional de cada cifra y, al mismo tiempo, identificar que es la resta la operación que permite resolverlo (– 20; – 300; – 4; – 5.000). La numeración hablada es un soporte de información que facilita la resolución y, a la vez, una intervención que los alumnos que se encuentren en dificultades para encontrar un procedimiento pueden realizar: “Leé el número porque te da pistas de lo que hay que hacer”. Si bien es cierto que las calculadoras nos permiten resolver múltiples problemas, también es cierto que los límites de su utilización son claros. Por ejemplo, si hubiera que resolver este problema: “Hay 473 figuritas para armar paquetes de 5 figuritas cada uno, ¿cuántos paquetes de figuritas se pueden armar? ¿Cuántas figuritas quedan sin empaquetar?”, la calculadora daría como resultado 94,6. Es decir que se podría, eventualmente, contestar la primera pregunta: se pueden armar 94 paquetes de figuritas. Pero ¿qué sentido tendría decir que quedan 0,6 figuritas sin empaquetar? Si los alumnos optaran por transformar el decimal en el resto de una división entera, es decir, si decidieran que para poder contestar ambas preguntas hay que multiplicar 0,6 x 5, entonces, la discusión acerca del uso o no de la calculadora pasaría a segundo plano, ya que tomar esa decisión requiere poner en acción una serie de relaciones entre el cociente, el divisor, el dividendo y el resto, que dan muestras claras de la actividad matemática implicada.

Además, poder reconocer cuál es el campo de problemas que resuelve un conocimiento y, en función de ello, dar la orden a la calculadora es lo que pone de manifiesto que se ha construido el sentido de ese conocimiento.

Derivado de ello, otro asunto importante consiste en ofrecer a los alumnos diferentes herramientas para que puedan hacerse cargo, por sus propios medios, de la validez de los procedimientos realizados y de los resultados obtenidos. La validación es parte constitutiva del quehacer matemático y, para justificar las razones de los procedimientos aritméticos, se requiere disponer de una diversidad importante de relaciones y propiedades, tanto de las operaciones como del sistema