Geometría

b. La calculadora anotó 54.671, en lugar de 59.671. ¿Cómo podría arreglarlo sin borrar?

El docente podría plantear problemas similares a estos referidos a transformaciones en cifras de diferentes posiciones en la escritura numérica.

En la página 19, pueden leer más acerca del aprendizaje y la enseñanza de la Geometría.

Página 157. Actividad 62.

Geometría: Construcción y clasificación de triángulos a partir de los lados.

En este capítulo, damos continuidad a la construcción de triángulos a partir de la medida de sus lados, que se había iniciado en el capítulo anterior. Se incluye, en estos primeros problemas, la clasificación de los triángulos teniendo en cuenta la medida de los lados, definiciones que, probablemente, algunos alumnos reconocerán, mientras que para otros será la primera vez. La intención de que encabecen la página es que las tengan disponibles cuando lo necesiten para resolver las propuestas siguientes.

En la actividad 62, se solicitan construcciones en las que tendrán que reinvertir lo trabajado respecto del uso del compás, pero el acento estará puesto en la reflexión sobre las condiciones de posibilidad de construcción. En la actividad 62a, se espera concluir que hay un único triángulo equilátero de 4 cm de lado, el docente puede aprovechar la conclusión para debatir acerca de qué ocurre con ese triángulo si lo dibujan en diferentes posiciones. ¿Se trata del mismo triángulo?, es posible que algunos niños lo puedan considerar diferentes; en 62b, hay muchos triángulos diferentes que se pueden construir sin conocer la medida del tercer lado; aunque hay restricciones, pues esa medida tendrá que ser menor que 8 centímetros, que es la suma de las medidas de los otros dos lados. Con un caso similar, nos encontramos en 62c.

Por último, en 62d, podrán concluir que no se puede construir, ya que las medidas propuestas para los lados no cumplen con la propiedad triangular.

En la actividad “Para pensar entre todos”, se propone la reflexión e intercambio de ideas acerca del análisis del problema anterior. Estos momentos de la clase, de cierre, de volver a pensar en lo realizado, de intercambio entre todos son irrenunciables, tendríamos que priorizarlos sobre otros para realizarlos en la presencialidad o en el espacio virtual sincrónico.

Página 158. Actividad 63 a 65.

Geometría: Clasificación de triángulos según sus ángulos. Uso del transportador.

Continuando con los triángulos, en esta página se pone el foco en los ángulos interiores. La intención es estudiar los ángulos, la medición y construcción en el contexto de las figuras geométricas. No pensamos, entonces, en la necesidad de introducir este concepto previamente, sino que tenga sentido en el contexto de las figuras, en particular, en este caso, como elementos de los triángulos.

Proponemos el uso de la escuadra como posible punto de apoyo o control para los alumnos respecto de la clasificación de ángulos, ya que, sabiendo que tiene un ángulo recto, al colocarla convenientemente (teniendo en cuenta el vértice y el lado de apoyo), permite, en general, verificar si se trata de un ángulo agudo u obtuso. También, como herramienta de verificación porque, a veces, se observan errores de medición con el transportador; pues estos suelen tener, en el mismo lugar, dos medidas simultáneas que son suplementarias, es decir que suman 180°, entonces, por ejemplo, frente a un ángulo de 60°, suelen anotar 120°.

En la actividad 63, se espera que puedan familiarizarse con este uso de la escuadra, aunque por lo explicado antes, suele ser complejo, al principio, decidir cómo apoyarla sobre cada ángulo de la figura. Esta tarea sería recomendable para trabajar en el espacio presencial.

La actividad 64 plantea el posible error de lectura del instrumento que antes mencionamos, una intervención del docente frente a esta situación podría ser pedir que se verifique con la escuadra.

En la actividad 65, se proponen diversas construcciones de triángulos. En el caso 65a, con diversa cantidad de soluciones; en otros casos, como en 65b y 65d, con una única solución; por último, en 65c y 65e, sin solución. Será interesante que los alumnos cuenten con un tiempo para analizar y explorar cada uno de los casos

Algunos procedimientos posibles: • En la construcción 65b, al comparar las producciones personales, algunos podrán pensar que tienen varias soluciones porque quedaron en diferentes posiciones. Será un buen punto de apoyo para analizar que se trata del mismo triángulo en otra posición. • En los casos 65c o 65e, algunos alumnos intentarán forzar la construcción para que el triángulo

“cierre”, aun curvando los lados. • Otros lograrán anticipar que no es posible, teniendo en cuenta la propiedad correspondiente.

Página 159. Actividades 66 y 67.

Geometría: Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

La intención de la actividad 66 es comenzar a explorar la propiedad de la suma de los ángulos interiores de los triángulos, que los alumnos elaboren sus primeras conjeturas empíricamente y comenzar luego con la guía del docente para analizar una posible demostración matemática de la propiedad en la actividad 67. En 66b, se pregunta cómo se puede demostrar esta conjetura con la intención de que el docente comience a realizar una primera aproximación acerca de las características que debería tener una demostración matemática, la necesidad de apoyarse en propiedades válidas para estar seguros de que la afirmación será siempre verdadera.

La demostración se inicia para un caso particular, que es el triángulo rectángulo pensado como la mitad de un rectángulo, para luego generalizarlo a cualquier triángulo en la actividad “Para pensar entre todos”.

Página 160. Actividades 68 a 70.

Geometría: Propiedad de la suma de los ángulos interiores de un triángulo.

Para reinvertir las ideas que circularon anteriormente y la propiedad estudiada, se proponen los problemas de esta página.

En la actividad 68, algunos alumnos podrán medir el ángulo que falta con el transportador, en lugar de usar la propiedad. La pregunta acerca de qué cálculos realizaron puede ser una buena oportunidad para continuar conversando acerca de la diferencia, en el trabajo matemático, de resolver usando una propiedad o de hacerlo empíricamente.

Los dos problemas siguientes requieren de una mayor anticipación por parte de las y los alumnos. Es decir que, ya no se puede poner en juego el ensayo y error o la medición, sino que tendrían que prever que necesitan usar la propiedad para dar respuesta a los problemas.

Es decir que, la actividad 69, por ejemplo, ya no muestra la figura del triángulo, sino solo las medidas de dos de sus tres ángulos. Se espera que puedan argumentar que se trata de un triángulo obtusángulo, ya que el ángulo que no se explicita mide 100°, luego de hacer el cálculo correspondiente. En el caso de la actividad 70, la suma de las dos medidas ofrecidas ya es 180°, por lo que pueden explicar la imposibilidad de construir un triángulo con esos datos.

En la actividad “Para pensar entre todos”, se ofrecen varias ternas de ángulos sobre las que los alumnos tendrán que decidir en qué casos es posible la construcción y cuándo no. Como todos estos espacios, es un momento en el que el intercambio con compañeros es muy fértil para elaborar conclusiones y continuar construyendo y compartiendo ideas.

Además de poner en juego la propiedad estudiada, puede ocurrir, al realizar las construcciones, que algunos alumnos descubran y puedan explicitar que es suficiente con trazar dos de los tres ángulos ofrecidos, ya que el tercero se “forma solo”. Se podrá relacionar esta idea con la propiedad puesta en juego.

Actividades extra - Capítulo 2 - Geometría

1 Cada segmento es uno de los lados de un triángulo equilátero. Terminen de dibujarlo usando el compás y la regla. Comparen con otro compañero si siguieron los mismos pasos.

2 Midan con el transportador los ángulos marcados en cada triángulo. Antes de medir, anticipen con la escuadra si el ángulo es agudo u obtuso y anoten al lado del dibujo “es menor que 90°” o “es mayor que 90°”. Comparen sus resultados con algunos compañeros, si les quedaron diferentes, piensen entre todos cuáles podrían ser las causas.

3 Sin medir, clasifiquen estos triángulos según los lados y según los ángulos. Los lados que tienen una “rayita” indican que tienen la misma medida.

900

• Pónganse de acuerdo con otros compañeros y respondan ¿por qué la consigna dice sin medir?, ¿qué tuvieron en cuenta para clasificarlos?

4 Construyan dos triángulos diferentes para cada consigna cuando sea posible, si no se puede construir indiquen por qué.

a. Que sea acutángulo.

b. Que sea equilátero.

c. Que sea rectángulo e isósceles.

d. Que sea obtusángulo y equilátero.

e. Que sea obtusángulo y escaleno.

• Comparen sus respuestas y construcciones con otros compañeros.

Recursos TIC

Acerca de la enseñanza de la Matemática a través de las TIC

Entendemos la utilización de las TIC como un medio para la enseñanza de contenidos curriculares y hacemos hincapié, en que el núcleo de nuestra propuesta es el análisis de las prácticas de enseñanza. Muchas veces se analiza a secas el papel de las herramientas tecnológicas. Dicho análisis, entonces, suele limitarse al uso de dispositivos y apuntan a un saber técnico con escasa reflexión sobre el “tipo” de uso que se realiza. Buscamos, por el contrario, comunicar la utilización de las tecnologías en una discusión que se encuentre centrada en la gestión de los materiales y de la clase que cada recurso en particular pone en juego. El análisis de la clase, como sabemos, supone un análisis del contenido –de los conceptos y de las prácticas de la Matemática– y de las interacciones entre los alumnos y el docente a propósito de los problemas. ¿Qué significa aprender en este contexto? Adherimos fuertemente a la construcción social del conocimiento, a aprender construyendo el conocimiento junto a los otros, gracias a los aportes de todos y en colaboración. Pero a la vez, reconocemos que es necesario que el alumno tome decisiones acerca de cómo resolver y qué reglas utilizar.

En este mismo movimiento, entonces, es necesario asumir el estudio de los nuevos problemas de enseñanza que la inclusión de las TIC plantea. Problemas definidos por condiciones inéditas generadas en el aula: tiempos diferentes, agrupamientos distintos que atiendan varios niveles de conocimiento, disponibilidad de la herramienta para un alumno o para un grupo de alumnos, comunicaciones mediadas por la máquina, otra jerarquización del saber que se construye mejor en colaboración con otros, etcétera.

Nuestra intencionalidad es que las situaciones seleccionadas sean un plus que le aportan las TIC a los recursos habituales de la enseñanza. Por esto, las propuestas deben estar diseñadas de manera que permitan la identificación y el análisis de los usos educativos de las TIC. Las tomamos en consideración como herramientas para que los alumnos puedan pensar, resolver, comparar con lo producido, decidir, argumentar, solos y con otros.

Seguramente, ustedes habrán tenido y tendrán que adaptar las propuestas disponibles en documentos curriculares, libros, etc., a las trayectorias en el uso de las TIC que tengan las escuelas en las que trabajan y a ustedes mismos en su práctica profesional. ¿La escuela tiene equipamiento tecnológico? ¿Computadora, Tablet, celular? ¿Conectividad? ¿Lo usan ustedes? ¿Con qué frecuencia? ¿En la enseñanza de la Matemática? ¿Para qué contenidos de enseñanza? ¿Sus alumnos han trabajado en años anteriores utilizando la tecnología como medio para aprender matemática? ¿Cuántos disponen de algún equipo que permita la realización de trabajo en sus casas? ¿Qué participación en las clases virtuales han tenido? ¿Las actividades que han realizado con las máquinas fueron planificadas? ¿De qué manera se podrían relacionar con los otros medios didácticos que utilizan? ¿Qué evaluación hacen de lo trabajado?, etcétera.

En relación con lo anterior, las propuestas deben permitir la producción de conocimientos por parte de los alumnos. No se trata solo de la aplicación de conocimientos ya construidos. No se trata solo de reproducir lo realizado por otro. Las propuestas tienen que permitir la anticipación por parte de los alumnos y, además, contemplar posibilidades de validar lo producido. Nos referimos al cuidado particular que hay que tomar para que las propuestas que se seleccionen promuevan el mismo tipo de quehacer, el mismo tipo de trabajo matemático en los alumnos que cuando trabajan en otros medios didácticos. Por un lado, la toma de decisión al tener que

seleccionar de todo lo que saben qué van a usar como estrategia de resolución (anticipación) y, por el otro, la actividad argumentativa que, también, debe estar a cargo de los alumnos (validación).

Creemos que es importante decir que ningún recurso didáctico es bueno o malo en sí mismo, sino que se inscribe dentro de un entramado complejo de decisiones que toma el docente para llevar adelante un proyecto de enseñanza. El recurso TIC que el docente seleccione no debería ser el centro de la propuesta, sino que debería cobrar sentido dentro de ella en la medida que permita colaborar en el logro de los propósitos que se persiguen, optimizando la propuesta de enseñanza y aportando una riqueza singular que, tal vez, otro recurso no podría ofrecer. En este sentido, cuidamos que los recursos ofrecidos aporten un plus a otros medios posibles de enseñanza de esos mismos temas.

Uno de los riesgos es el de convertir el recurso en la finalidad. Es decir, que se produzca un desvío en el que los medios de enseñanza ocupen el lugar de los contenidos. Un primer criterio que orienta la selección e inclusión de asistentes digitales en las clases sería, que no desplacen los contenidos de enseñanza y que la complejidad tecnológica que implica el uso del recurso no requiera de tanto esfuerzo que los contenidos que pretendemos enseñar se desdibujen.

Como en toda la enseñanza de la Matemática, más allá del medio didáctico que se utilice, sugerimos la construcción de una memoria didáctica de los alumnos, es decir, proponemos modos de cuidar la relación y la memoria entre conocimientos viejos y nuevos. Esto porque todo conocimiento nuevo se construye apoyándose sobre los conocimientos previos, a los que, al mismo tiempo, modifica. Por otro lado, tanto para favorecer el seguimiento que va a poder efectuar el maestro del progreso y de las dificultades de los alumnos, como también, el seguimiento que van a poder realizar los alumnos de su propio proceso de aprendizaje.

Para esto, en el caso de una enseñanza presencial, si la escuela cuenta con un equipamiento móvil (“carrito”), le sugerimos la numeración de las máquinas y el registro del uso de cada una por los alumnos. De ese modo, cada uno utilizará siempre el mismo equipo y podrá guardar sus producciones en una carpeta personal; de ese modo, podrá volver sobre lo producido, ya sea para estudiar, consultar, comparar sus producciones, apoyarse en lo que hizo, etc. Otra opción, si fuera posible, es el guardado en la nube o en la plataforma institucional.

Con el mismo propósito y en el caso de que se cuente con este recurso, la impresión de lo producido en la máquina para ser guardado luego en el cuaderno o carpeta es otro modo de volver sobre esos conocimientos a la hora de resolver problemas afines, en la puesta en común, como un registro para estudiar, etcétera.

Nuestra propuesta de enseñanza digital se circunscribe a problemas de geometría a través del programa Geogebra. Con independencia de si se trata de las propuestas del libro en papel o de los recursos digitales, el propósito de la enseñanza de la geometría en la escuela primaria es que los alumnos se apropien de un conjunto de conocimientos sobre las propiedades de las figuras y los cuerpos geométricos y, también, del modo de pensar propio de la disciplina. A lo largo del segundo ciclo, es necesario que el docente plantee propuestas de trabajo que permitan que los alumnos aprendan que las propiedades de las formas permiten realizar afirmaciones sin necesidad de apelar a la constatación empírica. Se trata de que, a largo plazo puedan realizar afirmaciones como: “Puedo estar seguro, sin medir, de que este ángulo mide 40º porque entre los otros dos ángulos de este triángulo suman 140º”.

Asimismo, es necesario considerar que los alumnos ingresan al trabajo en soporte digital por tando sus experiencias y conocimientos sobre esos mismos contenidos construidos a través del “lápiz y el papel”. Intentamos que ambos contextos dialoguen y se enriquezcan mutuamente.

Contar con una nueva herramienta, muchas veces, implica una modificación en los modos de resolución de los problemas, en particular, de los modos de representación –ampliando posibilidades o encontrando sus límites–; y esto, por supuesto, puede provocar la necesidad de hacer cambios en la gestión de la clase, como también, abrir la posibilidad de la aparición de nuevos errores e ideas.

En cuanto a la utilización del GeoGebra, consideramos importante que los alumnos se familiaricen con “los básicos” de su uso: la Barra de Herramientas y Mover. La Barra de Herramientas puede variar según la versión de GeoGebra que se utiliza o dependiendo del escenario determinado previamente, pero es necesario que sepan que cada botón orienta con su nombre y que, al apoyarse en él, una etiqueta indica cómo utilizarlo. En lo que se refiere a la herramienta Mover, se trata de activarla al terminar de utilizar otras herramientas y esto le permitirá mover los objetos que no están fijos con diferentes intencionalidades: para analizar las características de un objeto geométrico y/opara poder verificar (validar) la construcción de una figura, por ejemplo; ya que al moverla, si se han puesto en juego sus propiedades, no se “deformará”.

Un detalle que nos parece importante es diferenciar dibujo y construcción. En estas páginas, llamaremos dibujo al producto de utilizar las herramientas en forma directa. Por ejemplo, consideraremos que la circunferencia de radio 2 cm (circunferencia dado un punto y la longitud del radio) o el cuadrado de lado 5 cm, hechos ambos con las herramientas correspondientes, son dibujos. Llamaremos construcción a la que se realiza utilizando propiedades de las figuras. Por ejemplo, construimos cuadrados a partir de rectas perpendiculares, porque tenemos en cuenta que los lados del cuadrado son perpendiculares.

Consideramos un aspecto enriquecedor el que dialoguen de manera permanente las situaciones del libro papel con las digitales, ya que los problemas en Geogebra han sido diseñados de manera secuenciada con la propuesta del libro papel.

Recursos TIC por capítulo

Enlace/s

Página 144

https://estrada.pub/1k3

Página 143

https://estrada.pub/ru7 El copiado de figuras es una situación muy potente en el estudio de las figuras y sus propiedades. Al trabajar con GeoGebra, usamos las propiedades para asegurarnos invariabilidades que hacen a la figura. Por ejemplo, al construir un rectángulo, utilizamos las herramientas de rectas paralelas y rectas perpendiculares para trazar los segmentos (lados) perpendiculares y paralelos. Esto hace que pueda mover el rectángulo sin que se pierdan esas condiciones. Si así no fuera, el rectángulo podría moverse, “torcerse” y quedar como cualquier cuadrilátero que no tiene lados paralelos o que no tiene lados perpendiculares. En el caso particular de este recurso, las circunferencias dibujadas se pueden mover sin que se altere su tamaño (porque se usa la herramienta Circunferencia: centro y radio) y moviéndose todas juntas (porque se usó como centro de la segunda un punto de la primera, y como centro de la tercera un punto de la segunda). Si no se hubiera usado esa herramienta y se hubiera trazado la circunferencia con Compás o con Circunferencia por tres puntos, no podríamos asegurar la permanencia del tamaño. Es importante, entonces, que la puesta en común gire en torno a los movimientos de la figura original y de la copia y la relación que tienen esos movimientos con las propiedades de las figuras y las herramientas utilizadas.

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https://estrada.pub/6wl Este recurso remite a la propiedad fundamental de los triángulos (la suma de las longitudes de dos lados es mayor que la longitud del tercer lado). Es importante la anticipación inicial, ya que aprovechamos a remitirnos al trabajo realizado en años anteriores y en las páginas del libro. Se eligió un ejemplo en el que no se puede construir un triángulo porque permite descartar de entrada la intuición de que toda terna de segmentos corresponde a un triángulo. En la puesta en común, precisamente, comparamos la anticipación y la verificación que permite el movimiento de los segmentos que facilita GeoGebra.

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Capítulo 1

Este recurso invita a reconocer herramientas que permitan dibujar una circunferencia: Circunferencia: centro y radio, Circunferencia (centro, punto), Circunferencia por tres puntos, Compás. También, incluimos Figura a mano alzada, que permite dibujar una circunferencia, pero de la que no podríamos afirmar que cumple con todas sus propiedades o si se trata del dibujo de un redondel. Lo mismo sucede con la herramienta Semicircunferencia, ya que podrían dibujarse dos semicircunferencias, pero no sería sencillo confirmar si se trata del dibujo preciso de una circunferencia.

Enlace/s

Página 146

https://estrada.pub/ncu En este caso, se eligió una terna en la que los segmentos pueden formar un triángulo. La innovación, sin embargo, es que pueden verse circunferencias que facilitan ver la posición de los vértices. La puesta en común tiene como objeto enunciar la propiedad ayudándose con las circunferencias y la definición que se ha hecho de ellas.

Página 146

https://estrada.pub/kcx Este recurso trabaja con segmentos que no pueden formar un triángulo. Invita a la comparación con la situación anterior y busca definir el uso de las circunferencias. La puesta en común puede centrarse en esa comparación y en el uso de las circunferencias para estos casos.

Página 146

https://estrada.pub/j5u En esta ocasión, se ofrece una situación en contexto extramatemático. En 1) se pide anticipar posibles medidas. Naturalmente, es importante que quede claro que cualquier propuesta tiene que apoyarse en la propiedad fundamental trabajada en los recursos anteriores y en el libro papel. En 3) se incorpora la recta en la que están incluidos todos los segmentos que tienen la longitud que permitiría formar un triángulo. Se ha dejado escrita la longitud de esos segmentos, que se puede verse cómo varía conforme se van moviendo los supuestos listones. Este efecto permitiría reconocer las medidas, aunque no fuera posible calcularlas a partir de la propiedad fundamental. En 4) se ofrecen circunferencias para realizar la misma tarea.

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https://estrada.pub/i9z Este recurso propone medir los ángulos interiores de un triángulo, pero solamente es posible medir dos de los ángulos del triángulo: uno con las medidas del transportador en sentido antihorario; otro ángulo, usando el sentido horario del transportador; y el tercer ángulo, por cálculo. La puesta en común tiene dos puntos centrales: la medición en sentido horario y el uso de la suma de los ángulos interiores del triángulo para calcular la medida del tercer ángulo. También, es bueno aprovechar esta puesta en común para trabajar el registro de las mediciones y de los cálculos.

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https://estrada.pub/onx En este recurso, se ofrece un único triángulo para medir los ángulos interiores. Sin embargo, al mover el triángulo, las medidas de los lados varían, se estiran y se contraen. El gran tema es responder: ¿los ángulos también varían? ¿Se abren y se cierran? ¿Cambian las amplitudes? Estamos empezando a pensar en los triángulos semejantes sin ponerle nombre y sin definir criterios, simplemente, estamos pensando que las variaciones en las medidas de los lados de los triángulos no necesariamente implican variaciones en las medidas de los ángulos que, particularmente, en este caso, se mantienen.

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Capítulo 2

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Página 159

https://estrada.pub/2k3

https://estrada.pub/gpk La suma de los ángulos interiores de cualquier polígono trasciende la cantidad de lados que el polígono tiene porque se trata de sumar tantos ángulos como tiene el polígono. Pero a la vez, hay algunas cuestiones que son importantes para trabajar “más adelante”: 1) la cantidad de ángulos tiene que ver con el resultado final de esa suma (en triángulos, es 180; en cuadriláteros, es 360; en pentágonos, es 540…) y 2) todo polígono puede “dividirse” en varios triángulos. Esta segunda afirmación podrá usarse en el futuro para demostrar o para generalizar, por eso, resulta importante en esta etapa del nivel primario. Es por eso que estos dos recursos acompañan el trabajo planteado con triángulos y cuadriláteros y sus ángulos interiores. En el primer recurso, se ofrece trabajar con los ángulos interiores de un eneágono a partir de la suma de los ángulos de los siete triángulos que lo forman. Para ello, los alumnos acomodan los triángulos como en un rompecabezas, confirman que todos los ángulos de los triángulos componen los ángulos del eneágono y, simplemente, multiplican 180° (la suma de los ángulos interiores de un triángulo) por la cantidad de triángulos (siete) con lo que consiguen la suma de los ángulos interiores del eneágono. En el segundo recurso, se ofrece una situación similar con un octógono. Sin embargo, al analizar los ángulos de los triángulos, se puede ver uno de cada uno confluyen en el mismo vértice. Es por eso que será necesario restar un giro completo a la suma de los ocho triángulos para conseguir la suma de los ángulos interiores. Las puestas en común tendrían que girar no sólo en el número de cada suma, sino en las dos cuestiones que mencionamos antes: un polígono puede dividirse en varios triángulos cuando es necesario, por ejemplo, calcular la suma de sus ángulos interiores y la suma de los ángulos interiores de un polígono depende de la cantidad de lados/ángulos que tiene.

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