Μαθηματικά Κατ Β Λυκείου Διανύσματα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Διανύσματα

ο

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1) Ποια μεγέθη ονομάζονται βαθμωτά και ποια διανυσματικά ; Βαθμωτά ονομάζονται τα μεγέθη που περιγράφονται πλήρως από έναν αριθμό. Διανυσματικά ή διανύσματα ονομάζονται τα μεγέθη που περιγράφονται πλήρως , αν δοθούν το μέτρο , η διεύθυνση και η φορά τους .

2) Πώς ορίζεται στη γεωμετρία το διάνυσμα ; Στη γεωμετρία , το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα , δηλ. ως ένα μη μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα . Το πρώτο άκρο λέγεται αρχή και το δεύτερο πέρας του διανύσματος (σχ1). Συμβολισμός : ΑΒ  Το διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν ονομάζεται μηδενικό  διάνυσμα και συμβολίζεται με 0 . Β ( πέρας ) Α ( αρχή )

σχ.1

Χαρακτηριστικά στοιχεία : α) Μέτρο

του

μη

μηδενικού



διανύσματος

AB

είναι

το

μήκος

του



ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ και συμβολίζεται με AB . 

Προφανώς : AB > 0. 

 Το μέτρο του μηδενικού διανύσματος AA είναι ο αριθμός 0 . 

 Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1 , τότε ονομάζεται μοναδιαίο διάνυσμα . β) Φορέας του μη μηδενικού διανύσματος



AB

ονομάζεται η ευθεία πάνω 

στην οποία βρίσκεται το διάνυσμα . Αν ο φορέας του AB είναι παράλληλος 

προς μια ευθεία (ε) ή συμπίπτει με αυτήν , τότε λέμε ότι το AB

είναι



παράλληλο προς την (ε) και γράφουμε AB // (ε) .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

2

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

 Ο φορέας του μηδενικού διανύσματος διέρχεται απ’ το Α .



AA είναι οποιαδήποτε ευθεία που

3) Πότε δύο διανύσματα λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά ; 

Δύο διανύσματα



AB , ΓΔ

λέγονται παράλληλα ή συγγραμμικά όταν έχουν 



τον ίδιο φορέα ή παράλληλους φορείς . Τότε γράφουμε AB // ΓΔ . Αν δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά , λέμε ότι έχουν την ίδια διεύθυνση ( σχ.2) . Β Δ

Α

Γ Β

Δ

Α

ή

Γ σχ.2

4) Ποια διανύσματα λέγονται ομόρροπα και ποια αντίρροπα ; 



■ Δύο συγγραμμικά διανύσματα AB , ΓΔ λέγονται ομόρροπα , όταν : (α) έχουν διαφορετικούς φορείς και βρίσκονται στο ίδιο ημιεπίπεδο με ακμή την ευθεία ΑΓ (σχ.3α) (β) έχουν τον ίδιο φορέα και μια απ’ τις ημιευθείες ΑΒ και ΓΔ περιέχει την άλλη (σχ.3β). 







Για να δηλώσουμε ότι τα AB , ΓΔ είναι ομόρροπα , γράφουμε : AB   ΓΔ . Δύο ομόρροπα διανύσματα λέμε ότι έχουν την ίδια διεύθυνση και την ίδια φορά . 

Το μηδενικό διάνυσμα AA είναι ομόρροπο προς κάθε άλλο διάνυσμα .

■ Δύο συγγραμμικά διανύσματα που δεν είναι ομόρροπα λέγονται αντίρροπα (σχ.4). 

Για

να

δηλώσουμε

ότι



τα



AB , ΓΔ είναι

αντίρροπα , γράφουμε :



AB   ΓΔ .

Δύο αντίρροπα διανύσματα αντίθετη φορά.

λέμε

ότι

Β

έχουν

την

ίδια

διεύθυνση

και

Δ Γ

Α

Δ Γ

σχ.3α ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

Β Α σχ.3β

3

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

Β Β Α

Γ

Α Γ

Δ

Δ σχ.4

5) Πότε δύο διανύσματα είναι ίσα ; 

Δύο μη μηδενικά διανύσματα έχουν

ίσα

μέτρα (σχ.5) . 



AB , Γ Δ είναι ίσα , όταν είναι ομόρροπα και

Για

να

δηλώσουμε

ότι

τα





AB , ΓΔ είναι

ίσα ,



γράφουμε : AB = ΓΔ .  Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους .

Β

Α

Β

Α Δ

ή

Γ

Δ Γ σχ.5

 Παρατήρηση 



 Αν AB και ΓΔ είναι δύο διανύσματα του χώρου , τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες (σχ.6) : 























ΑΒ  ΓΔ  AΓ  ΒΔ εναλλαγή μεσαίων γραμμάτων ΑΒ  ΓΔ  ΔΒ  ΓΑ εναλλαγή ακραίων γραμμάτων ΑΒ  ΓΔ  ΔΓ  ΒΑ εναλλαγή μεσαίων και ακραίων γραμμάτων 



 Αν Μ είναι το μέσο του ΑΒ , τότε ΑΜ = ΜΒ και αντίστροφα (σχ.6) Α

Β

Γ

Α ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

Δ

Μ

σχ.6

Β 4

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

6) Πότε δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα ; Δύο διανύσματα λέγονται αντίθετα ,όταν είναι αντίρροπα και έχουν ίσα μέτρα (σχ.7). Για γράφουμε : 

να



δηλώσουμε



ότι

δύο



διανύσματα



AB και ΓΔ είναι αντίθετα



AB = - ΓΔ ή ΓΔ = - AB . Επειδή













BA = - AB , έχουμε ΓΔ = - AB  ΓΔ = BA . Γ

Δ Β

Α

Γ

Α

Δ

Β σχ.7

7) Πώς ορίζεται το μηδενικό διάνυσμα ; Το διάνυσμα του οποίου τα άκρα συμπίπτουν ονομάζεται μηδενικό διάνυσμα  και συμβολίζεται με 0 . 

Το μέτρο του μηδενικού διανύσματος AA είναι ο αριθμός 0 . Ο φορέας του μηδενικού διανύσματος διέρχεται απ’ το Α .



AA είναι οποιαδήποτε ευθεία που



Το μηδενικό διάνυσμα AA είναι ομόρροπο προς κάθε άλλο διάνυσμα .  Τα μηδενικά διανύσματα θεωρούνται ίσα μεταξύ τους και συμβολίζονται με 0 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

5

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

8) Πώς ορίζεται η γωνία δύο διανυσμάτων ;

  α και β . Με     παίρνουμε τα διανύσματα ΟΑ = α και ΟΒ = β . Έστω

Την

δύο

μη

κυρτή

μηδενικά

γωνία

διανύσματα



ΑΟΒ , που

ορίζουν

οι

αρχή

ημιευθείες

ένα

ΟΑ

και

σημείο

Ο

ΟΒ , την

    ονομάζουμε γωνία των διανυσμάτων α και β και τη συμβολίζουμε με (α , β)   ή (β , α) ή με ένα μικρό γράμμα π.χ θ . (σχ.8)   Η γωνία των α και β είναι ανεξάρτητη από την επιλογή του σημείου Ο. Επίσης 0  θ  π . Ειδικότερα :    θ = 0 αν α   β .    θ = π αν α   β .   π  Αν θ = , τότε τα διανύσματα α και β είναι οθογώνια ή κάθετα και 2 γράφουμε α  β .  α

 α

Β

 β

θ=0

θ=π

θ Ο

Α

Ο

Β

Α

Β

Ο

 β

 α

. Α

 β

9) Να ορίσετε το άθροισμα α + β δύο αποδείξετε ότι είναι μοναδικό.

σχ.8

διανυσμάτων





Με αρχή ένα σημείο Ο παίρνουμε διάνυσμα OA = α 

α και β και να

και στη συνέχεια με



αρχή το Α παίρνουμε διάνυσμα AM = β ( σχ. 9 ). Ορίζεται έτσι το διάνυσμα 

των α 

Το v

και





v = OΜ

που ονομάζεται άθροισμα ή συνισταμένη



β .

είναι ανεξάρτητο απ’ την επιλογή του Ο.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

6

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα





Πράγματι , αν με αρχή ένα άλλο σημείο Ο΄ πάρουμε διάνυσμα Ο΄Α΄  α 

και



στη συνέχεια με αρχή το Α΄ πάρουμε διάνυσμα Α΄Μ΄  β , τότε τα διανύσματα 



OΜ και 

O΄Μ΄ είναι ίσα , αφού :







OA = Ο΄Α΄  α

και

και









ΟΟ΄  AA΄





AM = Α΄Μ΄  β

άρα









AA΄ = ΜΜ΄ 



Το μοναδικό αυτό διάνυσμα v = OΜ συμβολίζεται με  α

 β

Α



ΟΟ΄  MM΄  OΜ = O΄Μ΄ .





α +β .

Μ

 β

Α΄

Μ΄

 α

Ο Ο΄

σχ.9

 Παρατηρήσεις 



1. Εύρεση του α + β

με τον κανόνα του παραλληλογράμμου : 







και OB  β . Τότε το τετράπλευρο ΟΑΜΒ

Με αρχή το Ο παίρνουμε OA = α





είναι παραλληλόγραμμο. Το άθροισμα α + β δίνεται απ’ τη διαγώνιο ΟΜ του ΟΑΜΒ. (σχ.10) 











2. Άθροισμα τριών διανυσμάτων : α + β + γ = ( α + β )+ γ .

3. Ιδιότητες πρόσθεσης διανυσμάτων 







i)

α +β = β + α

ii)

( α + β )+ γ = α +( β + γ ) ( Προσεταιριστική )





iii) α



iv) α









( Αντιμεταθετική ) 





















α + x = α  x= 0

vi) α + x = 0  

+ 0= α 

v)





x = -α







vii) - ( α + β ) = ( - α ) + ( - β ) 



+ ( -α ) = 0











viii) α + γ = β + γ  α = β ( Ιδιότητα διαγραφής )

Α

Μ

 α Ο

 β

   ΟΜ = α + β

Β

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

σχ.10

7

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

10) Να ορίσετε τη διαφορά του διανύσματος β απ’ το διάνυσμα α και να αποδείξετε ότι η διαφορά

α

- β

είναι το μοναδικό διάνυσμα που

επαληθεύει την εξίσωση: x + β = α .

   Διαφορά του διανύσματος β απ’ το διάνυσμα α ορίζεται το άθροισμα του α      με το αντίθετο του β . (σχ.11) Άρα : α - β = α + ( - β ) .   Η διαφορά α - β είναι το μοναδικό διάνυσμα που επαληθεύει την εξίσωση    x  β  α , αφού :                x  β  α  x  β  ( - β )  α + ( -β )  x + 0 = α - β  x = α - β.

Α

 -β

Μ       ΟΜ = α + β , ΒΑ = α - β

 α Ο

 β

Β

σχ.11

11) Τι λέγεται διάνυσμα θέσης ή διανυσματική ακτίνα ενός σημείου Α του χώρου και πώς εκφράζεται ένα τυχαίο διάνυσμα ΑΒ με τη βοήθεια των διανυσμάτων θέσης των άκρων του;



Έστω Ο ένα σταθερό σημείο του χώρου . Τότε , για κάθε διάνυσμα α υπάρχει 



μοναδικό σημείο Α τέτοιο , ώστε OA = α . 

Το διάνυσμα OA λέγεται διάνυσμα θέσης του Α ή διανυσματική ακτίνα του Α . 











Αν AB τυχαίο διάνυσμα του χώρου θα έχουμε : AB = AO + OB = OB - OA . Δηλαδή 





AB = OB - OA = ( διάνυσμα θέσης του Β ) - ( διάνυσμα θέσης του Α ) . (

σχ.12 ) Το σημείο Ο ονομάζεται σημείο αναφοράς. Β 

Ο





AB = OB - OA

Α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

σχ.12

8

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

 Παρατήρηση Μέτρο Αθροίσματος Διανυσμάτων 



Αν α , β δύο διανύσματα , τότε :

  α - β

     α+β  α + β

Όπως φαίνεται στο σχήμα 13 , από την τριγωνική ανισότητα έχουμε :

(ΟΑ) - (ΑΒ)  (ΟΒ)  (ΟΑ) + (ΑΒ) δηλαδή Α

 α



  α+β 

  α + β .

 β

  α+ β

Ο

  α - β

Β

σχ.13

12) Τι ονομάζεται γινόμενο ενός πραγματικού αριθμού λ α; α) Έστω διάνυσμα



με το διάνυσμα

   α  0 και λ  0 . Ονομάζεται γινόμενο του λ με το α και

συμβολίζεται με λ  α ή με



 λ α το διάνυσμα το οποίο



 είναι ομόρροπο με το α αν λ > 0 και αντίρροπο με το α αν λ < 0 .   έχει μέτρο ίσο με λ  α .

 





β) Αν α = 0 , τότε λ 0 = 0 .   γ) Αν λ = 0 , τότε 0 α = 0 .  Ιδιότητες του πολλαπλασιασμού αριθμού με διάνυσμα         1. λ ( α + β ) = λ α + λ β (1η επιμεριστική) 1. λ α = 0  λ = 0 η α = 0







2. ( λ + μ ) α = λ α + μ α (2η επιμεριστική)





3. λ ( μ α ) = ( λ μ ) α



4. 1 α =

 α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

   2. ( - λ ) α = λ (- α ) = - (λα )     3. λ ( α - β ) = λα - λβ    4. ( λ - μ )α = λα - μα     5. Αν λα = λβ και λ 0 , τοτε α = β     6. Αν λα = μα και α 0 , τοτε λ = μ

9

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

Θεώρημα Αν

α , β είναι δύο διανύσματα με β  0 , τότε ισχύει η ισοδυναμία :

α // β  α = λ β , λR .   (  ) Αν α = λ β , λ R , τότε

απ’ τον ορισμό του πολλαπλασιασμού αριθμού με     διάνυσμα , τα διανύσματα α και β θα είναι συγγραμμικά . Δηλαδή , α // β .     α , β α (  ) Αν τα διανύσματα είναι συγγραμμικά , δηλ. // β , τότε :   α   0 α = κ β θέτω κ =  άρα . Συνεπώς : β

    α  β α  αν , τότε = κ β

     αν α   β , τότε α = (- κ) β      αν α = 0 , τότε α = 0 β





Άρα σε κάθε περίπτωση υπάρχει μοναδικός λ R τέτοιος , ώστε α = λ β .

13) α) Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α και β ; β) Τι ονομάζεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων:

α 1 , α 2 , ... , α ν ;



α) Κάθε διάνυσμα v της μορφής   συνδυασμός των α και β β) Κάθε διάνυσμα

   v=κα+λβ

με κ,λ R λέγεται γραμμικός

     v της μορφής v = λ 1 α 1 + λ 2 α 2 + ... + λ ν α ν με λ 1 , λ 2 , ... , λ ν  R 





λέγεται γραμμικός συνδυασμός των διανυσμάτων α 1 , α 2 , ... , α ν .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

10

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

 Παρατηρήσεις 1. Διανυσματική ακτίνα μέσου τμήματος 

Έστω ένα διάνυσμα ΑΒ και ένα σημείο αναφοράς Ο. Για τη διανυσματική 

ακτίνα ΟΜ του μέσου Μ του τμήματος ΑΒ (σχ.14) έχουμε : 











ΟΜ = ΟΑ + ΑΜ και ΟΜ = ΟΒ + ΒΜ . Με πρόσθεση κατά μέλη έχουμε : 

















2ΟΜ = ΟΑ + ΑΜ + ΟΒ + ΒΜ = ΟΑ + ΟΒ . (διότι ΑΜ = - ΒΜ ) Άρα : ΟΜ =

ΟΑ + ΟΒ 2

Α Μ Β Ο

σχ.14

2. Βαρύκεντρο τριγώνου Ένα σημείο G είναι το βαρύκεντρο ενός τριγώνου ΑΒΓ αν και μόνο αν 







ισχύει : GA + GB + GΓ = 0

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

11

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

14) Τι ονομάζεται άξονας με αρχή Ο και μοναδιαίο διάνυσμα πώς συμβολίζεται ;

i

και

Έστω x΄x μια ευθεία στην οποία έχουμε εκλέξει δύο σημεία Ο και Ι , έτσι 

ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία Οx . Τότε λέμε ότι έχουμε έναν άξονα με αρχή το Ο και μοναδιαίο διάνυσμα   το i = OI .



 Τον άξονα τον συμβολίζουμε με ( Ο, i ) ή απλά x´x .  Την ημιευθεία Οx τη λέμε θετικό ημιάξονα Οx .  Την ημιευθεία Οx΄ τη λέμε αρνητικό ημιάξονα Οx΄. (σχ.15) . x΄

Ο

 i

I

M

x σχ.15

15) Τι ονομάζεται τετμημένη συμβολίζεται ; Τετμημένη

ενός

σημείου

Μ

ενός σημείου Μ του άξονα x΄x και πώς του

άξονα x΄x ονομάζεται ο πραγματικός  αριθμός x που είναι τέτοιος , ώστε OM = x i και συμβολίζεται με x M (σχ.15). Κάθε σημείο Μ που έχει τετμημένη x συμβολίζεται με M( x ) . 

16) Τι λέγεται ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ή σύστημα συντεταγμένων ή απλά καρτεσιανό επίπεδο και πώς συμβολίζεται ; Σ’ ένα επίπεδο παίρνουμε δύο κάθετους άξονες x΄x και y΄y με κοινή αρχή   Ο και μοναδιαία διανύσματα i και j αντίστοιχα . (σχ.16) Τότε λέμε ότι έχουμε ένα ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων ή σύστημα συντεταγμένων ή απλά καρτεσιανό επίπεδο.

 

Το σύστημα αυτό συμβολίζεται με ( Ο , i , j ) ή απλά Οxy . y  j

x΄



O i y΄

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

x σχ.16

12

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

17) Αν Μ είναι ένα σημείο του καρτεσιανού επιπέδου , να ορίσετε τις συντεταγμένες του . Φέρνουμε απ’ το Μ ευθείες παράλληλες προς τους άξονες x΄x και y΄y , οι οποίες τους τέμνουν στα σημεία Μ 1 και Μ 2 αντίστοιχα . (σχ.17) Τετμημένη του σημείου Μ λέγεται ο πραγματικός αριθμός x για τον οποίο 



ισχύει : OM 1  x i . Τεταγμένη του σημείου Μ λέγεται ο πραγματικός αριθμός y για τον οποίο   ισχύει : OM 2  y j . Η τετμημένη και η τεταγμένη του σημείου Μ λέγονται συντεταγμένες του Μ . Το σημείο Μ που έχει τετμημένη x και τεταγμένη y συμβολίζεται με Μ ( x , y ) ή απλά ( x , y ) . y M2  j

x΄



Ο i y΄

Μ1

x σχ.17

18) Να αποδείξετε ότι : ΄΄ Κάθε διάνυσμα α του επιπέδου γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων i και j ΄΄. Συγκεκριμένα ισχύει : α = x i + y j , όπου x , y είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α που ορίζεται απ’ την ισότητα OA = α . Έστω Οxy ένα σύστημα συντεταγμένων στο επίπεδο και σημείο Α( x, y ) τέτοιο   ώστε OA = α . (σχ.18) Απ’ το Α φέρνουμε παράλληλες προς τους άξονες οι οποίες τους τέμνουν στα 





Α 1 , Α 2 . Τότε : OA  OA 1 + OA 2 (1) .     Γνωρίζουμε ότι : OA 1 = x i και ΟΑ 2 = y j .     Άρα η (1) γίνεται : α = x i + y j . Δηλαδή , το διάνυσμα α γράφεται ως γραμμικός   συνδυασμός των i και j . Θα δείξουμε τώρα ότι αυτό γίνεται με μοναδικό τρόπο . Έστω ότι υπάρχουν και οι πραγματικοί αριθμοί x΄ , y΄ τέτοιοι , ώστε :

   α = x ΄ i + y ΄ j με x  x΄ ή y  y΄ . Για παράδειγμα , έστω ότι : x  x΄ . Τότε :

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

13

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

      x i + y j = x ΄ i + y ΄ j  ( x - x΄ ) i = ( y΄ - y ) j

 y ΄- y    j δηλαδή i // j (  i= x-x΄

x  x΄

  y ΄- y  R ) άτοπο . αφού δείξαμε ότι i = κ j με κ = x-x΄  Συνεπώς x = x΄ και y = y΄ . Άρα το α γράφεται κατά μοναδικό τρόπο ως   γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων i , j .

y Α2

Α

 j

 i

Ο

Α1

x σχ.18

19) Ποια διανύσματα λέγονται λέγονται συντεταγμένες του ;

συνιστώσες

του

α και ποιοι αριθμοί

  Αν Οxy καρτεσιανό επίπεδο και σημείο του Α(x , y) τέτοιο , ώστε OA = α , τότε

γνωρίζουμε ότι το

    α γράφεται με μοναδικό τρόπο ως εξής : α = x i + y j .







Τα διανύσματα x i και y j λέγονται συνιστώσες του διανύσματος α , ενώ οι  αριθμοί x , y λέγονται συντεταγμένες του διανύσματος α .  Συγκεκριμένα , ο x λέγεται τετμημένη του α , ενώ ο y λέγεται τεταγμένη  του α .  Το διάνυσμα

 α με τετμημένη x και τεταγμένη y θα συμβολίζεται :

 α = (x , y)

 Δύο διανύσματα είναι ίσα , αν συντεταγμένες τους είναι ίσες .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

και

μόνο

αν

οι

αντίστοιχες

14

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

20) Να αποδείξετε ότι :  Οι συντεταγμένες του αθροίσματος των διανυσμάτων α και β είναι ίσες με το άθροισμα των αντίστοιχων συντεταγμένων τους.  Οι συντεταγμένες του γινομένου λ α , όπου λ πραγματικός αριθμός, είναι ίσες με το γινόμενο του λ επί τις αντίστοιχες συντεταγμένες του α .  Οι συντεταγμένες του αντίθετου διανύσματος του α είναι αντίθετες των συντεταγμένων του α .  Οι συντεταγμένες της διαφοράς των διανυσμάτων α και β είναι ίσες με τη διαφορά των αντίστοιχων συντεταγμένων τους .  Οι συντεταγμένες του γραμμικού συνδυασμού των διανυσμάτων α και β είναι ίσες με το γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων συντεταγμένων τους .

  Έστω α = (x1 , y1 ) και β = (x 2 , y 2 ) και λ , μ R .          α + β = ( x1 i + y1 j ) + ( x 2 i + y 2 j ) = ( x1 + x 2 ) i + ( y1 + y 2 ) j .   Άρα α + β = (x1 + x 2 , y1 + y 2 ) .       λ α = λ ( x1 i + y1 j ) = λ x1 i + λ y1 j .  Άρα λ α = (λx1 , λy1 ) .    - α = ( - 1 ) α = ( - 1 ) (x1 , y1 ) = ( - x1 , - y1 ) .

 

 α - β = (x1 , y1 ) - (x 2 , y 2 ) = (x1 , y1 ) + ( - x 2 , - y 2 ) = (x1 - x 2 , y1 - y 2 ) .    λ α + μ β = λ(x1 , y1 ) + μ (x 2 , y 2 ) = (λx1 , λy1 ) + (μx 2 , μy 2 ) = (λx1 μx 2 , λy1 μy 2 )

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

15

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

 Παρατήρηση Συντεταγμένες Μέσου Τμήματος Έστω δύο σημεία Α(x1,y1) και Β(x2,y2) του καρτεσιανού επιπέδου και έστω (x,y) οι συντεταγμένες του μέσου Μ του ΑΒ (σχ.19).      1  Όμως: ΟΜ = (ΟΑ + ΟΒ) και ΟΜ = (x , y) , OA = (x1 ,y1 ) , OB = (x 2 ,y 2 ) .

2 1  x + x 2 y1 + y 2  Άρα : (x,y) = [(x1,y1) + (x2,y2)] =  1 , .  2 2  2 Συνεπώς ισχύει : x + x2 y + y2 x= 1 και y = 1 2 2

y

B(x2,y2) M(x,y) A(x1,y1)

O

x σχ.19

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

16

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

21) Έστω

διάνυσμα AB με

Α( x1 , y1)

και

Β( x2 , y2 ). Να βρείτε τις

συντεταγμένες του AB συναρτήσει των συντεταγμένων των άκρων του Α και Β.

 Έστω α = (x , y) ένα διάνυσμα του επιπέδου και Α( x 1 , y 1 ) και Β( x 2 , y 2 ) δύο   σημεία τέτοια , ώστε AB = α . ( σχ.20) Τότε :       α = ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ (1) . Όμως : ΟΑ = (x1 ,y1 ) και ΟΒ = (x 2 ,y 2 ) (2) Από (1) , (2) έχουμε : (x , y) = (x2 , y2) - (x1 , y1) = (x2 - x1 , y2 - y1) . Άρα x = x2 – x1 και y = y2 – y1 

Συνεπώς : τετμημένη του AB = τετμημένη του Β - τετμημένη του Α 

τεταγμένη του AB = τεταγμένη του Β - τεταγμένη του Α y A(x1,y1)

Ο

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

 α

B(x2,y2)

x

σχ.20

17

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα



22) Να αποδείξετε ότι αν α = (x , y) , τότε α = x 2 + y 2 .

 Έστω α =(x,y) ένα διάνυσμα του καρτεσιανού επιπέδου και Α το σημείο με   διανυσματική ακτίνα ΟΑ = α (σχ.21). Έστω Α1 , Α2 οι προβολές του Α στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα . Επειδή το σημείο Α έχει τετμημένη x και τεταγμένη y , θα ισχύει : (ΟΑ1) = x και (ΟΑ2) = y . Άρα : 2 2 2 α = (ΟΑ) 2 = (ΟΑ1 ) 2 + (Α1 Α) 2 = (ΟΑ1 ) 2 + (ΟΑ 2 ) 2 = x + y = x 2 + y 2 . Άρα : Αν α = (x , y) , τότε α = x 2 + y 2

y A2

O

A(x,y)

A1

σχ.21

23) Να δείξετε ότι η απόσταση δύο σημείων Α(x1,y1) και Β(x2,y2) είναι ίση με (ΑΒ) =

(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Έστω δύο σημεία Α(x1 , y1) και Β(x2 , y2) του καρτεσιανού επιπέδου . Η απόσταση (ΑΒ) των σημείων Α και Β είναι ίση με το μέτρο

του



διανύσματος ΑΒ = (x 2 - x1 , y 2 - y1 ) . Άρα : 

(ΑΒ) = ΑΒ = (x 2 - x1 ) 2 + (y 2 - y1 ) 2 .

 Παρατήρηση Αν

Α(x α , y α ) ,

B(x β , y β ) , Γ(x γ , y γ ) οι συντεταγμένες των κορυφών ενός

τριγώνου ΑΒΓ , τότε οι συντεταγμένες του βαρύκεντρού του G είναι :

 x + xβ + x γ y α + yβ + y γ  G α ,  3 3   ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

18

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

24) Αν α = (x1 , y 1) και β = (x 2 , y 2 ) , τότε α // β 

x1

y1

x2

y2

=0.

 Παρατήρηση Την ορίζουσα

x1 x2

y1 y2

 που έχει ως πρώτη γραμμή τις συντεταγμένες του α

και ως δεύτερη τις συντεταγμένες του διανυσμάτων α και β   με det (α , β) . Άρα

 β , την ονομάζουμε ορίζουσα των

(με τη σειρά που δίνονται) και θα τη συμβολίζουμε

α // β  det(α , β) = 0 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

19

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

25) Τι ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα

α με τον άξονα x΄x;

 Έστω α = (x,y) ένα μη μηδενικό διάνυσμα και Α το σημείο του επιπέδου   το οποίο ισχύει : ΟΑ = α (σχ.22). Τη γωνία φ , που διαγράφει ο ημιάξονας αν στραφεί γύρω απ’ το Ο κατά τη θετική φορά μέχρι να συμπέσει με  ημιευθεία ΟΑ , την ονομάζουμε γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με άξονα x΄x . Είναι φανερό ότι : 0  φ < 2π . y A(x,y)

για Οx την τον

φ Ο

26)

Έστω

α = (x , y) .

διανύσματος

Τι

ονομάζεται

x σχ.22

συντελεστής

διεύθυνσης

του

α ;



(α) Αν το α δεν είναι παράλληλο με τον y΄y.   Τότε x  0 . Ο λόγος της τεταγμένης του α προς την τετμημένη του α y  ονομάζεται συντελεστής διεύθυνσης λ του α . Δηλαδή λ = . x y  Γενικά λ= = εφφ , όπου φ είναι η γωνία που σχηματίζει το διάνυσμα α με τον x άξονα x΄x.  (β) Αν α // y΄y .  Τότε x = 0 . Δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του α .  Παρατήρηση    Αν α // x΄x , δηλαδή y = 0 , τότε ο συντελεστής διεύθυνσης του α είναι ο λ =0.

27) Έστω δύο διανύσματα α και β τα οποία δεν είναι παράλληλα με τον άξονα y΄y και έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ1 και λ2 αντίστοιχα . Να αποδείξετε ότι ισχύει η ισοδυναμία : α // β  λ 1 = λ 2 .

  Έστω α = (x1 , y1 ) και β = (x 2 , y 2 ) με x1  0 και x2  0 . Τότε έχουμε : x1 y1 y y   α // β  = 0  x1 y 2 - x 2 y1 = 0  x1 y 2 = x 2 y1  1 = 2  λ 1  λ 2 x2 y2 x1 x 2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

20

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

 Παρατήρηση

 Κάθε διάνυσμα v του επιπέδου μπορεί να γραφτεί κατά μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός δύο οποιωνδήποτε μη συγγραμμικών   διανυσμάτων α και β του επιπέδου .







Δηλαδή , υπάρχουν κ , λ  R , ώστε v = κ α + λ β .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

21

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

28) Τι ονομάζεται εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων ;

  α και β  Ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο δύο μη μηδενικών διανυσμάτων και   το συμβολίζουμε με α  β τον πραγματικό αριθμό :

   α  β = α  β συν  α , β           Αν α = 0 η β = 0 , τότε ορίζουμε α  β = 0 .

 Παρατηρήσεις (Χρήσιμες στις ασκήσεις)

     α  β = β  α (Αντιμεταθετική ιδιότητα)      Αν α  β , τότε α  β = 0 και αντιστρόφως .        Αν α β , τότε α  β = α  β και αντιστρόφως .        Αν α β , τότε α  β = - α  β και αντιστρόφως .      Το εσωτερικό γινόμενο α  α συμβολίζεται με α 2 και λέγεται τετράγωνο του α .    2  2 Άρα : α 2 = α  α συν0 = α . Συνεπώς α 2 = α .        α  β  α  β . Η ισότητα ισχύει όταν τα α και β είναι παράλληλα.    2 2 2   ( α  β )  α β . Η ισότητα ισχύει όταν τα α και β είναι παράλληλα.    Για τα μοναδιαία διανύσματα i και j του καρτεσιανού επιπέδου ισχύουν :       i  j = j  i = 0 και i 2 = j 2 = 1 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

22

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

29) Να αποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ομώνυμων συντεταγμένων τους . α΄ τρόπος   Έστω α = (x1 , y1 ) και β = (x 2 , y 2 ) .

    Με αρχή το Ο παίρνουμε διανύσματα ΟΑ = α και ΟΒ = β . (σχ.23) Στο τρίγωνο ΟΑΒ εφαρμόζουμε τον νόμο των συνημιτόνων : 

(ΑΒ)2 = (ΟΑ)2 + (ΟΒ)2 - 2 (ΟΑ) (ΟΒ) συν ΑΟΒ (1) . Γνωρίζουμε ότι : (ΑΒ)2 = ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 , (OA)2 = x12 + y12 , (OB)2 = x22 + y22 (2) H (1) λόγω της (2) γίνεται : 

( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1 )2 = x12 + y12 + x22 + y22 - 2 (ΟΑ) (ΟΒ) συν ΑΟΒ ή 

x12 + x22 - 2x1x2 + y12 + y22 - 2y1y2 = x12 + y12 + x22 + y22 - 2 (ΟΑ) (ΟΒ) συν ΑΟΒ ή 



2(x1x2 + y1y2) = -2(ΟΑ)(ΟΒ)συν ΑΟΒ ή (ΟΑ)(ΟΒ)συν ΑΟΒ = x1x2 + y1y2 (3)      Όμως (ΟΑ) = α , (ΟΒ) = β και (ΟΑ) (ΟΒ) συν ΑΟΒ = α  β .    Συνεπώς , η (3) γίνεται : α β συν ΑΟΒ = x1x2 + y1y2 , άρα :

α  β = x 1x 2 + y 1y 2

B(x2,y2)

 β

 α

A(x1,y1)

O

σχ.23

β΄ τρόπος   Έστω α = (x1 , y1 ) και β = (x 2 , y 2 ) . Τότε α = x1 i + y1 j και β = x 2 i + y2 j







Άρα: α  β = x1 i + y1 j  x 2 i + y2 j = x1x 2 i 2 + x1y 2 i  j + y1x 2 j  i + y1y2 j 2 = x1x 2 i

2

+ y1y2 j

= x1x 2 + y1y2

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

2

 διότι

 διότι

i  j= 0 αφού i  j





i = j 1 .

23

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

30) Να αποδείξετε τις παρακάτω ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου : (α) (β) (γ) (δ)

  α  β  λ α  λ β = - 1

      ( λ α )  β = α  ( λ β ) = λ ( α  β ) , λR        α  ( β + γ ) = α  β + α  γ ( επιμεριστική )    2 αα= α

   Έστω α = (x1 , y1 ) , β = (x 2 , y 2 ) και γ = (x 3 , y 3 ) .     y y (α) α  β  α  β = 0  x1 x 2 + y1 y 2 = 0  y 2 y1 = - x1 x 2  1 2 = - 1  x1 x 2

λ α  λ β = - 1

    α  ( λ β ) = x1 ( λ x 2 ) + y1 ( λ y 2 ) (β) ( λ α )  β = ( λ x1 ) x 2 + ( λ y1 ) y 2 = λ x1 x 2 + λ y1 y 2 = λ x1 x 2 + λ y1 y 2 = λ ( x1 x 2 + y1 y 2 ) = λ ( x1 x 2 + y1 y 2 )     = λ(αβ) =λ ( α  β )    (γ) α  ( β + γ ) = x1 ( x 2 + x 3 ) + y1 ( y 2 + y 3 ) = x 1 x 2 + x1 x 3 + y1 y 2 + y1 y 3 = (x1 x 2 + y1 y 2 ) + (x1 x 3 + y1 y 3 )     = αβ+αγ    2 (δ) α  α = x1 x1 + y1 y1 = x12 + y12 = α     2 Συμβολίζουμε : α  α = α 2 = α .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

24

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

31) Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας δύο μη μηδενικών διανυσμάτων αν είναι γνωστές οι συντεταγμένες αυτών .   Έστω δύο μη μηδενικά διανύσματα α = (x1 , y1 ) και β = (x 2 , y 2 ) .     Γνωρίζουμε ότι : α  β = α  β συνθ , όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα δύο   αβ διανύσματα . Άρα συνθ =   . α β     Όμως α  β = x1 x 2 + y1 y 2 , α = x 12 + y12 και β = x 22 + y 22 . συνθ =

Συνεπώς :

x 1x 2 + y 1y 2 x 12 + y 12  x 22 + y 22

32)Έστω α ένα μη μηδενικό διάνυσμα του επιπέδου οποιοδήποτε άλλο διάνυσμα αυτού . α) Τι λέγεται προβολή του v πάνω στο α ( προβ α v ) ;

και

v ένα

β) Να αποδείξετε ότι α  v = α  προβ α v . 







α) Με αρχή το Ο παίρνουμε τα διανύσματα OA = α και ΟΜ = v φέρνουμε την κάθετο ΜΜ΄ προς την ευθεία ΟΑ .(σχ.24) Τότε :

και απ’ το Μ

    OΜ΄ = v1 λέγεται προβολή του v πάνω στο α και συμβολίζεται το διάνυσμα με    προβ α v . Δηλαδή προβ α v = v 1 .        β) Έχουμε: ΟΜ = ΟΜ΄ + Μ΄ Μ . Αν ΟΜ΄ = v1 και Μ΄ Μ = v 2 τότε :          v = v1 + v 2 με v 1 // α και v 2  α ( άρα α  v 2 = 0 ) . Συνεπώς :      α  v = α  ( v1 + v 2 )

 

 

= α  v1 + α  v 2     = α  v1 = α  προβ α v .

Μ  v2

 v  Ο α Α

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

 v1

Μ΄

σχ.24

25

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα



Χρήσιμες Παρατηρήσεις

1) Οι παρακάτω σχέσεις χρησιμοποιούνται για τη λύση των ασκήσεων χωρίς απόδειξη : 















ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ 







ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΕ + .... + ΚΛ + ΛΜ = ΑΜ 

ΑΒ + ΑΓ = 2 ΑΜ , όπου Μ το μέσο του ΒΓ . (σχ.25) Α

Β

Μ













Γ

σχ.25

ΑΒ - ΑΓ = ΓΒ

ΑΒ - ΓΒ = ΑΓ       τοτε GA + GB + GΓ = 0 G κεντρο βάρους 

τριγ. ΑΒΓ

τριγ. ΑΒΓ  x + x 2  x 3 y1  y 2  y 3  Α(x1 , y1 ) Β(x 2 , y 2 ) Γ(x 3 , y 3 ) τοτε G( 1 , ) 3 3  G κέντρο βάρους      τριγ. ΒΓΔ , A : τυχαίο του επιπέδου  τοτε ΑΒ + ΑΓ + ΑΔ = 3 ΑG G κέντρο βάρους 

2) Οι παρακάτω σχέσεις χρησιμοποιούνται για τη λύση των ασκήσεων με απόδειξη :     G κέντρο βάρους του τριγ. ΑΒΓ  τοτε ΑΑ΄ + ΒΒ΄ + ΓΓ΄ = 3 G G  G΄ κέντρο βάρους του τριγ. Α΄Β΄Γ΄    Μ μέσο του ΑΓ  τοτε ΑΒ + ΓΔ = 2 ΜΝ Ν μέσο του ΒΔ 

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

26

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

3) Να προσέχεις τα παρακάτω :

    α  β = α  β Γενικά δεν ισχύει :     Το σωστό είναι : α  β  α  β .  

.

 

2 2 2 Γενικά δεν ισχύει : ( α  β ) = α β .

 

          αβ = α  β Αν όμως α // β , τοτε :    2  2  2  ( α  β ) = α β

2 2 2 Το σωστό είναι : ( α  β )  α β .

 

Να θυμάσαι : α  β  πραγματικός αριθμός     i  j = 0 και i 2  j 2 = 1 .

           αγ=βγα=β .



Γενικά δεν ισχύουν : α  ( β  γ ) = ( α  β )  γ .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

27

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1) Δίνεται ότι το τετράπλευρο ΑΒΓΔ είναι τετράγωνο . Κάθε μια από τις παρακάτω ισότητες είναι σωστή ή λάθος ; Αν είναι σωστή , κυκλώστε το γράμμα Σ , αν είναι λάθος κυκλώστε το γράμμα Λ . 







α) ΑΒ = ΔΓ γ) ΑΔ = ΓΒ

Σ

Λ

β)





ΑΒ = ΒΔ 







Σ

Λ

δ)

ε) ΑΓ = ΒΔ

Σ

Λ

στ) ΑΒ = ΒΓ











ΑΔ = ΓΒ

Σ

Λ

Σ

Λ

Σ

Λ

2) Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ , τότε τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά. Σ

    3) Αν α = β τοτε α = β . Σ

Λ

    4) Αν α = λ β , τοτε α // β . Σ

Λ

    5) Αν ΑΒ = ΒΑ , τοτε ΑΒ = 0 . Σ

Λ

6) Τα αντίθετα διανύσματα έχουν ίσα μέτρα. Σ 





7) Τα διανύσματα ΑΒ και ΟΑ - ΟΒ είναι ίσα. Σ       8) Αν α + β = α + β , τότε α   β. Σ

9) Αν

Λ Λ

Λ

      α - β = α + β , τότε τα α και β είναι αντίρροπα . Σ

      10) Αν το α + β // α τοτε α + β // β. Σ

Λ

Λ

  11) Το διάνυσμα λ α , λ R και λ<0 είναι συγγραμμικό του α . Σ

12) Αν

Λ

    κα = λβ με κ , λR και α , β

μη

συγγραμμικά , τότε

     13) Αν κα + λβ = 0 με κ , λR και α , β μη συγγραμμικά ,τότε

Λ

κ = λ = 0.

Σ

Λ

κ = λ = 0.

Σ

Λ

   14) Με πλευρές οποιαδήποτε διανύσματα α , β , γ τέτοια , ώστε :     α + β + γ = 0 ορίζεται τρίγωνο. Σ Λ

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

28

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

15) Κάθε διάνυσμα είναι ίσο με τη διανυσματική ακτίνα του τέλους του συν τη διανυσματική ακτίνα της αρχής του. Σ Λ 16) Αν Α , Β , Γ , Δ και Ε είναι πέντε σημεία , να συμπληρώσετε τις ισότητες : 







α)

ΑΒ + ΒΓ + ΓΔ + ΔΕ = ............

γ)

ΒΕ - ΓΕ + ΓΔ = ............

ε)

ΑΒ + ΒΓ + ΓΑ = ............













β)



δ)





ΑΒ - ΑΔ = ............ 



ΑΕ + ΕΒ - ΓΒ = ............ 

στ)









ΑΒ + ΒΔ - ΓΔ - ΕΓ + ΕΑ = ............

17) Αν Ο είναι το σημείο τομής των διαγωνίων του παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ , να συμπληρώσετε τις ισότητες :   1  1  α) 2ΑΒ + ΒΔ = .......... β) ΑΓ + ΔΒ = ..........

2 2 























γ) ΑΓ + ΑΟ - ΓΟ = ..........





δ) 2ΑΓ - ΒΓ - 2ΑΒ = .......... 

ε) ΑΒ + ΑΔ + ΒΓ + ΔΓ = ..........







στ) ΔΟ + ΓΔ + ΒΟ + ΑΒ = ..........

ζ) ΒΔ - ΒΑ - ΓΑ - ΒΑ = ..........

18) Για τα διανύσματα του σχήματος 26 να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση . 



































α) ΑΒ - ΓΒ + ΓΚ > ΑΔ + ΔΕ - ΚΕ

Β

β) ΑΒ - ΓΒ + ΓΚ = ΑΔ + ΔΕ - ΚΕ

Γ

Α

Κ

γ) ΑΒ - ΓΒ + ΓΚ < ΑΔ + ΔΕ - ΚΕ

Δ

Ε

σχ.26

19) Κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή ή λάθος . Αν είναι σωστή , κυκλώστε το Σ , αν είναι λάθος κυκλώστε το Λ . 





α) ΚΒ - ΛΒ = - ΛΚ

Σ

Λ 





β) Αν Μ το μέσο του ΒΓ , τότε ΑΒ + ΑΓ = 2 ΑΜ Σ Λ γ) Αν G είναι το κέντρο βάρους ενός τριγώνου ΑΒΓ , τότε        δ) ΡΣ + ΣΚ - ΡΚ > 0 Σ ΑG + BG + ΓG = 0 Σ Λ     20) Αν λ α = 0 , λ R , τότε ισχύει πάντα α = 0 . Σ

Λ

   21) Αν κα = λβ με κ , λR , τότε κ = λ για κάθε διάνυσμα α . Σ

22) Σε ένα σύστημα συντεταγμένων στο Ρ(-1,-5) . Να συμπληρώσετε τις ισότητες : α) Συμμετρικό του Ρ ως προς τον x΄x : ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

Λ

επίπεδο

Λ

δίνεται

το

σημείο

Ρ1(....,....)

29

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

β) Συμμετρικό του Ρ ως προς τον y΄y : γ) Συμμετρικό του Ρ ως προς την αρχή Ο :

Ρ2(....,....) Ρ3(....,....) 

δ) Συμμετρικό του Ρ ως προς τη διχοτόμο της xOy :

Ρ4(....,....)

23) Δίνονται τα σημεία Α(2,1) , Β(5,6) , Γ(-3,-1) , Δ(4,-4) και Ε(2,-3) . Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε διάνυσμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του στη δεύτερη στήλη . Διάνυσμα Συντεταγμένες διανύσματος 

( -5,-2)

ΑΒ 

(3 , 5)

ΑΓ 

(0 ,-4)

ΑΕ 

(-5, 2)

ΔΓ 

(-7, 3)

ΕΓ

24) Δίνονται τα σημεία Α(4,1) , Β(-4,-2) , Γ(-4,-1) και Δ(-3,-1) . Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε τμήμα της πρώτης στήλης με τις συντεταγμένες του μέσου του στη δεύτερη στήλη . Τμήμα Συντεταγμένες μέσου 7 ΑΒ ( , -1) 2 1 ΒΓ (0 , - ) 2 3 ( 4 , - ) ΓΔ 2 1 ΑΔ ( , 0) 2 ( 0 , 1) 25) Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(-2,4) , Β(3,2) και Γ(2,0) . Το βαρύκεντρο G του τριγώνου θα έχει συντεταγμένες : Α. (1,6) Β. (1,1) Γ. (1,2) Δ. (3,6) Ε. (2,2) Να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση .

26) Να βάλετε σε κύκλο τον αριθμό που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση .  α) Δίνεται το διάνυσμα α = (3,-2) και τα σημεία Α(4,-1) , Β(-2,7) , Γ(0,3) και  Δ(1,5) . Ποιο απ’ τα διανύσματα είναι ίσο με το α ; 









1. ΑΒ 2. ΑΓ 3. ΔΒ 4. ΒΔ 5. ΔΓ  β) ) Δίνεται το διάνυσμα α = (3,-2) . Ποιο απ’ τα διανύσματα  παράλληλο με το α ;   2   1. β = (8,4) 2. γ = (-4,-2) 3. δ = (-6,3) 4. ε = (1, - ) 3

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

είναι

30

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

27) Κάθε μια από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή ή λάθος . Αν είναι σωστή , κυκλώστε το Σ , αν είναι λάθος κυκλώστε το Λ .

 

α) α  β

  β) i  j = 1

   α  β

   γ) α  β = γ

  2  2 2 δ) ( α  β ) > α β

      ε) Ισχύει πάντα : α  ( β  γ ) = ( α  β )  γ            στ) Αν γ  0 , τότε α  γ = β  γ  α = β ή α - β  γ

Σ

Λ

Σ

Λ

Σ

Λ

Σ

Λ

Σ

Λ

Σ

Λ



28) Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με = 900 , Γ = 300 , (ΒΓ) = 2α και Μ το μέσο της ΒΓ . Να βρείτε ως συνάρτηση του α τα εσωτερικά γινόμενα : 





α) ΑΒ  ΑΓ



β) ΑΒ  ΑΜ







γ) ΑΓ  ΑΜ



δ) ΑΒ  ΜΑ





ε) ΜΒ  ΜΓ

  29) Τα διανύσματα α και β έχουν μέτρα 2 και 5 αντίστοιχα . Να βρείτε το   εσωτερικό γινόμενο α  β , αν η γωνία των διανυσμάτων αυτών είναι : α) 00 β) 300 γ) 600 δ) 900 ε) 1200 στ) 1500 ζ) 1800

30) Να συνδέσετε με μια γραμμή κάθε ζεύγος διανυσμάτων της πρώτης στήλης με το είδος της γωνίας τους που αναφέρονται στη δεύτερη στήλη : Διανύσματα   u = (7,5) , v = (-1,2)   u = (-3,4) , v = (2,-1)   u = (3,5) , v = (6,0)   u = (0,-1) , v = (-5,4)   u = (-3,4) , v = 4,3   u = (α , β) , v = (- β , α)

Γωνία ορθή οξεία αμβλεία

31) Για τα διανύσματα του σχήματος 27 να βάλετε σε κύκλο τη σωστή απάντηση : 























α) ΑΒ  ΑΔ > ΑΒ  ΑΓ

Γ

β) ΑΒ  ΑΔ < ΑΒ  ΑΓ γ) ΑΒ  ΑΔ = ΑΒ  ΑΓ

Δ Α

Β σχ.27

    32) Δίνονται τέσσερα σημεία Α , Β , Γ και Δ και έστω α , β , γ και δ τα αντίστοιχα διανύσματα θέσεως ως προς ένα σημείο αναφοράς Ο . Τι μπορείτε να πείτε για το τετράπλευρο ΑΒΓΔ αν :                 α) α + γ = β + δ β) α - γ = β - δ γ) α + γ = β + δ και α - γ = β - δ .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

31

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα



α  β  γ παριστάνει

33) Το

διάνυσμα ή πραγματικό αριθμό;

Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

34) Υπάρχει πραγματικός αριθμός x ώστε τα διανύσματα :   Σ Λ α = (x+1 , 3) και β = (x , 1) να είναι κάθετα.   35) Το (λα)β , λR παριστάνει διάνυσμα.

Σ

Λ

  36) Τα διανύσματα α = (λ , 4) και β = (λ - 4 , 1) είναι κάθετα. Ο αριθμός λ ισούται με : Α. 0 Β. - 2 Γ. 2 Δ. 4 Ε. - 4

πραγματικός

  37) Τα διανύσματα α = (λ 2 , 2λ) και β = (1 , - 2) είναι παράλληλα .

Ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με : Α. - 2 Β. - 1 Γ.

2

Δ. 1 Ε. 2

 38) Το διάνυσμα α = (λ 2 - 3λ - 4 , λ - 2) είναι το μηδενικό , όταν ο πραγματικός αριθμός λ ισούται με : Α. 2 Β. 1 Γ. - 4 Δ. 0 Ε. για κανένα πραγματικό αριθμό λ.  39) Το διάνυσμα α = (ημθ , συνθ) είναι το μηδενικό με : Α.θ=2κπ Β.θ=2κπ+π Γ.θ=2κπ+π/4 Δ.θ=2κπ+π/2

Ε. καμία τιμή του θ.

40) Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά 4cm και Ο το σημείο τομής των διαγωνίων του. Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι λανθασμένη; Α.





ΑΒ  ΓΒ = 0 

Β.





ΑΟ  ΑΒ = 8

Γ.





ΑΒ  ΑΓ = 16





ΑΒ  ΓΔ = -16

Δ.



Ε. ΟΒ  ΒΑ = 8     41) Να γράψετε τα διανύσματα α , β , γ , δ σε μια σειρά , ώστε το καθένα να έχει μικρότερο μέτρο από το επόμενό του , αν :    3   α = (3 , 0) , β = (1 , -3) , γ =  , 1 , δ = (ημθ , συνθ). 2        42) Τα διανύσματα α = i + j και β = - i + j είναι κάθετα

Σ

      43) Αν α  β > 0 , τοτε η  α , β είναι οξεία.  

Σ

Λ

    44) Ισχύει α  β = α  προβ β α .

Σ

Λ

Λ

     45) Αν α , β ομόρροπα διανύσματα ,κ , λ R* διάφοροι του  1 και κα + λβ = 0 , τότε:

Α. κ , λ θετικοί Β. κ , λ αρνητικοί Γ. κ , λ αντίστροφοι ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

32

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

Δ. κ , λ ετερόσημοι Ε. κανένα από τα προηγούμενα      46) Αν κ = 2 , v = 3 , κ  v = - 3 και 0 θ = κ , v < π , τότε η γωνία θ ισούται με :   0 0 0 0 0 Α. 0 Β. 30 Γ. 60 Δ. 120 Ε. 150

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

33

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σημείο αναφοράς α) Εφαρμογές Σημείο αναφοράς 





ή

ΑΒ = ΑΟ + ΟΒ







ΑΒ = ΟΒ - ΟΑ , όπου Ο σημείο αναφοράς

1. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και τυχαίο σημείο Ρ του χώρου . 







Να δείξετε ότι : ΡΑ + ΡΓ = ΡΒ + ΡΔ .

2. Δίνονται τα παραλληλόγραμμα ΑΒΓΔ και ΑΕΓΖ . 





Να δείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις : ΒΕ = ΖΔ κ α ι



ΒΖ = ΕΔ .

3. Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ . 











Να δείξετε ότι : ΑΒ + ΑΓ + ΑΔ + ΑΕ + ΑΖ = 3 ΑΔ .

4. Δίνεται κανονικό εξάγωνο ΑΒΓΔΕΖ και το σημείο Ρ .       Αν ΡΑ = α , ΡΒ = β , ΡΓ = γ , να βρείτε τα    α,β,γ.







ΡΔ , ΡΕ και ΡΖ





συναρτήσει



των



5. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και ΑΔΕ τέτοια , ώστε : ΑΒ + ΑΓ = ΑΔ + ΑΕ . Να δείξετε ότι τα τμήματα ΒΓ και ΔΕ έχουν κοινό μέσο .

6. Στις πλευρές ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΑ παραλληλογράμμου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα Ε , Ζ 







, Η , Θ αντίστοιχα τέτοια , ώστε ΑΕ = ΗΓ και ΖΓ = ΑΘ . Να δείξετε ότι τα ΕΗ και ΖΘ έχουν κοινό μέσο .

7. Aν ισχύει η σχέση        , να αποδείξετε ότι τα σημεία Κ και Λ συμπίπτουν.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

34

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

β) Προσδιορισμός σημείου Όταν μας δίνουν μια ισότητα που περιέχει πράξεις με διανύσματα και μας ζητούν να προσδιορίσουμε ένα σημείο του επιπέδου , τότε παίρνουμε σημείο αναφοράς ένα απ’ τα σταθερά σημεία που μας έχουν δώσει.

8. Δίνονται τα σημεία Α , Β , Γ . Να βρείτε σημείο Ρ του επιπέδου τέτοιο , ώστε :     ΡΑ + 2 ΡΒ - 4 ΡΓ = 0 .

9. Να βρείτε σημείο Μ του επιπέδου ενός τριγώνου ΑΒΓ τέτοιο , ώστε :     ΑΜ + 2 ΒΜ + 3 ΓΜ = 0 .

10. Δίνονται Α , Β , Γ , Δ τέσσερα σημεία του επιπέδου . Να βρεθεί σημείο Μ 







τέτοιο, ώστε AΓ + ΒΜ = ΒΔ - ΓΔ .

11. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ . Να προσδιορίσετε σημείο Ρ τέτοιο, ώστε :     ΑΡ + 3 ΡΒ - ΓΡ = 0 .

12. Αν ΑΒΓΔ παραλληλόγραμμο , να βρείτε σημείο Μ τέτοιο ώστε : α)       

β)       

2. Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα    αν λ > 0 , τότε λ α  α     λ α  αν λ < 0 , τότε λ α  α   αν λ = 0 ή α = 0 , τότε λ α = 0    λα = λ α Προσοχή     Αν λ α = λ β και λ  0 , τότε α = β









Αν λ α = μ α και α  0 , τότε λ = μ

 13. Αν α είναι ένα διάνυσμα , τι μπορείτε να πείτε για το μέτρο και την κατεύθυνση του διανύσματος

 -3  β=  α ; 2α



14. Να βρείτε το διάνυσμα x σε κάθε μια από τις περιπτώσεις :       α) 2 x + 3(α - 2β) = 3 x - 4(β - 2 α) 1   1   β) (x - 2α) = (2 x - β) 4 3 ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

35

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

15. Αν στο σχήμα 28 είναι 2(ΒΜ) = (ΜΓ) , να αποδείξετε ότι:  β

Β Μ

 x  γ

Α

 1   x = ( 2β + γ ) .

3

Γ σχ.28

16. Έστω  μη μηδενικό διάνυσμα και σημείο Ν, τέτοιο ώστε να ισχύει     και     . Να αποδείξετε ότι α – β = 1.

3. Διανυσματική ακτίνα μέσου Α 



ΑΒ + ΑΓ ΑΒ + ΑΓ = 2ΑΜ  ΑΜ = 2 

Β

Μ







Γ

17. Αν ΚΔ , ΛΕ και ΜΖ είναι διάμεσοι τριγώνου ΚΛΜ , να αποδείξετε ότι:     ΚΔ + ΛΕ + ΜΖ = 0 .

18. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ , Ε , Ζ των πλευρών του . 











Να δείξετε ότι : ΡΑ + ΡΒ + ΡΓ = ΡΔ + ΡΕ + ΡΖ , όπου Ρ τυχαίο σημείο .

19. Αν Μ είναι το μέσο του τμήματος ΑΓ και Ν το μέσο του τμήματος ΒΔ , 





να δείξετε ότι : Α Β + ΓΔ = 2 Μ Ν .

20. Τα τμήματα ΑΒ , ΓΔ και ΕΖ έχουν κοινό μέσο Ο . Να δείξετε ότι : 











α) ΑΒ + ΑΓ + ΑΔ + ΑΕ + ΑΖ = 3 ΑΒ . 













β) ΜΑ + ΜΒ + ΜΓ + ΜΔ + ΜΕ + ΜΖ = 6 ΜΟ , για κάθε σημείο Μ .

21. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και Κ , Λ τα μέσα των ΑΔ και ΔΓ 



αντίστοιχα. Να αποδείξετε ότι : ΒΚ + ΒΛ =

3  ΒΔ .

2

22. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ και Μ , Ν τα μέσα των πλευρών ΑΔ και ΒΓ αντιστοίχως.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

36

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα



α) Να αποδειχθεί ότι :  

 1  (    ) .

2





β) Έστω Ε , Ζ σημεία των πλευρών ΑΒ ,ΔΓ αντιστοίχως τέτοια ώστε :     



και     , όπου   R  . Να αποδειχθεί ότι το μέσο Ι του ΕΖ ανήκει στην ευθεία ΜΝ .

4. Βαρύκεντρο τριγώνου 







∙ Αν G βαρύκεντρο του τριγώνου ΑΒΓ , τότε : GA + GB + GΓ = 0 







∙ Για οποιοδήποτε σημείο Ο ισχύει : ΟΑ + ΟΒ + ΟΓ = 3 ΟG ∙ Για να δείξουμε ότι δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΔΕΖ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο, ονομάζουμε G και G΄ τα βαρύκεντρα των ΑΒΓ και ΔΕΖ αντίστοιχα και αφού αποδείξουμε μια από τις σχέσεις : 















ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 3GG΄

ή ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ = 3GG΄

    ΑΔ + ΒΕ + ΓΖ = 0

ή ΑΕ + ΒΖ + ΓΔ = 0

δείχνουμε ότι :

















ή

ΑΖ + ΒΔ + ΓΕ = 3GG΄

ή

    ΑΖ + ΒΔ + ΓΕ = 0

23. Έστω τρίγωνο ΒΓΔ , G το κέντρο βάρους του και Α τυχαίο σημείο του 







επιπέδου. Να δείξετε ότι : ΑΒ + ΑΓ + ΑΔ = 3 ΑG .

24. Δίνονται δύο τρίγωνα ΑΒΓ , Α΄Β΄Γ΄ στο χώρο και G , G΄ τα βαρύκεντρά 







τους αντίστοιχα . Να δείξετε ότι : ΑΑ΄ + ΒΒ΄ + ΓΓ΄ = 3GG΄ .

25. Δίνονται τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ για τα

οποία

 ΑΑ΄ + ΒΒ΄ + ΓΓ΄ = 0 . Να δείξετε ότι έχουν το ίδιο βαρύκεντρο . 



ισχύει :



26. Θεωρούμε το τρίγωνο ΑΒΓ και τα συμμετρικά Α΄ , Β΄ , Γ΄ των Α , Β , Γ ως προς τα Β , Γ , Α αντίστοιχα. Να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΑΒΓ και Α΄Β΄Γ΄ έχουν το ίδιο κέντρο βάρους .

27. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα παραλληλόγραμμα ΑΒΔΕ , ΒΓΖΗ και ΓΑΘΙ . Να δείξετε ότι : 







α) ΔΗ + ΖΙ + ΘΕ = 0 . β) Τα τρίγωνα ΔΖΘ και ΕΗΙ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο .

28. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ , ΓΔ και ΕΖ διχοτομούνται στο Ο . Αν Κ , Λ , Μ είναι τα μέσα των ΑΓ , ΒΕ και ΔΖ αντίστοιχα , να δείξετε ότι το Ο είναι βαρύκεντρο του τριγώνου ΚΛΜ .

29. Αν ΑΒΓΔΕΖ εξάγωνο και Κ , Λ , Μ , Ν , Ρ , Σ τα μέσα των πλευρών ΑΒ , ΒΓ , ΓΔ , ΔΕ , ΕΖ και ΖΑ αντίστοιχα , να δείξετε ότι τα τρίγωνα ΚΜΡ και ΛΝΣ έχουν το ίδιο βαρύκεντρο . ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

37

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

5. Συγγραμμικά διανύσματα ◆ Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι συγγραμμικά αρκεί να δείξουμε ότι:     α // β  α = λ β ◆ Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι ομόρροπα αρκεί να δείξουμε ότι:           α = λ β με λ > 0 ή  α , β  = 0 ή α + β = α + β   ◆ Για να δείξουμε ότι δύο διανύσματα είναι αντίρροπα αρκεί να δείξουμε ότι:           α = λ β με λ < 0 ή  α , β  = π ή α + β = α - β  

30. Δίνονται

τα

τρίγωνα

ΑΒΓ

και 

ΔΕΖ .

Αν









ΑΒ = κ ΔΕ , ΓΑ = λ ΖΔ , να



βρεθούν οι συνθήκες , ώστε ΒΓ // ΕΖ .

31. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Β΄ , Γ΄ τέτοια , ώστε: 











ΑΒ΄ = κ ΑΒ και ΑΓ΄ = κ ΑΓ . Να δείξετε ότι ´ô // ΒΓ .

   32. Δίνονται τα διανύσματα α , β , γ τα οποία είναι ανά δύο όχι συγγραμμικά και          ισχύει: α // β + γ , β // α + γ . Να δείξετε ότι: γ // α + β .    33. Δίνονται τα διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύει :         Να α + β + γ = 0 , β = λ α , γ = ( λ + 1) α , λ  R * .

δείξετε

ότι

:

  

α) Τα α , β , γ είναι συγγραμμικά. β) Να βρείτε τα

34. Αν

   β , γ συναρτήσει του α .

    α + β + γ = 0 και

    β =3 α , γ =4 α ,

να δείξετε ότι τα

   α,β,γ

είναι συγγραμμικά .

       35. Δίνονται τα διανύσματα α , β , γ για τα οποία ισχύει: α + β + γ = 0    β   α γ   = = . Να αποδείξετε ότι : α) α   β β) β   γ .

2 3 5

36. Αν 













2ΑΛ + 3ΒΛ + 2ΜΒ = ΑΚ + ΑΜ + ΒΚ , να αποδείξετε

ότι

τα

και

διανύσματα



ΚΛ και ΜΛ είναι αντίρροπα.

37. Αν είναι   ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

3 1 ,   και     1 , να αποδείξετε ότι τα  ,  είναι ομόρροπα.

4 4 38

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

6. Συνευθειακά σημεία Για να δείξουμε ότι τρία σημεία π.χ Α , Β , Γ είναι συνευθειακά αρκεί να δείξουμε ότι: 























ΑΒ // ΒΓ  ΑΒ = λ ΒΓ ή

ΑΒ // ΑΓ  ΑΒ = ρ ΑΓ

ή

ΑΓ // ΒΓ  ΑΓ = μ ΒΓ

38. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία Α , Β , Γ . Αν Δ , Ε είναι σημεία 







τέτοια , ώστε ΑΔ = ΒΓ και ΒΕ = ΑΓ , να δείξετε ότι τα Γ , Δ , Ε είναι συνευθειακά και ότι το Γ είναι μέσο του ΔΕ .        39. Δίνονται τα διανύσματα ΡΑ , ΡΒ , ΡΓ . Αν 2 ΡΑ - 3 ΡΒ + ΡΓ = 0 , να δείξετε

ότι τα Α , Β , Γ είναι συνευθειακά . 













40. Δίνονται τα διανύσματα ΡΑ , ΡΒ , ΡΓ . Αν 2 ΡΑ + 3 ΡΒ - 5 ΡΓ = 0 , να δείξετε ότι τα Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .

41. Αν ισχύει η ισότητα 9  2  7  0 , να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά . 





42. Να αποδείξετε ότι αν : (κ+2)ΡΑ + 3ΡΒ = (κ+5)ΡΓ , τότε τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά.

43. Δίνονται τέσσερα σημεία Ο ,Α , Β , Γ . Αν ισχύει :            ΟΑ = α + 2 β , ΟΒ = 2 α - β και ΟΓ = 4 α - 7 β με α , β δύο δοσμένα διανύσματα , να δείξετε ότι τα Α , Β , Γ είναι συνευθειακά .

44. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το σημείο Ρ για το οποίο ισχύει : 





ΑΡ = λ ΑΒ + μ ΑΓ . Αν λ + μ = 1 , να δείξετε ότι το ΡΒΓ .

45. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Αν ισχύει : 







AE = k AΔ , ΑΖ = λ ΑΒ , κ , λ  0 και κλ = κ + λ , να δείξετε ότι τα Ε , Γ , Ζ είναι συνευθειακά .

46. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ , Ε , Ζ ώστε να ισχύει : 

ΑΔ =

   2  6  ΑΒ , ΑΖ = ΑΓ και ΓΕ = ΒΓ .

3 5 







α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των ΑΒ και ΑΓ . ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

39

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

β) Να εξετάσετε αν τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά.

47. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και τα σημεία Δ , Ε , Ζ ώστε να ισχύει : 

ΑΔ =

  1  3  1  ΑΒ , ΑΖ = ΑΓ και ΓΕ = ΒΓ .

3 5 2







α) Να εκφράσετε τα διανύσματα ΔΕ και ΔΖ συναρτήσει των β) Να δείξετε ότι τα σημεία Δ , Ε , Ζ είναι συνευθειακά

48. Αν υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί κ , λ , μ με ώστε 







ΑΒ και ΑΓ .

κ + λ + μ  0 , τέτοιοι



κ + λ + μ = 0 και κ ΟΑ + λ ΟΒ + μ ΟΓ = 0 , να αποδείξετε ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά και αντιστρόφως .   

49. Έστω  ,  ,  τρία διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου και Ο η αρχή των 











αξόνων. Αν τα σημεία Α , Β ,Γ έχουν διανύσματα θέσης   2   3  , 3  4    , 





2  3    αντιστοίχως ως προς το σημείο Ο, να αποδειχθεί ότι τα σημεία Α , Β , Γ είναι συνευθειακά και ότι το Γ είναι το μέσο του ΑΒ. 





50. Έστω τρίγωνο ΑΒΓ και P,Q δύο σημεία τέτοια ώστε :        και 





Q       όπου α ,β  R . 



α) Αποδείξτε ότι για κάθε α ,β  R το διάνυσμα PQ είναι συγγραμμικό του  . β) Αν Ε το μέσο του PQ και Δ το μέσο του ΒΓ , τότε τα σημεία Α ,Ε ,Δ είναι συνευθειακά .

7. Μη συγγραμμικά διανύσματα 51. (Βασική άσκηση)   Έστω α και β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα .   Αν κα = λβ , να δείξετε ότι κ = λ = 0 .

  52. Έστω α και β δύο μη συγγραμμικά διανύσματα .     Αν κα + 3β = 2α + λβ , να δείξετε ότι : κ = 2 και λ = 3.

53. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ για το οποίο ισχύει:             AB - AΓ  ΑΒ   ΒΓ - ΑΓ  ΑΓ  0 .     Να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

40

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

54. Αν Μ εσωτερικό σημείο του τριγώνου ΑΒΓ και ισχύει : 











ΑΜ = λ ΑΒ + ρ ΑΓ και ΒΜ = λ ΒΓ + ρ ΒΑ , λ , ρ  R , να αποδείξετε ότι το Μ είναι κέντρο βάρους του τριγώνου ΑΒΓ .

55. Θεωρούμε τα σημεία Ο, Α και Β, τα οποία δεν είναι συνευθειακά και τα διανύσματα       και       με λR .Να αποδείξετε ότι τα διανύσματα  και  δεν είναι συγγραμμικά .  













56. Δίνονται τα μη συγγραμμικά  ,  και τα διανύσματα u     και w  a   . 



α) Να αποδειχθεί ότι τα u , w είναι μη συγγραμμικά . 











β) Έστω v  2   . Γράψτε το v ως γραμμικό συνδυασμό των u , w .

8. Σταθερό διάνυσμα Όταν μας δίνουν κάποια σταθερά σημεία και ένα μεταβλητό σημείο και μας ζητούν να δείξουμε ότι ένα διάνυσμα που εκφράζεται ως πράξεις διανυσμάτων είναι σταθερό , θα παίρνουμε σημείο αναφοράς ένα απ’ τα σταθερά σημεία.

57. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και το μεταβλητό σημείο Μ . Να δείξετε ότι το 





διάνυσμα ΜΑ + ΜΒ - 2 ΜΓ είναι σταθερό .

58. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α , Β , Γ , Δ και το μεταβλητό σημείο Μ . Να      δείξετε ότι το διάνυσμα α = 2 ΜΑ + 3 ΜΒ - ΜΓ - 4 ΜΔ είναι σταθερό.

59. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α , Β , Γ και οι α , β , γ R με α + β + γ = 0 . Να     δείξετε ότι , αν Μ τυχαίο σημείο , τότε το διάνυσμα v = α ΜΑ + β ΜΒ + γ ΜΓ είναι σταθερό .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

41

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

9. Συντεταγμένες διανύσματος 



Αν α = (x α , y α ) και β = (x β , y β ) τότε :







α) α + β = (xα + xβ , yα + yβ) β) λ α = (λ xα , λ yα)   γ) Αν α // x΄x τότε yα = 0 ενώ αν α // y΄y τότε xα = 0 . δ) Συντεταγμένες μέσου τμήματος .

 xA + xB yA + yB  ,   2 2 

Α(xA,yA)

M

B(xB,yB)

ε) Συντεταγμένες διανύσματος με γνωστά άκρα

Α(xA,yA)



ΑΒ = (xB - xA , yB - yA)

B(xB,yB)

Μέτρο διανύσματος





Αν α = (x , y) , τότε α =

x2 + y2 y

ζ) Απόσταση δύο σημείων

(ΑΒ) = (x B - x A ) 2 + (y B - y A ) 2 η) Συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος y

 α = (x,y)

Αν x  0 τότε λ α =

x

y = εφφ x

Αν x = 0 τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης διανύσματος  και α //y΄y

φ Ο

O

 α = (x,y)

x

  α // β  λ α = λ β , όταν xα , xβ  0

60. Ποια είναι η θέση στο καρτεσιανό επίπεδο των σημείων Μ(x,y) για τα οποία ισχύει : α) x = 3 β) x < 3

γ) y > 3

δ) x = y

61. Να βρείτε τις αποστάσεις των παρακάτω σημείων από τους άξονες x΄x και y΄y: Α(-2,1) , Β(2,3) , Γ(-2,-3) , Δ(1 - κ , λ+3) , Ε(x,y) . 

62. Δίνεται το διάνυσμα α = (2λ2 + λ - 3 , 2λ2 + 7λ + 6) . Για ποια τιμή του λ είναι :

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

42

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

  α) α = 0 ;





β) α  0

 και α // x΄x ;

63. Δίνονται τα διανύσματα :

  α = (4λ2 + λ - 2 , 5λ2 - λ + 1) και β = (λ2 - λ - 1 , 3λ2 - 2λ + 2) .





Να βρείτε το λ ώστε να είναι α = β . Υπάρχει τιμή του λ ώστε να είναι

  α = - β;

  64. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό x, ώστε τα διανύσματα α = (x,1) και β = (16, x) να είναι ομόρροπα . 





65. Δίνονται τα διανύσματα α  (3 , 3) , β  (0 , 7) , γ  (7 , 0) . Να βρείτε τις γωνίες που σχηματίζει κάθε ένα απ’ τα παραπάνω διανύσματα με τον άξονα x΄x.

66. Αν Α (- 5 , - 2) και Β (10 , 7) , να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων που χωρίζουν το τμήμα ΑΒ σε τρία ίσα μέρη .

67. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (1 , 2) , Β (- 3 , - 4) , Γ (4 , - 2) . Να βρείτε : 

α) τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΓ . 

β) τις συντεταγμένες του διανύσματος ΑΜ , όπου Μ το μέσο του ΒΓ. γ) τις συντεταγμένες του Ρ , όπου Ρ είναι το σημείο για το οποίο ισχύει : 



ΑΡ = ΒΓ .

68. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ. Αν Α (1 , 2) , Β (- 3 , 4) και Γ (2 , - 5) , να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ και του κέντρου Ο .

69. Να δείξετε ότι το τετράπλευρο με κορυφές τα σημεία : Α (1 , 2) , Β (3 , 0) , Γ (5 , 4) και Δ (3 , 6) είναι παραλληλόγραμμο .

70. Δίνονται τα σημεία Α (1 , 1) , Β (3 , 7) , Γ (- 2 , - 8) . Να δείξετε ότι είναι συνευθειακά .

71. Δίνονται τα σημεία Α (x , - 3) , B (1 , 1) , Γ (- 4 , 3) . Να βρεθεί ο x , ώστε τα Α , Β , Γ να είναι συνευθειακά .

72. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (- 3 , 1) , Β (2 , 3) και Γ (- 2 , 2) . α) Να

βρείτε

τις

συντεταγμένες του    β) Να δείξετε ότι : GA + GB + GΓ = 0 .

βαρύκεντρου

G

του

τριγώνου ΑΒΓ.



73. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α(3,0) , Β(1,2) και G(3,2) , όπου G το βαρύκεντρό του. Να βρείτε τις συντεταγμένες του Γ.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

43

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

74. Να δείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ με Α (3 , 0) , Β (1 , 1) και Γ (4 , 2) είναι ορθογώνιο και ισοσκελές .

75. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ του οποίου οι κορυφές Β και Γ βρίσκονται στους άξονες x΄x και y΄y αντίστοιχα . Αν Α (5 , 2) και G (2 , 1) το βαρύκεντρο του ΑΒΓ , να βρείτε τις συντεταγμένες των Β και Γ .

76. Να βρείτε τις συντεταγμένες του περίκεντρου του τριγώνου ΑΒΓ , αν είναι : Α (- 1 , 2) , Β (3 , 2) και Γ (1 , 4) .

77. Να δείξετε ότι τα σημεία Α (-1 , - 3) , Β (8 , 3) , Γ (3 , 4) , Δ (0 , 2) είναι κορυφές ισοσκελούς τραπεζίου .

78. Δίνεται το τετράπλευρο ΑΒΓΔ με Α (- 1 , - 5) , Β (0 , 2) , Γ (2 , 4) και Δ (2 , 0) . Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Ο των διαγωνίων του .  79. Να αναλύσετε το διάνυσμα α = (5 , -5) σε δύο συνιστώσες , οι οποίες να





έχουν τις διευθύνσεις των διανυσμάτων β = (1 , 1) και γ = (2 , -3) .

 80. Να αναλύσετε το διάνυσμα γ = (12 , - 4) σε δύο συνιστώσες , οι οποίες να   έχουν τις διευθύνσεις των διανυσμάτων α = (3 , 1) και β = (-2 , 2) .

   81. Δίνονται τα διανύσματα α = (1 , -3) , β = (-1 , 2) και γ = (-1 , 1) . α) Να δείξετε ότι ανά δύο δεν είναι συγγραμμικά .    β) Να εκφράσετε το γ ως γραμμικό συνδυασμό των α , β .

82. Δίνονται τα διανύσματα :  1   α = ( -2 , 1) , β = 1 , -   2

  , γ = ( 3 , 1) κ α ι δ = ( 6 , 2) .

Να εξετάσετε ποια απ’ αυτά είναι: α) συγγραμμικά β) ομόρροπα

γ) αντίρροπα .

83. Οι συντεταγμένες των μέσων των πλευρών πενταγώνου είναι : Κ (1 , 2) , Λ (- 3 , 4) , Μ (2 , - 9) , Ν (- 1 , - 5) , Ξ (3 , - 2) . Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του .

84. Στο σύστημα αναφοράς Οxy θεωρούμε τα σημεία Α και Β του άξονα x΄x , των οποίων οι τετμημένες είναι ρίζες της εξίσωσης : x2 - (λ2 - 4λ + 7)x - 2003 = 0 . Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ έχει τετμημένη 2 .

85. Δίνονται τα σημεία Α(0,4) ,Β(5,-3) και Γ(-1,-2).Να βρείτε τις συντεταγμένες του Δ, αν   2 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

44

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

86. Δίνονται τα σημεία Α(3,-1) και Β(2,-1).Να βρείτε τις συντεταγμένες του συμμετρικού σημείου Μ του Α ως προς το Β.

87. Οι συντεταγμένες των μέσων των πλευρών ΑΒ ,ΒΓ και ΓΑ ενός τριγώνου ΑΒΓ είναι αντίστοιχα Κ(2,-1) , Λ(4,-3) και Μ(-2,-2).Να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών Α ,Β και Γ.

88. Δίνονται τα σημεία Α(2,-1) , Β(-3,4) και Γ(κ,5).Να βρείτε το κ  R ώστε : α) το  // yy και β) τα σημεία Α ,Β και Γ να είναι συνευθειακά .

89. Να γράψετε το διάνυσμα u  (8,17) ως γραμμικό συνδυασμό των διανυσμάτων a  (2,1) και   (4,5) .

90. Να βρείτε για ποιες τιμές του x R τα διανύσματα a  ( x, 1) και   (9, x) είναι αντίρροπα .

91. Οι τετμημένες των σημείων Α ,B είναι ρίζες της εξίσωσης x2 –(λ2 – 5λ + 4)x –7=0 και οι τεταγμένες τους είναι οι ρίζες της εξίσωσης y2 –(λ2 – 3λ + 6)y –5 = 0. Nα βρεθεί η τιμή του λ για την οποία το τμήμα ΑΒ έχει ως μέσο το σημείο Μ(-1,2).

92. Αν a  ( x, x),   ( 2 x, 2 x) και   ( 3x,3x) , να αποδείξετε ότι  //  a    .

93. Να προσδιορίσετε τα διανύσματα a  (  2,   1) και    2 , 3  2  ώστε τα διανύσματα    ,    να είναι συγγραμμικά προς τα διανύσματα   (2, 4) και

  (1,5) αντίστοιχα .

94. Στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οxy θεωρούμε τα σημεία Α(1,4), Β(6,4), Γ(9,1) και Δ(2,1).

7 α) Να αποδείξετε ότι το ΑΒΓΔ είναι τραπέζιο και ότι      .

5 β) Θεωρούμε σημείο Μ τέτοιο ώστε   x    , xR. Να υπολογίσετε το x ώστε το σημείο Μ να είναι συμμετρικό του Γ ως προς το Δ.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

45

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

10. Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων α) Εφαρμογές του ορισμού        α  β = α  β συν α , β      Αν α = (xα , yα) και β = (xβ , yβ) τότε:   α  β = xα xβ + yα yβ

  95. Αν α = (2 , -3) και β = (1 , 4) , τότε :

 





 





α) Να βρείτε τα εσωτερικά γινόμενα: α  β , (3α)  (-2β) και (β - α)  (2α - 3β) . β) Να βρείτε τη σχέση που συνδέει τους κ , λ  R , ώστε το εσωτερικό   γινόμενο των διανυσμάτων u = (κ , λ) και β να είναι ίσο με μηδέν . Ποια η  σχέση όλων των διανυσμάτων u στην περίπτωση αυτή ;

   96. Αν α = (2,3) , β = (1,4) και γ = (3,0) να υπολογίσετε τις παραστάσεις:             α  (4β - γ) , α (β  γ) , α  (β  γ) και ( α β)  γ .    97. Δίνονται τα μοναδιαία διανύσματα α , β , γ       α  β + β  γ = - 2 . Να δείξετε ότι : α = γ .

για

τα

οποία

ισχύει :

   98. Να υπολογιστεί το άθροισμα α β + β γ + γ α αν είναι :        α = 3 , β = 1 , γ = 4 και α + β + 2γ = 0 . 



99. Αν   3 , |  | 2,   1 και ισχύει   2  3  0 να υπολογισθεί η τιμή της παράστασης      .

100. Αν    ,    ,    είναι οι διανυσματικές ακτίνες των σημείων Α ,Β, Γ 



και |  ||  | 3 ,   7 και   2  3  0 τότε : α) Να αποδείξετε ότι τα Α ,Β και Γ είναι συνευθειακά. β) Να υπολογίσετε τα          και τη γωνία των  , 



γ) Αν για το x ισχύουν οι σχέσεις x //    x



21   4

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

 και να υπολογίσετε το

 και  x          να αποδείξετε ότι

x.

46

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

β) Κάθετα διανύσματα 



 

Αν α  β , τότε α  β = 0 και αντιστρόφως .

  101. Αν α = (2 , 0) και β = (2 , 2) , να βρεθεί ο πραγματικός λ , ώστε :    α) Τα διανύσματα α και 2 α + λ β να είναι κάθετα .     β) Τα διανύσματα 2 β - α και α - λ β να είναι κάθετα .  102. Να βρείτε τα διανύσματα που είναι κάθετα στο α = (-2 , 3) και έχουν μέτρο ίσο με 5 .

    αβ  αβ   103. Να δείξετε ότι τα διανύσματα  2 β ,  2 β - α β β

104. Να

αποδείξετε





ότι

το

είναι κάθετα .

     (α  β)  α v=β α2

διάνυσμα



είναι

κάθετο

στο

διάνυσμα α , α  0 .

     π  105. Αν α = 3 , β = 2 και  α , β = , να υπολογίσετε   3       διανύσματα: u = α - 2β και v = α - λβ να είναι κάθετα .

τον

λR,

ώστε

τα

  106. Δίνονται τα διανύσματα α = (1 - μ , 6 - μ) , β = (μ + 1 , -2μ) . Να βρεθούν   οι τιμές του μ , ώστε τα α , β να είναι: α) ομόρροπα , β) κάθετα .

107. Να δείξετε ότι :















α) αν α  β και α  γ , τότε α  λ β + μ γ .

   α  β - γ    β) αν     τοτε γ  α - β . β  α - γ

108. Δίνονται τα σημεία Α (1 , 1) και Β (5 , 4) . Να βρείτε σημείο Μ του άξονα x΄x , ώστε το τρίγωνο ΜΑΒ να είναι ορθογώνιο στο Μ .

 α = (1 , 2) και      διανύσματα p κ α ι q τέτοια , ώστε : α = p + q ,

109. Δίνονται

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

τα

διανύσματα

 β = (3 , 4) . Να βρείτε     p // α και q  β .

δύο

47

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

γ) Γωνία διανυσμάτων   αβ     συν  α , β =     α β x α xβ + y α yβ     συν  α , β =   x 2α + y 2α  x β2 + y β2

  110. Δίνονται τα διανύσματα α και β

  με α = 1 , β = 3 και

    0  α , β =150 . Να  

υπολογιστούν τα μέτρα και το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων       x = 3α + 2β και y = 3α - 2β .

    111. Τα διανύσματα 2α + β , α - 3β είναι κάθετα μεταξύ τους .     Αν α = 1 και β = 2 , να υπολογιστεί η γωνία των α , β .   112. Για τα μη μηδενικά διανύσματα α , β να αποδείξετε ότι :  2  2     α + β - α - β . συν α , β =     4α  β 



113. Θεωρούμε δύο διανύσματα α , β για τα οποία ισχύει :    2π    α = 2 , β = 3 και ( α , β ) = . Αν δ = 3 α + 2 β , να υπολογίσετε τις γωνίες: 3   ( δ,α ) , (δ,β).        114. Αν α + β + γ = 0 και α = β = 1 , γ = 3 , να υπολογιστεί η

γωνία φ =

 ( α , β ) , αν είναι γνωστό ότι : 0 < φ < π .

  115. Δίνονται τα διανύσματα α , β για τα οποία ισχύει :            2 α - β  α + β και α - 2 β  2 α + β . Να υπολογίσετε το συν ( α , β ) .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

48

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

  116. Αν α = (λ , 3) και β = (-2 , 1) να βρείτε τον λ R αν :     π     α) α  β = 0 β)  α , β = γ) α // β .   6

 

117. Έστω  ,  δύο διανύσματα με   2,   1  3 και  ,   60 . Αν u  a  2 να βρείτε τη γωνία των διανυσμάτων  και u .

118. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Μ μέσο της πλευράς ΒΓ. Είναι   3,   2 και 





  , ΑΓ   6 .Να υπολογίσετε το συνημίτονο της γωνίας   , ΑΜ  .   













119. Δίνονται τα διανύσματα  ,  ,  ώστε     5 και   7 με 2  3  5 . α) Να υπολογίσετε συν(α,β) .    β) Αν τα  ,  ,  έχουν κοινή αρχή, να αποδείξετε ότι τα πέρατά τους είναι σημεία συνευθειακά.

δ) Μέτρο διανυσμάτων  2 α2 = α

  120. Δίνονται τα διανύσματα α , β τέτοια , ώστε   2π      α = 3 , β = 4 και ( α , β ) = . Αν γ = 3 α - 2 β , να βρείτε το γ .

3   121. Δίνονται τα διανύσματα α , β τέτοια , ώστε

   α = 1 , 3 α - 2 β = 13

και

 π  ( α , β ) = . Να βρείτε το β .

3       122. Αν α = β = 1 και α  β , να βρείτε : α) το 3 α + 4 β

123. Να δείξετε ότι :

 









β) το 3 α - 4 β .



α) α + β = α - β  α  β .

    = α 2 + β2  α  β .        γ) αν α = β = α + β , τότε α - β = α 

2

β) α + β

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

3 .

49

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

   124. Αν τα διανύσματα α , β , γ είναι μοναδιαία και σχηματίζουν ανά δύο π γωνία , τότε : 3       α) να δείξετε ότι : α + β + γ = 6 . β) να βρείτε το 2 α - β + 3 γ . 



125. Αν α και β είναι μοναδιαία διανύσματα και θ είναι η μεταξύ τους γωνία   θ , να αποδείξετε ότι : α + β = 2 συν .

2

126. Αν u  (3, 2) , να βρείτε το διάνυσμα v που είναι αντίρροπο προς το u και έχει τετραπλάσιο μέτρο από αυτό.

127. Να βρείτε το διάνυσμα a για το οποίο a   4, a  2  .

128. Έστω  ,  δύο διανύσματα του επιπέδου τέτοια ώστε    ,   2    2 και 2  

34 , να βρείτε τα μέτρα των διανυσμάτων  ,  .

ε) Προβολή διανύσματος σε διάνυσμα     α  v = α  προβ α v     προβ α v // α  προβ α v  λα

 v  Ο α Α

Μ

Μ΄   προβ α v  OM΄

ε1) Ανάλυση διανύσματος σε δύο κάθετες συνιστώσες  129. Να αναλυθεί το διάνυσμα β = (2 , 3) σε δύο κάθετες συνιστώσες , ώστε η  μία να έχει τη διεύθυνση του διανύσματος α = (1 , -2) .

   130. Δίνονται τα διανύσματα α = (2 , - 3) , β = (8 , 1) . Να αναλυθεί το β σε δύο συνιστώσες , κάθετες μεταξύ τους ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

, ώστε η μία να έχει τη διεύθυνση 50

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα



του α .







131. Να αναλυθεί το διάνυσμα   5i  10 j σε δύο κάθετες μεταξύ τους συνιστώσες    από τις οποίες η μια να είναι κάθετη στο διάνυσμα u  i  3 j .

ε2) Εύρεση προβολής – Γεωμετρικές ασκήσεις   132. Δίνονται τα διανύσματα α = (1 , 2) και β = (- 3 , 1) .   α) Να βρείτε την προβολή του β πάνω στο α .   β) Να βρείτε την προβολή του α πάνω στο β .

133. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με Α (1 , 2) , Β (- 3 , - 2)

και Γ (4 , - 1) . Αν ΑΔ 

είναι το ύψος του ΑΒΓ , να βρείτε τις συντεταγμένες του διανύσματος ΒΔ .

134. Στο επίπεδο Οxy δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με :          ΑΒ = 3 i + 4 j , ΒΓ = 2 i + j , AΓ = 5 i + 5 j . 

Αν ΑΔ είναι το ύψος του τριγώνου , να βρείτε το μέτρο του ΑΔ .

135. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ , η διάμεσος ΑΜ και το ύψος ΑΔ . Να δείξετε ότι :  2

 2





ΑΒ - ΑΓ = 2 ΒΓ  ΜΔ .

136. Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ . Αν ΓΕ  ΑΒ και ΓΖ  ΒΔ , να δείξετε 





 2



ότι : ΒΖ  ΒΔ - ΒΕ  ΒΑ = ΒΓ .

 

137. Έστω  ,  δύο διανύσματα του επιπέδου με   4,   3 και  ,   60 . Να

 

3 αποδειχθεί ότι προβ     .

8

138. Δίνονται τα διανύσματα a  (1, 2) ,   (3, 1) και u  (1,3) . α) Να βρείτε την προβολή του  πάνω στο  . β) Να αναλυθεί το διάνυσμα u σε δύο συνιστώσες , μια παράλληλη και μία κάθετη στο διάνυσμα  .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

51

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

στ) Βασικές εφαρμογές       ∙Γενικά δεν ισχύει : α  ( β  γ ) = ( α  β )  γ     ∙ αβ  α  β     ∙ ( α  β )2  α 2 β 2

139. α)

Να αποδείξετε     αβ  α  β .

ότι

  . Η ισότητα ισχύει όταν : α // β   . Η ισότητα ισχύει όταν : α // β για

οποιαδήποτε

διανύσματα

  α και β

ισχύει:

β) Χρησιμοποιώντας το προηγούμενο ερώτημα να βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή της παράστασης: Α = 6κ - 8λ αν x2 + y2 = 36. γ) Να δείξετε ότι: 6 x  8 x  10 .

140. Τα διανύσματα      (αx)β=γ+x.

    α , β , γ και x  

του επιπέδου ικανοποιούν τη σχέση :

 

 

(α) Να αποδείξετε ότι : ( β  α - 1 ) ( α  x ) = γ  α .

 



  

(β) Αν β  α  1 , να εκφράσετε το διάνυσμα x ως συνάρτηση των α , β , γ . ( Θέμα 1ης Δέσμης 1993 )  

141. Έστω  ,  διανύσματα του καρτεσιανού επιπέδου. Να αποδειχθεί ότι :  





|    ||  |  |  | . Πότε ισχύει η ισότητα ; 



Δίνονται τα διανύσματα   (x , y) και   (5,-12). Υπολογίστε το εσωτερικό  



γινόμενο    . Αν   5 να βρείτε το μέγιστο και το ελάχιστο της παράστασης Α = 5x – 12y καθώς και τις τιμές των x ,y  R για τις οποίες παρουσιάζονται το μέγιστο και το ελάχιστο.

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

52

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

11. Γεωμετρικοί τόποι Για να βρούμε το γεωμετρικό τόπο ενός μεταβλητού σημείου Μ μετασχηματίζουμε με πράξεις τη διανυσματική ισότητα που ικανοποιεί το Μ σε απλούστερη και καταλήγουμε σε έναν από τους παρακάτω βασικούς γεωμετρικούς τόπους: 



α) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = λ ΜΒ , τότε το Μ κινείται στην ευθεία ΑΒ. 



β) Αν τα σημεία Α , Β , Γ είναι σταθερά και ΜΑ = λ ΒΓ , τότε το Μ κινείται σε ευθεία παράλληλη με την ΒΓ που περνά απ’ το Α. 

γ) Αν το σημείο Α είναι σταθερό και ΜΑ = λ , λ > 0 , τότε το Μ κινείται σε κύκλο με κέντρο Α και ακτίνα λ. 



δ) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και ΜΑ = ΜΒ , τότε το Μ κινείται στη μεσοκάθετο του τμήματος ΑΒ. 

ΜΑ ε) Αν τα σημεία Α , Β είναι σταθερά και



= λ , λ > 0 , τότε το Μ

ΜΒ κινείται σε κύκλο με διάμετρο ΓΔ , όπου Γ , Δ είναι τα συζυγή αρμονικά των Α , Β. (Απολλώνιος κύκλος)

142. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α , Β και το μεταβλητό σημείο Μ για το    οποίο ισχύει : λ ΜΑ + μ ΜΒ = 0 , όπου λ , μ πραγματικοί αριθμοί με λ + μ  0. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο του σημείου Μ .

143. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α,Β,Γ και οι πραγματικοί αριθμοί κ , λ με κ + λ =1 . Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία : 





ΑΜ = κ ΑΒ + λ ΑΓ .

144. Δίνονται τα σταθερά σημεία Α , Β . Να βρείτε τη γραμμή που γράφουν 



τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει : ΜΑ + ΜΒ = 2 .

145. Έστω Ο , Α δύο σταθερά σημεία του επιπέδου τέτοια , ώστε να ισχύει 

ΟΑ = 3 . Ποια γραμμή γράφουν τα σημεία Μ του επιπέδου για τα οποία 

 





 

είναι ΟΜ   ΟΜ - 2ΟΑ = 7 ;

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

53

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

146. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του 







επιπέδου του για τα οποία ισχύει : ΑΒ  ΑΜ + ΑΓ  ΑΜ = 0 . 

147. Δίνονται τα σημεία Α , Β για τα οποία ισχύει : AB = 8 . Να βρείτε το 



γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : MA  MB = 9 .

148. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ .Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει : α)   (  1)    ,λ  R





γ)   2   // 





β)    //  δ)        0 , λ  R

149. Δίνονται τα σημεία Α ,Β ,Γ και Δ .Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει        .

150. Δίνονται τα σημεία Α ,Β ,Γ και Δ .Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των σημείων Μ για τα οποία ισχύει     2      2 .

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

54

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

12. Θέματα Πανελληνίων Εξετάσεων 



151. Δίνονται τα διανύσματα α = ( λ , λ - 1) και β = (4 , λ) , με λ  0 . Για ποια από τις   παρακάτω τιμές του λ τα διανύσματα α και β είναι κάθετα : Α. λ = 1 Β. λ = 3 Γ. λ = 2 Δ. λ = - 2 Ε. λ = - 3 (Πανελλήνιες 1999)

   τα διανύσματα Να u = (1 , - 3 ) , v = (2 , 2 3) και w = ( 3 , 1) . αντιστοιχίσετε κάθε γωνία που βρίσκεται στη στήλη Α με το μέτρο της που βρίσκεται στη στήλη Β.

152. Δίνονται

Στήλη Α   1. Γωνία των u και v   2. Γωνία των u και w   3. Γωνία των v και w

Στήλη Β Α. π/2 Β. π/6 Γ. π/4 Δ. 2π/3 Ε. 3π/4 Ζ. π/3

(Πανελλήνιες 1999) 



153. Για τα διανύσματα α και β ισχύουν οι σχέσεις:     2α  3β  (4 , - 2) και α - 3β  (- 7 , 8) .   α) Να δείξετε ότι : α  (-1 , 2) και β  (2 , - 2) .

    β) Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός κ , ώστε τα διανύσματα κα  β και 2α  3β να είναι κάθετα.  γ) Να αναλυθεί το διάνυσμα γ  (3 , - 1) σε δύο κάθετες συνιστώσες , από τις οποίες  η μία να είναι παράλληλη στο διάνυσμα α. (Πανελλήνιες 2000)

154. Για

τα

διανύσματα

  α,β

δίνεται

ότι

    π  α  1 και β  2 και  α , β     3

.

      Έστω τα διανύσματα u  2α  3β , v  α - 2β . Να υπολογίσετε:   α. Το εσωτερικό γινόμενο α  β .   β. Τα μέτρα των διανυσμάτων u και v .   γ. Το εσωτερικό γινόμενο u  v .   δ. Το συνημίτονο της γωνίας των διανυσμάτων u και v .

(Πανελλήνιες 2001)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

55

Μαθηματικά Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου Διανύσματα

155. Να

χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Ένα διάνυσμα και μία ευθεία, αν έχουν τον ίδιο συντελεστή διεύθυνσης είναι παράλληλα.     β. Αν det α, β είναι η ορίζουσα των διανυσμάτων α , β , τότε ισχύει η     ισοδυναμία: α // β  det α, β  1 .

 

 

(Πανελλήνιες 2002)

156. Να

χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν  



   



   – α  β β. Αν

Ο



(δηλαδή

τα



   έχουν

αντίθετη

κατεύθυνση)

τότε

και αντιστρόφως. είναι ένα σημείο αναφοράς τότε για οποιοδήποτε διάνυσμα

 

 AB

έχουμε AB = OA – OB . (Πανελλήνιες 2003)

157. Δίνονται τα διανύσματα   (1, 2) και   (2,3) . Α. Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος   5  3 . Β. Να βρείτε τη γωνία που σχηματίζει το  με τον άξονα x΄x. Γ. Να βρείτε τον αριθμό κ  , ώστε το διάνυσμα   ( 2   ,  ) να είναι κάθετο στο  . (Πανελλήνιες 2004)

ΚΕΝΤΡΟ ΜΕΛΕΤΗΣ

56