Βαθμός (κλίμακα του 100)
Διαγώνισμα
Υπογραφή καθηγητή
Μαθηματικά Κατ. Εξεταζόμενο μάθημα
Γ΄ Λυκείου Επώνυμο
Τάξη
Όνομα
Ζαχαριάδης Γιώργος Μάγκος Μιχάλης Μπούρας Θάνος
Κυριακή 09/12/2012 Τμήμα
Ημερομηνία
Καθηγητές
ΘΕΜΑ Α Α . 1 . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ το Α . Πό τ ε θ α λ έ μ ε ό τ ι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0A; Μ ον ά δ ε ς 3 A.2. Να αποδείξετε ότι: αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό δ ι ά σ τ η μ α [ α , β ] , σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] μ ε f(α) f(β) , τ ό τ ε γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ μ ό η μ ε τ α ξ ύ τω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x 0 ( α , β ) τ έ τ ο ι ο ς , ώ σ τ ε : f(x0) = η. Μ ον ά δ ε ς 6 Α.3. Να αποδείξετε ότι για κάθε x≠0 ισχύει:
ln x 1x . Μ ον ά δ ε ς 6
Α . 4 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κο λο υ θ ο ύ ν , γ ρ ά φ ο ντ α ς τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ το γ ρ ά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τ α σ η . α . Η ε ι κ ό ν α f ( Δ ) εν ό ς δ ι α σ τ ή μ ατ ο ς Δ μ έ σ ω μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς κ α ι μ η σ τ α θ ε ρ ή ς συνάρτησης f είναι διάστημα. β . Το σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ ο [ α , β ] ε ί ν α ι τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ιά σ τ η μ α [ m , M ] ό π ο υ m η ε λ ά χ ι σ τ η τ ι μ ή κ α ι Μ η μ έ γ ι σ τ η τιμή της. γ. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς σε ένα σημείο x0 του π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ το υ ς , α λ λ ά ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς σ τ ο x 0 . δ . Α ν ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f κ α ι g έ χ ο υ ν ό ρ ι ο σ τ ο x 0 κ α ι ι σ χ ύ ε ι : f ( x ) ≤ g ( x ) κο ν τ ά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε lim f(x) lim g(x) . x x0
x x 0
ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α) f(β) > 0 τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α , β). Μ ον ά δ ε ς 1 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση: f(x)= lnx + 2x. Β.1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Μ ον ά δ ε ς 4 Β . 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς α ν τ ί σ τ ρ ο φ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f 1 .
Σελίδα 1 από 3