Διαγώνισμα Γ΄ Λυκείου Μαθηματικά Κατ. 091212

Βαθμός (κλίμακα του 100)

Διαγώνισμα

Υπογραφή καθηγητή

Μαθηματικά Κατ. Εξεταζόμενο μάθημα

Γ΄ Λυκείου Επώνυμο

Τάξη

Όνομα

Ζαχαριάδης Γιώργος Μάγκος Μιχάλης Μπούρας Θάνος

Κυριακή 09/12/2012 Τμήμα

Ημερομηνία

Καθηγητές

ΘΕΜΑ Α Α . 1 . Έ σ τ ω μ ι α σ υ ν ά ρ τ η σ η f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ το Α . Πό τ ε θ α λ έ μ ε ό τ ι η f είναι παραγωγίσιμη στο x0A; Μ ον ά δ ε ς 3 A.2. Να αποδείξετε ότι: αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη σε ένα κλειστό δ ι ά σ τ η μ α [ α , β ] , σ υ ν ε χ ή ς σ τ ο [ α , β ] μ ε f(α)  f(β) , τ ό τ ε γ ι α κ ά θ ε α ρ ι θ μ ό η μ ε τ α ξ ύ τω ν f ( α ) κ α ι f ( β ) υ π ά ρ χ ε ι έ ν α ς τ ο υ λ ά χ ι σ τ ο ν x 0  ( α , β ) τ έ τ ο ι ο ς , ώ σ τ ε : f(x0) = η. Μ ον ά δ ε ς 6 Α.3. Να αποδείξετε ότι για κάθε x≠0 ισχύει:

 ln x   1x . Μ ον ά δ ε ς 6

Α . 4 . Ν α χ α ρ α κ τ η ρ ί σ ε τ ε τ ι ς π ρ ο τ ά σ ε ι ς π ο υ α κο λο υ θ ο ύ ν , γ ρ ά φ ο ντ α ς τ η λ έ ξ η Σ ω σ τ ό ή Λ ά θ ο ς δ ί π λ α σ το γ ρ ά μ μ α π ο υ α ν τ ι σ τ ο ι χ ε ί σ ε κ ά θ ε π ρ ό τ α σ η . α . Η ε ι κ ό ν α f ( Δ ) εν ό ς δ ι α σ τ ή μ ατ ο ς Δ μ έ σ ω μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς κ α ι μ η σ τ α θ ε ρ ή ς συνάρτησης f είναι διάστημα. β . Το σ ύ ν ο λ ο τ ι μ ώ ν μ ι α ς σ υ ν ε χ ο ύ ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f μ ε π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ ο [ α , β ] ε ί ν α ι τ ο κ λ ε ι σ τ ό δ ιά σ τ η μ α [ m , M ] ό π ο υ m η ε λ ά χ ι σ τ η τ ι μ ή κ α ι Μ η μ έ γ ι σ τ η τιμή της. γ. Υπάρχουν συναρτήσεις που δεν είναι συνεχείς σε ένα σημείο x0 του π ε δ ί ο υ ο ρ ι σ μ ο ύ το υ ς , α λ λ ά ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ ε ς σ τ ο x 0 . δ . Α ν ο ι σ υ ν α ρ τ ή σ ε ι ς f κ α ι g έ χ ο υ ν ό ρ ι ο σ τ ο x 0 κ α ι ι σ χ ύ ε ι : f ( x ) ≤ g ( x ) κο ν τ ά σ τ ο x 0 , τ ό τ ε lim f(x)  lim g(x) . x x0

x x 0

ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [α , β] και f(α)  f(β) > 0 τότε η f δεν έχει ρίζα στο (α , β). Μ ον ά δ ε ς 1 0 ΘΕΜΑ Β Δίνεται η συνάρτηση: f(x)= lnx + 2x. Β.1. Να αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Μ ον ά δ ε ς 4 Β . 2 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο π ε δ ί ο ο ρ ι σ μ ο ύ τ η ς α ν τ ί σ τ ρ ο φ η ς σ υ ν ά ρ τ η σ η ς f 1 .

Σελίδα 1 από 3

Μ ον ά δ ε ς 5 Β.3. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα στο (0 , +  ). Μ ον ά δ ε ς 5 x

3 Β.4. Αν g(x) =   , να ορίσετε τη συνάρτηση h = f g , και να βρείτε , αν 7 υ π ά ρ χ ε ι , τ ο ό ρ ι ο : lim h( x) . x 

Μ ον ά δ ε ς 6 Β.5. Να δείξετε ότι η εξίσωση h(x) = 0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο R. Μ ον ά δ ε ς 5 ΘΕΜΑ Γ Γ . 1 . Δ ί ν ε τ α ι η σ υ ν ά ρ τ η σ η : f  x   4 x  e2 x . α . Ν α β ρ ε θ ε ί η ε ξ ί σ ω σ η τ η ς ε φ α π το μ έ ν η ς τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ ο μ ή ς τ η ς μ ε το ν ά ξ ο ν α yy . β.

Να

δειχθεί

ό τι

η

f

α ν τ ι σ τ ρ έ φ ε τα ι



και

ε φ α π τ ο μ έ ν η ς τ η ς C f 1 σ τ ο σ ημ ε ί ο τ η ς  1, f 1 1



να

βρεθεί

η

Μ ον ά δ ε ς 3 εξίσωση της

, α ν γ ν ω ρ ί ζ ο υμ ε ό τ ι η f - 1 ε ί ν α ι

παραγωγίσιμη. Μ ον ά δ ε ς 4 γ . Ν α απ ο δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι υ π ά ρ χ ε ι έ ν α το υ λ ά χ ι σ τ ο ν x0  1, 2  , ώ σ τ ε η ε φ α π τ ο μ έ ν η





τ η ς C f σ τ ο σ η μ ε ί ο τ η ς M x0 , f  x0  ν α δ ι έ ρ χ ε τ α ι α π ό το σ η μ ε ί ο K 1,5  . Μ ον ά δ ε ς 5 Γ.2. Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: R  R με την ιδιότητα:

 

f 2  x   9συν2 χ  6ημx  f(x)  χ2 γ ι α κ ά θ ε χ  R κ α ι f (0)  lim  3x x 

1  x   . x x 

α. Να βρείτε το f(0). Μ ον ά δ ε ς 3 β . Ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι η f δ ι α τ η ρ ε ί π ρ ό σ η μ ο σ τ ο R τ ο ο π ο ίο κ α ι ν α π ρ ο σ δ ι ο ρ ί σ ε τ ε . Μ ον ά δ ε ς 3 γ. Να βρείτε τον τύπο της f. Μ ον ά δ ε ς 3 δ . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim f(x) . x 

Μ ον ά δ ε ς

4

ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x3 + x + 2 και οι μιγαδικοί: z1 ( x)  x  i f ( x) κ α ι z2 ( x)  x  i f 1 ( x) , x  R . Δίνεται και η συνάρτηση g:RR για την οποία ισχύουν ότι η συνάρτηση f ε ί ν α ι ΄ ΄ 1 - 1 ΄ ΄ , ό τ ι ε ί ν α ι π α ρ α γ ω γ ί σ ι μ η σ τ ο 1 μ ε g ΄ ( 1) = 1 κ α ι f ( g ( 1) ) = 1 2 .

g

Σελίδα 2 από 3

Δ.1. Να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της g. Μ ον ά δ ε ς

4



 z1 (1)   , νΝ*. z (4)  2 

Δ . 2 . Ν α υ π ο λ ο γ ί σ ε τ ε τ ο μ έ τ ρο τ ο υ μ ι γα δ ι κ ο ύ : 

Μ ον ά δ ε ς 4 3  g (1  8h)  g (1)    g (1)   i ι σ χ ύ ε ι :  h 0 h  

Δ . 3 . Α ν γ ι α τ ο μ ι γ αδ ι κ ό w μ ε w  lim 

 w  8   w  8i  



 1  g 1  2  , ν  Ν * , ν α δ ε ί ξ ε τ ε ό τ ι ν = 4 κ μ ε κ  Ν * .

Μ ον ά δ ε ς 5 Δ.4. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 0 έχει μοναδική ρίζα x0 < 0, και να υ π ο λο γ ί σ ε τ ε τ ο ό ρ ι ο : lim

x 

f ( x0  1)   ln x  ln( x 2  1)   f (1995)   f (2013   

x

.

Μ ον ά δ ε ς 6 Δ . 5 . Ν α β ρ ε ί τ ε τ ο x  R ώ σ τ ε z1 ( x)  z2 ( x) . Μ ον ά δ ε ς 6

Σ α ς ε υ χ ό μα σ τ ε επ ι τ υ χ ί α Επιμέλεια:

Σελίδα 3 από 3