Προετοιμασία Μαθηματικά Κατ. για Γ΄ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ (Προετοιμασία) ΑΝΑΛΥΣΗ Συναρτήσεις Επανάληψη πριν το διαγώνισμα

Να προσέξεις: • Όταν σου δίνουν μια συνάρτηση θα βρίσκεις πρώτα το πεδίο ορισμού της !

• Στη σύνθεση συναρτήσεων πρώτα θα βρίσκεις το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο !

• Για να δείξεις ότι μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη, πρώτα θα δείχνεις ότι είναι 1-1 Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

• ΠΡΟΣΟΧΗ: • Η g○f ορίζεται όταν D g○f ≠  . Πρώτα λοιπόν θα βρίσκω το πεδίο ορισμού της σύνθεσης και μετά τον τύπο της.

• Γενικά αν ορίζονται οι συναρτήσεις g○f και f ○ g , τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες.

• Ισχύει η προσεταιριστική ιδιότητα:

fo(goh)  (fog)oh .

• Αν δύο συναρτήσεις f και g έχουν πεδίο ορισμού το R , τότε οι fog και gof έχουν πεδίο ορισμού το R. • Αν μια συνάρτηση έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο διαστήματα Α και Β δεν έχει απαραίτητα το ίδιο είδος μονοτονίας και στην ένωση ΑΒ αυτών.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

• Στις ασκήσεις με σύνθεση όπου: • Α. Γνωρίζω την g○f και την f και ζητάω τη g , τότε: • Θέτω f(x) = ω και παίρνω περιορισμό αν χρειαστεί.

• Λύνω την f(x) = ω ως προς x.

• Αντικαθιστώ στον τύπο της την f(x) και το x.

• Β. Γνωρίζω την g○f και τη g και ζητάω την f , τότε: • 1. Θέτω στον τύπο της g όπου x το f(x) .

• 2. Λύνω ως προς f(x) και βρίσκω τον τύπο της f .

• Π.χ Δες άσκηση 6 σελ.148 σχολικού Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

• αν βρούμε δύο αριθμούς x 1 , x 2 με: x 1  x 2 ώστε f(x 1 ) = f(x 2 ) τότε η f δε θα είναι 1 – 1.

• Αν η f είναι 1 – 1 τότε κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφική παράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.

• Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε είναι και 1 – 1. (Προσοχή: γενικά δεν ισχύει το αντίστροφο) • Να θυμάσαι ότι: f 1  f ( x )   x , x  A και f  f 1 ( y )  = y , y  f ( A) Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

• Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

• Για να βρούμε την f

-1

:

α) Εξετάζουμε αν η f είναι 1 – 1 (αν δεν είναι δεν υπάρχει αντίστροφη) β) Θέτουμε όπου f(x) το y και λύνουμε τον τύπο της f ως προς x. γ) Κατά την επίλυση θέτουμε τους περιορισμούς που προκύπτουν για το y , από τη συναλήθευση των οποίων προκύπτει το πεδίο ορισμού της f -1 . δ) Για να βρούμε και τον τύπο της f -1 : κάνουμε εναλλαγή των μεταβλητών x και y στον τύπο που έχουμε βρει ως προς x στο β) Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

• ΠΡΟΣΟΧΗ: • Αν x = y τότε f(x)=f(y)

• Αν f(x) = f(y) και η f είναι 1-1 τότε x = y • Αν x > y και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε f(x) > f(y)

• Αν f(x) > f(y) και η f είναι γνησίως αύξουσα τότε x > y.

• Αν x > y και η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε f(x) < f(y) • Αν f(x) < f(y) και η f είναι γνησίως φθίνουσα τότε x > y.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Σημεία τομής Cf και Cf-1 • Αν η f είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία των Cf και Cf-1 τα βρίσκουμε από τη λύση της εξίσωσης: f(x)=x ή f-1(x) = x

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

• Αν η f δεν είναι γνησίως αύξουσα, τότε τα κοινά σημεία των Cf και Cf-1 τα βρίσκουμε από τη λύση του συστήματος: y=f(x) y=f(x)  y=f-1(x) x=f(y)

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 1 • Δίνεται μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το ( - 1 , 2 ]. Να βρείτε τα πεδία ορισμού: α. της f(2x – 1) και β. της f(x 2).

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 2 • Δίνεται η συνάρτηση f: R→R με f(f(x))=2x-1 για κάθε x∈R. α. Να αποδείξετε ότι: f(2x-1) = 2f(x) – 1. β. Να δείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 1 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στοR.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 3 • Δίνεται η συνάρτηση:  f g   x   1  x3 και η g(x) = -x 3. Να βρείτε τη συνάρτηση f.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 4 • Δίνεται η συνάρτηση:  g f   x   2x  1 x και η : g(x)  x  2 . Να βρείτε τη συνάρτηση f.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 5 • Δίνεται μια συνάρτηση f:R→R η οποία είναι 1 – 1. Αν ισχύει :  f f f  (x  1)   f f  (x  1) για κάθε x∈R , να βρείτε τη συνάρτηση f.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 6 • Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 -2x + 3. Να εξετάσετε αν η f είναι «1-1»: α. στο R β. στο (-∞, 1).

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 7 • Δίνεται η συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει: f(f(x)) = x3. Να αποδείξετε ότι: α. η f αντιστρέφεται. β. ισχύει: (f(x))3 = f(x3). γ. Να λυθεί η εξίσωση: f(x) = x στο R. δ. Να αποδείξετε ότι: [f(-1)]3 + [f(1)]3 = f(0). ε. Αν f(8) =64 να υπολογίσετε το f(2). Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 8 • A. Δίνονται οι συναρτήσεις f:Α→R , g:B→R με f(A)  B. Να δείξετε ότι αν η συνάρτηση g είναι γνησίως φθίνουσα και η g f γνησίως αύξουσα, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα. ex  1 • Β. Δίνονται οι συναρτήσεις f και g με: f (x)  x e g(x)   ln x  1 και   . α. Να βρείτε την g f και να δείξετε ότι g(f(x))=x για κάθε x∈R. β. Να βρείτε τη μονοτονία των g , και να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο R. γ. Να λύσετε την ανίσωση:  ex2 1  1  e x1   e x1  1 ex2 1 . 

Μαθηματικά Κατεύθυνσης



Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 9 * →R με: • Δίνεται η συνάρτηση f: R x f (x)  f (y)  f   για κάθε x , y≠0, τέτοια ώστε y η εξίσωση f(x) = 0 να έχει μοναδική ρίζα. α. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) = 0. β. Να δείξετε ότι η f είναι 1 – 1. 1 f (x)  f γ. Να δείξετε ότι: για κάθε  0 x   x≠0. δ. Να λύσετε την εξίσωση: f(x) + f(x 2+3) = f(x 2+1) + f(x+1).

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 10 • Δίνεται η συνάρτηση f:R→R για την οποία ισχύει:  f f  (x)  4x  9 για κάθε x∈R. Να δείξετε ότι: α. η f αντιστρέφεται.

β. f

1

1 (x)  f  x   9  4

.

γ. f(4x+9)=4f(x)+9. Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 11 • Δίνεται η συνάρτηση f:R→R η οποία είναι γνησίως μονότονη. Αν η γραφική παράσταση της f διέρχεται από τα σημεία Α(1 , 2) και Β(-1 , -2): α. να βρείτε τη μονοτονία της f. β. να λύσετε την ανίσωση: f(3x-1) + 2 < 0. γ. να δείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη της f. δ. να λυθεί η εξίσωση: f(ex-1) = 2. ε. να λυθεί η εξίσωση:f(2+f -1(x+2))=2.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 12 • Δίνεται η συνάρτηση: f(x) = x 3 – 6. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f -1.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 14 •

f (x)   x 5 η  1 συνάρτηση: 0 Δίνεται 5

f(x) = - x 3 . α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε την αντίστροφη συνάρτηση της f. β. Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και f -1.

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 15 • Δίνεται η συνάρτηση f: R  R τέτοια ώστε: 𝑓(𝑥 5 + 𝑥 5 − 1 = 0 , xR. α. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η C f τέμνει τον άξονα x΄x. β. Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. γ. Να δείξετε ότι (f◦f)(x)=x ,για κάθε xR. δ. Να βρείτε την f -1 .

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Άσκηση 16 • Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f(x) = x 3 +x+2. α. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. β. Να βρείτε, αν ορίζεται το f -1 (4). γ. Να λύσετε τις εξισώσεις: f(x) = 12 και f -1 (x) = -2. δ. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της f -1 με τους άξονες και την ευθεία y = x. ε. Να λύσετε την εξίσωση: (2-ημ 2 x) 3 =ημ 3 x + ημ 2 x + ημx – 2. στ. Να λύσετε τις ανισώσεις: f -1 (x)<3 και f -1 (x+1)x+5. ζ. Να μελετήσετε την f -1 ως προς τη μονοτονία. Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Ερωτήσεις τύπου Σωστό - Λάθος 1. Αν f , g είναι δύο συναρτήσεις και ορίζονται οι g◦f και f◦g, τότε αυτές δεν είναι υποχρεωτικά ίσες .

2. Αν f , g , h είναι τρεις συναρτήσεις και ορίζεται η h ◦ (g◦f) , τότε ορίζεται και η (h ◦ g)◦f και ισχύει h ◦ (g◦f)= (h ◦ g)◦f .

3. Μια συνάρτηση f : είναι συνάρτηση 1 – 1 , όταν για οποιαδήποτε x1 , x2  A ισχύει η συνεπαγωγή: αν f(x1) = f(x2) , τότε x1 = x2 .

4. Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.

5. Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν δεν υπάρχουν σημεία της γραφικής παράστασης με την ίδια τεταγμένη.

6. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι συνάρτηση 1-1.

7. Μια συνάρτηση f που είναι γνησίως μονότονη έχει πάντα μία ρίζα.

8. Έστω μια συνάρτηση f : A  R . Τότε : f-1(f(x)) = x , x  A. 9. Έστω μια συνάρτηση f : A  R . Τότε : f (f-1 (y)) = y , y  f(A).

10. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x.

11. Οι γραφικές παραστάσεις των f και f -1 τέμνονται πάντα πάνω στην ευθεία y = x.

12. Η αντίστροφη συνάρτηση της συνάρτησης f(x) = 10x είναι η g(x) = logx.

14. Αν μια συνάρτηση είναι συνάρτηση 1-1 τότε είναι γνησίως μονότονη.

15. Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 , τότε η εξίσωση f(x) = 0 έχει το πολύ μία ρίζα.

16. Έστω μια συνάρτηση f :A  R . Τότε : f (f-1 (y)) = y , y  A. Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου

Μαθηματικά Κατεύθυνσης

Προετοιμασία για Γ ΄ Λυκείου