INFORME DE TRABAJO: MATEMร TICA
Trabajo realizado por: G. Aguilar M. Bravo M. Escobar P. Gonzรกlez Curso: 4ยบ E
ITEM I a) ¿Qué similitud existe entre el golpe de una canica contra un obstáculo y el lanzamiento de una moneda? Modele el golpe de una canica contra un obstáculo con el lanzamiento de una moneda (que en vez de cara o sello toma valores 1 o −1). Cuando una canica choca contra un obstáculo debe tomar una decisión de si ir a la derecha o a la izquierda, no hay ninguna razón por la que debería privilegiar una respecto a la otra, así que se puede modelar como lanzar una moneda tal que si sale -1 la canica va hacia la izquierda y si sale 1 la canica va hacia la derecha. b) Para cada canica. ¿Qué representa, en el modelamiento, la cantidad de monedas lanzadas? ¿Qué representa la suma total de los lanzamientos de moneda? La cantidad de monedas lanzadas representa la cantidad de obstáculos contra los que choca, es decir, la “altura” de la máquina de Galton. La suma total, representa cuantas veces más se fue a la derecha que a la izquierda (si la suma es positiva), o cuantas veces se fue más a la izquierda que a la derecha (si la suma es negativa), es decir, la suma representa el cubículo en el que cae la canica. c) Si se simula número aleatorio X tal que la probabilidad que X valga 1 es P(X = 1) = 1 2 y la probabilidad que X valga 0 es P(X = 0) = 1 2, la variable Y = 2X −1 ¿Qué valores toma? ¿Con qué probabilidad toma cada valor? Notamos que X puede tomar 2 valores, así que Y, puede tomar a los más dos valores. Cuando X toma el valor 1, Y=2X-1=1, como esto es con probabilidad 0.5, Y toma el valor 1 con probabilidad a lo menos 0.5. Cuando X toma el valor 0, Y=2X-1=-1, como esto es con probabilidad 0.5, Y toma el valor -1 con probabilidad a lo menos 0.5. Como la probabilidad total es 1 y 1 = PሺY = 1oY = −1ሻ = PሺY = 1ሻ + PሺY = −1ሻ ⩾ 1, se tiene que P(Y=1)=0.5 y P(Y=-1)=0.5. d) Si X es una variable tal que P(X ≤ x) = F(x). En función de F ¿Cuál es la probabilidad que X sea mayor que x (P(X > x))? ¿Cuál es la probabilidad que X este en (a,b] (P(a < x ≤ b))? Se tiene que PሺX > ݔሻ = 1 − PሺX ⩽ xሻ = 1 − Fሺxሻ. Además Pሺa < ܺ < ܾሻ = 1 − PሺX < ܾܽ > ܺሻ = 1 − PሺX < ܽሻ − PሺX > ܾ ሻ, luego utilizando la fórmula anterior Pሺa < ܺ < ܾሻ = 1 − Fሺaሻ − ൫1 − Fሺbሻ൯ = Fሺbሻ − Fሺaሻ.
Pregunta 2 Simluación y modelamiento. En esta actividad simularemos la máquina de Galton usando Microsoft Excel. Analizaremos la distribución nal de las canicas simulando 6 experimentos en los que se lanzaran 20, 100 y 500 canicas, en una máquina con 10 y 51 clavos(de altura). a) Utilizando la función ALEATORIO.ENTRE(0;1) (que entrega un lanzamiento de mo- neda aleatorio, tal que 0 es cara y 1 es sello), genere una variable X tal que P(X = 1) = P(X = −1) = 1 2. Usando la pregunta 1 c, basta escribir =2*ALEATORIO.ENTRE(0;1)-1. b) Para emular la máquina con 10 obstáculos(de altura) copie su variable X desde B2 hasta J2. Luego sume (de B2 hasta J2) y ponga el resultado en la columna K y divídalos por √ 10. Realice 3 hojas de excel de esta manera, una donde haya 20 columnas donde se realice, otra con 100 y la última con 500. Ver archivo Excel adjunto. c) Para emular la máquina con 51 clavos copie su variable X desde B2 hasta AY2. Luego sume (de B2 hasta AY2) y ponga el resultado en la columna AZ y divídalos por √ 51. Realice 3 hojas de Excel de esta manera, una donde haya 20 columnas donde se realice, otra con 100 y la última con 500. Ver archivo Excel adjunto. d) Para cada una de las seis simulaciones, realice una tabla: Caso 1 Altura =10, canicas=20. Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
Proporción 0 0 0 7 8 3 2 0 0
0 0 0 0,35 0,4 0,15 0,1 0 0
Predicha
Error 0,02 0,05 0,12 0,20 0,24 0,20 0,12 0,05 0,02
0,02 0,05 0,12 0,15 0,16 0,05 0,02 0,05 0,02
Caso 2 - Altura=51, Canicas= 20 Rango Real Rango Frecuencia <-2,1 -2,1 (-2,1, -1,5] -1,5 (-1,5, 0,9] -0,9 (-0,9, 0,3] -0,35 (-0,3, 0,3] 0,35 (0,3, 0,9] 1,05 (0,9, 1,5] 1,75 (1,5, 2,1] 2,45 >2,1
Proporci贸n 0 0 3 1 6 5 4 1 0
0 0 0,15 0,05 0,3 0,25 0,2 0,05 0
Predicha
Error 0,02 0,05 0,12 0,18 0,27 0,22 0,11 0,03 0,01
0,02 0,05 0,03 0,13 0,03 0,03 0,09 0,02 0,01
Caso 3 - Altura=10, Canicas= 100 Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
2 9 12 15 28 25 5 2 2
Proporci贸n Predicha Error 0,02 0,02 0,09 0,05 0,12 0,12 0,15 0,20 0,28 0,24 0,25 0,20 0,05 0,12 0,02 0,05 0,02 0,02
0,00 0,04 0,00 0,05 0,04 0,05 0,07 0,03 0,00
Caso 4 - Altura=51, Canicas= 100 Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
3 4 14 23 18 22 12 0 4
Proporci贸n Predicha Error 0,03 0,02 0,04 0,05 0,14 0,12 0,23 0,20 0,18 0,24 0,22 0,20 0,12 0,12 0,00 0,05 0,04 0,02
0,01 0,01 0,02 0,03 0,06 0,02 0,00 0,05 0,02
Caso 5.-Altura=10, Canicas= 500
Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
Frecuencia -2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
4 20 54 103 119 117 63 16 4
Proporción Predicha Error 0,01 0,02 0,04 0,05 0,11 0,12 0,21 0,20 0,24 0,24 0,23 0,20 0,13 0,12 0,03 0,05 0,01 0,02
0,01 0,01 0,01 0,01 0,00 0,04 0,01 0,02 0,01
Caso 6 - Altura=51, Canicas= 500 Rango Real Rango <-2,1 (-2,1, -1,5] (-1,5, 0,9] (-0,9, 0,3] (-0,3, 0,3] (0,3, 0,9] (0,9, 1,5] (1,5, 2,1] >2,1
-2,1 -1,5 -0,9 -0,3 0,3 0,9 1,5 2,1
Frecuencia Proporción Predicha Error 11 0,02 0,02 26 0,05 0,05 59 0,12 0,12 89 0,18 0,20 107 0,21 0,24 99 0,20 0,20 66 0,13 0,12 29 0,06 0,05 15 0,03 0,02
0,00 0,00 0,00 0,02 0,02 0,00 0,01 0,01 0,01
e) Realice un gráfico que tenga al intervalo en el eje x, la proporción empírica en forma de barra y en línea tenga la proporción predicha. Los gráficos obtenidos fueron: Caso 1
Segundo caso
Tercer caso
Cuarto caso
Quinto caso
Sexto caso
f) En base a los datos analizados ¿Qué puede decir respecto a la proporción empírica vs la predicha? ¿Cómo variar el error con la cantidad de obstáculos (altura de la máquina de Galton)? ¿Cómo varia el error con la cantidad en relación a la cantidad de canicas tiradas? ¿Se puede aproximar el resultado de la máquina de Gatson a una variable normal? La proporción empírica se va pareciendo cada vez más a la proporción predicha a medida que aumenta el número de lanzamientos. El error no cambia demasiado cuando cambia el número de obstáculos, sin embargo, el error varía mucho con la cantidad de canicas lanzadas, yendo de 15% en el caso de 20 canicas a un 2~3% en el caso de 500 canicas. Según los resultados obtenidos podemos decir que los resultados de la máquina de Galton se pueden aproximar a una variable normal, incluso a una altura muy pequeña, pues sabemos que la probabilidad se puede calcular repitiendo muchas veces un experimento, por lo tanto, el caso de 500 canicas aproxima muy bien a la distribución de probabilidad real que tiene el resultado de la máquina de Galton, y éste está muy bien aproximado por la distribución normal.