Modelamiento: máquina de Galton

Departamento de Matemática

Proyecto de trabajo Estadística Profesor: Leonardo Sepúlveda

El objetivo de esta actividad es: modelar la máquina de las probabilidades de Galton (Fig. 1).

Este mecanismo funciona de la siguiente manera: • Desde la parte superior se tiran canicas, las que van recorriendo y chocando contra una

estructura de obstáculos, al nalizar el recorrido las canicas se distribuyen en proporciones diferentes en los espacios.

Para comprender mejor el funcionamiento vea el siguiente video.

Figura 1: Dibujo Original de Galton

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Quincunx_(Galton_Box)_-_Galton_1889_diagram.png

P1.

Fundamentos teóricos y modelamiento. Junto a tus compañeros de grupo, re exiona y responde las siguientes preguntas: ¾Qué similitud existe entre el golpe de una canica contra un obstáculo y el lanzamiento de una moneda? Modele el golpe de una canica contra un obstáculo con el lanzamiento de una moneda (que en vez de cara o sello toma valores 1 o −1). (b) Para cada canica. ¾Qué representa, en el modelamiento, la cantidad de monedas lanzadas? ¾Qué representa la suma total de los lanzamientos de moneda?. (c) Si se simula número aleatorio X tal que la probabilidad que X valga 1 es P(X = 1) = 21 y la probabilidad que X valga 0 es P(X = 0) = 12 , la variable Y = 2X − 1 ¾Qué valores toma? ¾Con qué probabilidad toma cada valor?. (d) Si X es una variable tal que P(X ≤ x) = F (x). En función de F ¾Cuál es la probabilidad que X sea mayor que x (P(X > x))?¾Cuál es la probabilidad que X este en (a, b] (P(a < x ≤ b))? (a)

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P2.

Simluación y modelamiento. En esta actividad simularemos la máquina de Galton usando Microsoft Excel. Analizaremos la distribución nal de las canicas simulando 6 experimentos en los que se lanzaran 20, 100 y 500 canicas, en una máquina con 10 y 51 clavos(de altura).

Utilizando la función ALEATORIO.ENTRE(0;1) (que entrega un lanzamiento de moneda aleatorio, tal que 0 es cara y 1 es sello), genere una variable X tal que P(X = 1) = P(X = −1) = 21 . (b) Para emular la máquina con 10 obstáculos(de altura) copie su variable X desde B2 hasta J2. √ Luego sume (de B2 hasta J2) y ponga el resultado en la columna K y divídalos por 10. Realice 3 hojas de excel de esta manera, una donde haya 20 columnas donde se realice, otra con 100 y la última con 500. (c) Para emular la máquina con 51 clavos copie su variable X desde B2 hasta AY2. Luego √ sume (de B2 hasta AY2) y ponga el resultado en la columna AZ y divídalos por 51.

Realice 3 hojas de excel de esta manera, una donde haya 20 columnas donde se realice, otra con 100 y la última con 500. (d) Nos interesa mostrar que los resultados obtenidos se asemejan a los valores de una variable normal de media 0 y desviación estándar 1. Para cada una de las seis simulaciones, realice una tabla de la siguiente manera (a)

Intervalo ≤ −2, 1 (−2, 1, −1, 5] (−1, 5, −0, 9] (−0, 3, 0, 3] (0, 3, 0, 9] (0, 9, 1, 5] (1, 5, 2, 1] > 2, 1

Rango Frecuencia empírica Proporción empírica Proporción predicha Error −2, 1 −1, 5 −0, 9 −0, 3 0, 3 0, 9 1, 5

Donde el error es el valor absoluto de la diferencia entre la proporción empírica y la predicha. Pista: Puede ser útil utilizar la función DISTR.NORM.ESTAND(x) = P(X ≤ x) donde X es una variable normal estándar (para una variable normal estándar P(X ≤ x) = P(X < x)). Para calcular la frecuencia empírica estudie la función FRECUENCIA de Excel. (e) Realice un grá co que tenga al intervalo en el eje x. La proporción empírica en forma de barra tenga y en línea tenga la proporción predicha en línea. (f ) En base a los datos analizados ¾Qué puede decir respecto a la proporción empírica vs la predicha? ¾ Cómo variar el error con la cantidad de obstáculos (altura de la máquina de Galton)? ¾ Cómo varia el error con la cantidad en relación a la cantidad de canicas tiradas? ¾Se puede aproximar el resultado de la máquina de Gatson a una variable normal?.

Entrega un informe que contenga las respuestas y el archivo adjunto de Excel con las simulaciones.

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