Frå pluss og minus til matematisk abstraksjon

Fråplussogminustilmatematiskabstraksjon

Kanlesarensjåatteikningaovanforskalførestillaeinkatt?Merkelegnokkunneegtent millionvispådenneteikningaomeghaddehattdeirettekontaktanepåkunstamarknaden. Heldigvisfinstdeteitstegmidtimellomdetåteiknarealistiskogdetåteiknatull.Her hareggjortendåeitforsøkpååteiknaeinabstraktkatt: tane på kunstmarknaden. Heldigvis finst det eit steg midt imellom det å teikna realistisk og det å teikna tull. Her har eg gjort endå eit forsøk på å teikna ein abstrakt katt:

Abstraksjonkanverasomangt.Orderabstraksjonar,talerabstraksjonarogtankarer abstraksjonar.Denmodernekunstenerveldigopptattavabstraksjonar.Nedanforserme eirealistiskteikningaveinkatt,elleriallefalleitforsøkpåålagaeirealistiskteikning aveinkattmedeyeliner:

Abstraksjonkanverasomangt.Orderabstraksjonar,talerabstraksjonarogtankarer abstraksjonar.Denmodernekunstenerveldigopptattavabstraksjonar.Nedanforserme eirealistiskteikningaveinkatt,elleriallefalleitforsøkpåålagaeirealistiskteikning aveinkattmedeyeliner:

Abstraksjon kan vera so mangt. Ord er abstraksjonar, tal er abstraksjonar og tankar er abstraksjonar. Den moderne kunsten er veldig opptatt av abstraksjonar. Nedanfor ser me ei realistisk teikning av ein katt, eller i alle fall eit forsøk på å laga ei realistisk teikning av ein katt med eyeliner:

Derettersermeeiabstraktteikningaveinkatt:

Derettersermeeiabstraktteikningaveinkatt:

Deretter ser me ei abstrakt teikning av ein katt:

1 Teikninga ovanfor er på ingen måte eit realistisk portrett av ein katt, men me ser likevel at det er ein katt ho skal førestilla. Me har brukt abstraksjon til å fanga essensen av katten.

Kan lesaren sjå at teikninga ovanfor skal førestilla ein katt? Merkeleg nok kunne eg tent millionvis på denne teikninga om eg hadde hatt dei rette kontak-

Kanlesarensjåatteikningaovanforskalførestillaeinkatt?Merkelegnokkunneegtent millionvispådenneteikningaomeghaddehattdeirettekontaktanepåkunstamarknaden. Heldigvisfinstdeteitstegmidtimellomdetåteiknarealistiskogdetåteiknatull.Her hareggjortendåeitforsøkpååteiknaeinabstraktkatt:

Kanlesarensjåatteikningaovanforskalførestillaeinkatt?Merkelegnokkunneegtent millionvispådenneteikningaomeghaddehattdeirettekontaktanepåkunstamarknaden. Heldigvisfinstdeteitstegmidtimellomdetåteiknarealistiskogdetåteiknatull.Her hareggjortendåeitforsøkpååteiknaeinabstraktkatt:

Men no er me på villspor. Denne artikkelen skal korkje handla om kattar eller kunst, han skal handla om matematikk. I matematikken er abstraksjon eit av dei kraftigaste verktøya me har. Nett som me fanga essensen av katten i berre nokre få strekar på eit ark, kan me plukka ut essensielle eigenskapar ved dei kjente talsystema våre for å laga abstrakte matematiske system. Dei abstrakte matematiske systema viser seg å vera svært nyttige til å oppdaga nye matematiske samanhengar og til å løysa matematiske problem i den verkelege verda. I denne artikkelen skal me sjå nærmare på kva for ei rolle abstraksjonen spelar i matematikken ved å visa til døme frå fagfeltet «gruppeteori». Gruppeteorien kan vera vanskeleg og teoretisk for dei som ikkje er vane med matematikk, men poenget med artikkelen er ikkje å læra gruppeteori i detalj. Gruppeteorien er berre eit middel for å skjøna kva matematisk abstraksjon er, kvifor det er viktig i matematikken og korleis det kan brukast utanfor matematikken.

Me byrjar med eit døme på matematisk abstraksjon, men då må me fyrst repetera tre velkjente reknereglar:

1. Om me plussar eit tal med null, får me talet sjølv. Til dømes er

0 + 5 = 5 + 0 = 5.

2. Om me tar eit tal minus seg sjølv, får me null. Til dømes er 4 − 4 = 0.

Ein annan måte å seia dette på, er at me får null dersom me plussar eit tal med seg sjølv gonga med minus éin, altso at

4 + (−4) = (−4) + 4 = 0.

3. Om me har eit reknestykke med fleire plussteikn, har det ikkje noko å seia kva for eit plusstykke me reknar ut fyrst. Til dømes er både

(2 + 5) + 1 = 7 + 1 = 8 og

2 + (5 + 1) = 2 + 6 = 8, so me kan sløyfa parantesane og skriva

2 + 5 + 1 = 8.

Ikkje bli fornærma av at me repeterer noko so enkelt som grunnleggande reknereglar. Det kan nemleg vera lurt å ha dei friskt i minne når me skal i gong med å abstrahera! Me skal vidareutvikla dei velkjende tala våre til det abstrakte matematiske systemet me kallar for «ei gruppe», men då må me fyrst finna ut av kva som er essensen i reknereglane. For det fyrste har me eit talsystem. Talsystemet me brukar til vanleg kallar me for dei reelle tala, R, og det er samlinga av alle tala som ligg på tallinja. 2, -5, 3.99 og π er døme på tal i R. Samlinga av alle dei heile tala, altso tala som ikkje har desimalar, kallar me for Z. Dette er tal som -13, 0 og 9. Reknereglane me skreiv opp gjeld både for tala i R og tala i Z. For det andre har me ein rekneoperasjon, pluss (+), som funkar sånn at om ein får to tal, kan ein laga eit nytt tal. Rekneoperasjonen er ein regel for korleis me skal laga det nye talet. Me kan generalisera desse observasjonane ved å ikkje berre sjå på samlingar av tal, men samlingar av kva som helst, og ikkje berre rekna med plussteiknet +, men alle moglege reglar som fortel oss korleis me kan kombinera to ting frå ei samling og få ein ny ting i samlinga. For å bruka eit meir matematisk språk, skal me frå no av kalla ei samling av ting for «ei mengd av element» og ein rekneoperasjon for «ein binæroperasjon». Vidare skal me bruka bokstaven «G» til å representera ei mengd, bokstaven «g» til å representera eit element i mengda «G», og teiknet × til å representera ein binæroperasjon. Eit døme på ei mengd som ikkje har noko med tal å gjera kan vera ein målarpalett med maling i alle fargane i universet. Eit døme på ein binæroperasjon som verkar på denne mengda er å blanda to av målingsfargane på paletten. Om mengda vår heiter G, me har to element i G som heiter g₁ og g₂, og symbolet for binæroperasjonen vår er ×, skriv me g₁ × g₂ for det elementet me får i G når me brukar binæroperasjonen til å kombinera g₁ og g₂. I dømet med målarpaletten har me då at blå × raud = lilla

No som me har eit matematisk språk for å snakka om mengder og binæroperasjonar, kan me bruka dette til å finna essensen i dei tre reknereglane me skreiv opp. Me førestiller oss at me har ei mengd som heiter G og ein binæroperasjon med teiknet ×. Rekneregel 1 handlar om eit tal, nemleg null, som ikkje endrar på dei andre tala når me plussar dei saman. På matematikkspråket vil dette seia at G inneheld eit element som ikkje påverkar dei andre elementa når me brukar binæroperasjonen × til å kombinera dei. Dermed kan me omskriva rekneregel 1 som

1. Mengda G inneheld eit element e som er sånn at e × g = g og g × e = g uansett kva for eit element i G bokstaven g skal representera. Me kallar dette elementet e for identitetselementet til G

Rekneregel 2 seier at uansett kva for eit tal me har, er det mogleg å finna eit anna tal som gjer at me får null dersom me plussar dei saman. Med andre ord, uansett kva for eit element me vel i G, kan me finna eit anna element som gjer at me får identitetselementet når me brukar × til å kombinera dei. Meir formelt skriv me

2. Om me har eit element i G som heiter g₁, kan me finna eit element i G, lat oss kalla det for g₂, som gjer at g₁ × g₂ = e og g₂ × g₁ = e

Her er e identitetselementet i G. Då seier me at g₂ er «inversen til g₁».

Rekneregel 3 fortel oss at det ikkje har noko å seia kva for eit plussteikn me reknar ut fyrst i eit plusstykke. Altso har det ingenting å seia kva for element me brukar binæroperasjonen × til å kombinera fyrst i eit reknestykke med fleire ×-teikn. Den nye rekneregel 3 blir då

3. Uansett kva for tre element me plukkar frå G, til dømes tre element som heiter g₁, g₂ og g₃, er det sant at

(g₁ × g₂) × g₃ = g₁ × (g₂ × g₃), so me kan sløyfa parantesane og skriva g₁ × g₂ × g₃.

Som lesaren kanskje har lagt merke til, er det ikkje sikkert at alle mengder og binæroperasjonar oppfyller dei tre nye reknereglane. Til dømes finst det ingen fargar på målarpaletten som ein kan blanda med dei andre fargane utan å laga ein ny farge. Ja, ein kan blanda blåmåling med blåmåling og, ikkje overraskande, få blåmåling, men om ein blandar blåmålinga med kva som helst annan farge på paletten, får ein ein ny somekansløyfaparantesaneogskriva farge. Derfor gjeld ikkje rekneregel 1 i dømet med målarpaletten. g1 ∗ g2 ∗ g3

Somlesarenkanskjeharlagtmerketil,erdetikkjesikkertatallemengderogbinæroperasjonaroppfyllerdeitrenyereknereglane.Tildømesfinstdetingenfargarpåmalarpaletten someinkanblandameddeiandrefarganeutanålagaeinnyfarge.Ja,einkanblandablåmalingmedblåmanlingog,ikkjeoverraskande,fåblåmaling,menomeinblandar blåmalingamedkvasomhelstannanfargepåpaletten,fåreineinnyfarge.Derforgjeld ikkjerekneregel1idømetmedmalarpaletten.

Dersom ei mengd med ein binæroperasjon faktisk oppfyller reknereglane, kallar me mengda for «ei gruppe». Dei tre reknereglane utgjer altso definisjonen av ei gruppe. Fram til no har me sett at både R og Z er grupper når me brukar plussing som binæroperasjon, medan målingspaletten ikkje er ei gruppe. Lesaren kan sjølv få sjekka at R er ei gruppe når ein brukar gonging · som binæroperasjon, men berre om ein fjernar talet null.

Dersomeimengdmedeinbinæroperasjonfaktiskoppfyllerreknereglane,kallarmemengdafor«eigruppe».Deitrereknereglaneutgjeraltsodefinisjonenaveigruppe.Framtil noharmesettatbåde R og Z ergruppernårmebrukarplussingsombinæroperasjon, medanmalingspalettenikkjeereigruppe.Lesarenkansjølvfåsjekkaat R ereigruppe nåreinbrukargonging sombinæroperasjon,menberreomeinfjernartaletnull.

Somlesarenkanskjeharlagtmerketil,erdetikkjesikkertatallemengderogbinæroperasjonaroppfyllerdeitrenyereknereglane.Tildømesfinstdetingenfargarpåmalarpaletten someinkanblandameddeiandrefarganeutanålagaeinnyfarge.Ja,einkanblandablåmalingmedblåmanlingog,ikkjeoverraskande,fåblåmaling,menomeinblandar blåmalingamedkvasomhelstannanfargepåpaletten,fåreineinnyfarge.Derforgjeld ikkjerekneregel1idømetmedmalarpaletten.

Ikkje overraskande skal me laga oss ei gruppe. Me kallar mengda av dei seks rotasjonane og speglingane for «rotasjonssymmetriane på ein trekant», D₃. Som binæroperasjon på D₃ brukar me samansetjing av rotasjonssymmetriane og teiknet ○ Å setja saman rotasjonssymmetriar vil seia å gjera to rotasjonssymmetriar etter kvarandre. Uttrykket u ○ b tyder dermed at me fyrst gjer rotasjon b og deretter spegling u. Som me allereie har sett, er u ○ b = v.

Deterikkjeberremengderavtalsomkanveragrupper.Herharmeeinlikesidatrekant derkvarthjørneitrekantenharnamnet A, B eller C

Dersomeimengdmedeinbinæroperasjonfaktiskoppfyllerreknereglane,kallarmemengdafor«eigruppe».Deitrereknereglaneutgjeraltsodefinisjonenaveigruppe.Framtil noharmesettatbåde R og Z ergruppernårmebrukarplussingsombinæroperasjon, medanmalingspalettenikkjeereigruppe.Lesarenkansjølvfåsjekkaat R ereigruppe nåreinbrukargonging sombinæroperasjon,menberreomeinfjernartaletnull.

Deterikkjeberremengderavtalsomkanveragrupper.Herharmeeinlikesidatrekant derkvarthjørneitrekantenharnamnet A B eller C

Me undersøker kor mange måtar me kan rotera og spegla trekanten på, utan at me kan sjå at han har flytta seg på arket:

Rotasjon a =Årotera 0◦ Rotasjon b =Årotera 120◦ Rotasjon c =Årotera 240◦ 5

Rotasjon a funkar som eit identitetselement i mengda av rotasjonssymmetriar, so D₃ følgjer rekneregel 1. Om ein klypper trekanten ut av arket og leikar seg litt med han, kan ein sjå med eigne augo at D₃ oppfyller dei to siste reknereglane òg. Dermed utgjer D₃ ei gruppe.

Men kva so? Kva har det å seia at R, Z og

D₃ er grupper? Me lærer ikkje noko nytt om desse mengdene berre ved å setja namn på dei. Gruppedefinisjonen verkar både overkomplisert og meiningslaus. Men som nemnt i innleiinga, har abstraksjon fleire nytteområde. Me byrjar med å sjå på korleis abstraksjon er nyttig for å bygga matematisk forståing.

Ved å bruka gruppedefinisjonen kan me bevisa utanfor all tvil at uansett kva for ei gruppe me har, finst det berre eitt identitetselement i gruppa. Følg nøye med no!

Rotasjon a =Årotera 0◦ Rotasjon b =Årotera 120◦ Rotasjon c =Årotera 240◦

Lat oss seia at både e₁ og e₂ er identitetselement i ei gruppe som heiter G med binæroperasjonen ×, og sjå på reknestykket e₁ × e₂.

Spegling u =Åspeglaom linjagjennom A Spegling v =Åspeglaom linjagjennom B Spegling w =Åspeglaom linjagjennom C

Merkateinrotasjonellereispeglingikkjeerden trekanten mefårnårmeroterereller speglar,mensjølve handlinga deteråroteraelleråspegla.Merkògatå«spegla»ein trekanterdetsamesomåsnuhanoppnedlangsdenstiplalinja.

Merk at ein rotasjon eller ei spegling ikkje er den trekanten me får når me roterer eller speglar, men sjølve handlinga det er å rotera eller å spegla. Merk òg at å «spegla» ein trekant er det same som å snu han opp ned langs den stipla linja.

Nokonvilkanskjepåpeikaatmeògkanroteratrekanten 360 eller 480 ,elleratmekan gjerarotasjon b ogspegling u etterkvarandre,ogdethardeiheiltretti.Menomein skrivoppkordetbliravhjørne A, B og C nåreingjerdesserotasjonaneogspeglingane, sereinateinfårnettdetsameresultatetsomomeinhaddegjorthøvesvisrotasjon a, rotasjon b ellerspegling v .Derforerdeinyerotasjonaneogspeglinganeoverflødigeidet menoskalbrukadeitil.

Nokon vil kanskje påpeika at me òg kan rotera trekanten 360° eller 480°, eller at me kan gjera rotasjon b og spegling u etter kvarandre, og det har dei heilt rett i. Men om ein skriv opp kor det blir av hjørne

Ikkjeoverraskandeskalmelagaosseigruppe.Mekallarmengdaavdeiseksrotasjonane ogspeglinganefor«rotasjonssymmetrianepåeintrekant», D3 .Sombinæroperasjonpå D3 brukarmesamansetjingavrotasjonssymmetrianeogteiknet ◦.Åsetjasamanrotasjonssymmetriarvilseiaågjeratorotasjonssymmetriaretterkvarandre.Uttrykket u ◦ b tyderdermedatmefyrstgjerrotasjon b ogderetterspegling u.Sommeallereieharsett, er u ◦ b v.

A, B og C når ein gjer desse rotasjonane og speglingane, ser ein at ein får nett det same resultatet som om ein hadde gjort høvesvis rotasjon a, rotasjon b eller spegling v. Derfor er dei nye rotasjonane og speglingane overflødige i det me no skal bruka dei til.

Rotasjon a funkarsomeitidentitetselementimengdaavrotasjonssymmetriar,so D3 følgjerrekneregel1.Omeinklyppertrekantenutavarketogleikarseglittmedhan,kan einsjåmedeigneaugoat D3 oppfyllerdeitosistereknereglaneòg.Dermedutgjer D3 ei gruppe.

Menkvaso?Kvahardetåseiaat R, Z og D3 ergrupper?Melærerikkjenokonyttom

Sidan e₁ og e₂ er identitetselement, seier rekneregel 1 at e₁ × g = g og g × e₂ = g, uansett kva for eit element i G bokstaven g skal representera. Om g representerer identitetselementet e₂, kan me byta g ut med e₂ i den fyrste likninga og få at e₁ × e₂ = e₂.

Om g representerer identitetselementet e₁, kan me byta g ut med e₁ i den andre likninga og få at e₁ × e₂ = e₁.

Frå e₁ × e₂ = e₂ og e₁ × e₂ = e₁ kan me konkludera med at

Dermed er alle identitetselementa i G like, som er ein annan måte å seia at gruppa G berre har eitt identitetselement på.

I beviset ovanfor brukte me ingen andre opplysningar enn dei tre reknereglane, og litt logisk tenking, for å visa at det berre finst eitt identitetselement i gruppa G. Derfor må påstanden gjelda for alle gruppene i heile verda! At det berre finst eitt identitetselement verkar openbart for R, Z og D₃, men nett som me viste at ei gruppe berre har eitt identitetselement, kan me visa meir interessante eigenskapar som ikkje alltid er like openberre. Her kjem ein annan påstand me kan bevisa: raudt,gult,grønt,blåttellerlilla.Trekantgrøn-lilla-rauderdentrekantensomergrøni hjørne A,lillaihjørne B ograudihjørne C ,altso

Me førestiller oss at gruppa G inneheld endeleg mange element og ser på mengda som inneheld alle element på forma g, g × g, g × g × g, g × g × g × g, ..., og so vidare, for èin eller annan g i G Lat oss seia at det er m element i G og at det er n element på forma g, g × g, g × g × g, g × g × g × g, ... .

Då må m : n alltid vil vera eit heiltal, uansett kva for eit element g me vel frå G.

Påstanden er veldig abstrakt og kronglete formulert, so me undersøker kva han vil seia for dømet med rotasjonssymmetriane:

Men samanhengane me har kome fram til er veldig teoretiske og kan verka unyttige for dei som ikkje interesserer seg for matematikk. Derfor skal me no bruka abstraksjon og gruppeteori til å løysa eit praktisk problem. Det mest grunnleggande nytteområdet i heile matematikken, nemleg å telja ting. Me skal fargelegga hjørna A, B og C i ein likesida trekant sånn at kvart hjørne er anten raudt, gult, grønt, blått eller lilla. Trekant grøn-lilla-raud er den trekanten som er grøn i hjørne A, lilla i hjørne B og raud i hjørne C, altso

Sidan ein trekant har tre hjørne og sidan kvart hjørne kan fargeleggast i éin av fem fargar,kan me farga

Sidaneintrekanthartrehjørneogsidankvarthjørnekanfargeleggastiéinavfemfargar, kanmefarga

Ved å leika seg litt med den likesida trekanten, ser ein at mengda som inneheld b, b × b, b × b, b × b × b, ..., som er å gjera rotasjon b mange gongar etter kvarandre, er lik mengda som inneheld rotasjonane a, b og c. Denne mengda inneheld tre element og D₃ inneheld seks element. Som me spådde, får me då at 6 : 3 = 2,

5³ = 125

53 =125 uliketrekantar.Menommeklyppertrekantaneutfråarketsånnatdetermoglegå roteraogspegladei,sermeatsommeavdeifargelagdetrekantaneirøyndaerlike.Til dømesertrekantanegrøn-lilla-raudograud-grøn-lillaéinogsametrekant,sidanmekan gjerarotasjon b påtrekantgrøn-lilla-raudogfåtrekantraud-grøn-lilla.Metaldealtso sommeavtrekantanefleiregongardåmereknaut 53 ,ogfekkderforeitaltforhøgttal. og som me alle veit, er 2 eit heiltal. Me kan òg gå motsett veg og seia at sidan 6 : 4 = 1.5 ikkje er eit heiltal, veit me heilt sikkert at r, r × r, r × r × r, ..., ikkje utgjer fire ulike rotasjonssymmetriar, uansett kva for ein rotasjonssymmetri bokstaven r representerer i D₃.

Foråfinnautkormangetrekantarmeeigentleghar,trengmeeinmåteåteljapåsom taromsyntilrotasjonarogspeglingar,ogdåmåmeattereingongabstrahera.Vedå brukabrukagruppedefinisjonen,skalmelagaeitabstraktmatematisksystemsomheiter ulike trekantar. Men om me klypper trekantane ut frå arket sånn at det er mogleg å rotera og spegla dei, ser me at somme av dei fargelagde trekantane i røynda er like. Til dømes er trekantane grøn-lillaraud og raud-grøn-lilla éin og same trekant, sidan me kan gjera rotasjon b på trekant grøn-lilla-raud og få trekant raud-grøn-lilla. Me talde altso somme av trekantane fleire gongar då me rekna ut 5³, og fekk derfor eit altfor høgt tal. For å finna ut kor mange trekantar me eigentleg har, treng me ein måte å telja på som tar omsyn til rotasjonar og speglingar, og då må me atter ein gong abstrahera. Ved å bruka bruka gruppedefinisjonen, skal me laga eit abstrakt matematisk system som heiter «ein gruppeverknad». Me går fort og gale gjennom definisjonen av ein gruppeverknad, for sjølv om definisjonen er viktig for at matematikken skal stemma, er han ikkje strengt naudsynt for å skjøna kva gruppeverknadane kan brukast til.

Gruppedefinisjonen gjer altso at me kan oppdaga samanhengar som gjeld for alle gruppene i heile verda, i staden for å undersøka alle gruppene kvar for seg. Gruppedefinisjonen gjer òg at me ser tydelegare kva som er årsaka til samanhengane. Me kan peika på nøyaktig kva for reknereglar som gjer at eit gitt matematisk system har ein viss eigenskap. Det er ikkje tilfeldig at r, r × r, r × r × r, og so vidare, aldri utgjer fire element i D₃, det lèt seg forklara på eit djupare nivå.

«eingruppeverknad».Megårfortoggalegjennomdefinisjonenaveingruppeverknad, forsjølvomdefinisjonenerviktigforatmatematikkenskalstemma,erhanikkjestrengt naudsyntforåskjønakvagruppeverknadanekanbrukasttil.

Metenkerossatmehareigruppesomheiter G medbinæroperasjonen ∗,ogeimengd somheiter X.Melagarosseinnyrekneoperasjonsomkombinerereitelementfrå eitelementfrå X oggireitnyttelementi X.Mebrukarteiknet ⋆ forrekneoperasjonen.

Me tenker oss at me har ei gruppe som heiter G med binæroperasjonen ×, og ei mengd som heiter X. Me lagar oss ein ny rekneoperasjon som kombinerer eit element frå G med eit element frå X og gir eit nytt element i X. Me brukar teiknet ● for rekneoperasjonen. Når me brukar ● til å kombinera elementet g i G og elementet x i X, skriv me

Nårmebrukar ⋆ tilåkombineraelementet g i G ogelementet x i X,skrivme

Fram til no har me brukt gruppedefinisjonen til å betra den matematiske forståinga vår.

Nett som då me definerte ei gruppe, skriv me opp ei liste med reknereglar:

1. Uansett kva for eit element x representerer i X, er e ● x = x, der e er identitetselementet i G

2. Uansett kva for nokre element g₁ og g₂ representerer i G, og uansett kva for eit element x representerer i X, er det sant at

(g₁ × g₂) ● x = g₁ ● (g₂ ● x).

Dersom ei gruppe G og ei mengd X følger dei to reknereglane ovanfor, seier me at G er «ein gruppeverknad» på X.

No som me veit kva ein gruppeverknad er, kan me koma tilbake til problemet med å telja trekantar. Ver merksam på at teljinga er litt komplisert, men ein treng ikkje å henga med på alle detaljane for å skjøna kvifor dei er nyttige.

Me lèt D₃ vera gruppa vår. Mengda vår er alle dei 125 likesida trekantane me får dersom kvart hjørne kan vera anten raudt, gult, grønt, blått eller lilla, og me ikkje ser på to trekantar som like om me kan rotera eller spegla dei for å få kvarandre. Når me skal vurdera om to trekantar er like eller ulike, tenker me oss altso at dei er limte fast i arket og ikkje kan roterast eller speglast. Me kallar denne mengda for ∆. At ein rotasjonssymmetri r i D₃ verkar på ein trekant T i ∆, vil seia at me brukar r til å rotera eller spegla T for å få ein ny trekant i ∆. Til dømes er b ● grøn-lilla-raud = raud-grøn-lilla. banei ∆,ettersomdetteeralletrekantanemefårommebrukarhøvesvis a,b,c,u,v og w tilåspeglaogroteratrekantengrøn-lilla-raud.

Då er D₃ ein gruppeverknad på ∆.

Vedåbrukadeitoreknereglaneidefinisjonenaveingruppeverknad,kanmeutleiaein formel, Burnsideformelen,somfortelossnøyaktigkormangebanarmefårnårgruppa G verkarpåmengda X .Burnsideformelenseierattaletpåbanar, B ,ergittvedlikskapen

Sidan me er interesserte i kor mange trekantar som finst om me faktisk ser på to trekantar som like om me kan rotera eller spegla dei for å få kvarandre, er det ikkje talet på trekantar i ∆ me er ute etter, men talet på banar. Når G er ei gruppe som verkar på mengda X, definerer me «ein bane» som den mengda ein får om ein startar med eit element x i X og lèt alle elementa i G verka på x etter tur. Om g₁, g₂ og g₃ er alle elementa i G, vil då x, g₁ ● x, g₂ ● x og g₃ ● x utgjera ein bane i X. For D₃ og ∆ vil dette seia at grøn-lilla-raud, raud-grøn-lilla, lilla-raud-grøn, grøn-raud-lilla, raud-lilla-grøn og lilla-grøn-raud utgjer ein bane i ∆, ettersom dette er alle trekantane me får om me brukar høvesvis a, b, c, u, v og w til å spegla og rotera trekanten grøn-lilla-raud. Ved å bruka dei to reknereglane i definisjonen av ein gruppeverknad, kan me utleia ein formel, Burnsideformelen, som fortel oss nøyaktig kor mange banar me får når gruppa G verkar på mengda X. Burnsideformelen seier at talet på banar, B, er gitt ved likskapen

MeskalikkjebevisaatBurnsideformelenstemmer,menmeskalsjånærmarepåkvahan seierogbrukahantilåløysateljeproblemetvårt. |G| stårfortaletpåelementi G.Me harallereiesettat |D3 | =6.

Me skal ikkje bevisa at Burnsideformelen stemmer, men me skal sjå nærmare på kva han seier og bruka han til å løysa teljeproblemet vårt. |G| står for talet på element i G. Me har allereie sett at |D₃| = 6.

Xg er mengda som inneheld alle dei elementa i X som ikkje endrar seg når elementet g i G verkar på dei. Med andre ord er Xg mengda av alle dei elementa i X som gjer at likskapen

Xg ermengdasominneheldalledeielementai X somikkjeendrarsegnårelementet g i G verkapådei.Medandreorder Xg mengdaavalledeielementai X somgjerat likskapen g⋆x = x ersann.Somlesarenkansjekkasjølv,er g ● x = x er sann. Som lesaren kan sjekka sjølv, er u ● blå-gul-gul = blå-gul-gul, so trekanten blå-gul-gul ligg i mengda ∆u. Meir generelt kan me seia at ∆u inneheld alle dei trekantane i ∆ som har same farge i hjørne B som i hjørne C. Sidan hjørne A ikkje flyttar på seg når me gjer spegling u, har me fem fargeval i A. I B har me òg fem fargeval, men berre om me passar på at C har same farge som B, og då er det berre éin farge å velja i hjørne C. Dermed er det 5 · 5 · 1 = 25 trekantar i ∆u, og me skriv u| = 25.

På same måte kan me rekna ut at

Då har me alt me treng for å løysa teljeproblemet! Om me set tala me har kome fram til inn i Burnsideformelen, får me at talet på banar i ∆ er

Løysinga på teljeproblemet er altso at me kan fargelegga 35 ulike trekantar. 35 er ikkje eit so veldig høgt tal. Me kunne fint ha talt til 35 ved å teikna alle trekantane eller sjå dei føre oss i hovudet. Men om me hadde hatt fleire enn fem fargar å velja mellom, kanskje 1000 eller 10 000 000 000 fargar, eller om me ikkje hadde hatt ein enkel trekant, men ein 18-kant, eller ein figur med ei form som er vanskeleg å skildra med ord, då trengst det sterkare lut til. Me treng gruppeteorien og Burnsideformelen. Fargelegging av trekantar er i grunn eit oppkonstruert døme, men Burnsideformelen kan brukast i teljeproblem av fleire ulike slag. Me skal ikkje undervurdera krafta som ligg i det å telja ting. Tala er kring oss overalt. Burnsideformelen kan verka rar og umotivert, og det er nesten litt magisk at han funkar. Derfor oppfordrar eg dei av lesarane som har fått eit snev av interesse for gruppeteori i laupet av denne artikkelen, til å ta ein kikk på beviset for formelen. Det er eit spanande bevis som gir djupare innsikt i kvifor gruppedefinisjonen er ein naturleg definisjon å laga og korleis grupper og symmetriar i røynda er to sider av same sak. Det er ikkje til å stikka under ein stol at beviset er vanskeleg og tidkrevande, men det skal vera overkomeleg for dei fleste som har ein god dose med motivasjon. I denne artikkelen har me sett korleis abstraksjon både er ein artig tankeleik og eit nyttig matematisk verktøy. Abstraksjon kan brukast til å skapa ei betre forståing for matematikk, samt hjelpa oss med å løysa problem i den verkelege verda. Matematikken hadde ikkje vore på langt nær like spennande om matematikarane hadde heldt seg til å jobba med det handfaste og konkrete. Tal er i seg