Exem 12 10

EXEMPLO 1 S: vA = 600 km/h, vB = 700 km/h

P: vB/A

E: a) Método vetorial: Escrever os vetores vA e vB em forma retangular (cartesiana) e, então, determinar vB – vA ; b) Método gráfico: Desenhar os vetores vA e vB a partir de um ponto comum e, então, aplicar as leis dos senos e dos cossenos para determinar vB/A .

EXEMPLO 1 (cont.)

Solução: a) Método vetorial (com orientação usual para os eixos x e y): vA = 600 cos(35°) i – 600 sen(35°) j = (491,5 i – 344,1 j ) km/h vB = – 700 i km/h vB/A = vB – vA = (– 1191,5 i + 344,1 j ) km/h vB /A = onde

(1191,5 )2 + ( 344,1 )2 = 1240,2 km/h

q = tan‒1( 344,1 ) = 16,1 1191,5

q

EXEMPLO 1 (cont.) b) Método gráfico: O vetor que “mede” a

vB = 700 km/h q

velocidade de B em

145 

relação a A é vB/A. Lei dos cossenos: 2 =( vB/A

2 2 + ( ) ) 700 600 - 2 ( 700)(600 )cos (145°)

vB/A = 1240,2 km/h Lei dos senos: vB/A vA = sen(145°) sen q

ou

θ = 16,1°

EXEMPLO 2 S: vA = 10 m/s ; vB = 18,5 m/s ; (at )A = 5 m/s2 ; aB = 2 m/s2 P: vA/B , aA/B

y x

E: Escrever os vetores velocidade e a aceleração para A e B e determinar vA/B e aA/B através de equações vetoriais.

EXEMPLO 2 (cont.)

Solução: A velocidade de A é (pela orientação usual) vA = 10 cos(45°) i – 10 sen(45°) j = (7,07 i – 7,07 j) m/s .

Já a velocidade de B é vB = 18,5 i m/s .

Assim, a velocidade relativa de A em relação a B, vA/B , é vA/B = vA – vB = (7,07i – 7,07j) – (18,5i) = –11,43i – 7,07j tal que | vB/A | =

(11,43)2 + (7,07)2 = 13,4 m/s

q = tan‒1( 7,07 / 11,43 ) = 31,73°

q

EXEMPLO 2 (cont.)

Já a aceleração de A é (também pela orientação usual) aA = (at )A + (an )A = [5 cos(45°) i – 5 sen(45°) j] + [– (102/100)sen(45°) i – (102/100)cos(45°) j] Portanto, aA = 2,83 i – 4,24 j (m/s2) .

Acima, a aceleração é escrita em coordenadas retangulares.

Já a aceleração de B é aB = 2 i (m/s2).

A aceleração relativa de A em relação a B é aA/B = aA – aB = (2,83i – 4,24j) – (2i) = 0,83i – 4,24j aA/B =

(0,83)2 + (4,24)2 = 4,32 m/s2

b = tan‒1(4,24/0,83) = 78,9°

b