EXEMPLO 1 S: Um motociclista se desloca ao longo de uma estrada reta a 27 m/s. Quando os freios são acionados, a motocicleta desacelera a uma taxa de (-6t) m/s2. P: A distância que a motocicleta ainda anda, antes de parar. E: Estabelecer a coordenada positiva s no sentido que a motocicleta está se deslocando. Como a aceleração é dada como uma função do tempo, integrá-la uma vez para obter a velocidade e mais uma vez para obter a posição.
EXEMPLO 1 (cont.) Solução: 1) Integrar a aceleração para determinar a velocidade. v
a = dv / dt => dv = a dt =>
t
dv = (-6t) dt v0
0
=> v – v0 = –3t2 => v = –3t2 + v0 2) Determinar o tempo requerido para a motocicleta parar (ou seja, para v = 0). Usar v0 = 27 m/s. 0 = –3t2 + 27 => t = 3 s 3) Obter a distância percorrida em 3s pela integração da velocidade, usando s0 = 0. s t v = ds / dt => ds = v dt =>
2 + v ) dt = ds ( 3 t 0 0 s0
=> s – s0 = – t3 + v0t s – 0 = – (3)3 + (27)(3) e s = 54 m
EXEMPLO 2 S: A bola A é lançada do repouso, a uma altura de 12,2 m, ao mesmo tempo que a bola B é atirada para cima, a 1,52 m acima do chão. As bolas passam uma pela outra a uma altura de 6,10 m. P: A velocidade inicial da bola B.
E: Ambas as bolas experimentam aceleração constante para baixo, igual a 9,81 m/s2. Aplicar as fórmulas para aceleração constante, com aC = – 9,81 m/s2.
EXEMPLO 2 (cont.) Solução: 1) Primeiro, considere-se a bola A. Com a origem definida no chão, a bola A é liberada do repouso, (vA)0 = 0 , a uma altura de 12,2m, (sA )0 = 12,2m. Calcula-se o tempo requerido para a bola A cair até 6,10m, ou seja, sA = 6,10m, usando a equação de posição. Assim, sA = (sA )0 + (vA)0t + (1/2)aCt2 6,10 = 12,2 + (0)(t) + (1/2)(–9,81)(t2) => t = 1,115 s
EXEMPLO 2 (cont.) 2) Agora, considere-se a bola B. Ela é lançada para cima de uma altura de 1,52m, (sB)0 = 1,52m. Ela tem que alcançar a altura de 6,10m, sB = 6,10m, ao mesmo tempo que a bola A atinge essa altura, em t = 1,115 s. Aplica-se novamente a equação de posição, agora para a bola B, usando t = 1,115s. Assim, sB = (sB)0 + (vB)0t + (1/2) aC t2 6,10 = 1,52 + (vB)0(1,115) + (1/2)(–9,81)(1,115)2 => (vB)0 = 9,57 m/s