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EXEMPLO 1 S: O movimento de duas partículas, A e B, é descrito pelos vetores posição rA = [3t i + 9t(2 – t) j] m e rB = [3(t2 –2t +2) i + 3(t – 2) j] m .

P: O ponto em que as partículas colidem e os módulos de suas velocidades escalares, imediatamente antes da colisão.

E: 1)As partículas irão colidir quando seus vetores posição forem iguais, ou seja, quando rA = rB .

2)Os módulos de suas velocidades escalares podem ser determinados pela derivação de seus vetores posição.

EXEMPLO 1 (cont.)

Solução: 1) O ponto de colisão requer que rA = rB, de modo que xA = xB e yA = yB . componentes em x: 3t = 3(t2 – 2t + 2) simplificando: t2 – 3t + 2 = 0 resolvendo: t = {3  [32 – 4(1)(2)]0,5}/2(1) => t = 1 ou 2 s componentes em y: 9t(2 – t) = 3(t – 2) simplificando: 3t2 – 5t – 2 = 0 resolvendo: t = {5  [52 – 4(3)(–2)]0,5}/2(3) => t = – 1/3 ou 2 s Então, as partículas colidem quando t = 2 s. Substituindo esse valor em rA ou rB, tem-se que xA = xB = 6 m e yA = yB = 0 m .

EXEMPLO 1 (cont.)

2) A derivação de rA e rB resulta nos vetores velocidade. vA = drA/dt = x• A i + y• A j = [3i + (18 – 18t) j] m/s Em t = 2 s: vA = [3i – 18 j] m/s vB = drB/dt = x• B i + y• B j = [(6t – 6)i + 3j] m/s Em t = 2 s: vB = [6i + 3j] m/s O módulo da velocidade escalar é igual à magnitude do vetor velocidade. Portanto, vA = (32 + 182)0,5 = 18,2 m/s e vB = (62 + 32)0,5

= 6,71 m/s .

EXEMPLO 2 S: Uma partícula se desloca ao longo de uma trajetória descrita pela parábola y = 0,5x2. O componente x da velocidade é dado por vx = (5t) m/s. Quando t = 0, x = y = 0.

P: A distância da partícula com relação à origem e a magnitude de sua aceleração, quando t = 1 s.

E: Observe que vx é dado como uma função do tempo.

1) Determinar o componente x da posição e da aceleração pela integração e derivação de vx, respectivamente.

2) Determinar o componente y da posição a partir da equação parabólica e derivar sucessivamente para obter ay.

3) Determinar as magnitudes dos vetores posição e aceleração.

EXEMPLO 2 (cont.)

Solução: 1) componentes em x: velocidade:

•

vx = x = dx/dt = (5t) m/s

x

posição:



t

dx =

0

aceleração:

 0 ••

5 t dt => x = (5/2)t2 = (2,5t2) m •

ax = x = vx = d(5t)/dt = 5 m/s2

2) componentes em y: posição:

y = 0,5x2 = 0,5(2,5t2)2 = (3,125t4) m

velocidade:

vy = dy/dt = d (3,125t4) /dt = (12,5t3) m/s

aceleração:

ay = vy = d (12,5t3) /dt = (37,5t2) m/s2

EXEMPLO 2 (cont.)

3) A distância com relação à origem é dada pela magnitude do vetor posição. Portanto, r = x i + y j = [2,5t2 i + 3,125t4 j] m em t = 1 s, r = (2,5 i + 3,125 j) m distância: d = r = [(2,52 + 3,1252)]0,5 = 4,0 m .

A magnitude do vetor aceleração em t = 1 s é calculada por vetor aceleração: a = [5 i + 37,5t2 j ] m/s2 magnitude: a = [(52 + 37,52)]0,5 = 37,8 m/s2 .